幾何圖形中的動態(tài)問題專練

幾何圖形中的動態(tài)問題★如圖，在矩形

中，點

E

在

邊上，動點

P

以

厘米/秒的速度從點

出發(fā)，eq

\o\ac(△,沿)

的邊按照

→E→→

的順序運動一周．設(shè)點

P

從點

出發(fā)經(jīng)

eq

\o\ac(△,秒后)， 的面積是

.若

＝，BE＝，當(dāng)點

P

在線段

上時，求

關(guān)于

的函數(shù)表達式；已知點

E

是

的中點，當(dāng)點

P

在線段

ED

上時，＝

；當(dāng)點

P

在線段

上時，＝－.求

關(guān)于

的函數(shù)表達式．第

題圖解：∵四邊形

是矩形，∴∠＝，又∵＝，BE＝，∴＝ ＋BE＝ ＋＝

厘米，如解圖①，過點

作

⊥

于點

，第

題解圖①＝＝·

＝·

BE，

∴＝∴＝，∴＝·

＝≤；又∵＝，

∵四邊形

是矩形，∴∠＝∠＝，＝,

＝，∵E

為

中點，∵＝P

在

ED

上),

＝∵＝P

在

ED

上),

＝－P

在

上，＝當(dāng)點

P

運動至點

時，可聯(lián)立得，

，如解圖②，過點

作

⊥

于

N，則

＝，eq

\o\ac(△,∴) eq

\o\ac(△,≌) DCE，∴＝DE，＝－解得

＝，∴＋ED＝＝，∴＝ED＝，當(dāng)點

P

運動一周回到點

時，＝，∴＝－＝

解得

＝，∴＋DE＋＝，∴＝＝，∴BE＝，在

△

中，＝ －BE＝，∴＝∴＝≤，（0<≤）∴＝

.－（≤≤）★

已知：如圖①，菱形

的邊長為

P、

分別是

、

兩邊上的動點，P、

分別從

、

兩點同時出發(fā)，均以

的速度沿

、

向點

和點

勻速運動，當(dāng)點P

到達點

時停止運動，點

也隨之停止運動，設(shè)運動時間為

，點

P

到

的距離與點

到

的距離差的絕對值為

，且

與

的函數(shù)圖象如圖②所示.∠

的度數(shù)為 ，M

點的坐標(biāo)所表示的實際意義是 ；求證：=;當(dāng)

=

時，求

的值.第

題圖（）解：，點

P

到

的距離與點

到

的距離相等；①，過

作

BE⊥

于

E,由題圖②知，運動時間

=0

時，點

P

到

的距離為 ，

點

到

的距離是菱形的高為

，即

BE=

,在

△BCE

中，BE=

,∴=

BE

=

, ∴∠=∠，由題圖②知，點

M

在

軸上，∴點

M

的坐標(biāo)所表示的意義是點

P

到

的距離與點

到

的距離相等；第

題解圖①（）證明：如解圖②，連接

,由（）知，∠，第

題解圖②

∵在菱形

中，=,

∴△

是等邊三角形，∴==,∠=∠，由運動的過程知，=，在△

eq

\o\ac(△,和)

中，

∴△≌△,∴＝;解：如解圖③，過點

P

作

PE⊥,過點

作

⊥,第

題解圖③由運動過程知，==≤≤∴=4-,在

△

中，∠，=,∴PE==

,同理：=

),∴=｜

｜=

∵=

,∴

｜｜＝

，化簡得

∴=

或

=

★.

如圖，在

eq

\o\ac(△,Rt)

中，∠＝，＝，＝，點

以每秒

個單位長度的速度由點

向點

勻速運動，到達

點即停止運動．M，N

分別是

，

的中點，連接MN.設(shè)點

運動的時間為

.判斷

MN

與

的位置關(guān)系；求在點

由點

向點

勻速運動的過程中，線段

MN

所掃過區(qū)域的面積；eq

\o\ac(△,若)

是等腰三角形，求

的值．第

題圖解：MN∥.證明：在△

中，M

是

的中點，N

是

的中點，∴MN∥；如解圖①，分別取△

三邊中點

E，F(xiàn)，

并連接

EG，F(xiàn)G，第

題解圖①根據(jù)題意，可知線段

MN

掃過區(qū)域的面積就是?

AFGE

的面積．∵＝，＝，∴＝，＝，∵∠＝，∴

AFGE

＝·

＝，∴線段

MN

掃過區(qū)域的面積為； 依題意可知，＝，＝，MN＝＝分三種情況討論：如解圖②，過點

作

⊥

于點

，則

＝＝，ⅰ當(dāng)

＝MN＝

eq

\o\ac(△,時)，

為等腰三角形，此時

＝如解圖②，過點

作

⊥

于點

，則

＝＝，∴＝ⅱ當(dāng)

＝

時，＝.∵＝＝，＝∵＝＝，＝，即

＝

.∵＝＝，即＝

，∴＝，∴＝＝＝. ∴＝＝ⅲ當(dāng)

＝MN＝

時，＝，如解圖③，連接

，則

⊥. 綜上所述，當(dāng)

＝

或

或eq

\o\ac(△,時)，

為等腰三角形．第

題解圖③★.

如圖，在正方形

中，點

E，

分別是邊

，

的中點，＝.求證：EF⊥；若點

F，

分別在射線

，

上同時向右、向上運動，點

運動速度是點

F

運動速度的

倍，EF⊥

是否成立只寫結(jié)果，不需說明理由正方形

的邊長為

，P

是正方形

內(nèi)一點，當(dāng)

＝

時，eq

\o\ac(△,求)

周長的最小值．∵點

E，

分別是邊

∵點

E，

分別是邊

，

的中點，＝，∴＝，

＝，∴＝

，證明：∵四邊形

是正方形，∴＝＝，∠EAF＝∠＝， 又∵∠EAF＝∠＝，eq

\o\ac(△,∴) AEF∽△，∴∠AEF＝∠，又∵∠＋∠＝，∴∠AEF＋∠＝，∴∠＝，即

EF⊥；解：EF⊥

仍然成立；解：如解圖，過點

作

MN∥

分別交

、

于點

M，N，連接

，第

題解圖∵P

是正方形

內(nèi)一點，當(dāng)

＝

，∴＝＝，＝＝，∴點

P

在線段

MN

上不含端點，∴＝＝，＝＝，作點

關(guān)于

MN

的對稱點

，連接

交

MN

于點

P，此時

＋＝＋＝最小，即△

的周長最小．∵正方形

的邊長為

， ＋＋＝

，＝·

＝

，

EF

∴

＝

，∵∠∴

＝

，eq

\o\ac(△,∴) ∽△， ∴＝·

，，∴，

＝∴∴＝＝，＋＋＝

，

故△故△

周長的最小值為

＋

.★.

如圖，在矩形

中，＝，＝，點

M

在線段

上，連接

，作∠AMN＝∠，點

N

在直線

上，MN

交

于點

E.求證：△AMN

是等腰三角形；求

·

的最大值；當(dāng)

M

為

中點時，求

的長．第

題圖證明：∵四邊形

是矩形，∴∥，∴∠NAM＝∠，又∵∠AMN＝∠，∴∠AMN＝∠NAM，∴＝MN，eq

\o\ac(△,即) AMN

是等腰三角形；解：如解圖，作

⊥

于點

，第

題解圖∴＝，∴

＝

∴＝，∴

＝

，∴·

＝

＝，∴·

≤，∵∠＝∠＝，∠＝∠，eq

\o\ac(△,∴) ∽△， 在

△

中，＝＋＝＋，∵≤，∴＋≤，∴＝＝＝，由得，·

＝，∴

＝DE∴＝＝＝，由得，·

＝，∴

＝DE，即＝

， －解得

＝，即

DE＝，∴CE＝，·

的最大值為

；解：∵M

是

中點，∵＝＋＝，∴＝，∴＝－＝，設(shè)

DE＝，則

CE＝－，∵∥， CE CE＋CE＋＝.

★.

如圖①，點

在線段

上，＝，＝，

為射線，且∠＝，動點

P以每秒

個單位長度的速度從點

出發(fā)，沿射線

做勻速運動，設(shè)運動時間為

秒．當(dāng)當(dāng)

＝秒時，則

＝________，

＝________；eq

\o\ac(△,當(dāng))

是直角三角形時，求

的值；如圖②，當(dāng)

＝

時，過點

作

∥，并使得∠＝∠，求證：·

＝第

題圖

解：，

；

P

以每秒

個單位長度的速度從點

出發(fā)，故當(dāng)

＝秒時，＝ ×＝如解圖①，過點

P

eq

\o\ac(△,作)

的高

，由于∠＝，＝，故

＝·

＝

＝

，即

＝·

＝＋)·

＝×＋×

＝

.

第

題解圖①解：①∵∠＜∠＝，∴∠

不可能為直角；②如解圖②，當(dāng)∠＝時，第

題解圖②∵∠＝，∴∠＝，∴＝＝，即

＝，∴＝；③當(dāng)∠＝時，如解圖③，作

⊥，垂足為

，則∠＝∠＝第

題解圖③∵＝，∴＝，＝

，＝＋，＝－，∴＝＋＝－＋，＝＋＝＋＋，∵＋＝，∴－＋＋＋＋＝，即

＋－＝，－＋

－－

，＝解得

，＝

舍去．綜上所述，eq

\o\ac(△,當(dāng)) 綜上所述，eq

\o\ac(△,當(dāng))

是直角三角形時，

的值為

或

；證明：∵＝，∴∠＝∠.如解圖④，作

∥

交

于點

E，第

題解圖④∴∠＝∠＝∠，∵∥，∴∠＋∠＝，又∵∠＋∠＝，∴∠＝∠，又∵∠＝∠＋∠＝∠＋∠，∴＝，即

·

EP＝·

，∴＝BE＝∴＝，即

·

EP＝·

，∴＝BE＝＝，∴＝＝，＝EP，∴·

＝·

EP＝·

＝××＝∴∠＝∠，eq

\o\ac(△,∴) ∽△， EP∵∥，eq

\o\ac(△,∴) ∽△， ★.如圖①，在矩形

中，＝，＝，在

邊上取一點

E，使

＝，點

F是

邊上的一個動點，以

EF

為一邊作菱形

，使點

N

落在

上，點

M

落在矩形

內(nèi)或其邊上，連接

.當(dāng)四邊形

是正方形時，求

的長；eq

\o\ac(△,設(shè))

的面積為

，＝.①寫出

與

之間的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)

由最大值變到最小值時，求點

M

運動的路線長．第

題圖解：在正方形

中，∠FEN＝，EF＝；∴∠＋∠AEF＝，在矩形

中，∠＝∠＝°，∴∠AEF＋∠AFE＝，∴∠＝∠AFE，在△

eq

\o\ac(△,與) AFE

中，∠∠，∠∠AFE，，eq

\o\ac(△,∴) eq

\o\ac(△,≌) AFE(AAS)．∴＝DE＝－＝，∴

的長為

；①如解圖①，過點

M

作

⊥

于點

，連接

.∴＝BF·

∴＝BF·

＝－×＝－＋；在矩形

中，∵∥，∴∠＝∠.∵四邊形

是菱形，∴∥，＝，∴∠ENF＝∠，∴∠－∠ENF＝∠－∠，即∠＝∠，在△

eq

\o\ac(△,與)

中，∠∠°，∠∠，，eq

\o\ac(△,∴) eq

\o\ac(△,≌) ，∴＝DE＝，又∵BF＝－， ②當(dāng)點

與

N

重合時，

最大如解圖②，第

題解圖②此時

DE＝EF＝，由勾股定理得

＝，當(dāng)點

M

落在

上時，

最小如解圖③，∴點

M

運動的路徑是一條線段

∴點

M

運動的路徑是一條線段

M

M

如解圖④，由①得

＝DE＝，∵點

M

到

的距離是定值

， ∴M

M

＝F∴M

M

＝F

＝－＝由

，

兩段組成，如圖②所示． ∴點

M

運動的路線長為

★.如圖①，eq

\o\ac(△,在)

中，∠＝，點

P

從點

出發(fā)以

的速度沿折線

－－運動，點

從點

出發(fā)以

的速度沿

運動，P，

兩點同時出發(fā)，當(dāng)某一點運動到點

時，兩點同時停止運動．設(shè)運動時間為，△

的面積為

，

關(guān)于

函數(shù)圖象 求

的值；求圖②中圖象

段的函數(shù)表達式；當(dāng)點

P

運動到線段

上某一段時，△

的面積大于當(dāng)點

P

在線段

上任意一點eq

\o\ac(△,時)

的面積，求

的取值范圍．第

題圖解：如解圖①，過點

P

作

⊥

于點

.∴＝

＝∴＝

＝

＝.由圖象得，當(dāng)

＝

時，＝，則

＝，∵∠＝，＝，∴＝°＝·

＝， ∴＝；如解圖②，當(dāng)點

P

在

上時，＝－＝－.第

題解圖②∴＝

＝

－∴＝

＝

－.由圖象得，當(dāng)

＝

時，＝，∴××－＝，∴＝， ∴＝

－)·

＝－＋； ∴＝

－)·

＝－＋； ，

＝－

＋由圖象得，當(dāng)

＝

時，函數(shù)

＝的最大值為

＝×＝將

＝

代入函數(shù)

＝－＋，得

＝－＋，令解得

＝舍去，

＝ 解得

＝，

＝ ∴由圖象得，

的取值范圍是

＜＜★.如圖①，在長方形

中，=8，=6，動點

P、

分別從點

、

同時出發(fā)向點

、

運動，點

P

的運動速度為每秒

個單位長度，點

的運動速度為每秒

個單位長度，當(dāng)點

P

運動到點

時，兩個點都停止運動.設(shè)運動的時間為

當(dāng)

=2

時，

的長為；在運動過程中，若△

為等腰三角形，求相應(yīng)時刻的

值；如圖②，連接

，是否存在某個時刻，使得

垂直平分

若能，求

的值；若不能，說明理由.第

題圖解：（）如解圖①，作

⊥

于

，由題意得:∴又∵=由勾股定理得：=+=2

;當(dāng)

=

時，=,∴，整理得

+2解得

=;當(dāng)

=

時，+＝＝，即（）+6,解得

=

;當(dāng)

=

時，+＝＝，即（）+6,方程無解；綜上所述，當(dāng)

=或

時，△

為等腰三角形；

（）不存在.如解圖②，第

題解圖②假設(shè)

垂直平分

,則

=，=,在

△

中，,解得：=

,在

△

中，（）,解得

=

,∴不存在某個時刻

，使得

垂直平分

.★.

如圖①，矩形

中，=7

，=4

點

E

為

上一定點，點

F

為

延長線上一點，且

DF＝

點

P

從

點出發(fā)，沿

邊向點

以

的速度運動.連接

PE，設(shè)點

P

運動的時間為

的面積為

.當(dāng)

≤≤

時

的面積

關(guān)于時間的函數(shù)圖象如圖②所示.連接

PF，交

于點

.

的取值范圍為 ，＝ 如圖③，eq

\o\ac(△,將)

沿線段

DF

進行翻折，與

的延長線交于點

M，連接

，當(dāng)

為何值時，四邊形

為菱形？并求出此時點

P

的運動時間

;如圖④，當(dāng)點

P

出發(fā)

后，

邊上另一動點

從

E

點出發(fā)，沿

ED

邊向點

以

的速度運動.如果

P，

兩點中的任意一點到達終點后，另一點也停止運動，連接

，.若＝

，eq

\o\ac(△,請問)

能否構(gòu)成直角三角形？若能，請求出點

P

的運動時間

；若不能，請說明理由.第

題圖解：（）≤≤，；【解法提示】當(dāng)

P

運動到點

時，

∴

的取值范圍為

≤≤；由題意知，＝

·

＝

×2·

＝·

， 將（，）代入

＝·

，得

＝若四邊形

為菱形，則

∥，且

=，=，∵∠＝∠＝，∠=∠，∴△∽△,∴

FD

, ∵DF=,∴=4+,∴

, ∴在

△

中，==2,∵△

eq

\o\ac(△,是由)

沿線段

DF

翻折而得，∴＝＝＝，∵=+,，即

=+4,解得

=

或

=-

（舍去）， ∴當(dāng)

=4

時，四邊形

為