概率統(tǒng)計沖刺講義

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2022年年導(dǎo)航領(lǐng)航考研數(shù)學(xué)沖刺班講義

概率統(tǒng)計

鄧澤華

編講

一、填空題分析

填空題主要測驗根基學(xué)識和運算才能，更加是運算的切實性。

1.（04-1-3-4）設(shè)隨機變量X按照參數(shù)為的指數(shù)分布，那么PXDX

.【1e，概率計算】

2.（04-3）設(shè)總體21~(,)XN，總體22~(,)YN，112,,,nXXX和212,,,nYYY分別是來自總體X和Y的簡樸隨機樣本，那么12221112()()2nniiiiXXYYEnn

.【2，數(shù)字特征】

3.（06-1-3-4）設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且均按照區(qū)間[0,3]上的平勻分布，那么max,1PXY

.【19，概率計算】

4.（05-1-3-4）從數(shù)1，2，3，4中任取一個數(shù)，記為X，再從X,,1中任取一個數(shù)，記為Y，那么}2{YP

.【1348，概率計算】

5.（05-1-3-4）設(shè)二維隨機變量(,)XY的概率分布為XY

0100.4a

1b

0.1

若隨機事情0X與1XY相互獨立，那么a

，b

.【0.4，0.1，確定常數(shù)】

6.（06-3）設(shè)總體X的概率密度為1()e2xfx，（x），12,,,nXXX為來自總體X的簡樸隨機樣本，其樣本方差為2S，那么2ES

.【2，數(shù)字特征】

7.（07-1-3-4）在區(qū)間(0,1)中隨機地取兩個數(shù)，那么這兩個數(shù)的差的十足值小于12的概率為

.【34，概率計算】

8.（08-1-3-4）設(shè)隨機變量X按照參數(shù)為1的泊松分布，那么2PXEX

.【12e，概率計算】

9.（08-n）設(shè)1234,,,XXXX為來自正態(tài)總體(2,4)N的簡樸隨機樣本，那么2()EX

.【5，數(shù)字特征】

10.（09-1）設(shè)12,,,mXXX為來自二項分布總體的簡樸隨機樣本，若2XkS為2np的無偏估計量，那么k

.【1，數(shù)字特征】

11.（09-3）設(shè)12,,,mXXX為來自二項分布總體的簡樸隨機樣本，記統(tǒng)計量2TXS，那么ET

.【2np，數(shù)字特征】

12.（09-n）設(shè)總體X的概率密度1(,)e,2xfxx，其中參數(shù)(0)未知，若12,,,mXXX是來自總體X的簡樸隨機樣本，111niiXn是的估計量，那么E

.【1nn，數(shù)字特征】

二、選擇題分析

解選擇題的方法有⑴直接法；⑵間接法（排）

除法、特例法等）

；⑶數(shù)形結(jié)合法?？键c涉及概念、理論、方法和運算。

1.（06-1-4）設(shè)A，B為隨機事情，且()0PB，()1PAB，那么必有（

）.【C，概率公式】

（A）

()()PABPA（B）

()()PABPB

（C）

()()PABPA（D）

()()PABPB

2.（04-1-3-4）設(shè)隨機變量X按照正態(tài)分布(0,1)N，對給定的(0,1)，數(shù)u得志PXu，若PXx，那么x等于（

）.【B，正態(tài)概率】

（A）2u（B）12u（C）12u（D）1u3.(06-1-3-4)設(shè)隨機變量X～211(,)N，Y～222(,)N，且12{1}{1}PXPY，那么必有（

）.【A，正態(tài)概率】

（A）12（B）12（C）12（D）12

4.（04-4）設(shè)隨機變量12,,,(1)nXXXn獨立同分布，且其方差為20.令11niiYXn，那么（

）.【C，數(shù)字特征】

（A）212()nDXYn（B）211()nDXYn

（C）21(,)CovXYn

（D）21(,)CovXY

5.（05-4）設(shè)12,,,,nXXX為獨立同分布的隨機變量列，且均按照參數(shù)為的指數(shù)分布，那么（

）.【C，中心極限定理】

（A）1lim()niinXnPxxn（B）1lim()niinXnPxxn（C）1lim()niinXnPxxn（D）1lim()niinXPxxn6.（05-1）設(shè)1,,(2)nXXn為來自總體(0,1)N的簡樸隨機樣本，那么（

）.【D，抽樣分布】

（A）

~(0,1)nXN（B）22~()nSn（C）

(1)~(1)nXtnS（D）2122(1)~(1,1)niinXFnX7.（05-3）設(shè)一批零件的長度按照正態(tài)分布2(,)N，其中參數(shù)2,未知.現(xiàn)從中隨機抽取16個零件，測得樣本均值20x（cm），樣本標(biāo)準(zhǔn)差1s(cm)，那么的置信度為0.90的置信區(qū)間是（

）.

【C，置信區(qū)間】

(A)0.050.0511(20(16),20(16))44tt

(B)0.10.111(20(16),20(16))44tt

(C)0.050.0511(20(15),20(15))44tt

(D)0.10.111(20(15),20(15))44tt

8.（07-1-3-4）某人向同一目標(biāo)獨立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率為(01)pp，那么此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為（）.【C，概率計算】

（A）23(1)pp（B）26(1)pp（C）223(1)pp（D）226(1)pp

9.（07-1-3-4）設(shè)(,)XY按照二維正態(tài)分布，且X與Y不相關(guān)，()Xfx，()Yfy分別為X，Y的概率密度，那么在Yy的條件下，X的條件概率密度()XYfxy（）.【A，條件密度】

（A）

()Xfx（B）

()Yfy（C）

()()XYfxfy（D）()()XYfxfy

10.（08-1-3-4）設(shè)隨機變量,XY獨立同分布，且X的分布函數(shù)為()Fx，那么max,ZXY的分布函數(shù)為（）.【A，函數(shù)的分布】

（A）2()Fx

（B）

()()FxFy

（C）21[1()]Fx（D）

[1()][1()]FxFy

11.（08-1-3-4）設(shè)隨機變量~(0,1)XN，~(1,4)YN，且相關(guān)系數(shù)1XY，那么（）.【D，相關(guān)系數(shù)】

（A）

211PYX（B）

211PYX

（C）

211PYX（D）

211PYX

12.（08-n）設(shè)123,,AAA為3個隨機事情，以下結(jié)論中正確的是（）.【A，獨立性】

（A）若123,,AAA相互獨立，那么123,,AAA兩兩獨立

（B）若123,,AAA兩兩獨立，那么123,,AAA相互獨立（C）若123123()()()()PAAAPAPAPA，那么123,,AAA相互獨立（D）若1A與2A獨立，2A與3A獨立，那么1A與3A獨立13.（08-n）設(shè)隨機變量X按照參數(shù)為,np的二項分布，那么（）.【D，數(shù)字特征】

（A）

(21)2EXnp

（B）

(21)4EXnp

（C）

(21)2(1)DXnpp（D）

(21)4(1)DXnpp

14.（09-1-n）.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為1()0.3()0.7()2xFxx，那么EX（）.【C，數(shù)字特征】

（A）

0

（B）

0.3

（C）

0.7

（D）

1

15.（09-1-3）.設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且X按照標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(0,1)N，Y的概率分布為1012PYPY，記()ZFz為隨機變量ZXY的分布函數(shù)，那么函數(shù)()ZFz的休止點的個數(shù)為（）.【B，函數(shù)的分布】

（A）

0（B）

1（C）

2（D）

3

16.（09-3-n）事情A與B互不相容，那么（）.【D，概率公式】

（A）

()0PAB

（B）

()()()PABPAPB

（C）

()1()PAPB

（D）

()1PAB

三、解答題分析

（一）考點分析近三年的考點分布處境如下：

數(shù)學(xué)一07年

已知二維隨機變量密度求概率與函數(shù)的密度、已知總體密度求參數(shù)矩估計與統(tǒng)計量的無偏性08年

已知獨立和邊緣求條件概率與函數(shù)的密度、已知總體密度求統(tǒng)計量期望與方差09年

摸球問題中的條件概率與聯(lián)合分布、已知總體密度求參數(shù)矩估計和最大似然估計數(shù)學(xué)三07年

與數(shù)學(xué)一一致08年

與數(shù)學(xué)一一致09年

與數(shù)學(xué)一一致、已知二維隨機變量密度求條件密度與條件概率數(shù)學(xué)農(nóng)科08年

已知隨機變量密度和期望求常數(shù)與分布函數(shù)、已知二維離散隨機變量的聯(lián)合分布求邊緣分布與概率09年

已知隨機變量密度和函數(shù)期望求常數(shù)與概率、已知離散隨機變量X與Y的概率分布及PXY求聯(lián)合分布與相關(guān)系數(shù)（二）綜合舉例例例1

甲乙兩人舉行乒乓球單打比賽，甲每局獲勝的概率為0.6，比賽采用五局三勝制.⑴求甲獲勝的概率；⑵已知甲獲勝，求甲是3:0獲勝的概率.解

【二項分布、獨立性、條件概率】

⑴甲獲勝的概率為322222343:03:13:0.60.68256PPPCC；⑵A表示"甲獲勝'，B表示"甲是3:0獲勝'

()()0.216()0.31646()()0.68256PABPBPBAPAPA.

例例2

在電源電壓不超過200V，200~240V和超過240V三種處境下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2，設(shè)電源電壓2~(220,25)XN，已知(0.8)0.788，求⑴該電子元件損壞的概率；⑵該電子元件損壞時，電源電壓在200~240V的概率.解解

【正態(tài)分布、全概率公式、貝葉斯公式】

2~(220,25)XN，200220220()(0.8)1(0.8)0.21225PX，240220200220220240()()(0.8)(0.8)0.5762525PX，2402202401()1(0.8)0.21225PX

⑴設(shè)A"電子元件損壞'，由全概率公式，得()200200200240200240PAPXPAXPXPAX

2402400.0642PXPAX；⑵由貝葉斯公式，得2002402002400.009()PXPAXPA.例3

設(shè)隨機變量X的分布密度為,02,(),24,0,,axxfxbxcxelse且2EX，3134PX，求：⑴常數(shù),,abc；⑵分布函數(shù)()Fx；⑶隨機變量eXY的期望與方差.

解解

【一維隨機變量分布與數(shù)字特征】

⑴由分布密度的性質(zhì)()1fxdx，得24021()262axdxbxcdxabc,2422028562()633EXaxdxbxcxdxabc，231233513()422PXaxdxbxcdxabc，解得11,,144abc.⑵X的取值范圍為(0,4)，()FxPXx

當(dāng)0x時，()0Fx；當(dāng)4x時，()1Fx；當(dāng)04x時，()()xFxfxdx，當(dāng)02x時，201()48xxFxxdx，

當(dāng)24x時，220211()(1)1448xxFxxdxxdxx.⑶242202111ee(1)e(e1)444XxxEYExdxxdx，2422224202111ee(1)e(e1)4416XxxEYExdxxdx，222221()e(e1)4DYEYEY.

例例4

設(shè)盒內(nèi)有5個球，其中2個紅球，3個白球，從中無放回地抽取3個，設(shè)X為抽到的紅球總數(shù)，Y為第三次抽到的紅球數(shù).⑴求(,)XY的概率分布；⑵求(,)CovXY，問X和Y是否獨立？

解

【二維離散隨機變量概率分布與數(shù)字特征】

⑴X的可能值為0，1，2；Y的可能值為0，1，3210,00.1543PXY，0,10PXY，2323221,00.4543PXY，3221,10.2543PXY，2132,00.1543PXY，3212312,10.2543PXY(,)XY的概率分布為010.10.22XY.⑵(,)CovXYEXYEXEY，X的概率分布為0，EX，Y的概率分布為010.60.4，0.4EY，XY的概率分布為0，EXY，

(,)0.12CovXYEXYEXEY，X和Y不獨立.例例5

設(shè)隨機變量U按照[012]，上的平勻分布，令隨機變量1,36,0,,UXelse1,24,0,,UYelse求：

⑴(,)XY的概率分布；⑵在0.5Y條件下，X的條件分布；⑶X與Y的相關(guān)系數(shù).解

【二維離散隨機變量的概率分布、條件分布、相關(guān)系數(shù)】

⑴X的概率分布為013/41/4，Y的概率分布為015/61/6(,)XY的概率分布為0102/31/1211/61/12XY，其中20,0(3,6),(2,4)3PXYPUU，10,1(3,6),(2,4)12PXYPUU，11,0(3,6),(2,4)6PXYPUU，11,1(3,6),(2,4)12PXYPUU

⑵0,02/3400.505/65PXYPXYPY，1,01/6110.505/65PXYPXYPY，故在0.5Y條件下，X的條件分布為014/51/5⑶X與Y的相關(guān)系數(shù)(,)XYCovXYDXDY，(,)CovXYEXYEXEY，14EX，16EY，XY的概率分布為0111/121/12，112EXY，1(,)24CovXYEXYEXEY.又22113()41616DXEXEX，22115()63636DYEYEY，故(,)115XYCovXYDXDY.

例例6

設(shè)二維隨機變量),(YX的概率密度為),(yxf(),01,0,cxyyxelse⑴求常數(shù)c；

⑵求關(guān)于YX,的邊緣分布密度并判斷X和Y是否獨立；⑶求(01)Xxx時Y的條件分布密度；

⑷求1PXY；⑸求112PXYX和112PXYX；⑹求ZXY的分布密度.解解

【二維連續(xù)隨機變量的根本問題：確定常數(shù)、邊緣密度、條件密度、概率計算、條件概率計算、分布函數(shù)】

⑴由密度的性質(zhì)100(,)1()12xfxydxdydxcxydyc.⑵X的取值范圍為[0,1]，當(dāng)01x時，20()(,)2()3xXfxfxydyxydyx，所以關(guān)于X的邊緣分布密度23,01,()0,.Xxxfxelse類似可得關(guān)于X的邊緣分布密度2123,01,()0,.Yyyyfyelse由于(,)()()XYfxyfxfy，故X和Y不獨立.⑶(01)Xxx時Y的條件分布密度22(),0,(,)()3()0,.YXXxyyxfxyfyxxfxelse⑷1120221(,)2()3yyxyPXYfxydxdydyxydx.⑸11,212(,)11,12112(,)2xyxxfxydxdyPXYXPXYXfxydxdyPX11201,111,(,)2()23yyxyPXYXfxydxdydyxydx問：如何求),(YX的聯(lián)合分布函數(shù)(,)Fxy？

例例7

隨機變量X和Y相互獨立，且X按照[0,1]上的平勻分布，Y按照參數(shù)為1的指數(shù)分布.

⑴求2ZXY的概率密度函數(shù)；⑵求EZ，DZ；⑶求(,)CovYZ.解解【二維隨機變量函數(shù)的概率分布、數(shù)字特征】

⑴X按照[0,1]上的平勻分布，密度為1,[0,1],()0,[0,1],XxfxxY按照參數(shù)為1的指數(shù)分布，密度為,0,()0,0.yYeyfyy隨機變量X和Y相互獨立，故),(YX的概率密度,01,0,(,)()()0,,yXYexyfxyfxfyelseX的取值范圍為[0,1]，Y的取值范圍為(0,)，2ZXY的取值范圍為(0,).2ZXY的分布函數(shù)()ZFzPZz，當(dāng)0z時，()0ZFz，當(dāng)0z時，()2ZFzPZzPXYz2(,)yxyzDfxydxdyedxdy，其中D為積分域2xyz與密度(,)fxy的非零區(qū)域的交集.當(dāng)02z時，222222000001()ee(1e)(e1)2zzzzxzxyyxzzZFzdxdydxdxz，當(dāng)2z時，1211222000001()e(1e)1(e1)e2zxzxyyxzzZFzdxedydxdx.故Z的概率密度20,0,1()()(1),02,21(1),2.2zZZzzfzFzezeez⑵12EX，112DX，1EY，1DY，(2)22EZEXYEXEY，又X和Y相互獨立，故443DZDXDY

⑶由X和Y相互獨立知，(,)0CovXY，故(,)(,2)2(,)(,)01CovYZCovYXYCovYXCovYYDY.例例8假設(shè)一電路裝有三個同種電子元件，其工作狀態(tài)相互獨立，且無故障工作時間都按照參數(shù)為的指數(shù)分布.⑴當(dāng)三個元件都無故障時，電路正常工作，否那么電路不能正常工作.求電路正常工作時間T的概率分布.；

⑵當(dāng)三個元件中有一個無故障時，電路正常工作，否那么電路不能正常工作.求電路正常工作時間T的概率分布解

設(shè)三個電子元件無故障工作時間分別為123,,XXX，那么它們相互獨立，且都按照參數(shù)為的指數(shù)分布，分布函數(shù)為1e,0,()0,0.xxFxx⑴電路正常工作時間123min,,TXXX，其取值范圍為(0,)，分布函數(shù)()TFtPTt，0t時，()0TFt，0t時，123()min,,TFtPTtPXXXt1231231min,,1,,PXXXtPXtXtXt3312311[1()]1tPXtPXtPXtFte，

故電路正常工作時間T的分布函數(shù)31e,0,()0,0.tTtFtt⑵電路正常工作時間123max,,TXXX，其取值范圍為(0,)，分布函數(shù)()TFtPTt，0t時，()0TFt，0t時，123()max,,TFtPTtPXXXt

123PXtPXtPXt33()(1)tFte，

故電路正常工作時間T的分布函數(shù)33(1e),0,()0,0.tTtFtt

例例9

設(shè))1(,,,21nXXXn為獨立同分布的隨機變量，且都按照2(0,)N，記niXXYXnXiinii,,1,,11，求⑴,1,,iDYin；⑵1Y與nY的協(xié)方差1(,)nCovYY；⑶若21()ncYY是2的無偏估計量，求常數(shù)c.解解

⑴2111()[(1)],1,,niiikkinDYDXXDXXinnnn.⑵1Y與nY的協(xié)方差11(,)(,)nnCovYYCovXXXX

11(,)(,)(,)(,)nnCovXXCovXXCovXXCovXX

2222111111110(,)(,)nnCovXXCovXXDXnnnnnn.

⑶2211111()()()[2(,)]nnnnnEcYYcEYYcDYYcDYDYCovYY

2222211224()nnnccnnnn，故24ncn.例例10

某車間有同型號機200臺，每臺機床開動的概率為0.7，假設(shè)各機床開動與否互不影響，開動時每臺機床需消耗電能15kw.

⑴試用切比雪夫不等式估計用電量在1800~2250kw間的概率；⑵問至少供電多少才可以95％的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn)？（(1.645)0.95）

解解

【切比雪夫不等式、中心極限定理】

⑴機床開動的臺數(shù)~(200,0.7)XB，140EX，42DX，18001522501201502014010PXPXPX42201401010.58100PX

⑵由中心極限定理知，X近似按照~(140,42)XN，設(shè)供電akw可以95％的概率保證不致因供電缺乏而影響生產(chǎn),那么1401515()0.95(1.645)1542aaPXaPX140151.645226042aa（kw）.例例11

假設(shè)某種型號的螺釘?shù)闹亓渴请S機變量，期望值為50克，標(biāo)準(zhǔn)差為5克，⑴設(shè)每100個螺釘為一袋，求每袋螺絲釘?shù)闹亓砍^5100克的概率；⑵若這樣的螺釘裝有500袋，求500袋中最多有4%的重量超過5100克的概率.已知(2)0.9772，(2.59)0.995.【⑴0.02275；⑵0.995】

例例12

設(shè)總體X的分布函數(shù)0,0,,01,(),12,,2,xxFxaxabx，其中,,ab為常數(shù)，且1EX.⑴求,ab；⑵抽取的n個樣本值1,,nxx中有k個1(1)kn，求的最大似然估計.解解

【參數(shù)估計】

⑴由題設(shè)知，總體X的概率分布為

X

0

1

2

P

2a

b

122()2EXabab，()1Fab，解得1,0ab.⑵似然函數(shù)()(12)knkL，ln()ln(12)()lnLknk，令2ln()012dknkLd，解得2nkn，故的最大似然估計2nkn.例例13

總體X的分布密度2(ln)21e,0,()20,0.xxfxxx1,,nXX是來自總體X的簡樸隨機樣本.⑴求參數(shù)的最大似然估計量；【11lnniiXn】

⑵求的數(shù)學(xué)期望.【】

例例14

總體X~2(0,)N，1,,nXX是來自總體X的簡樸隨機樣本.⑴求常數(shù),ab，使得22aXbS按照2分布，并指出2分布的自由度；⑵證明：存在常數(shù)c，使得121()niiniicXXX按照t分布.

例例15

總體X~2(,)N，參數(shù)2,未知，6,6,7,8,8是來自總體X的簡樸隨機樣本，⑴求參數(shù)的置信度為95%的置信區(qū)間；⑵針對原假設(shè)0H：

2與備擇假設(shè)1H：

2，作顯著性水平為5%的假設(shè)檢驗.已知標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的2.5%與5%的上側(cè)分位數(shù)分別為1.96與1.65；自由度為4的t分布的2.5%與5%的上側(cè)分位數(shù)分別為2.78與2.132；自由度為4的2分布的95%與90%的上側(cè)分位數(shù)分別為0.711與1.064.解解

由樣本計算得7,1XS

⑴由22((1),(1))SSXtnXtnnn，其中0.0252(1)(4)2.78tnt，的置信度為0.95的置信區(qū)間是(5.76,8.24)

⑵檢驗0H：

2，備擇假設(shè)1H：

2（相當(dāng)于檢驗0H：

2，備擇假設(shè)1H：

2）

統(tǒng)計量222222(1)422nSSS，

拒絕域220.95(4)0.711.由樣本得，2210.711S，采納0H

附錄

近三年真題07解答題1.（07-1-3-4）設(shè)二維隨機變量(,)XY的概率密度為2,01,01,(,)0,.xyxyfxy其它⑴求2PXY；【724】

⑵求ZXY的概率密度()zfz.【222,01,()(2),12,0,.zzzzfzzzelse】

2.（07-1-3）設(shè)總體X的概率密度為1,0,21(,),1,2(1)0,xfxx其他，1,,nXX是來自總體X的簡樸隨機樣本.⑴求參數(shù)的矩估計量；【122X】

⑵判斷24X是否為2的無偏估計量，并說明理由.【不是，2241(4)4EXDXn】

3.（07-4）設(shè)隨機變量X與Y獨立同分布，且X的概率分布為213PX，123PX，max(,)UXY，min(,)VXY.⑴求(,)UV的聯(lián)合概率分布；⑵求U與V的協(xié)方差(,)CovUV.【⑴1214/9024/91/9UV；⑵4(,)81CovUV】

08解答題1.（08-1-3-4）設(shè)隨機變量X和Y相互