教輔同步階段質(zhì)量檢測圓與方程

階段質(zhì)量檢測（四）圓與方程(時間120分鐘滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．在空間直角坐標(biāo)系中，點P(3,4,5)關(guān)于yOz平面對稱的點的坐標(biāo)為()A．(－3,4,5) B．(－3，－4,5)C．(3，－4，－5) D．(－3,4，－5)解析：選A縱、豎坐標(biāo)相同．故點P(3,4,5)關(guān)于yOz平面對稱的點的坐標(biāo)為(－3,4,5)．2．已知圓O以點(2，－3)為圓心，半徑等于5，則點M(5，－7)與圓O的位置關(guān)系是()A．在圓內(nèi) B．在圓上C．在圓外 D．無法判斷解析：選B點M(5，－7)到圓心(2，－3)的距離d＝eq\r(5－22＋－7＋32)＝5，故點M在圓O上．3．直線x＋y－1＝0被圓(x＋1)2＋y2＝3截得的弦長等于()\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．4解析：選B由題意，得圓心為(－1,0)，半徑r＝eq\r(3)，弦心距d＝eq\f(|－1＋0－1|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，所以所求的弦長為2eq\r(r2－d2)＝2，選B.4．若點P(1,1)為圓x2＋y2－6x＝0的弦MN的中點，則弦MN所在直線的方程為()A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0解析：選D由題意，知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝9，圓心為A(3,0)．因為點P(1,1)為弦MN的中點，所以AP⊥MN.又AP的斜率k＝eq\f(1－0,1－3)＝－eq\f(1,2)，所以直線MN的斜率為2，所以弦MN所在直線的方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.5．若直線eq\r(3)x＋y＋2n＝0與圓x2＋y2＝n2相切，其中n∈N*，則n的值為()A．1 B．2C．4 D．1或2解析：選D由題意，得圓心(0,0)到直線eq\r(3)x＋y＋2n＝0的距離為eq\f(2n,\r(\r(3)2＋1))＝2n－1，所以n＝2n－1.由n＝2n－1，結(jié)合選項，得n＝1或2.6．圓C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0與圓C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的位置關(guān)系是()A．內(nèi)切 B．外切C．相交 D．外離解析：選A由題意，知圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－3)2＝36，圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝1，所以圓C1的圓心為C1(－1,3)，半徑為6，圓C2的圓心為C2(2，－1)，半徑為1.又|C1C2|＝eq\r(－1－22＋3＋12)＝5，所以|C1C2|＝6－1，故兩圓的位置關(guān)系是內(nèi)切．7．半徑長為6的圓與x軸相切，且與圓x2＋(y－3)2＝1內(nèi)切，則此圓的方程為()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6 B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36 D．(x±4)2＋(y－6)2＝36解析：選D∵半徑長為6的圓與x軸相切，設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，b)，則b＝6.再由eq\r(a2＋32)＝5，可以解得a＝±4，故所求圓的方程為(x±4)2＋(y－6)2＝36.8．經(jīng)過點M(2,1)作圓x2＋y2＝5的切線，則切線方程為()\r(2)x＋y－5＝0 \r(2)x＋y＋5＝0C．2x＋y－5＝0 D．2x＋y＋5＝0解析：選C∵M(jìn)(2,1)在圓上，∴切線與MO垂直．∵kMO＝eq\f(1,2)，∴切線斜率為－2.又過點M(2,1)，∴y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.9．把圓x2＋y2＋2x－4y－a2－2＝0的半徑減小一個單位則正好與直線3x－4y－4＝0相切，則實數(shù)a的值為()A．－3 B．3C．－3或3 D．以上都不對解析：選C圓的方程可變?yōu)?x＋1)2＋(y－2)2＝a2＋7，圓心為(－1,2)，半徑為eq\r(a2＋7)，由題意得eq\f(|－1×3－4×2－4|,\r(－32＋42))＝eq\r(a2＋7)－1，解得a＝±3.10.如圖，一座圓弧形拱橋，當(dāng)水面在如圖所示的位置時，拱頂離水面2米，水面寬12米，當(dāng)水面下降1米后，水面寬度為()A．14米 B．15米\r(51)米 D．2eq\r(51)米解析：選D如圖，以圓弧形拱橋的頂點為原點，以過圓弧形拱橋的頂點的水平切線為x軸，以過圓弧形拱橋的頂點的豎直直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)圓心為C，水面所在弦的端點為A，B，則由已知可得A(6，－2)，設(shè)圓的半徑長為r，則C(0，－r)，即圓的方程為x2＋(y＋r)2＝r2.將點A的坐標(biāo)代入上述方程可得r＝10，所以圓的方程為x2＋(y＋10)2＝100，當(dāng)水面下降1米后，水面弦的端點為A′，B′，可設(shè)A′(x0，－3)(x0>0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得x0＝eq\r(51)，∴水面寬度|A′B′|＝2eq\11．過點(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為()A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0解析：選A設(shè)點P(3,1)，圓心C(1,0)．已知切點分別為A，B，則P，A，C，B四點共圓，且PC為圓的直徑．故四邊形PACB的外接圓圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，半徑長為eq\f(1,2)eq\r(3－12＋1－02)＝eq\f(\r(5),2).故此圓的方程為(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝eq\f(5,4).①圓C的方程為(x－1)2＋y2＝1.②①－②得2x＋y－3＝0，此即為直線AB的方程．12．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2＋y2＝－2y＋3，直線l經(jīng)過點(1,0)且與直線x－y＋1＝0垂直，若直線l與圓C交于A，B兩點，則△OAB的面積為()A．1 \r(2)C．2 D．2eq\r(2)解析：選A由題意，得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋1)2＝4，圓心為(0，－1)，半徑r＝2.因為直線l經(jīng)過點(1,0)且與直線x－y＋1＝0垂直，所以直線l的斜率為－1，方程為y－0＝－(x－1)，即為x＋y－1＝0.又圓心(0，－1)到直線l的距離d＝eq\f(|0－1－1|,\r(2))＝eq\r(2)，所以弦長|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(4－2)＝2eq\r(2).又坐標(biāo)原點O到弦AB的距離為eq\f(|0＋0－1|,\r(2))＝eq\f(1,\r(2))，所以△OAB的面積為eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\f(1,\r(2))＝1.故選A.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中的橫線上)13．圓心在直線x＝2上的圓C與y軸交于兩點A(0，－4)，B(0，－2)，則圓C的方程為________________．解析：由題意知圓心坐標(biāo)為(2，－3)，半徑r＝eq\r(2－02＋－3＋22)＝eq\r(5)，∴圓C的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝5.答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝514．兩圓x2＋y2＋2x－4y＋3＝0與x2＋y2－4x＋2y＋3＝0上的點之間的最短距離是________．解析：由x2＋y2＋2x－4y＋3＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝2，由x2＋y2－4x＋2y＋3＝0得(x－2)2＋(y＋1)2＝2，兩圓圓心距為eq\r(－1－22＋2＋12)＝3eq\r(2)>2eq\r(2).故兩圓外離，則兩圓上的點之間的最短距離是3eq\r(2)－eq\r(2)－eq\r(2)＝eq\r(2).答案：eq\r(2)15．已知空間直角坐標(biāo)系中三點A，B，M，點A與點B關(guān)于點M對稱，且已知A點的坐標(biāo)為(3,2,1)，M點的坐標(biāo)為(4,3,1)，則B點的坐標(biāo)為______________．解析：設(shè)B點的坐標(biāo)為(x，y，z)，則有eq\f(x＋3,2)＝4，eq\f(y＋2,2)＝3，eq\f(z＋1,2)＝1，解得x＝5，y＝4，z＝1，故B點的坐標(biāo)為(5,4,1)．答案：(5,4,1)16．圓O：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的動點Q到直線l：3x＋4y＋8＝0的距離的最大值是________．解析：∵圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心(1,1)到直線l的距離為eq\f(|3×1＋4×1＋8|,\r(32＋42))＝3>1，∴動點Q到直線l的距離的最大值為3＋1＝4.答案：4三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長為4，側(cè)棱長為3，G是PD的中點，求|BG|.解：∵正四棱錐P-ABCD的底面邊長為4，側(cè)棱長為3，∴正四棱錐的高為1.以正四棱錐的底面中心為原點，平行于AB，BC所在的直線分別為y軸、x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則正四棱錐的頂點B，D，P的坐標(biāo)分別為B(2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0,1)．∴G點的坐標(biāo)為Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－1，\f(1,2)))∴|BG|＝eq\r(32＋32＋\f(1,4))＝eq\f(\r(73),2).18．(本小題滿分12分)已知圓C的圓心為(2,1)，若圓C與圓O：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直線過點(5，－2)，求圓C的方程．解：設(shè)圓C的半徑長為r，則圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2，圓C與圓O的方程相減得公共弦所在直線的方程為x＋2y－5＋r2＝0，因為該直線過點(5，－2)，所以r2＝4，則圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.19．(本小題滿分12分)已知從圓外一點P(4,6)作圓O：x2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B.(1)求以O(shè)P為直徑的圓的方程；(2)求直線AB的方程．解：(1)∵所求圓的圓心為線段OP的中點(2,3)，半徑為eq\f(1,2)|OP|＝eq\f(1,2)eq\r(4－02＋6－02)＝eq\r(13)，∴以O(shè)P為直徑的圓的方程為(x－2)2＋(y－3)2＝13.(2)∵PA，PB是圓O：x2＋y2＝1的兩條切線，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴A，B兩點都在以O(shè)P為直徑的圓上．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，,x－22＋y－32＝13，))得直線AB的方程為4x＋6y－1＝0.20．(本小題滿分12分)已知圓過點A(1，－2)，B(－1,4)．(1)求周長最小的圓的方程；(2)求圓心在直線2x－y－4＝0上的圓的方程．解：(1)當(dāng)線段AB為圓的直徑時，過點A，B的圓的半徑最小，從而周長最小，即以線段AB的中點(0,1)為圓心，r＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\r(10)為半徑．則所求圓的方程為x2＋(y－1)2＝10.(2)法一：直線AB的斜率k＝eq\f(4－－2,－1－1)＝－3，則線段AB的垂直平分線的方程是y－1＝eq\f(1,3)x，即x－3y＋3＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋3＝0，,2x－y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，))即圓心的坐標(biāo)是C(3,2)．∴r2＝|AC|2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.∴所求圓的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.法二：設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝R2.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2＋－2－b2＝R2，,－1－a2＋4－b2＝R2，,2a－b－4＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝2，,R2＝20.))∴所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝20.21．(本小題滿分12分)已知圓x2＋y2－4ax＋2ay＋20a(1)求證：對任意實數(shù)a，該圓恒過一定點；(2)若該圓與圓x2＋y2＝4相切，求a的值．解：(1)證明：圓的方程可整理為(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，此方程表示過圓x2＋y2－20＝0和直線－4x＋2y＋20＝0交點的圓系．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－20＝0，－4x＋2y＋20＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，y＝－2.))∴已知圓恒過定點(4，－2)．(2)圓的方程可化為(x－2a)2＋(y＋a)2＝5(a－2)2①當(dāng)兩圓外切時，d＝r1＋r2，即2＋eq\r(5a－22)＝eq\r(5a2)，解得a＝1＋eq\f(\r(5),5)或a＝1－eq\f(\r(5),5)(舍去)；②當(dāng)兩圓內(nèi)切時，d＝|r1－r2|，即|eq\r(5a－22)－2|＝eq\r(5a2)，解得a＝1－eq\f(\r(5),5)或a＝1＋eq\f(\r(5),5)(舍去)．綜上所述，a＝1±eq\f(\r(5),5).22．(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)為圓心的圓與直線x－eq\r(3)y－4＝0相切．(1)求圓O的方程．(2)直線l：y＝kx＋3與圓O交于A，B兩點，在圓O上是否存在一點M，使得四邊形OAMB為菱形？若存在，求出此時直線l的斜率；若不存在，說明理由．解：(1)設(shè)圓O的半徑長為r，因為直線x－eq\r(3)y－4＝0與圓O相切，所以r＝eq\f(|0－\r(3)×0－4|,\r(1＋3))＝2，所以圓O的方程