二次型及其應(yīng)用Word版

整理為word格式整理為word格式整理為word格式濱江學(xué)院畢業(yè)論文題目二次型及其應(yīng)用院系濱江學(xué)院理學(xué)系專業(yè)信息與計(jì)算科學(xué)學(xué)生姓名劉峰學(xué)號(hào)20102314014指導(dǎo)教師吳亞娟職稱副教授二Ｏ一四年五月十日整理為word格式整理為word格式整理為word格式目錄引言······························································11、二次型的相關(guān)定義和定理······································11.1二次型的定義·················································12、二次型在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用····································22.1不等式證明···················································22.2多項(xiàng)式的因式分解·············································42.3判斷二次曲線的形狀···········································63、二次型在幾何方面的應(yīng)用······································73.1求平面線圖形的面積·································整理為word格式整理為word格式整理為word格式···········84、多元函數(shù)極值方面的應(yīng)用······································94.1條件極值·····················································94.2無(wú)條件極值··················································105、求多元函數(shù)積分方面的應(yīng)用···································115.1二次型的正交變換·············································115.1重積分的計(jì)算·················································125.2求曲面積分···················································136、結(jié)束語(yǔ)························································14整理為word格式整理為word格式整理為word格式7、參考文獻(xiàn)······················································14整理為word格式整理為word格式整理為word格式二次型及其應(yīng)用劉峰南京信息工程隊(duì)大學(xué)濱江學(xué)院理學(xué)系專業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué)學(xué)號(hào)：20102314014摘要:二次型是高等代數(shù)學(xué)中的內(nèi)容之一，研究二次型是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的需求，目前二次型的研究理論物理力學(xué)、環(huán)境工程、科學(xué)技術(shù)中都有重要的作用，對(duì)二次型簡(jiǎn)單的研究必須先寫好二次型的矩陣，同時(shí)運(yùn)用矩陣的一些理論能更好的應(yīng)用于社會(huì)生活中的一般例子，隨著我們?nèi)祟惿a(chǎn)生活的不斷進(jìn)步，不斷現(xiàn)代化，二次型的運(yùn)用也是一項(xiàng)不可或缺的研究。關(guān)鍵字：極值；幾何；重積分；引言二次型是高等代數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，它的理論在自然科學(xué)，環(huán)境工程、工程技術(shù)之中廣泛的應(yīng)用，求出問(wèn)題的最大值與最小值，多項(xiàng)式的因式分解，判別二次曲線圖形的形狀和計(jì)算曲面圖形的面積等等內(nèi)容在代數(shù)學(xué)中占有重要的地位。目前在許多相關(guān)書籍和教材的資料中，對(duì)二次型和它的一些的應(yīng)用歸納的越來(lái)越詳細(xì)，還有在其他領(lǐng)域中的應(yīng)用也越來(lái)越廣泛，比如在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，在教學(xué)中的應(yīng)用也越來(lái)越多。本文主要探討常見(jiàn)的二次型最值問(wèn)題，不等式問(wèn)題，曲面積分問(wèn)題，重積分問(wèn)題,等等一些應(yīng)用。1、二次型的相關(guān)定義和定理1．1、二次型的概念和定義在《高等代數(shù)》中涉及的一些相關(guān)理論設(shè)是一個(gè)數(shù)域,,一個(gè)系數(shù)在數(shù)域中的的二次齊次多項(xiàng)式：，整理為word格式整理為word格式整理為word格式稱為數(shù)域上的一個(gè)元二次型,在不影響混淆時(shí)簡(jiǎn)稱二次型。在我們討論二次型時(shí)，一定會(huì)運(yùn)用到矩陣，因此要先將二次型用矩陣的線性替換來(lái)表示：,因?yàn)?，出現(xiàn)這種情況都是對(duì)稱矩陣，所以二次型與對(duì)稱矩陣是一一對(duì)應(yīng)的。則元二次型可以用矩陣的乘積表示出來(lái):所以，此中，那么對(duì)稱矩陣我們就簡(jiǎn)稱為二次型的矩陣。2、二次型在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用2.1不等式證明在數(shù)域上含有元的二次齊次多項(xiàng)式也稱為數(shù)域上的一個(gè)元二次型，簡(jiǎn)稱二次型。記：，它是對(duì)稱矩陣，則二次型可表示為，稱是二次型矩陣，二次型經(jīng)過(guò)可逆線性替換只含有平方項(xiàng)系數(shù)，即，標(biāo)準(zhǔn)型所對(duì)應(yīng)的矩陣是一個(gè)對(duì)角矩陣，如果標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù)整理為word格式整理為word格式整理為word格式全為正數(shù)，則二次型為正定二次型，這時(shí)任意不全為零的實(shí)數(shù)，都有。相關(guān)不等式證明如下：例1三角形三個(gè)內(nèi)角，對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有。解其中，于是的特征值由以上定義可知是半正定的，對(duì)于任意實(shí)數(shù)則。即得證。例2求證：解設(shè)二次型則矩陣為因此各順序主子式為整理為word格式整理為word格式整理為word格式所以，即得證。2.2多項(xiàng)式的因式分解定理一個(gè)實(shí)二次型可以分解成兩個(gè)實(shí)系數(shù)的一次齊次多項(xiàng)式乘積的充分必要條件是:它的秩為和符號(hào)差為,或秩等于。證明必要性設(shè)（1）若兩個(gè)一次多項(xiàng)式的系數(shù)成比例,即，不妨設(shè),令則,即二次型的秩為（2）若兩個(gè)一次多項(xiàng)式的系數(shù)不成比例,不妨設(shè),令則.再令則,故二次型的秩為,符號(hào)差為。充分性（1）若的秩為,則經(jīng)非退化線性替換使,其中整理為word格式整理為word格式整理為word格式。故。（2）若的秩為,符號(hào)差為,使,其中,均為的一次齊次多項(xiàng)式,即,,故可表示成兩個(gè)一次齊次多項(xiàng)式的乘積。例3二次型在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能否分解。解令求的秩和符號(hào)差對(duì)作非退化線性替換，的秩為，因此不能分解，從而也不能分解。例4因式分解解令對(duì)作非退化線性替換：所以，可見(jiàn)的秩為，符號(hào)差為整理為word格式整理為word格式整理為word格式。所以分解因式為。2.3判斷二次曲線的形狀平面上，中心坐標(biāo)原點(diǎn)的有心二次曲線方程的一般形式可寫成：，那么他就是一個(gè)實(shí)二元二次型：它作為二次曲線的方程，就是在三維歐氏空間的直角坐標(biāo)系中的函數(shù)的二次曲面與平面的交線在坐標(biāo)平面上的正投影。下面我們來(lái)討論如何利用二次型來(lái)判別二次曲線的形狀。例5判斷二次曲線的形狀。解，這是拋物形曲線.，所以是一條拋物線，化簡(jiǎn)后方程為?；蚣椿蛘頌閣ord格式整理為word格式整理為word格式因此這條拋物線的焦準(zhǔn)距例6判斷二次曲線的形狀。解,這是雙曲線.。此時(shí)因?yàn)?，解下面特征方程：得特征根。又，于是化?jiǎn)后的方程為：，即所以這條雙曲線的實(shí)半軸，虛半軸。3、二次型在幾何方面的應(yīng)用在代數(shù)學(xué)中我們認(rèn)識(shí)了幾何的產(chǎn)生和發(fā)展，解析幾何中將曲面公式化為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的問(wèn)題進(jìn)行研究，整理為word格式整理為word格式整理為word格式本節(jié)主要運(yùn)用二次型的標(biāo)準(zhǔn)型來(lái)計(jì)算曲線圖形的面積。3.1求平面圖形的面積例7求曲線圍成圖形的面積。解設(shè)則經(jīng)過(guò)非退化線性替換把化成二次型的標(biāo)準(zhǔn)型即它的兩個(gè)半軸分別為從而這個(gè)曲線的面積為。例8曲面把平面截取，求所截取部分的面積。解，令，將化為二次型的標(biāo)準(zhǔn)型為，整理為word格式整理為word格式整理為word格式經(jīng)過(guò)正交變化可以將曲線方程化為為圓柱面，而平面方程可以化為，所求曲面被截取部分的面積。4、多元函數(shù)在極值方面的應(yīng)用4.1條件極值定理4.1實(shí)元多項(xiàng)式，它的矩陣為，秩為，對(duì)其作非退化的線性替換，，則，當(dāng)為半正定時(shí)：若，有最小值。若，則在平方項(xiàng)中出現(xiàn)一次項(xiàng)系數(shù)，有最小值。若，則在平方項(xiàng)中出現(xiàn)的一次項(xiàng)系數(shù)至少有一個(gè)，則沒(méi)有最值。當(dāng)為半負(fù)定時(shí)：若，有最大值。若，則在平方項(xiàng)中出現(xiàn)一次項(xiàng)系數(shù)，有最大值。若，則在平方項(xiàng)中出現(xiàn)的一次項(xiàng)系數(shù)至少有一個(gè)，則沒(méi)有最值。當(dāng)不定時(shí):則不存在最值。例9是否有存在極值，并求出解二次型的對(duì)應(yīng)矩陣，有可逆矩陣，整理為word格式整理為word格式整理為word格式,它的主對(duì)角線上有一個(gè)零,所以,不是正定矩陣，但是矩陣中對(duì)角線上其他數(shù)據(jù)都是正的,那么矩陣是半正定矩陣,用作線性替換,那么原多項(xiàng)式的二次齊次項(xiàng)部分就變?yōu)?,一次項(xiàng)部分變?yōu)?，所含字?,均在平方中出現(xiàn),存在最小值.對(duì)變換后的多項(xiàng)式配方,得.故當(dāng),,時(shí),上式有極小值，將,,代入中,當(dāng),,,(為任意常數(shù))時(shí),那么上面的公式有極小值。4.2無(wú)條件極值例10看下面函數(shù)是否有極值，并求出其值解整理為word格式整理為word格式整理為word格式則5、求多元函數(shù)積分方面的應(yīng)用對(duì)于重積分來(lái)說(shuō)也是代數(shù)學(xué)二次型的一個(gè)基本內(nèi)容，它的用途在很多領(lǐng)域多涉及到，但是重積分的計(jì)算問(wèn)題仍有很多技術(shù)難題需要克服，運(yùn)用二次型的正交變化能更好的解決重積分計(jì)算問(wèn)題，文章本節(jié)將利用二次型的相關(guān)理論去解決某些重積分的一般計(jì)算問(wèn)題和求一般曲面積分。5.1、二次型的正交變換設(shè)其中，表示矩陣的轉(zhuǎn)置，，矩陣的行列式記為。若，則經(jīng)過(guò)平移后=，就是二次型的正交變換。整理為word格式整理為word格式整理為word格式5.2重積分的計(jì)算例11計(jì)算而平移變化是正交變化整理為word格式整理為word格式整理為word格式例12求5.2求曲面積分例13求，其中，解整理為word格式整理為word格式整理為word格式結(jié)束語(yǔ)伴隨著人類文明社會(huì)的改革創(chuàng)新，人類進(jìn)步的步伐越來(lái)越快，科學(xué)技術(shù)的發(fā)展已經(jīng)在我們?nèi)粘Ｉ钪械姆椒矫婷娑忌婕暗?數(shù)學(xué)中的二次型也廣泛應(yīng)用于其他社會(huì)科學(xué)比如自然科學(xué)，環(huán)境工程，經(jīng)濟(jì)學(xué)理論和經(jīng)營(yíng)管理等的許多領(lǐng)域，在這個(gè)開(kāi)放的社會(huì)，市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)已然成為我們現(xiàn)在的主體經(jīng)濟(jì)，人們社會(huì)生活的步驟也不斷加快，人們?cè)诙涡蛯?shí)際應(yīng)用中也取得了很大的進(jìn)步，使人們?cè)谏鐣?huì)生活中能獲得更多的利益，更加方便快捷。參考文獻(xiàn)（1）王萼方等編《高等代數(shù)》（第三版），高等教育出版社，2003。（2）蔣爾雄等編《線性代數(shù)》，人民教育出版社，1978。（3）孫學(xué)波《基于正定二次型的一個(gè)不等式及其證明》，鞍山科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2004。（4）呂林根等編《解析幾何》（第三版），高等教育出版社，1987。（5）菲赫金哥爾茨著《微積分教程》,高等教育出版社，2006。（6）魏權(quán)玲、劉起運(yùn)、胡顯佑等編《數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)》（第二版），中國(guó)人名大學(xué)出版社，2008。整理為word格式整理為word格式整理為word格式QuadraticformanditsapplicationsLiufengNanjingAbstract:Quadraticformisoneofthecontentofhigheralgebra,thesecondtypeisthedemandofthemodernscienceandtechnology,theresearchtheoryofquadraticformphysicalmechanics,environmentalengineering,scienceandtechnologyhasimportantroleinthestudyofquadraticsimplemustfirstwriteaquadraticmatrix,atthesametimeusingsometheoriesofthematrixcanbebe