2023年上海市重點名校高考數(shù)學二模試卷（含答案解析）

2023高考數(shù)學模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．本次模擬考試結束后，班級要排一張語文、數(shù)學、英語、物理、化學、生物六科試卷講評順序表，若化學排在生物前面，數(shù)學與物理不相鄰且都不排在最后，則不同的排表方法共有（）A．72種 B．144種 C．288種 D．360種2．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術數(shù)之源，其中河圖的排列結構是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如圖，白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù)，若從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù)，則其差的絕對值為5的概率為A． B． C． D．3．已知函數(shù)，則下列結論中正確的是①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的圖象是軸對稱圖形；③函數(shù)的極大值為；④函數(shù)的最小值為．A．①③ B．②④C．②③ D．②③④4．已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．5．在直三棱柱中，己知，，，則異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結果為11，則圖中的判斷條件可以為（）A． B． C． D．7．設，是非零向量，若對于任意的，都有成立，則A． B． C． D．8．由曲線圍成的封閉圖形的面積為（）A． B． C． D．9．在區(qū)間上隨機取一個實數(shù)，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．10．己知函數(shù)的圖象與直線恰有四個公共點，其中，則（）A． B．0 C．1 D．11．為了研究國民收入在國民之間的分配，避免貧富過分懸殊，美國統(tǒng)計學家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線，如圖所示.勞倫茨曲線為直線時，表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線時，表示收入完全不平等.記區(qū)域為不平等區(qū)域，表示其面積，為的面積，將稱為基尼系數(shù).對于下列說法：①越小，則國民分配越公平；②設勞倫茨曲線對應的函數(shù)為，則對，均有；③若某國家某年的勞倫茨曲線近似為，則；④若某國家某年的勞倫茨曲線近似為，則.其中正確的是：A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④12．三棱錐中，側(cè)棱底面，，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線：（，），直線：與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點.若（點為坐標原點）的面積為32，且雙曲線的焦距為，則雙曲線的離心率為________.14．我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載“今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價各幾何？”設人數(shù)、物價分別為、，滿足，則_____，_____．15．已知雙曲線的左右焦點為，過作軸的垂線與相交于兩點，與軸相交于.若，則雙曲線的離心率為_________.16．已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)恒有，則實數(shù)的取值范圍是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若，，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）時，若對一切恒成立，求a的取值范圍.18．（12分）已知奇函數(shù)的定義域為，且當時，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）記函數(shù)，若函數(shù)有3個零點，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程及直線的直角坐標方程；（2）求曲線上的點到直線的距離的最大值與最小值.20．（12分）在直角坐標平面中，已知的頂點，，為平面內(nèi)的動點，且.（1）求動點的軌跡的方程；（2）設過點且不垂直于軸的直線與交于，兩點，點關于軸的對稱點為，證明：直線過軸上的定點.21．（12分）已知橢圓：（），四點，，，中恰有三點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）設橢圓的左右頂點分別為.是橢圓上異于的動點，求的正切的最大值.22．（10分）如圖，在四棱柱中，底面為菱形，.（1）證明：平面平面；（2）若，是等邊三角形，求二面角的余弦值.

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【答案解析】

利用分步計數(shù)原理結合排列求解即可【題目詳解】第一步排語文，英語，化學，生物4種，且化學排在生物前面，有種排法；第二步將數(shù)學和物理插入前4科除最后位置外的4個空擋中的2個，有種排法，所以不同的排表方法共有種.選.【答案點睛】本題考查排列的應用，不相鄰采用插空法求解，準確分步是關鍵，是基礎題2．A【答案解析】

陽數(shù)：，陰數(shù)：，然后分析陰數(shù)和陽數(shù)差的絕對值為5的情況數(shù)，最后計算相應概率.【題目詳解】因為陽數(shù)：，陰數(shù)：，所以從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù)差的絕對值有：個，滿足差的絕對值為5的有：共個，則.故選：A.【答案點睛】本題考查實際背景下古典概型的計算，難度一般.古典概型的概率計算公式：.3．D【答案解析】

因為，所以①不正確；因為，所以，，所以，所以函數(shù)的圖象是軸對稱圖形，②正確；易知函數(shù)的最小正周期為，因為函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以只需研究函數(shù)在上的極大值與最小值即可．當時，，且，令，得，可知函數(shù)在處取得極大值為，③正確；因為，所以，所以函數(shù)的最小值為，④正確．故選D．4．B【答案解析】

求出導函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值，根據(jù)零點存在定理可確定參數(shù)范圍．【題目詳解】，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，∴在上只有一個極大值也是最大值，顯然時，，時，，因此要使函數(shù)有兩個零點，則，∴．故選：B．【答案點睛】本題考查函數(shù)的零點，考查用導數(shù)研究函數(shù)的最值，根據(jù)零點存在定理確定參數(shù)范圍．5．C【答案解析】

由條件可看出，則為異面直線與所成的角，可證得三角形中，，解得從而得出異面直線與所成的角．【題目詳解】連接，，如圖：又，則為異面直線與所成的角.因為且三棱柱為直三棱柱，∴∴面，∴，又，，∴，∴，解得.故選C【答案點睛】考查直三棱柱的定義，線面垂直的性質(zhì)，考查了異面直線所成角的概念及求法，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題．6．B【答案解析】

根據(jù)程序框圖知當時，循環(huán)終止，此時，即可得答案.【題目詳解】，.運行第一次，，不成立，運行第二次，，不成立，運行第三次，，不成立，運行第四次，，不成立，運行第五次，，成立，輸出i的值為11，結束.故選：B.【答案點睛】本題考查補充程序框圖判斷框的條件，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意模擬程序一步一步執(zhí)行的求解策略.7．D【答案解析】

畫出，，根據(jù)向量的加減法，分別畫出的幾種情況，由數(shù)形結合可得結果.【題目詳解】由題意，得向量是所有向量中模長最小的向量，如圖，當，即時，最小，滿足，對于任意的，所以本題答案為D.【答案點睛】本題主要考查了空間向量的加減法，以及點到直線的距離最短問題，解題的關鍵在于用有向線段正確表示向量，屬于基礎題.8．A【答案解析】

先計算出兩個圖像的交點分別為，再利用定積分算兩個圖形圍成的面積.【題目詳解】封閉圖形的面積為.選A.【答案點睛】本題考察定積分的應用，屬于基礎題.解題時注意積分區(qū)間和被積函數(shù)的選取.9．D【答案解析】

利用直線與圓相交求出實數(shù)的取值范圍，然后利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【題目詳解】由于直線與圓相交，則，解得.因此，所求概率為.故選：D.【答案點睛】本題考查幾何概型概率的計算，同時也考查了利用直線與圓相交求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎題.10．A【答案解析】

先將函數(shù)解析式化簡為，結合題意可求得切點及其范圍，根據(jù)導數(shù)幾何意義，即可求得的值.【題目詳解】函數(shù)即直線與函數(shù)圖象恰有四個公共點，結合圖象知直線與函數(shù)相切于，，因為，故，所以.故選：A.【答案點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應用，由交點及導數(shù)的幾何意義求函數(shù)值，屬于難題.11．A【答案解析】

對于①，根據(jù)基尼系數(shù)公式，可得基尼系數(shù)越小，不平等區(qū)域的面積越小，國民分配越公平，所以①正確.對于②，根據(jù)勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線，由圖得，均有，可得，所以②錯誤.對于③，因為，所以，所以③錯誤.對于④，因為，所以，所以④正確.故選A．12．B【答案解析】由題，側(cè)棱底面，，，，則根據(jù)余弦定理可得，的外接圓圓心三棱錐的外接球的球心到面的距離則外接球的半徑，則該三棱錐的外接球的表面積為點睛：本題考查的知識點是球內(nèi)接多面體，熟練掌握球的半徑公式是解答的關鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．或【答案解析】

用表示出的面積，求得等量關系，聯(lián)立焦距的大小，以及，即可容易求得，則離心率得解.【題目詳解】聯(lián)立解得.所以的面積，所以.而由雙曲線的焦距為知，，所以.聯(lián)立解得或故雙曲線的離心率為或.故答案為：或.【答案點睛】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查運算求解能力以及函數(shù)與方程思想，屬中檔題.14．【答案解析】

利用已知條件，通過求解方程組即可得到結果．【題目詳解】設人數(shù)、物價分別為、，滿足，解得，.故答案為：；.【答案點睛】本題考查函數(shù)與方程的應用，方程組的求解，考查計算能力，屬于基礎題．15．【答案解析】

由已知可得，結合雙曲線的定義可知，結合，從而可求出離心率.【題目詳解】解：,，又，則.，，，即解得，即.故答案為:.【答案點睛】本題考查了雙曲線的定義，考查了雙曲線的性質(zhì).本題的關鍵是根據(jù)幾何關系，分析出.關于圓錐曲線的問題，一般如果能結合幾何性質(zhì)，可大大減少計算量.16．【答案解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象可將原題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，湊而可知的圖象在過原點且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間；利用過一點的曲線切線的求法可求得兩切線斜率，結合分母不為零的條件可最終確定的取值范圍.【題目詳解】由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象可知：，恒成立可轉(zhuǎn)化為恒成立，即恒成立，，即是夾在函數(shù)與的圖象之間，的圖象在過原點且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間.設過原點且與相切的直線與函數(shù)相切于點，則切線斜率，解得：；設過原點且與相切的直線與函數(shù)相切于點，則切線斜率，解得：；當時，，又，滿足題意；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.【答案點睛】本題考查恒成立問題的求解，重點考查了導數(shù)幾何意義應用中的過一點的曲線切線的求解方法；關鍵是能夠結合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象將問題轉(zhuǎn)化為切線斜率的求解問題；易錯點是忽略分母不為零的限制，忽略對于臨界值能否取得的討論.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）【答案解析】

（1）求導，根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關系即可求出.（2）解法一：分類討論：當時，觀察式子可得恒成立；當時，利用導數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增，可知；當時，令，由，，根據(jù)零點存在性定理可得，進而可得在上，單調(diào)遞減，即不滿足題意；解法二：通過分離參數(shù)可知條件等價于恒成立，進而記，問題轉(zhuǎn)化為求在上的最小值問題，通過二次求導，結合洛比達法則計算可得結論.【題目詳解】（1）當，，，，令，解得，當時，，當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）解法一：當時，函數(shù)，若時，此時對任意都有，所以恒成立；若時，對任意都有，，所以，所以在上為增函數(shù)，所以，即時滿足題意；若時，令，則，所以在上單調(diào)遞增，，，可知，一定存在使得，且當時，，所以在上，單調(diào)遞減，從而有時，，不滿足題意；綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為.解法二：當時，函數(shù)，又當時，，對一切恒成立等價于恒成立，記，其中，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，恒成立，從而在上單調(diào)遞增，，由洛比達法則可知，，，解得.實數(shù)a的取值范圍為.【答案點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與不等式恒成立問題，考查了分類與整合的解題思想，涉及分離參數(shù)法等技巧、涉及到洛比達法則等知識，注意解題方法的積累，屬于難題.18．（1）；（2）【答案解析】

（1）根據(jù)奇函數(shù)定義，可知；令則，結合奇函數(shù)定義即可求得時的解析式，進而得函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)零點定義，可得，由函數(shù)圖像分析可知曲線與直線在第三象限必1個交點，因而需在第一象限有2個交點，將與聯(lián)立，由判別式及兩根之和大于0，即可求得的取值范圍.【題目詳解】（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，且，故；當時，，，則；故.（2）令，解得，畫出函數(shù)關系如下圖所示，要使曲線與直線有3個交點，則2個交點在第一象限，1個交點在第三象限，聯(lián)立，化簡可得，令，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.【答案點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式，分段函數(shù)圖像畫法，由函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍應用，數(shù)形結合的應用，屬于中檔題.19．（1），（2）最大值，最小值【答案解析】

（1）由曲線的參數(shù)方程，得兩式平方相加求解，根據(jù)直線的極坐標方程，展開有，再根據(jù)求解.（2）因為曲線C是一個半圓，利用數(shù)形結合，圓心到直線的距離減半徑即為最小值，最大值點由圖可知.【題目詳解】（1）因為曲線的參數(shù)方程為所以兩式平方相加得：因為直線的極坐標方程為.所以所以即（2）如圖所示：圓心C到直線的距離為：所以圓上的點到直線的最小值為：則點M(2，0)到直線的距離為最大值：【答案點睛】本題主要考查參數(shù)方程，普通方程及極坐標方程的轉(zhuǎn)化和直線與圓的位置關系，還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.20．（1）（）；（2）證明見解析.【答案解析】

（1）設點，分別用表示、表示和余弦定理表示，將表示為、的方程，再化簡即可；（2）設直線方程代入的軌跡方程，得，設點，，，表示出直線，取，得，即可證明直線過軸上的定點.【題目詳解】（1）設，由已知，∴，∴（），化簡得點的軌跡的方程為：（）；（2）由（1）知，過點的直線的斜率為0時與無交點，不合題意故可設直線的方程為：（），代入的方程得：.設，，則，，.∴直線：.令，得.直線過軸上的定點.【答案點睛】本題主要考查軌跡方程的求法、余弦定理的應用和利用直線和圓錐曲線的位置關系求定點問題，考查學生的計算