高三一輪數(shù)學（理）總復習-7.1　空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其3視圖和直觀圖【系列四】

2017年高考“最后三十天”專題透析2017年高考“最后三十天”專題透析好教育云平臺——教育因你我而變好教育云平臺——教育因你我而變第7章立體幾何7．1空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖[知識梳理]1．多面體的結(jié)構(gòu)特征2．旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征3．直觀圖(1)畫法：常用斜二測畫法．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸與y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸(或y′軸)垂直．②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段的長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?．三視圖(1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線．(2)三視圖的畫法①基本要求：長對正，高平齊，寬相等．②畫法規(guī)則：正側(cè)一樣高，正俯一樣長，側(cè)俯一樣寬；看不到的線畫虛線．[診斷自測]1．概念思辨(1)棱錐的側(cè)棱都相等．()(2)圓錐的頂點與底面圓周上的任一點的直線都是母線．()(3)用斜二測畫法畫水平放置的∠A時，若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中，∠A＝45°.()(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同．()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．教材衍化(1)(必修A2P15T4)如圖所示為一個簡單幾何體的三視圖，則其對應的幾何體是()答案A解析對于A，該幾何體的三視圖恰好與已知圖形相符，故A符合題意；對于B，該幾何體的正視圖的矩形中，對角線應該是虛線，故不符合題意；對于C，該幾何體的正視圖的矩形中，對角線應該是從左上到右下的方向，故不符合題意；對于D，該幾何體的側(cè)視圖的矩形中，對角線應該是虛線，而且應該是從左下到右上，不符合題意．故選A.(2)(必修A2P28T3)如圖1所示，是一個棱長為2的正方體被削去一個角后所得到的幾何體的直觀圖，其中DD1＝1，AB＝BC＝AA1＝2，若此幾何體的俯視圖如圖2所示，則可以作為其正視圖的是()答案C解析由直觀圖和俯視圖知，正視圖中點D1的射影是B1，側(cè)棱BB1是看不見的，在正視圖中用虛線表示，所以正視圖是選項C中的圖形．故選C.3.小題熱身(1)(2017·長沙模擬)如圖是一個正方體，A，B，C為三個頂點，D是棱的中點，則三棱錐A－BCD的正視圖，俯視圖是(注：選項中的上圖是正視圖，下圖是俯視圖)()答案A解析正視圖是等腰直角三角形，且AD屬于看不見的線段，用虛線表示，俯視圖也是等腰直角三角形，且BD屬于看不見的線段，用虛線表示．故選A.(2)(2017·北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為()A．3eq\r(2) B．2eq\r(3)C．2eq\r(2) D．2答案B解析在正方體中還原該四棱錐，如圖所示，可知SD為該四棱錐的最長棱．由三視圖可知正方體的棱長為2，故SD＝eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3).故選B.題型1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))下列結(jié)論正確的個數(shù)是________．(1)有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱；(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；(3)有兩個平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；(4)直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；(5)若在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線．舉反例法．答案0個解析(1)(2)(3)(4)的反例見下面四個圖．(5)平行于軸的連線才是母線．方法技巧空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題的解題策略1．關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種空間幾何體的概念，要善于通過舉反例對概念進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只需舉一個反例即可．2．圓柱、圓錐、圓臺的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系．3．既然棱(圓)臺是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺問題時，要注意應用“還臺為錐”的解題策略．沖關(guān)針對訓練下列結(jié)論正確的是________．①各個面都是三角形的幾何體是三棱錐．②若有兩個側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱．③四棱錐的四個側(cè)面都可以是直角三角形．④一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺．答案③解析①錯誤，如圖1；②錯誤，若兩個垂直于底面的側(cè)面平行，則可為斜棱柱；③正確，如圖2，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，那么四棱錐P－ABCD四個側(cè)面都是直角三角形；④錯誤，當截面與底面不平行時，不正確．題型2空間幾何體的直觀圖eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2018·桂林模擬)已知正三角形ABC的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()A.eq\f(\r(3),4)a2 B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2 D.eq\f(\r(6),16)a2根據(jù)平面圖形的原圖形與直觀圖的關(guān)系求解．答案D解析如圖(1)所示的是△ABC的實際圖形，圖(2)是△ABC的直觀圖．由圖(2)可知A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在圖(2)中作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.∴S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.故選D.[條件探究]若將典例條件變?yōu)椤啊鰽BC的直觀圖△A1B1C1是邊長為a的正三角形”，則△ABC解在△A1D1C1中，由正弦定理eq\f(a,sin45°)＝eq\f(x,sin120°)，得x＝eq\f(\r(6),2)a，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×a×eq\r(6)a＝eq\f(\r(6),2)a2.方法技巧用斜二測畫法畫直觀圖的技巧1．在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中仍然與x′軸或y′軸平行．2．原圖中不與坐標軸平行的直線段可以先畫出線段的端點再連線．3．原圖中的曲線段可以通過取一些關(guān)鍵點，作出在直觀圖中的相應點，然后用平滑曲線連接．沖關(guān)針對訓練用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y軸，BC，AD平行于x軸．已知四邊形ABCD的面積為2eq\r(2)cm2，則原平面圖形的面積為A．4cm2 B．4eq\r(2)cm2C．8cm2 D．8eq\r(2)cm2答案C解析依題意可知∠BAD＝45°，則原平面圖形為直角梯形，上下底面的長與BC，AD相等，高為梯形ABCD的高的2eq\r(2)倍，所以原平面圖形的面積為8cm2.故選C.題型3空間幾何體的三視圖角度1已知幾何體識別三視圖eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2018·湖南長沙三校一模)已知點E，F(xiàn)，G分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1，DD1的中點，點M，N，Q，P分別在線段DF，AG，BE，C1B1上．以M，N，Q，P為頂點的三棱錐P－MNQ的俯視圖不可能是()答案C解析當M與F重合、N與G重合、Q與E重合、P與B1重合時，三棱錐P－MNQ的俯視圖為A；當M，N，Q，P是所在線段的中點時，三棱錐P－MNQ的俯視圖為B；當M，N，Q，P位于所在線段的非端點位置時，存在三棱錐P－MNQ，使其俯視圖為D.不管M，N，P，Q在什么位置，三棱錐P－MNQ的俯視圖都不可能是正三角形．故選C.角度2已知三視圖還原幾何體eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2018·河北名師俱樂部模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，記A為此幾何體所有棱的長度構(gòu)成的集合，則()A．3∈A B．5∈AC．2eq\r(6)∈A D．4eq\r(3)∈A答案D解析由三視圖可得，該幾何體的直觀圖如圖所示，其中底面是邊長為4的正方形，AF⊥平面ABCD，AF∥DE，AF＝2，DE＝4，可求得BE的長為4eq\r(3)，BF的長為2eq\r(5)，EF的長為2eq\r(5)，EC的長為4eq\r(2).故選D.方法技巧1．已知幾何體，識別三視圖的技巧已知幾何體畫三視圖時，可先找出各個頂點在投影面上的投影，然后再確定線在投影面上的實虛．2．已知三視圖，判斷幾何體的技巧(1)一般情況下，根據(jù)正視圖、側(cè)視圖確定是柱體、錐體還是組合體．(2)根據(jù)俯視圖確定是否為旋轉(zhuǎn)體，確定柱體、錐體類型、確定幾何體擺放位置．(3)綜合三個視圖特別是在俯視圖的基礎(chǔ)上想象判斷幾何體．提醒：對于簡單組合體的三視圖，應注意它們的交線的位置，區(qū)分好實線和虛線的不同．沖關(guān)針對訓練(2017·文登市三模)空間幾何體的三視圖如圖所示，則此空間幾何體的直觀圖為()答案A解析由已知三視圖的上部分是錐體，是三棱錐，三棱錐的底面是等腰三角形，但不是直角三角形，排除B，C.等腰三角形的一個頂點在正方體一條棱的中點，故排除D.故選A.1．(2017·全國卷Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為()A．10 B．12C．14 D．16答案B解析觀察三視圖可知該多面體是由直三棱柱和三棱錐組合而成的，且直三棱柱的底面是直角邊長為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長為2.三棱錐的底面是直角邊長為2的等腰直角三角形，高為2，如圖所示．因此該多面體各個面中共有2個梯形，且這兩個梯形全等，梯形的上底長為2，下底長為4，高為2，故這些梯形的面積之和為2×eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝12.故選B.2．(2016·全國卷Ⅰ)如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是eq\f(28π,3)，則它的表面積是()A．17π B．18πC．20π D．28π答案A解析由三視圖可知，該幾何體是一個球被截去eq\f(1,8)后剩下的部分，設球的半徑為R，則該幾何體的體積為eq\f(7,8)×eq\f(4,3)πR3，即eq\f(28,3)π＝eq\f(7,8)×eq\f(4,3)πR3，解得R＝2.故其表面積為eq\f(7,8)×4π×22＋3×eq\f(1,4)×π×22＝17π.選A.3．(2014·湖北高考)在如圖所示的空間直角坐標系Oxyz中，一個四面體的頂點坐標分別是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．給出編號為①、②、③、④的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為()A．①和② B．③和①C．④和③ D．④和②答案D解析設A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2,2,2)．∵B，C，D在平面yOz上的投影的坐標分別為(0,2,0)，(0,2,1)，(0,2,2)，點A(0,0,2)在平面yOz上，又點C的橫坐標小于點B和D的橫坐標，∴該幾何體的正視圖為題圖④.∵點A，C，D在平面xOy上的投影的坐標分別為(0,0,0)，(1,2,0)，(2,2,0)，點B(2,2,0)在平面xOy上，∴該幾何體的俯視圖為題圖②.故選D.4．(2018·濟寧模擬)點M，N分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中點，用過A，M，N和D，N，C1的兩個截面截去正方體的兩個角后得到的幾何體如圖1，則該幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖依次為圖2中的(A．①②③ B．②③④C．①③④ D．②④③答案B解析由正視圖的定義可知：點A，B，B1在后面的投影點分別是點D，C，C1，線段AN在后面的投影面上的投影是以D為端點且與線段CC1平行且相等的線段，另外線段AM在后面的投影線要畫成實線，被遮擋的線段DC1要畫成虛線，正視圖為②；同理可得側(cè)視圖為③，俯視圖為④.故選B.

[基礎(chǔ)送分提速狂刷練]一、選擇題1．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是()答案D解析由俯視圖是圓環(huán)可排除A，B，C，進一步將已知三視圖還原為幾何體，故選D.2．如圖所示，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，M，E是AB的三等分點，G，N是CD的三等分點，F(xiàn)，H分別是BC，MN的中點，則四棱錐A′－EFGH的側(cè)視圖為()答案C解析在側(cè)視圖中A′E，A′G重合，A′H成為A′N，A′F，A′B重合，側(cè)視圖為向左傾斜的三角形．故選C.3．(2017·臨沂模擬)如圖甲，將一個正三棱柱ABC－DEF截去一個三棱錐A－BCD，得到幾何體BCDEF，如圖乙，則該幾何體的正視圖(主視圖)是()答案C解析由于三棱柱為正三棱柱，故平面ADEB⊥平面DEF，△DEF是等邊三角形，所以CD在后側(cè)面上的投影為AB的中點與D的連線，CD的投影與底面不垂直．故選C.4．(2018·江西景德鎮(zhèn)質(zhì)檢)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1上、下底面中心分別為O1，O2，將正方體繞直線O1O2旋轉(zhuǎn)一周，其中由線段BC1旋轉(zhuǎn)所得圖形是(答案D解析由圖形的形成過程可知，在圖形的面上能夠找到直線，在B，D中選，顯然B不對，因為BC1中點繞O1O2旋轉(zhuǎn)得到的圓比B點和C1點的?。蔬xD.5．(2017·內(nèi)江模擬)如圖，已知三棱錐P－ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB＝eq\f(π,2)，側(cè)面PAB⊥底面ABC，AB＝PA＝PB＝2.則這個三棱錐的三視圖中標注的尺寸x，y，z分別是()A.eq\r(3)，1，eq\r(2) B.eq\r(3)，1,1C．2,1，eq\r(2) D．2,1,1答案B解析∵三棱錐P－ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB＝eq\f(π,2)，側(cè)面PAB⊥底面ABC，AB＝PA＝PB＝2；∴x是等邊△PAB邊AB上的高，x＝2sin60°＝eq\r(3)，y是邊AB的一半，y＝eq\f(1,2)AB＝1，z是等腰直角△ABC斜邊AB上的中線，z＝eq\f(1,2)AB＝1；∴x，y，z分別是eq\r(3)，1,1.故選B.6．(2017·南昌二模)一個四面體的頂點在空間直角坐標系Oxyz中的坐標分別是(0,0,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，繪制該四面體三視圖時，按照如圖所示的方向畫正視圖，則得到側(cè)(左)視圖可以為()答案B解析滿足條件的四面體如下圖，依題意投影到y(tǒng)Oz平面為正投影，所以側(cè)(左)視方向如圖所示，所以得到側(cè)(左)視圖效果如上圖．故選B.7．(2018·湖南郴州模擬)一只螞蟻從正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A出發(fā)，經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到頂點C1的位置，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻最短爬行路線的正視圖的是(A．①② B．①③C．③④ D．②④答案D解析由點A經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到達頂點C1的位置，共有6種路線(對應6種不同的展開方式)，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一個平面內(nèi)，連接AC1，則AC1是最短路線，且AC1會經(jīng)過BB1的中點，此時對應的正視圖為②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一個平面內(nèi)，連接AC1，則AC1是最短路線，且AC1會經(jīng)過CD的中點，此時對應的正視圖為④.8．(2018·江西贛州模擬)某幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖1，它的俯視圖的直觀圖是矩形O1A1B1C1，如圖2，其中O1A1＝6，O1C1＝2A．48 B．64C．96 D．128答案C解析由題圖2及斜二測畫法可知原俯視圖為如圖所示的平行四邊形OABC，設CB與y軸的交點為D，則易知CD＝2，OD＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)，∴CO＝eq\r(CD2＋OD2)＝6＝OA，∴俯視圖是以6為邊長的菱形，由三視圖知幾何體為一個直四棱柱，其高為4，所以該幾何體的側(cè)面積為4×6×4＝96.故選C.9．早在公元前三百多年我國已經(jīng)運用“以度審容”的科學方法，其中商鞅銅方升是公元前344年商鞅督造的一種標準量器，其三視圖如圖所示(單位：寸)，若π取3，其體積為12.6(立方寸)，則圖中的x為()A．1.2 B．1.6C．1.8 D．2.4答案B解析由三視圖知，商鞅銅方升是由一個圓柱和一個長方體組合而成的，利用體積及已知線段長度即可求出x.故其體積為(5.4－x)×3×1＋π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×x＝16.2－3x＋eq\f(1,4)πx＝12.6，又π＝3，故x＝1.6.故選B.10．(2018·遼寧六校聯(lián)考)如圖所示是某一容器的三視圖，現(xiàn)向容器中勻速注水，容器中水面的高度h隨時間t變化的可能圖象是()答案B解析根據(jù)所給的三視圖可知原幾何體是倒放的圓錐，設圓錐的底面半徑為R，高為H，水流的速度是v，則由題意得vt＝eq\f(1,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,H)))2R2h.當vt>0時，解得h＝eq\r(3,\f(3vH2t,πR2))，這是一個冪型函數(shù)，所以容器中水面的高度h隨時間t變化的圖象類似于冪函數(shù)y＝eq\r(3,x)的圖象，故選B.二、填空題11．如圖所示，正方形O′A′B′C′的邊長為1cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是________cm.答案8解析根據(jù)直觀圖的畫法可知，在原幾何圖形中，OABC為平行四邊形，且有OB⊥OA，OB＝2eq\r(2)，OA＝1，所以AB＝3.從而原圖的周長為8cm.12．如圖，點O為正方體ABCD－A′B′C′D′的中心，點E為平面B′BCC′的中心，點F為B′C′的中點，則空間四邊形D′OEF在該正方體的各個面上的投影可能是(填出所有可能的序號)．答案①②③解析空間四邊形D′OEF在正方體的平面DCC′D′上的投影是①；在平面BCC′B′上的投影是②；在平面ABCD上的投影是③，而不可能出現(xiàn)的投影為④的情況．13．一四面體的三視圖如圖所示，則該四面體四個面中最大的面積是________．答案2eq\r(3)解析由三視圖可知該四面體為D－BD1C1，由直觀圖可知面積最大的面為△BDC1.在正三角形BDC1中，BD＝2eq\r(2)，所以面積S＝eq\f(1,2)×(2eq\r(2))2×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3).14．(2018·大連模擬)某四面體的三視圖如圖所示．該四面體的六條棱的長度中，最大的是________．答案2eq\r(7)解析由三視圖可知該四面體為V－ABC，如圖所示．其中AE⊥BE，VC⊥平面ABE.EC＝CB＝2，AE＝2eq\r(3)，VC＝