小學(xué)六年級奧數(shù)第十八章圓的周長和面積

11第十八章圓的周長和面積知識要點(diǎn)如右圖所示，當(dāng)一條線段OA繞著固定端點(diǎn)0在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，它的另一端點(diǎn)A在平面內(nèi)畫出了一條封閉的曲線，這條封閉的曲線叫做圓。圍成圓的曲線叫做圓周，線段0A叫在同一個圓中，所有的半徑都相等。通過圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。在同一個圓內(nèi)，所有直徑都相等，且等于半徑的2倍。圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小。無論什么圓，它的周長除以直徑的商是一個固定的數(shù)，這個數(shù)叫圓周率，用兀表示。C如果用C表示圓周的長度，d表示這個圓的直徑，那么，兀=d兀是一個無限不循環(huán)小數(shù)：兀=3.14159265358979323846…圓的周長：C=2兀r或C=兀ddCC2圓的面積：S=兀r2=兀（丁）2=兀（）2=22兀4兀扇形是由圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形。如果扇形的圓心角是n,那么當(dāng)圓周長C=2兀r時，扇形的弧長計(jì)算方法：X2兀rn180nX2兀rn180L=360例1（第五屆“希望杯”邀請賽試題）如圖，ABCD是邊長為10厘米的正方形，且AB是半圓的直徑，則陰影部分的面積是平方厘米。的直徑，則陰影部分的面積是平方厘米。（兀取3.14）點(diǎn)撥過E點(diǎn)作AB的垂線，垂足為0,因?yàn)閆CAB=45°，所以點(diǎn)0是半圓的圓心，貝V陰影1部分的面積等于梯形0ECB的面積，減去圓0面積的4。解過E點(diǎn)作AB的垂線，垂足為0。VZCAB=45°，A點(diǎn)0是半圓的圓心。陰影=S梯形0ECB陰影=S梯形0ECB?0=(5+10)X522—X52=17.875（平方厘米）例2將半徑分別是4厘米和3厘米的兩個半圓，如圖放置。求陰影部分的周長。點(diǎn)撥陰影部分的周長為小半圓的弧長加上大半圓的弧長，再加兩條線段的長。兩個半圓的半徑分別為4厘米和3厘米；兩條線段分別是4厘米和3X2—4=2（厘米）。解（1）兩個半圓的弧長是：2X3.14X422+2X3.14X322=12.56+9.42=21.98（厘米）（2）兩條線段的長：4+（3X2—4）=6（厘米）（3）陰影部分的周長為：21.98+6=27.98（厘米）答：陰影部分的周長是29.98厘米。例3直徑均為1分米的四根管子被一根金屬帶緊緊地捆在一起，如下圖。試求金屬帶的長度和陰影部分的面積。點(diǎn)撥要想求金屬帶的長度，我們必須把它分成8個部分來觀察，金屬帶的長度正好是管子直徑的4倍和一根管子圓周長度的總和。中心陰影部分的面積等于中間正方形的面積減去一解金屬帶的長度：1X4+3.14X1=7.14（分米）1陰影面積：1X1—3.14X（2）2=1—0.785=0.215（平方分米）答：金屬帶的長度為7.14分米，陰影部分的面積為0.215平方分米。說明我們在計(jì)算比較復(fù)雜的周長和面積時，要善于把這個圓形分解再重新組合，這樣才會看得清楚明白。2例4如圖，圓的周長是12.56厘米，圓的面積是長方形面積的5，求陰影部分的周長。點(diǎn)撥陰影部分的周長是半圓的弧長，加上兩條長方形的長和一條寬。已知圓的周長，容易求出半徑，再求出圓的面積。求出圓的面積，就可以求出長方形的面積，長方形的寬就是圓的直徑，從而可以求出長方形的長，這樣就可以求出陰影部分的周長了。解半圓的弧長：12.5622=6.28（厘米）長方形的面積：23.14X（12.56三3.14三2）2252=3.14X425=31.4（平方厘米）長方形的長：31.42（12.5623.14）=7.85（厘米）陰影部分的周長：6.28＋7.85X2＋12.5623.14=6.28＋15.7＋4=25.98（厘米）答：陰影部分的周長為25.96厘米。例5如右圖，半圓的半徑為15厘米，ZA0B=90°,ZC0D=120°,CD=26厘米，半圓中陰影部分的面積是多少平方厘米？點(diǎn)撥本題是一道比較復(fù)雜的問題，需要引輔助線和求扇形面積等方面的知識。解三角形COD的面積：過點(diǎn)0作CD的垂線交互AB于F,交CD于E,連接DF,因?yàn)閆FOD=60°，則△DFO是正三角形。DFO的對稱軸，所以FE=EO=7.5（厘米）。則三角形COD的面積為：126X7.5X2=97.5（平方厘米）圓心角為120°的扇形的面積：x152225x3.14X120==75X3.14=235.5（平方厘米）3603由弦CD和弧CD圍成的弓形面積：235.5－97.5=138（平方厘米）圓心角為90°的扇形面積：x152X90=176.625（平方厘米）360三角形A0B的面積：115X15X-=112.5（平方厘米）由弦AB和弧AB圍成的弓形的面積：176.625－112.5=64.125（平方厘米）陰影部分的面積：138－64.125=73.875（平方厘米）答：陰影部分的面積是73.875平方厘米。例6如圖，在半徑AB為20厘米，圓心角為45。的扇形中，以半徑AB的中點(diǎn)0為圓心，以0A為半徑畫一個半圓，交BC于D。求陰影部分的面積。點(diǎn)撥圖中陰影部分看似兩個毫不相干的圖形，但如果我們連接AD就會發(fā)現(xiàn)：弓形BD和弓形AD的面積相等，如果用圓心角45。的扇形面積減去中間等腰直角三角形的面積，就可以求出兩個陰影部分的面積的和。解圓心角45°的扇形的面積：x202X45=157（平方厘米）360等腰直角三角形ADB的面積：20X（20三2）22=100（平方厘米）陰影部分的面積：157－100=57（平方厘米）答：陰影部分的面積是57平方厘米。說明在求兩塊或兩塊以上陰影部分的面積時，有時也把這幾塊合在一起求。例7如右圖所示，大圓的直徑是4厘米，黑色面積大還是陰影面積大？是黑色部分周長大

還是陰影部分的周長大？并求出各自的面積。點(diǎn)撥大圓面積=兀還是陰影部分的周長大？并求出各自的面積。點(diǎn)撥大圓面積=兀x（2）2=4兀（平方厘米），4個小圓面積=兀x（4）2X4=4兀（平方厘米），由此我們可以看出，黑色部分面積之和正好等于四個小圓互相重疊的部分面積之和，所以這兩部分的面積應(yīng)相等。1黑色部分的周長應(yīng)該等于大圓周長再加上8個-的小圓周長，而陰影部分的周長恰好1等于8個-小圓的周長，所以黑色部分的周長大于陰影部分的周長。4解S大圓=兀X（懇）2=4兀（平方厘米）大圓2-S小圓=兀x（4）2=兀（平方厘米）1S=8X（丁兀一1X122）=2兀一4（平方厘米）=2.28（平方厘米）陰-$黑=$大圓一（4S小圓—S陰）=4兀一（4兀一2?28）=2?28（平方厘米）九=4C大圓=C大圓=兀C小圓"X4=4兀X2=2兀15=4兀+8X4X2兀=8兀1C陰=8X-X2兀C>c解題技巧計(jì)算周長時，首先要分清圍成這一圖形的邊有哪些，再正確計(jì)算。計(jì)算組合圖形的面積，有很多圖形都是不規(guī)則的，很難直接用公式計(jì)算出它們的面積，必須將組合圖形進(jìn)行分解，看清組合圖形是由哪幾個基本圖形合并起來的，或是從哪一個基本圖形里去掉哪一個或幾個基本圖形得到的。有時需要把其中的部分圖形進(jìn)行平移、翻轉(zhuǎn)、添加輔助線、割補(bǔ)、等積變形等方法，化難為易，這需要精巧的構(gòu)思和恰當(dāng)?shù)慕忸}策略，從

而提高自己的形象思維和抽象思維能力。競賽能級訓(xùn)練A級1.（第^一屆“華羅庚金杯”邀請賽試題）如下左圖，圓0中直徑AB與CD互相垂直，AB=10厘米，CA=50厘米。以C為圓心，CA為半徑畫弧AEB。求月牙ADBEA（陰影部分）的面積。（第五屆“希望杯”邀請賽試題）如上右圖，大圓直徑上的黑點(diǎn)是五等分點(diǎn)，則A、B、C三部分的面積比為。3?如下左圖所示，正方形的邊長為10厘米，在正方形中畫了兩個四分之一圓，試求圖中陰影面積。A如上右圖，三角形ABC是直角三角形，陰影工的面積比陰影II的面積小23平方厘米。問BC的長度是多少厘米？（取3）如下左圖，直徑AB為3厘米的半圓，繞A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,使AB到達(dá)AC位置。求圖中陰影部分的周長。上右圖中每個小圓的半徑是1厘米，陰影部分的周長是多少厘米？如下左圖所示，正方形的邊長是6厘米，求圖中陰影部分的面積。如上右圖所示，小明從家到學(xué)校有三條由半圓弧組成的路可以走，怎么走近？為什么？有一個長方形如下左圖所示位置，在桌子上不滑動地每秒鐘轉(zhuǎn)動90°。試回答下列問題

⑴如果長方形AB=3厘米，AD=4厘米，AC=BD=5厘米。把長方形轉(zhuǎn)動一周后，頂點(diǎn)A所經(jīng)過的痕跡的長是多少厘米？（2）13秒以后，長方形B點(diǎn)離A點(diǎn)開始位置的水平距離是多少厘米？如上右圖所示，已知扇形的弧長為12.56厘米。求陰影部分的面積。右圖是400米跑道的示意圖，兩頭是兩個半圓，每一個半圓的弧長是100米；中間是直線，長為100米。求兩個半圓的面積之和與跑道所圍成的面積之比。12.求下圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）B級將邊長為1的正三角形放在一條直線上（如下左圖），讓三角形繞頂點(diǎn)C順時針轉(zhuǎn)動到位置再繼續(xù)這樣轉(zhuǎn)到3的位置。求A點(diǎn)走過的痕跡的長度。2.上右圖中的三角板（等腰直角）、正方形紙板、圓形紙板的面積都是40cm2，陰影部分的面積總和是30cm2，三張紙板蓋住的面積總和是70cm2。求三張紙板重疊部分A的面積。3?下左圖是=座古鐘的示意圖，有白、黃、藍(lán)三部分。試問白色部分的面積與藍(lán)色扇形的面積誰更大一些？為什么？上右圖中正方形的周長是圓環(huán)周長的3倍。當(dāng)圓環(huán)形繞正方形無滑動地滾動一周又回到原來位置時，這個圓環(huán)轉(zhuǎn)了幾圈？5?在右圖中，直角三角形ABC的斜邊AC長20厘米，ZA=30。，以C點(diǎn)為固定點(diǎn)將直角三角形順時針旋轉(zhuǎn)使斜邊AC與短邊BC成一直線。求圖中陰影部分的面積。6.已知下左圖中半圓直徑為10厘米，求圖中陰影部分的面積。7?在上右圖中，AB長8cm,OB長5cm,求陰影部分的面積。9.如上右圖，在每邊長為10厘米的正方形ABCD中，有以BC邊為半徑的4圓和以CD為直徑的半圓。求陰影部分的面積。如下左圖，三角形ABC是邊長為24厘米的正三角形，陰影部分是以每邊長為直徑畫半圓時出現(xiàn)的如圖所示的幾何圖形。求陰影部分的面積。11.求上右圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）12.求下左圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）13.求上右圖中陰影部分的周長。（單位：厘米）能力測試、填空題（每題6分，共30分）半圓的周長是5.14厘米(取3.14)，它的半徑是()。長方形、正方形、圓形的周長相等，請按照面積的大小排序。()>()>()。奧運(yùn)會中我們經(jīng)?？梢钥吹轿瀛h(huán)旗，五環(huán)圖的每個環(huán)形的內(nèi)半徑都是4厘米，外半徑為5厘米，其中陰影面積都相等。已知五個圓環(huán)蓋住的總面積是122.5平方厘米，則每個陰影部分的面積是()平方厘米。4.下左圖中陰影部分的面積是()平方厘米。上右圖中三個等圓的半徑為5cm，三個圓兩兩交于圓心。則陰影部分的面積為()。二、選擇題(每題5分，共10分)一個圓形的周長擴(kuò)大8倍，面積擴(kuò)大()倍。A.16B.64C.8如右圖所示，圖中