學海大聯(lián)考2022年數(shù)學高一上期末經(jīng)典試題含解析

2022-2023學年高一上數(shù)學期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設(shè)，，定義運算“△”和“”如下：，.若正數(shù)，，，滿足，，則（）A.△，△ B.，C.△， D.，△2．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變），再向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的圖象的一條對稱軸為A. B.C. D.3．定義在上的奇函數(shù)，當時，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.4．如果函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，函數(shù)的圖象如圖所示，那么不等式的解集是A. B.C. D.5．函數(shù)，若，，，則（）A. B.C. D.6．對空間中兩條不相交的直線和，必定存在平面，使得（）A. B.C. D.7．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A. B.C. D.8．若“”是假命題，則實數(shù)m的最小值為（）A.1 B.-C. D.9．在中，，則的值為A. B.C. D.210．已知集合，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖都是斜邊長為4的直角三角形，俯視圖是半徑為2的四分之一圓周和兩條半徑，則這個幾何體的體積為______12．已知函數(shù)f（x）＝|sinx|﹣cosx，給出以下四個命題：①f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱；②f（x）在[﹣π，0]上是減函數(shù)；③f（x）是周期函數(shù)；④f（x）在[﹣π，π]上恰有三個零點其中真命題的序號是_____．（請寫出所有真命題的序號）13．已知定義在上的奇函數(shù)，當時，，當時，________14．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則實數(shù)的值是__________15．函數(shù)的零點個數(shù)為___16．已知函數(shù)，則函數(shù)f（x）的值域為______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．上海市某地鐵項目正在緊張建設(shè)中，通車后將給更多市民出行帶來便利，已知該線路通車后，地鐵的發(fā)車時間間隔t（單位：分鐘）滿足，，經(jīng)測算，在某一時段，地鐵載客量與發(fā)車時間間隔t相關(guān)，當時地鐵可達到滿載狀態(tài)，載客量為1200人，當時，載客量會減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為2分鐘時載客量為560人，記地鐵載客量為.（1）求的解析式；（2）若該時段這條線路每分鐘的凈收益為（元），問當發(fā)車時間間隔為多少時，該時段這條線路每分鐘的凈收益最大？18．已知函數(shù)（1）若，成立，求實數(shù)的取值范圍;（2）證明：有且只有一個零點，且19．設(shè)函數(shù).（1）求的單調(diào)增區(qū)間；（2）求在上的最大值與最小值.20．已知關(guān)于的函數(shù).（1）若，求在上的值域;（2）存在唯一的實數(shù)，使得函數(shù)關(guān)于點對稱，求的取值范圍.21．已知函數(shù)是偶函數(shù).（1）求實數(shù)的值；（2）當時，函數(shù)存在零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)與的圖像只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】根據(jù)所給運算，取特殊值檢驗即可排除ACB，得到答案.【詳解】令滿足條件，則，可排除A,C；令滿足。則，排除B;故選：D2、C【解析】，所以，所以，所以是一條對稱軸故選C3、D【解析】當時，為單調(diào)增函數(shù)，且，則的解集為，再結(jié)合為奇函數(shù)，可得答案【詳解】當時，，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以當時，等價于，即，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以時，在上單調(diào)遞增，且，所以等價于，即，所以不等式的解集為故選：D4、B【解析】圖1圖2如圖1為f(x)在（-3，3）的圖象，圖2為y=cosx圖象，要求得的解集，只需轉(zhuǎn)化為在尋找滿足如下兩個關(guān)系的區(qū)間即可：，結(jié)合圖象易知當時，，當時，，當時，，故選B.考點：奇函數(shù)的性質(zhì)，余弦函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合思想.5、A【解析】首先判斷，和的大小關(guān)系，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷的大小關(guān)系.【詳解】，，，，，，是上的減函數(shù)，.故選：A.6、C【解析】討論兩種情況，利用排除法可得結(jié)果.【詳解】和是異面直線時，選項A、B不成立，排除A、B；和平行時，選項D不成立，排除D,故選C.【點睛】本題主要考查空間線面關(guān)系的判斷，考查了空間想象能力以及排除法的應用，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】根據(jù)三視圖，作出幾何體的直觀圖，根據(jù)題中條件，逐一求解各個面的表面積，綜合即可得答案.【詳解】根據(jù)三視圖，作出幾何體的直觀圖，如圖所示:由題意得矩形的面積，矩形的面積，矩形的面積，正方形、的面積，五邊形的面積，所以該幾何體的表面積為，故選：C8、C【解析】根據(jù)題意可得“”是真命題，故只要即可，求出的最大值，即可求出的范圍，從而可得出答案.【詳解】解：因為“”是假命題，所以其否定“”是真命題，故只要即可，因為的最大值為，所以，解得，所以實數(shù)m的最小值為.故選：C.9、C【解析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和特殊角的三角函數(shù)的值求出結(jié)果【詳解】在中，，則，，，,故選C【點睛】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和特殊角三角函數(shù)的值的應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型10、B【解析】由陰影部分表示的集合為，然后根據(jù)集合交集的概念即可求解.【詳解】因為陰影部分表示的集合為由于.故選：B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由題得幾何體為圓錐的，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)計算體積即可【詳解】由三視圖可知幾何體為圓錐的，圓錐的底面半徑為2，母線長為4，∴圓錐的高為∴V=×π×22×=故答案為【點睛】本題主要考查了圓錐的三視圖和體積計算，屬于基礎(chǔ)題12、①③【解析】求函數(shù)的奇偶性即可判斷①；結(jié)合取值范圍，可去絕對值號，結(jié)合輔助角公式求出函數(shù)的解析式，從而可求單調(diào)性即可判斷②；由f（x+2π）＝f（x）可判斷③；求[﹣π，0]上的解析式，從而可求出該區(qū)間上的零點，結(jié)合函數(shù)的奇偶性即可判斷[﹣π，π]上零點個數(shù).【詳解】解：對于①，函數(shù)f（x）＝sinx﹣cosx的定義域為R，且滿足f（﹣x）＝f（x），所以f（x）是定義域在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，①為真命題；對于②，當x∈[﹣π，0]時，sinx≤0，fx對于y=2sinx+π4，x+對于③，因為f（x+2π）＝|sin（x+2π）|﹣cos（x+2π）＝|sinx|﹣cosx＝f（x），函數(shù)f（x）是周期為2π的周期函數(shù)，③為真命題；對于④，當x∈[﹣π，0]時，sinx≤0，fx=-sinx+cosx=-2sinx+π4，且x+π4∈-故答案為:①③.【點睛】關(guān)鍵點睛：在判斷命題②④時，關(guān)鍵是結(jié)合自變量的取值范圍去掉絕對值號，結(jié)合輔助角公式求出函數(shù)的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)進行判斷.13、【解析】設(shè)，則，代入解析式得；再由定義在上的奇函數(shù)，即可求得答案.【詳解】不妨設(shè)，則，所以，又因為定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，即.故答案為：.14、1【解析】函數(shù)是偶函數(shù)，，即，解得，故答案為.【方法點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題.已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，主要方法有兩個，一是利用：（1）奇函數(shù)由恒成立求解，（2）偶函數(shù)由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函數(shù)一般由求解，偶函數(shù)一般由求解，用特殊法求解參數(shù)后，一定要注意驗證奇偶性15、2【解析】當x≤0時，令函數(shù)值為零解方程即可；當x＞0時，根據(jù)零點存在性定理判斷即可.【詳解】當x≤0時，，∵，故此時零點為；當x＞0時，在上單調(diào)遞增，當x＝1時，y＜0，當x＝2時，y＞0，故在(1,2)之間有唯一零點；綜上，函數(shù)y在R上共有2個零點.故答案為：2.16、【解析】求函數(shù)的導數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性求值域即可．【詳解】解：函數(shù)，，由，解得，此時函數(shù)單調(diào)遞增由，解得，此時函數(shù)單調(diào)遞減函數(shù)的最小值為（2），（1），（5）最大值為（5），，即函數(shù)的值域為：．故答案為．【點睛】本題主要考查函數(shù)的值域的求法，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）分鐘.【解析】(1)時，求出正比例系數(shù)k，寫出函數(shù)式即可得解；(2)求出每一段上的最大值，再比較大小即可得解.【詳解】（1）由題意知，（k為常數(shù)），因，則，所以；（2）由得，即，①當時，，當且僅當?shù)忍柍闪?；②當時，在[10，20]上遞減，當時Q取最大值24，由①②可知，當發(fā)車時間間隔為分鐘時，該時段這條線路每分鐘的凈收益最大，最大為120元.18、（1）（2）證明見解析.【解析】（1）把已知條件轉(zhuǎn)化成大于在上的最小值即可解決；（2）先求導函數(shù)，判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，圖像走勢，再判斷函數(shù)零點，隱零點問題重在轉(zhuǎn)化.【小問1詳解】由得，則在上單調(diào)遞增，在上最小值為若，成立，則必有由，得故實數(shù)的取值范圍為【小問2詳解】在上單調(diào)遞增，且恒成立，最小正周期，在上最小值為由此可知在恒為正值，沒有零點.下面看在上的零點情況.，，則即在單調(diào)遞增，，故上有唯一零點.綜上可知，在上有且只有一個零點.令，則，令，則即在上單調(diào)遞減，故有19、（1）（2）最大值為2，最小值為【解析】（1）利用三角恒等變換化簡可得，根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性計算即可得出結(jié)果.（2）由得，利用正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)計算即可得出結(jié)果.【小問1詳解】令，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為【小問2詳解】由得，所以當，即時，取最大值2；當，即時，取最小值.20、（1）（2）【解析】（1）由，得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）因為，可得，結(jié)合題意列出不等式，即可求解.【小問1詳解】解：當，可得函數(shù)，因為，可得，則，所以在上值域為.【小問2詳解】解：因為，可得，因為存在唯一的實數(shù)，使得曲線關(guān)于點對稱，所以，解得，所以的取值范圍即.21、（1）（2）（3）【解析】（1）函數(shù)是偶函數(shù),所以得出值檢驗即可；（2），因為時，存在零點，即關(guān)于的方程有解，求出的值域即可；（3）因為函數(shù)與的圖像只有一個公共點，所以關(guān)于的方程有且只有一個解，所以，換元，研究二次函數(shù)圖象及性質(zhì)即可得出實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】