2022-2023學年四川省眉山市仁壽一中南校區(qū)數(shù)學高一上期末預測試題含解析

2022-2023學年高一上數(shù)學期末模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．若，且則與的夾角為（）A. B.C. D.2．函數(shù)的值域是A. B.C. D.3．已知定義域為的函數(shù)滿足，且，若，則（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)且，則函數(shù)恒過定點（）A. B.C. D.5．函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.函數(shù)的最小正周期為C.函數(shù)的圖象的對稱軸為直線D.函數(shù)的單調遞增區(qū)間為6．當點在圓上變動時，它與定點的連線的中點的軌跡方程是（）A. B.C. D.7．在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間，并構成一般不動點定理的基石，布勞威爾不動點定理得名于荷蘭數(shù)學家魯伊茲·布勞威爾(L.E.J.Brouwer)，簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，下列為“不動點”函數(shù)的是（）A. B.C. D.8．已知冪函數(shù)y＝f(x)經(jīng)過點(3，)，則f(x)（）A.是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B.是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)C.是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D.是非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)9．如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷錯誤的是（）A.不是棱臺 B.不是圓臺C.不是棱錐 D.是棱柱10．若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實根的取值范圍是（）A. B.C. D.11．在中，如果，則角A. B.C. D.12．函數(shù)y＝1＋x＋的部分圖象大致為（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．向量與，則向量在方向上的投影為______14．已知向量，滿足=（3，-4），||=2，|+|=，則，的夾角等于______15．若，則_____________.16．已知（其中且為常數(shù)）有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是___________.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調遞減區(qū)間；（2）在所給坐標系中畫出函數(shù)在區(qū)間的圖象（只作圖不寫過程）．18．已知函數(shù)，函數(shù)的最小正周期為，是函數(shù)的一條對稱軸.（1）求函數(shù)的對稱中心和單調區(qū)間；（2）若，求函數(shù)在的最大值和最小值，并寫出對應的的值19．已知圓C過點，且與圓M：關于直線對稱求圓C的方程；過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于點A和點B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，試判斷直線OP和AB是否平行？請說明理由20．設1若對任意恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；2討論關于x的不等式的解集21．已知函數(shù)（1）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；（2）用定義證明f（x）在（1，＋∞）上單調遞增；（3）求f（x）在[－2，－1]上的值域22．計算下列各式的值：（1）lg2（2）sin

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、C【解析】因為，設與的夾角為，，則，故選C考點：數(shù)量積表示兩個向量的夾角2、A【解析】由，知，解得令，則.，即為和兩函數(shù)圖象有交點，作出函數(shù)圖象，如圖所示：由圖可知，當直線和半圓相切時最小，當直線過點A(4,0)時，最大.當直線和半圓相切時，，解得，由圖可知.當直線過點A(4,0)時，，解得.所以，即.故選A.3、A【解析】根據(jù)，，得到求解.【詳解】因為，，所以，所以，所以，所以，，故選：A4、D【解析】利用對數(shù)函數(shù)過定點求解.【詳解】令，解得，，所以函數(shù)恒過定點，故選：D5、D【解析】根據(jù)圖象得到函數(shù)解析式，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，可得解析式，分別根據(jù)正弦函數(shù)的奇偶性、單調性、周期性與對稱性，對選項中的結論判斷，從而可得結論.【詳解】由圖象可知，，∴，則.將點的坐標代入中，整理得，∴，即；，∴，∴.∵將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，∴.，∴既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故A錯誤；∴的最小正周期，故B不正確.令，解得，則函數(shù)圖像的對稱軸為直線.故C錯誤；由，可得，∴函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.故D正確；故選：D.【點睛】關鍵點睛：本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質，熟記正弦函數(shù)的奇偶性、單調區(qū)間、最小正周期與對稱軸是解決本題的關鍵.6、D【解析】設中點的坐標為，則，利用在已知的圓上可得的中點的軌跡方程.【詳解】設中點的坐標為，則，因為點在圓上，故，整理得到.故選：D.【點睛】求動點的軌跡方程，一般有直接法和間接法，（1）直接法，就是設出動點的坐標，已知條件可用動點的坐標表示，化簡后可得動點的軌跡方程，化簡過程中注意變量的范圍要求.（2）間接法，有如下幾種方法：①幾何法：看動點是否滿足一些幾何性質，如圓錐曲線的定義等；②動點轉移：設出動點的坐標，其余的點可以前者來表示，代入后者所在的曲線方程即可得到欲求的動點軌跡方程；③參數(shù)法：動點的橫縱坐標都可以用某一個參數(shù)來表示，消去該參數(shù)即可動點的軌跡方程.7、C【解析】根據(jù)已知定義，將問題轉化為方程有解，然后逐項進行求解并判斷即可.【詳解】根據(jù)定義可知：若有不動點，則有解.A．令，所以，此時無解，故不是“不動點”函數(shù)；B．令，此時無解，，所以不是“不動點”函數(shù)；C．當時，令，所以或，所以“不動點”函數(shù)；D．令即，此時無解，所以不是“不動點”函數(shù).故選：C.8、D【解析】利用冪函數(shù)的定義求得指數(shù)的值，得到冪函數(shù)的解析式，進而結合冪函數(shù)的圖象判定單調性和奇偶性【詳解】設冪函數(shù)的解析式為，將點的坐標代入解析式得，解得，∴，函數(shù)的定義域為,是非奇非偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，故選：D.9、C【解析】利用幾何體的定義解題.【詳解】A.根據(jù)棱臺的定義可知幾何體不是棱臺，所以A是正確的；B.根據(jù)圓臺的定義可知幾何體不是圓臺，所以B是正確的；C.根據(jù)棱錐的定義可知幾何體是棱錐，所以C是錯誤的；D.根據(jù)棱柱的定義可知幾何體是棱柱，所以D是正確的.故答案為C【點睛】本題主要考查棱錐、棱柱、圓臺、棱臺的定義，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.10、B【解析】方程有兩個不相等的實數(shù)根，轉化為有兩個不等根，根據(jù)圖像得到只需要故答案為B．11、C【解析】由特殊角的三角函數(shù)值結合在△ABC中，可求得A的值；【詳解】，又∵A∈（0，π），∴故選C.【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值及三角形中角的范圍，屬于基礎題.12、D【解析】由題意比較函數(shù)的性質及函數(shù)圖象的特征，逐項判斷即可得解.【詳解】當x＝1時，y＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A、C；當x→＋∞時，y→＋∞，排除B.故選：D.【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的識別，抓住函數(shù)圖象的差異是解題關鍵，屬于基礎題.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】在方向上的投影為考點：向量的投影14、【解析】利用求解向量間的夾角即可【詳解】因為，所以，因為，所以，即，所以，所以，因為向量夾角取值范圍是，所以向量與向量的夾角為【點睛】本題考查向量的運算，這種題型中利用求解向量間的夾角同時需注意15、【解析】平方得16、【解析】設，可轉化為有兩個正解，進而可得參數(shù)范圍.【詳解】設，由有兩個零點，即方程有兩個正解，所以，解得，即，故答案為：.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）最小正周期T＝π；單調遞減區(qū)間為（k∈Z）；（2）圖象見解析．【解析】（1）利用二倍角公式化簡函數(shù)，再根公式求函數(shù)的周期和單調遞減區(qū)間；（2）利用“五點法”畫出函數(shù)的圖象.【詳解】解：f（x）＝＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin（2x＋）（1）∴函數(shù)f（x）的最小正周期T＝＝π，當2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，時，即2kπ＋≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，故kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z∴函數(shù)f（x）單調遞減區(qū)間為[kπ＋，kπ＋π]（k∈Z）（2）圖象如下：18、（1）對稱中心是，單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是（2）當時，，當時，【解析】（1）由函數(shù)的最小正周期，求得，再根據(jù)當時，函數(shù)取到最值求得，根據(jù)函數(shù)的性質求對稱中心和單調區(qū)間；（2）寫出的解析式，根據(jù)定義域，求最值【詳解】（1），，，所以，，對稱中心是，單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是（2），，當時，，當時，【點睛】三角函數(shù)最值問題要注意整體代換思想的體現(xiàn)，由的取值范圍推斷的取值范圍19、（1）（2）直線AB和OP一定平行．證明見解析【解析】由已知中圓C過點，且圓M：關于直線對稱，可以求出圓心坐標，即可求出圓C的方程；由已知可得直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，設PA：，PB：，求出A，B坐標后，代入斜率公式，判斷直線OP和AB斜率是否相等，即可得到答案【詳解】由題意可得點C和點關于直線對稱，且圓C和圓M的半徑相等，都等于r設，由且，解得：，故原C的方程為再把點代入圓C的方程，求得故圓的方程為：；證明：過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，則得直線OP和AB平行，理由如下：由題意知，直線PA和直線PB斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設PA：，PB：由，得，因為的橫坐標一定是該方程的解，，同理可得由于AB的斜率的斜率，所以直線AB和OP一定平行【點睛】本題主要考查了直線和圓的方程的應用，關于直線對稱的圓的方程，其中根據(jù)已知條件求出圓C的方程是解答本題的關鍵，考查推理與運算能力，屬于中檔題20、（1）；（2）見解析.【解析】1由題意可得對恒成立，即有的最小值，運用基本不等式可得最小值，即可得到所求范圍；2討論判別式小于等于0，以及判別式大于0，由二次函數(shù)的圖象可得不等式的解集【詳解】1由題意，若對任意恒成立，即為對恒成立，即有的最小值，由，可得時，取得最小值2，可得；2當，即時，的解集為R；當，即或時，方程的兩根為，，可得的解集為【點睛】本題主要考查了不等式的恒成立問題，以及一元二次不等式的解法，注意運用轉化思想和分類討論思想方法，考查運算能力，屬于中檔題21、（1）f（x）為奇函數(shù)，理由見解析（2）證明見解析（3）[－，－2]【解析】（1）根據(jù)奇偶性的定義判斷；（2）由單調性的定義證明；（3）由單調性得值域【小問1詳解】f（x）為奇函數(shù)由于f（x）的定義域為，關于原點對稱，且，所以f（x）為在上的奇函數(shù)（畫圖正確，由圖得出正確結論，也可以得分）【小問2詳解】證明：設任意，，有由，得，，即，所以函數(shù)f（x）在（1，＋