ANSYS有限元基礎(chǔ)教程課件-第2章

第2章平面問題的有限元法有限元分析的3個步驟：

離散化單元分析整體分析第2章平面問題的有限元法有限元分析的3個步驟：離散化12.1結(jié)構(gòu)的離散化實例：將一個受力的連續(xù)體離散化離散化:把連續(xù)的結(jié)構(gòu)看成由有限個單元組成的集合體。目的：建立有限元計算模型以三角形單元為例2.1結(jié)構(gòu)的離散化實例：將一個受力的連續(xù)體2注意事項對稱性的利用

如果結(jié)構(gòu)與載荷都有對稱性可資利用，可取其中的一半或1/4等作為分析對象，能減少很多工作量。

圖為平面薄板的離散化模型注意事項對稱性的利用圖為平面薄板的離散化模型32）節(jié)點的布置：①集中載荷的作用點，②分布載荷強(qiáng)度的突變點，③分布載荷與自由邊界的分界點，④支承點，⑤厚度不同或材料不同的區(qū)域等都應(yīng)取為節(jié)點。3）對于重要的或應(yīng)力變化急劇的部位，單元應(yīng)劃得小些，對于次要的和應(yīng)力變化緩慢的部位，單元可劃得大些，“中間地帶”以大小逐漸變化的單元來過渡。2.節(jié)點的選擇和單元的劃分1）單元形狀和尺寸可自由調(diào)整。2）節(jié)點的布置：①集中載荷的作用點，②分布載荷強(qiáng)度的突變點43.節(jié)點的編號在節(jié)點編號時，應(yīng)注意盡量使同一單元的相鄰節(jié)點的號碼差值盡可能地小些，以便縮小剛度矩陣的帶寬，節(jié)約計算機(jī)存儲。

（a）（b）如圖，（a）與（b）單元劃分相同，（b）的編號要比（a）的編號為好，即節(jié)點應(yīng)順短邊編號為好。3.節(jié)點的編號（a）52.2單元分析單元分析的主要任務(wù)是推導(dǎo)單元節(jié)點位移與單元節(jié)點力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，實質(zhì)上就是求出單元剛度矩陣。單元分析的步驟（實施過程）：2.2單元分析單元分析的主要任務(wù)是推導(dǎo)6三角形單元節(jié)點位移向量：

三角形單元節(jié)點力向量：

從離散化的結(jié)構(gòu)中任取一個三角形單元e—單元首先對節(jié)點編碼：稱為局部碼1.位移函數(shù)的概念三角形單元節(jié)點位移向量：三角形單元節(jié)點力向量：從離散化的7廣泛使用多項式來構(gòu)造位移函數(shù)。將單元中的位移分布假定是坐標(biāo)的簡單函數(shù)，稱為位移函數(shù)。設(shè)單元內(nèi)任意一點的位移含有6個待定參數(shù)，稱為廣義坐標(biāo)。

（2-6）廣泛使用多項式來構(gòu)造位移函數(shù)。將單元中的位移8求形函數(shù)三角形單元的面積：求形函數(shù)三角形單元的面積：9令式中順序輪換簡寫為：

矩陣形式：Ni，Nj，Nm為形函數(shù)，是關(guān)于坐標(biāo)x、y的線性函數(shù)[N]為形函數(shù)矩陣

常數(shù)令式中順序輪換簡寫為：矩陣形式：Ni，Nj，Nm為形函數(shù)102.位移函數(shù)收斂準(zhǔn)則在有限元法中，把能夠滿足條件（1）、（2）的單元，稱為完備單元；滿足條件（3）的單元，稱為協(xié)調(diào)單元。

（3）位移函數(shù)應(yīng)盡可能反映位移的連續(xù)性。要求所選擇的位移函數(shù)既能使單元內(nèi)部的位移保持連續(xù)，又能使相鄰單元之間的位移保持連續(xù)，后者是指單元之間不出現(xiàn)互相脫離和互相嵌入的現(xiàn)象。（2）位移函數(shù)必須能反映單元的常量應(yīng)變。在位移函數(shù)中的一次項就是提供單元中的常量應(yīng)變的。（1）位移函數(shù)必須能反映單元的剛體位移。常數(shù)項就是用于提供剛體位移的。2.位移函數(shù)收斂準(zhǔn)則在有限元法中，把能夠滿足條件（1）、（11圖2-4相鄰三角形單元的位移協(xié)調(diào)性分析圖2-4相鄰三角形單元的位移協(xié)調(diào)性分析121）要考慮到解的收斂性，即要考慮到完備性和協(xié)調(diào)性的要求。巴斯卡三角形3.選擇單元位移函數(shù)的一般原則3）多項式中的項數(shù)必須等于或稍大于單元邊界上的外節(jié)點的自由度數(shù)。通常是取項數(shù)與單元的外節(jié)點的自由度數(shù)相等。2）模式應(yīng)該與局部坐標(biāo)系的方位無關(guān)，這一性質(zhì)稱為幾何各向同性。1）要考慮到解的收斂性，即要考慮到完備性和協(xié)調(diào)性的要求。巴斯132.2.2單元應(yīng)變（2-10）（2-11）幾何方程：

2.2.2單元應(yīng)變（2-10）幾何方程：14[B]稱作幾何矩陣，是常數(shù)矩陣。因此，三角形單元是常應(yīng)變單元。[B]稱作幾何矩陣，是常數(shù)矩陣。因此，三角形單元是常應(yīng)變單元152.2.3單元應(yīng)力物理方程：單元應(yīng)力：令：[S]稱為單元應(yīng)力矩陣

由于三角形單元中的[D]，[B]矩陣都是常數(shù)矩陣，所以[S]矩陣也是常數(shù)矩陣。也就是說，三角形單元內(nèi)的應(yīng)力分量也是常量。

2.2.3單元應(yīng)力物理方程：單元應(yīng)力：令：[S]稱162.2.4單元剛度矩陣虛功方程：三角形單元：2.2.4單元剛度矩陣虛功方程：三角形單元：17令：單元平衡方程（剛度方程）單元剛度矩陣每個分塊矩陣均為2×2階方陣。三角形單元的剛度矩陣為6×6階方陣。令：單元平衡方程（剛度方程）單元剛度矩陣每個分塊矩陣均為2×18單元剛度矩陣有如下性質(zhì)：①每一個元素物理意義：是單位節(jié)點位移分量所引起的節(jié)點力分量。

②是對稱矩陣。③每一行（或列）元素之和為零。是奇異矩陣，④的元素決定于單元的形狀、大小、方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無關(guān)，即不隨單元（或坐標(biāo)軸）的平行移動或作（n為整數(shù)）角度的轉(zhuǎn)動而改變。

單元剛度矩陣按節(jié)點寫成分塊形式：單元剛度矩陣有如下性質(zhì)：單元剛度矩陣按節(jié)點寫成19

20例2-1如圖2-6所示平面應(yīng)力情形的直角三角形單元，直角邊長均為，厚度為t，彈性模量為E，泊松比為，求單元剛度矩陣。圖2-6直角三角形單元解：（1）求例2-1如圖2-6所示平面應(yīng)力情形的直角三角形單元21（2）求（3）求（4）求（2）求（3）求（4）求222.3整體分析結(jié)構(gòu)的整體分析就是將離散后的所有單元通過節(jié)點連接成原結(jié)構(gòu)物進(jìn)行分析?！傮w剛度矩陣?！麄€結(jié)構(gòu)上節(jié)點位移列陣——整個結(jié)構(gòu)上節(jié)點力列陣——整體平衡方程（整體剛度方程）分析過程：是將所有單元平衡方程組集在一起，形成總體平衡方程，引進(jìn)邊界條件后，求解整體節(jié)點位移向量。2.3整體分析結(jié)構(gòu)的整體分析就是將離散23平面問題的整體剛度矩陣是由相關(guān)單元的單元剛度矩陣中的分塊矩陣集合而成，按節(jié)點編號對號入座，即剛度集成法。它的集成規(guī)律有下列幾點：1）先對每個單元求出其單元剛度矩陣，以分塊形式按節(jié)點編號順序排列。2）將單元剛度矩陣擴(kuò)大階數(shù)為2n×2n，并將單元剛度矩陣中的分塊矩陣按局部碼與總碼的對應(yīng)關(guān)系，搬到擴(kuò)大后的矩陣中，形成單元貢獻(xiàn)矩陣。3）將所有單元貢獻(xiàn)矩陣同一位置上的分塊矩陣簡單疊加成總體剛度矩陣中的一個子矩陣，各行各列都按以上步驟即形成總體剛度矩陣。總體剛度矩陣為2n×2n階，亦即n×n階分塊矩陣，n為節(jié)點總數(shù)。平面問題的整體剛度矩陣是由相關(guān)單元的單元剛度矩24例2-2用剛度集成法求圖2-7所示結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣1）找出各單元局部碼與總碼的對應(yīng)關(guān)系解：2）分別寫出各個單元的分塊矩陣3）形成各單元貢獻(xiàn)陣?yán)?-2用剛度集成法求圖2-7所示結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣1）254）將擴(kuò)大后的4個單元貢獻(xiàn)陣相疊加，就得到總體剛度矩陣

整體剛度矩陣有以下一些性質(zhì)：1）整體剛度矩陣是對稱矩陣。2）整體剛度矩陣的主對角線上的元素總是正的。3）整體剛度矩陣是一個稀疏陣。4）整體剛度矩陣是一個奇異陣。4）將擴(kuò)大后的4個單元貢獻(xiàn)陣相疊加，就得到總體剛度矩陣整體26例2-3已知如圖a）所示的懸臂深梁，在右端面作用著均布拉力，其合力為P。采用如圖b）所示簡單網(wǎng)格，設(shè)，厚度為t。試求節(jié)點位移。a）b）解：１）求出各單元剛度矩陣?yán)?-3已知如圖a）所示的懸臂深梁，在右端面作用著均布27２）形成各單元貢獻(xiàn)矩陣３）形成總體剛度矩陣

２）形成各單元貢獻(xiàn)矩陣３）形成總體剛度矩陣28ANSYS有限元基礎(chǔ)教程課件-第2章29４）形成整體載荷列陣

５）形成整體節(jié)點位移列陣

６）形成整體平衡方程

４）形成整體載荷列陣５）形成整體節(jié)點位移列陣６）形成整30７）引入邊界條件，求節(jié)點位移“化1置0法”處理：若已知節(jié)點在方向位移為零，則令

中的元素為1，而第行和列的其余元素都為零，中的第個元素變?yōu)榱?。若已知?jié)點在方向位移為零，則令

中的元素為1，而第行和列的其余元素都為零，中的第個元素變?yōu)榱恪＃罚┮脒吔鐥l件，求節(jié)點位移“化1置0法”處理：若已知節(jié)點312.4

有限元法解題過程與算例

有限元法的具體解題過程為：1）將結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化，包括單元劃分、節(jié)點編號、單元編號、節(jié)點坐標(biāo)計算、位移約束條件的確定。2）等效節(jié)點力的計算。3）剛度矩陣的計算。4）建立整體平衡方程，引入約束條件，求解節(jié)點位移。5）應(yīng)力計算。2.4有限元法解題過程與算例有限元法的具體解題過程32例2-4如圖2-20a所示兩端固支的矩形深梁，跨度為2a，梁高為a，厚度為t，已知E，，承受均布壓力q，試用有限元法求解此平面應(yīng)力問題。a）b）圖2-20矩形深梁例2-4如圖2-20a所示兩端固支的矩形深梁，跨度為2a33解：利用對稱性，可取梁的一半分析，例如右半。1.劃分單元并準(zhǔn)備原始數(shù)據(jù)2.計算單元剛度矩陣231324解：利用對稱性，可取梁的一半分析，例如右半。1.劃分單元并343.集成整體剛度矩陣依照各單元局部編號與整體編號的對應(yīng)關(guān)系，兩個單元的貢獻(xiàn)矩陣分別為再集成整體剛度矩陣3.集成整體剛度矩陣依照各單元局部編號與整體354.處理載荷，形成整體平衡方程整體節(jié)點載荷列陣為組成結(jié)構(gòu)整體平衡方程4.處理載荷，形成整體平衡方程整體節(jié)點載荷列陣為組成結(jié)構(gòu)365.引入位移邊界條件，求解節(jié)點位移由于5.引入位移邊界條件，求解節(jié)點位移由于376.應(yīng)力計算在整體分析中求得節(jié)點位移之后，為了計算結(jié)構(gòu)上任意一點的應(yīng)變或應(yīng)力，應(yīng)該又返回到單元分析中去。計算單元①的應(yīng)力矩陣由整體節(jié)點位移向量獲取單元節(jié)點位移向量6.應(yīng)力計算計算單元①的應(yīng)力矩陣由整體節(jié)點位移向量獲取單元38計算應(yīng)力計算應(yīng)力392.5單元等效節(jié)點力一、單元自重三角形單元的厚度為t，重度為，面積為，自重沿y軸負(fù)方向。受自重載荷情形的等效節(jié)點力為單元重量的1/3。

圖2-14三角形單元

介紹幾種常用載荷作用下的等效節(jié)點力2.5單元等效節(jié)點力一、單元自重三角形單元40二、均布面力三角形單元的厚度為t，ij邊的長度為，集度為圖2-15受均布面力三角形單元相當(dāng)于把作用于ij邊上的表面力按靜力等效平均分配到該邊兩端的節(jié)點上。二、均布面力三角形單元的厚度為t，ij邊的41三、線性分布面力三角形單元的厚度為t，ij邊的長度為，表面力在點集度為圖2-16受線性分布面力三角形單元

相當(dāng)于將總載荷的2/3分配給點，1/3分配給點。

三、線性分布面力三角形單元的厚度為t，ij422.6邊界條件的處理常用的且比較方便的做法是以某種方法引入已知的節(jié)點位移（包括零位移約束），而保持方程原有的數(shù)目不變，只是修

和中某些元素，以避免計算機(jī)存儲作大的變動。2.6邊界條件的處理常用的且比較方便的做43

1、“化1置0法”----為節(jié)點總碼編號1、“化1置0法”----為節(jié)點總碼編號44設(shè)已知節(jié)點位移為，當(dāng)引進(jìn)上述已知節(jié)點位移后，方程變成例如：為說明這一過程，現(xiàn)考察一個只有四個方程的簡單例子設(shè)已知節(jié)點位移為，當(dāng)452、“乘大數(shù)法”設(shè)已知節(jié)點位移為，當(dāng)引進(jìn)上述已知節(jié)點位移后，方程變成2、“乘大數(shù)法”設(shè)已知節(jié)點位移為462.7計算結(jié)果的整理繞節(jié)點平均法：

ABCDEF把環(huán)繞該節(jié)點的各單元應(yīng)力加以平均，視為該節(jié)點的應(yīng)力。2.7計算結(jié)果的整理繞節(jié)點平均法：AB47兩單元平均法：把相鄰兩單元應(yīng)力的平均值作為公共邊中點的應(yīng)力。

ABCDEFGHI78910兩單元平均法：把相鄰兩單元應(yīng)力的平均值作為公共邊中點的應(yīng)力。48采用上述兩種應(yīng)力平均法時應(yīng)注意幾點：（1）只有當(dāng)相連單元具有相同厚度和材料時平均法才有意義。（3）位于結(jié)構(gòu)邊界點的應(yīng)力不應(yīng)該用平均法求得，若用繞節(jié)點平均法則因其相連單元太少而不能得到較佳的近似值。這種情況往往改用內(nèi)部應(yīng)力點外推的辦法，去求它的近似值。（2）為了使繞節(jié)點平均法得來的應(yīng)力能夠較好地表示節(jié)點處的實際應(yīng)力，環(huán)繞該節(jié)點的各個單元的面積不應(yīng)相差太大。采用上述兩種應(yīng)力平均法時應(yīng)注意幾點：（3）位于結(jié)構(gòu)邊界點的應(yīng)492.8矩形單元

設(shè)有矩形單元，其邊長分別為和，矩形的兩邊分別與軸平行。取矩形的四個角點作為節(jié)點。單元節(jié)點位移向量為：

2.8矩形單元設(shè)有矩形單元50在單元分析中為了計算上的方便和簡化，我們引用一個無量綱的局部坐標(biāo)系，局部坐標(biāo)系的原點取在矩形的形心上，軸分別與整體坐標(biāo)軸平行，它們之間的坐標(biāo)變換為在局部坐標(biāo)系中，四個節(jié)點坐標(biāo)分別是即為（-1，-1），（1，-1），（1，1），（-1，1）。在單元分析中為了計算上的方便和簡化，我們引用一個無量綱的局部511、位移模式

形函數(shù)雙線性模式從中求出合并寫成:（2-74）1、位移模式形函數(shù)雙線性模式從中求出合并寫成:（2-7452形函數(shù)寫成矩陣形式形函數(shù)矩陣（2-74）合并寫成:形函數(shù)寫成矩陣形式形函數(shù)矩陣（2-74）合并寫成:532、單元應(yīng)變寫成矩陣形式四節(jié)點矩形單元不再是常應(yīng)變單元。幾何方程將位移函數(shù)帶入上式復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則2、單元應(yīng)變寫成矩陣形式四節(jié)點矩形單元不再是常應(yīng)變單元。幾何543、單元應(yīng)力四節(jié)點矩形單元不再是常應(yīng)力單元。根據(jù)物理方程：3、單元應(yīng)力四節(jié)點矩形單元不再是常應(yīng)力單元。根據(jù)物理方程：554、單元剛度矩陣寫成分塊形式：

4、單元剛度矩陣寫成分塊形式：565、單元等效節(jié)點力（1）對于單元的自重W，載荷列陣為

即移置于每一節(jié)點的載荷都是四分之一的自重。（2）如果單元在一個邊界上受有三角形分布的表面力，在該邊界上一個節(jié)點處為零，而在另一個節(jié)點處為最大，則將總表面力的三分之一移置到前一個節(jié)點，三分之二移置到后一個節(jié)點。5、單元等效節(jié)點力（1）對于單元的自重W，載荷列陣為（2）576、整體平衡方程將各單元的、和都擴(kuò)大到整個彈性體自由度的維數(shù)，再進(jìn)行疊加，便可得到整個彈性體的平衡方程，它仍具有如下的形式引入位移約束條件，解上述線性方程組可得節(jié)點位移，進(jìn)而可求各單元應(yīng)力。6、整體平衡方程將各單元的、587、矩形單元與三角形單元的比較：

3、但矩形單元也存在明顯的缺點：從單元的幾何形狀看，矩形單元比三角形單元的適應(yīng)性要差。

2、在彈性體中,若用相同數(shù)目的節(jié)點時，矩形單元比三角形單元能更好地反映應(yīng)力急劇變化的情況，所以計算精度高。1、矩形單元為雙線性位移模式，所以單元的應(yīng)力、應(yīng)變分量都不是常量。7、矩形單元與三角形單元的比較：3、但矩形59第2章平面問題的有限元法有限元分析的3個步驟：

離散化單元分析整體分析第2章平面問題的有限元法有限元分析的3個步驟：離散化602.1結(jié)構(gòu)的離散化實例：將一個受力的連續(xù)體離散化離散化:把連續(xù)的結(jié)構(gòu)看成由有限個單元組成的集合體。目的：建立有限元計算模型以三角形單元為例2.1結(jié)構(gòu)的離散化實例：將一個受力的連續(xù)體61注意事項對稱性的利用

如果結(jié)構(gòu)與載荷都有對稱性可資利用，可取其中的一半或1/4等作為分析對象，能減少很多工作量。

圖為平面薄板的離散化模型注意事項對稱性的利用圖為平面薄板的離散化模型622）節(jié)點的布置：①集中載荷的作用點，②分布載荷強(qiáng)度的突變點，③分布載荷與自由邊界的分界點，④支承點，⑤厚度不同或材料不同的區(qū)域等都應(yīng)取為節(jié)點。3）對于重要的或應(yīng)力變化急劇的部位，單元應(yīng)劃得小些，對于次要的和應(yīng)力變化緩慢的部位，單元可劃得大些，“中間地帶”以大小逐漸變化的單元來過渡。2.節(jié)點的選擇和單元的劃分1）單元形狀和尺寸可自由調(diào)整。2）節(jié)點的布置：①集中載荷的作用點，②分布載荷強(qiáng)度的突變點633.節(jié)點的編號在節(jié)點編號時，應(yīng)注意盡量使同一單元的相鄰節(jié)點的號碼差值盡可能地小些，以便縮小剛度矩陣的帶寬，節(jié)約計算機(jī)存儲。

（a）（b）如圖，（a）與（b）單元劃分相同，（b）的編號要比（a）的編號為好，即節(jié)點應(yīng)順短邊編號為好。3.節(jié)點的編號（a）642.2單元分析單元分析的主要任務(wù)是推導(dǎo)單元節(jié)點位移與單元節(jié)點力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，實質(zhì)上就是求出單元剛度矩陣。單元分析的步驟（實施過程）：2.2單元分析單元分析的主要任務(wù)是推導(dǎo)65三角形單元節(jié)點位移向量：

三角形單元節(jié)點力向量：

從離散化的結(jié)構(gòu)中任取一個三角形單元e—單元首先對節(jié)點編碼：稱為局部碼1.位移函數(shù)的概念三角形單元節(jié)點位移向量：三角形單元節(jié)點力向量：從離散化的66廣泛使用多項式來構(gòu)造位移函數(shù)。將單元中的位移分布假定是坐標(biāo)的簡單函數(shù)，稱為位移函數(shù)。設(shè)單元內(nèi)任意一點的位移含有6個待定參數(shù)，稱為廣義坐標(biāo)。

（2-6）廣泛使用多項式來構(gòu)造位移函數(shù)。將單元中的位移67求形函數(shù)三角形單元的面積：求形函數(shù)三角形單元的面積：68令式中順序輪換簡寫為：

矩陣形式：Ni，Nj，Nm為形函數(shù)，是關(guān)于坐標(biāo)x、y的線性函數(shù)[N]為形函數(shù)矩陣

常數(shù)令式中順序輪換簡寫為：矩陣形式：Ni，Nj，Nm為形函數(shù)692.位移函數(shù)收斂準(zhǔn)則在有限元法中，把能夠滿足條件（1）、（2）的單元，稱為完備單元；滿足條件（3）的單元，稱為協(xié)調(diào)單元。

（3）位移函數(shù)應(yīng)盡可能反映位移的連續(xù)性。要求所選擇的位移函數(shù)既能使單元內(nèi)部的位移保持連續(xù)，又能使相鄰單元之間的位移保持連續(xù)，后者是指單元之間不出現(xiàn)互相脫離和互相嵌入的現(xiàn)象。（2）位移函數(shù)必須能反映單元的常量應(yīng)變。在位移函數(shù)中的一次項就是提供單元中的常量應(yīng)變的。（1）位移函數(shù)必須能反映單元的剛體位移。常數(shù)項就是用于提供剛體位移的。2.位移函數(shù)收斂準(zhǔn)則在有限元法中，把能夠滿足條件（1）、（70圖2-4相鄰三角形單元的位移協(xié)調(diào)性分析圖2-4相鄰三角形單元的位移協(xié)調(diào)性分析711）要考慮到解的收斂性，即要考慮到完備性和協(xié)調(diào)性的要求。巴斯卡三角形3.選擇單元位移函數(shù)的一般原則3）多項式中的項數(shù)必須等于或稍大于單元邊界上的外節(jié)點的自由度數(shù)。通常是取項數(shù)與單元的外節(jié)點的自由度數(shù)相等。2）模式應(yīng)該與局部坐標(biāo)系的方位無關(guān)，這一性質(zhì)稱為幾何各向同性。1）要考慮到解的收斂性，即要考慮到完備性和協(xié)調(diào)性的要求。巴斯722.2.2單元應(yīng)變（2-10）（2-11）幾何方程：

2.2.2單元應(yīng)變（2-10）幾何方程：73[B]稱作幾何矩陣，是常數(shù)矩陣。因此，三角形單元是常應(yīng)變單元。[B]稱作幾何矩陣，是常數(shù)矩陣。因此，三角形單元是常應(yīng)變單元742.2.3單元應(yīng)力物理方程：單元應(yīng)力：令：[S]稱為單元應(yīng)力矩陣

由于三角形單元中的[D]，[B]矩陣都是常數(shù)矩陣，所以[S]矩陣也是常數(shù)矩陣。也就是說，三角形單元內(nèi)的應(yīng)力分量也是常量。

2.2.3單元應(yīng)力物理方程：單元應(yīng)力：令：[S]稱752.2.4單元剛度矩陣虛功方程：三角形單元：2.2.4單元剛度矩陣虛功方程：三角形單元：76令：單元平衡方程（剛度方程）單元剛度矩陣每個分塊矩陣均為2×2階方陣。三角形單元的剛度矩陣為6×6階方陣。令：單元平衡方程（剛度方程）單元剛度矩陣每個分塊矩陣均為2×77單元剛度矩陣有如下性質(zhì)：①每一個元素物理意義：是單位節(jié)點位移分量所引起的節(jié)點力分量。

②是對稱矩陣。③每一行（或列）元素之和為零。是奇異矩陣，④的元素決定于單元的形狀、大小、方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無關(guān)，即不隨單元（或坐標(biāo)軸）的平行移動或作（n為整數(shù)）角度的轉(zhuǎn)動而改變。

單元剛度矩陣按節(jié)點寫成分塊形式：單元剛度矩陣有如下性質(zhì)：單元剛度矩陣按節(jié)點寫成78

79例2-1如圖2-6所示平面應(yīng)力情形的直角三角形單元，直角邊長均為，厚度為t，彈性模量為E，泊松比為，求單元剛度矩陣。圖2-6直角三角形單元解：（1）求例2-1如圖2-6所示平面應(yīng)力情形的直角三角形單元80（2）求（3）求（4）求（2）求（3）求（4）求812.3整體分析結(jié)構(gòu)的整體分析就是將離散后的所有單元通過節(jié)點連接成原結(jié)構(gòu)物進(jìn)行分析?！傮w剛度矩陣?！麄€結(jié)構(gòu)上節(jié)點位移列陣——整個結(jié)構(gòu)上節(jié)點力列陣——整體平衡方程（整體剛度方程）分析過程：是將所有單元平衡方程組集在一起，形成總體平衡方程，引進(jìn)邊界條件后，求解整體節(jié)點位移向量。2.3整體分析結(jié)構(gòu)的整體分析就是將離散82平面問題的整體剛度矩陣是由相關(guān)單元的單元剛度矩陣中的分塊矩陣集合而成，按節(jié)點編號對號入座，即剛度集成法。它的集成規(guī)律有下列幾點：1）先對每個單元求出其單元剛度矩陣，以分塊形式按節(jié)點編號順序排列。2）將單元剛度矩陣擴(kuò)大階數(shù)為2n×2n，并將單元剛度矩陣中的分塊矩陣按局部碼與總碼的對應(yīng)關(guān)系，搬到擴(kuò)大后的矩陣中，形成單元貢獻(xiàn)矩陣。3）將所有單元貢獻(xiàn)矩陣同一位置上的分塊矩陣簡單疊加成總體剛度矩陣中的一個子矩陣，各行各列都按以上步驟即形成總體剛度矩陣?？傮w剛度矩陣為2n×2n階，亦即n×n階分塊矩陣，n為節(jié)點總數(shù)。平面問題的整體剛度矩陣是由相關(guān)單元的單元剛度矩83例2-2用剛度集成法求圖2-7所示結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣1）找出各單元局部碼與總碼的對應(yīng)關(guān)系解：2）分別寫出各個單元的分塊矩陣3）形成各單元貢獻(xiàn)陣?yán)?-2用剛度集成法求圖2-7所示結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣1）844）將擴(kuò)大后的4個單元貢獻(xiàn)陣相疊加，就得到總體剛度矩陣

整體剛度矩陣有以下一些性質(zhì)：1）整體剛度矩陣是對稱矩陣。2）整體剛度矩陣的主對角線上的元素總是正的。3）整體剛度矩陣是一個稀疏陣。4）整體剛度矩陣是一個奇異陣。4）將擴(kuò)大后的4個單元貢獻(xiàn)陣相疊加，就得到總體剛度矩陣整體85例2-3已知如圖a）所示的懸臂深梁，在右端面作用著均布拉力，其合力為P。采用如圖b）所示簡單網(wǎng)格，設(shè)，厚度為t。試求節(jié)點位移。a）b）解：１）求出各單元剛度矩陣?yán)?-3已知如圖a）所示的懸臂深梁，在右端面作用著均布86２）形成各單元貢獻(xiàn)矩陣３）形成總體剛度矩陣

２）形成各單元貢獻(xiàn)矩陣３）形成總體剛度矩陣87ANSYS有限元基礎(chǔ)教程課件-第2章88４）形成整體載荷列陣

５）形成整體節(jié)點位移列陣

６）形成整體平衡方程

４）形成整體載荷列陣５）形成整體節(jié)點位移列陣６）形成整89７）引入邊界條件，求節(jié)點位移“化1置0法”處理：若已知節(jié)點在方向位移為零，則令

中的元素為1，而第行和列的其余元素都為零，中的第個元素變?yōu)榱?。若已知?jié)點在方向位移為零，則令

中的元素為1，而第行和列的其余元素都為零，中的第個元素變?yōu)榱?。７）引入邊界條件，求節(jié)點位移“化1置0法”處理：若已知節(jié)點902.4

有限元法解題過程與算例

有限元法的具體解題過程為：1）將結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化，包括單元劃分、節(jié)點編號、單元編號、節(jié)點坐標(biāo)計算、位移約束條件的確定。2）等效節(jié)點力的計算。3）剛度矩陣的計算。4）建立整體平衡方程，引入約束條件，求解節(jié)點位移。5）應(yīng)力計算。2.4有限元法解題過程與算例有限元法的具體解題過程91例2-4如圖2-20a所示兩端固支的矩形深梁，跨度為2a，梁高為a，厚度為t，已知E，，承受均布壓力q，試用有限元法求解此平面應(yīng)力問題。a）b）圖2-20矩形深梁例2-4如圖2-20a所示兩端固支的矩形深梁，跨度為2a92解：利用對稱性，可取梁的一半分析，例如右半。1.劃分單元并準(zhǔn)備原始數(shù)據(jù)2.計算單元剛度矩陣231324解：利用對稱性，可取梁的一半分析，例如右半。1.劃分單元并933.集成整體剛度矩陣依照各單元局部編號與整體編號的對應(yīng)關(guān)系，兩個單元的貢獻(xiàn)矩陣分別為再集成整體剛度矩陣3.集成整體剛度矩陣依照各單元局部編號與整體944.處理載荷，形成整體平衡方程整體節(jié)點載荷列陣為組成結(jié)構(gòu)整體平衡方程4.處理載荷，形成整體平衡方程整體節(jié)點載荷列陣為組成結(jié)構(gòu)955.引入位移邊界條件，求解節(jié)點位移由于5.引入位移邊界條件，求解節(jié)點位移由于966.應(yīng)力計算在整體分析中求得節(jié)點位移之后，為了計算結(jié)構(gòu)上任意一點的應(yīng)變或應(yīng)力，應(yīng)該又返回到單元分析中去。計算單元①的應(yīng)力矩陣由整體節(jié)點位移向量獲取單元節(jié)點位移向量6.應(yīng)力計算計算單元①的應(yīng)力矩陣由整體節(jié)點位移向量獲取單元97計算應(yīng)力計算應(yīng)力982.5單元等效節(jié)點力一、單元自重三角形單元的厚度為t，重度為，面積為，自重沿y軸負(fù)方向。受自重載荷情形的等效節(jié)點力為單元重量的1/3。

圖2-14三角形單元

介紹幾種常用載荷作用下的等效節(jié)點力2.5單元等效節(jié)點力一、單元自重三角形單元99二、均布面力三角形單元的厚度為t，ij邊的長度為，集度為圖2-15受均布面力三角形單元相當(dāng)于把作用于ij邊上的表面力按靜力等效平均分配到該邊兩端的節(jié)點上。二、均布面力三角形單元的厚度為t，ij邊的100三、線性分布面力三角形單元的厚度為t，ij邊的長度為，表面力在點集度為圖2-16受線性分布面力三角形單元

相當(dāng)于將總載荷的2/3分配給點，1/3分配給點。

三、線性分布面力三角形單元的厚度為t，ij1012.6邊界條件的處理常用的且比較方便的做法是以某種方法引入已知的節(jié)點位移（包括零位移約束），而保持方程原有的數(shù)目不變，只是修

和中某些元素，以避免計算機(jī)存儲作大的變動。2.6邊界條件的處理常用的且比較方便的做102

1、“化1置0法”----為節(jié)點總碼編號1、“化1置0法”----為節(jié)點總碼編號103設(shè)已知節(jié)點位移為，當(dāng)引進(jìn)上述已知節(jié)點位移后，方程變成例如：為說明這一過程，現(xiàn)考察一個只有四個方程的簡單例子設(shè)已知節(jié)點位移為，當(dāng)1042、“乘大數(shù)法”設(shè)已知節(jié)點位移為，當(dāng)引進(jìn)上述已知節(jié)點位移后，方程變成2、“乘大數(shù)法”設(shè)已知節(jié)點位移為1052.7計算結(jié)果的整理繞節(jié)點平均法：

ABCDEF把環(huán)繞該節(jié)點的各單元應(yīng)力加以平均，視為該節(jié)點的應(yīng)力。2.7計算結(jié)果的整理繞節(jié)點平均法：AB106兩單元平均法：把相鄰兩單元應(yīng)力的平均值作為公共邊中