現(xiàn)代控制理論第六章分析課件

第六章?tīng)顟B(tài)反饋和狀態(tài)觀(guān)測(cè)器

6.1狀態(tài)反饋的定義及其性質(zhì)6.2極點(diǎn)配置6.3應(yīng)用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)解耦控制6.4狀態(tài)觀(guān)測(cè)器第六章?tīng)顟B(tài)反饋和狀態(tài)觀(guān)測(cè)器

6.1狀態(tài)反饋的定義及其性16.1狀態(tài)反饋的定義及其性質(zhì)則閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖6.1.1所示。給定系統(tǒng)在系統(tǒng)中引入反饋控制律6.1狀態(tài)反饋的定義及其性質(zhì)則閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖6.1.2的狀態(tài)空間表達(dá)式為：圖6.1.1的狀態(tài)空間表達(dá)式為：圖6.1.13狀態(tài)反饋性質(zhì)(1)時(shí)，為單純的狀態(tài)變量反饋。若，則，狀態(tài)反饋就等價(jià)于輸。出反饋。若，則狀態(tài)反饋性質(zhì)(1)時(shí)，為單純的狀態(tài)變量反饋。若，則，狀態(tài)反4①利用矩陣運(yùn)算直接可推出（見(jiàn)書(shū)）(2)D=0時(shí)，可以求得閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣②在圖6.1.1中令并改用圖6.1.2表示①利用矩陣運(yùn)算直接可推出（見(jiàn)書(shū)）(2)D=0時(shí)，可以求得閉5圖6.1.2圖6.1.26

和輸出反饋所組成從到b的傳遞函數(shù)矩陣。輸出反饋傳遞函數(shù)陣的公式求出，不難用(為單位矩陣)圖中a和b之間的部分，可以看成是由系統(tǒng)和輸出反饋所組成從到b的傳遞函數(shù)矩陣。輸出反饋傳遞函數(shù)陣7于是，從到的傳遞函數(shù)矩陣即為于是，從到的傳遞函數(shù)矩陣即為8證注意到系統(tǒng)和的能控性矩陣分別為由，可知的列向量可以由

的列向量的線(xiàn)性組合表示。

定理6.1.1對(duì)于任何實(shí)常量矩陣，系統(tǒng)完全能控的充要條件是系統(tǒng)完全能控。證注意到系統(tǒng)和的能控性矩陣分別為由，可知的列向量可以9

的列向量可以由()的的線(xiàn)性組合表示。列向量依此類(lèi)推，不難看出≤的線(xiàn)性組合表示。這意味著的列向量可以由的列向量的列向量可以由()的的線(xiàn)性組合表示。列向量依此類(lèi)推，不難10系統(tǒng)也可看成是由系統(tǒng)經(jīng)過(guò)狀態(tài)反饋而獲得的，因此，同理有于是定理得證。所以系統(tǒng)的能控性等價(jià)于系統(tǒng)的能控性，系統(tǒng)也可看成是由系統(tǒng)經(jīng)過(guò)狀態(tài)反饋而獲得的，因此，同理有11

完全能控能觀(guān)，引入反饋例6.1.1系統(tǒng)完全能控能觀(guān)，引入反饋例6.1.1系統(tǒng)12

：不難判斷，系統(tǒng)仍然是能控的，但已不再能觀(guān)測(cè)。則閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：不難判斷，系統(tǒng)仍然是能控的，但已不再能觀(guān)測(cè)。則閉環(huán)系統(tǒng)13

定理6.2.1給定系統(tǒng)通過(guò)狀態(tài)反饋任意配置極點(diǎn)的充完全能控。要條件6.2.1極點(diǎn)配置定理6.2極點(diǎn)配置定理6.2.1給定系統(tǒng)通過(guò)狀態(tài)反饋任意配置極點(diǎn)的充完全能14證:只就單輸入系統(tǒng)的情況證明本定理充分性：因?yàn)榻o定系統(tǒng)能控，故通過(guò)等價(jià)變換必能將它變?yōu)槟芸貥?biāo)準(zhǔn)形

這里，為非奇異的實(shí)常量等價(jià)變換矩陣，且有，證:只就單輸入系統(tǒng)的情況證明本定理充分性：因?yàn)榻o定系統(tǒng)15對(duì)式(6.2.2)引入狀態(tài)反饋則閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為對(duì)式(6.2.2)引入狀態(tài)反饋則閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為16

其中，顯然有系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為其中，顯然有系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為17同時(shí)，由指定的任意個(gè)期望閉環(huán)極點(diǎn)可求得期望的閉環(huán)特征方程通過(guò)比較系數(shù)，可知同時(shí)，由指定的任意個(gè)期望閉環(huán)極點(diǎn)可求得期望的閉環(huán)特征方程18由此即有又因?yàn)樗杂纱思从杏忠驗(yàn)樗?9

且對(duì)任意，有非奇異變換陣使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解必要性：采用反證法，設(shè)不完全能控，則必且對(duì)任意，有非奇異變換陣使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解必要性：采用反20解：因?yàn)槔?.2.1給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為求狀態(tài)反饋增益陣，使反饋后閉環(huán)特征值為系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控，通過(guò)狀態(tài)反饋控制律能配置閉環(huán)特征值。任意解：因?yàn)槔?.2.1給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為求狀態(tài)反饋211)由得2)由得3)1)由得2)由得3)224)5)4)5)236)算法2：直接配置1)將帶入系統(tǒng)狀態(tài)方程，求得閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式

其中,是反饋矩陣的函數(shù)6)算法2：直接配置1)將帶入系統(tǒng)狀態(tài)方程，242)計(jì)算理想特征多項(xiàng)式3)列方程組

并求解。

其解,即為所求例6.2.2同例6.2.1。解：設(shè)所需的狀態(tài)反饋增益矩陣k為因?yàn)榻?jīng)過(guò)狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為的2)計(jì)算理想特征多項(xiàng)式3)列方程組25根據(jù)要求的閉環(huán)期望極點(diǎn)，可求得閉環(huán)期望特征多項(xiàng)式為根據(jù)要求的閉環(huán)期望極點(diǎn)，可求得閉環(huán)期望特征多項(xiàng)式為26比較兩多項(xiàng)式同次冪的系數(shù)，有：8,812,42321211=++=++=+kkkkkk得：即得狀態(tài)反饋增益矩陣為:

與例6.2.1的結(jié)果相同6.2.3討論狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的維數(shù)，但是閉環(huán)傳遞函數(shù)的階次可能會(huì)降低，這是由分子分母的公因子被對(duì)消所致。(1)比較兩多項(xiàng)式同次冪的系數(shù)，有：8,812,4232121127對(duì)于單輸入單輸出系統(tǒng)，狀態(tài)反饋不會(huì)移動(dòng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。(2)若系統(tǒng)是不完全能控的，可將其狀態(tài)方程變換成如下形式：(3)

其中，的特征值不能任意配置。(4)系統(tǒng)綜合往往需要將不穩(wěn)定的極點(diǎn)，移到

s平面的左半部，這一過(guò)程稱(chēng)為系統(tǒng)鎮(zhèn)定。

只有的全部特征值都具有負(fù)實(shí)部時(shí)，系統(tǒng)才能穩(wěn)定。對(duì)于單輸入單輸出系統(tǒng)，狀態(tài)反饋不會(huì)移動(dòng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。(286.3應(yīng)用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)解耦控制6.3.1問(wèn)題的提出考慮MIMO系統(tǒng)

(6.3.1)6.3應(yīng)用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)解耦控制6.3.1問(wèn)題的提出考慮M29式(6.3.2)可寫(xiě)為在的條件下，輸出與輸入之間的關(guān)系，可用傳遞函數(shù)描述：(6.3.2)式(6.3.2)可寫(xiě)為在的條件下，輸出與輸入之間的關(guān)系，可30每一個(gè)輸入控制著多個(gè)輸出，而每一個(gè)輸出被多少個(gè)輸入所控制我們稱(chēng)這種交互作用的現(xiàn)象為耦合。一般說(shuō)來(lái)，控制多輸入多輸出系統(tǒng)是頗為困的。例如,要找到一組輸入如能找出一些控制律，每個(gè)輸出受且只受一個(gè)輸入的控制，這必將大大的簡(jiǎn)化控制實(shí)現(xiàn)這樣的?？刂品Q(chēng)為解耦控制，或者簡(jiǎn)稱(chēng)為解耦。每一個(gè)輸入控制著多個(gè)輸出，而每一個(gè)輸出被多少個(gè)輸入所控制我們312)狀態(tài)反饋控制律采用如下形式：3)輸入變換矩陣為非奇異的圖6.3.1+-1)即系統(tǒng)的輸出個(gè)數(shù)等于輸入個(gè)數(shù)；三個(gè)基本假定：2)狀態(tài)反饋控制律采用如下形式：3)輸入變換矩陣為非奇異的32解耦控制問(wèn)題:尋找一個(gè)輸入變換矩陣和狀態(tài)反饋增益矩陣對(duì),使得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣顯然，經(jīng)過(guò)解耦的系統(tǒng)可以看成是由個(gè)獨(dú)立單變量子系統(tǒng)所組成。解耦控制問(wèn)題:尋找一個(gè)輸入變換矩陣和狀態(tài)反饋,使得系統(tǒng)的傳遞33圖

6.3.2圖6.3.2346.3.2實(shí)現(xiàn)解耦控制的條件和主要結(jié)論定義兩個(gè)特征量并簡(jiǎn)要介紹它們的一些性質(zhì)。1)已知傳遞函數(shù)陣其中都是嚴(yán)格真的有理分式(或者為零)。令是的分母的次數(shù)與分子的次數(shù)之差6.3.2實(shí)現(xiàn)解耦控制的條件和主要結(jié)論定義兩個(gè)特征量并簡(jiǎn)要35此處的表示的第行。不難看出

由

所唯一確定的

(2)若A,B,C已知，則狀態(tài)反饋不改變此處的表示的第行。不難看出由所唯一確定的(2)36例6.3.1給定系統(tǒng)其中:例6.3.1給定系統(tǒng)其中:37其傳遞函數(shù)矩陣為:得到:其傳遞函數(shù)矩陣為:得到:38因也可求得同樣，由兩種方法求得的也相同。因也可求得同樣，由兩種方法求得的也相同。39定理6.3.1前面系統(tǒng)在狀態(tài)反饋下實(shí)現(xiàn)解耦控制的充要條件是為非奇異。其中，定理6.3.1前面系統(tǒng)在狀態(tài)反饋下實(shí)現(xiàn)解耦控制的充要條件40證：對(duì)等式兩邊分別求導(dǎo)，根據(jù)和的定義可知證：對(duì)等式兩邊分別求導(dǎo)，根據(jù)和的定義可知41當(dāng)且僅當(dāng)矩陣為非奇異時(shí)，由方程組可唯一確定出和在狀態(tài)反饋下,有:當(dāng)且僅當(dāng)矩陣為非奇異時(shí)，由方程組可唯一確定出42輸出僅與輸入有關(guān),且僅能控制。定理得證在狀態(tài)反饋下，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為:輸出僅與輸入有關(guān),且僅能控制。定理得證43

其傳遞函數(shù)矩陣為:其傳遞函數(shù)矩陣為:446.3.3算法和推論

算法：1)求出系統(tǒng)的2)構(gòu)成矩陣，若非奇異，則可實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋解耦；否則，不能狀態(tài)反饋解耦。3)求取矩陣和,則就是所需的狀態(tài)反饋控制律。6.3.3算法和推論算法：2)構(gòu)成矩陣，若非45例6.3.2給定系統(tǒng)試求使其實(shí)現(xiàn)解耦控制的狀態(tài)反饋控制律和解耦后的傳遞函數(shù)矩陣。例6.3.2給定系統(tǒng)試求使其實(shí)現(xiàn)解耦控制的狀態(tài)反饋控制律46解：1)在例6.3.1中已求得

2)因?yàn)闉榉瞧娈惖?所以可狀態(tài)反饋解耦.3)因?yàn)樗杂薪猓?)在例6.3.1中已求得47于是4)反饋后，對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)有于是4)反饋后，對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)有48推論：1)能否態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)解耦控制取決于和。2)求得，，則解耦系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣即可確定。3)系統(tǒng)解耦后，每個(gè)SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)均為重積分形式。須對(duì)它進(jìn)一步施以極點(diǎn)配置。4)要求系統(tǒng)能控，或者至少能鎮(zhèn)定否則不能。保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。推論：1)能否態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)解耦控制取決于和。2)496.4狀態(tài)觀(guān)測(cè)器問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是構(gòu)造一個(gè)新的系統(tǒng)(或者說(shuō)裝置)，利用原系統(tǒng)中可直接測(cè)量的輸入量和輸出量作為它的輸入信號(hào)，并使其輸出信號(hào)滿(mǎn)足6.4.1狀態(tài)觀(guān)測(cè)器的存在條件定理6.4.1給定線(xiàn)性系統(tǒng)6.4狀態(tài)觀(guān)測(cè)器問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是構(gòu)造一個(gè)新的系統(tǒng)(或者說(shuō)50證:因?yàn)樽C:因?yàn)?1即所以,只有當(dāng)時(shí)，上式中的才能有唯一解即只有當(dāng)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀(guān)測(cè)時(shí),狀態(tài)向量才能由以及它們的各階導(dǎo)數(shù)的線(xiàn)性組合構(gòu)造出來(lái)。即所以,只有當(dāng)時(shí)，上式中的才能有唯一解即526.4.2全維狀態(tài)觀(guān)測(cè)器開(kāi)環(huán)狀態(tài)估計(jì)器：構(gòu)造一個(gè)與原系統(tǒng)完全相同的模擬裝置(1)6.4.2全維狀態(tài)觀(guān)測(cè)器開(kāi)環(huán)狀態(tài)估計(jì)器：構(gòu)造一個(gè)與原系統(tǒng)完53圖6.4.1圖6.4.154從所構(gòu)造的這一裝置可以直接測(cè)量。這種開(kāi)環(huán)狀態(tài)估計(jì)器存在如下缺點(diǎn)：每次使用必須重新確定原系統(tǒng)的初始狀態(tài)并對(duì)估計(jì)器實(shí)施設(shè)置；①②在

有正實(shí)部特征值時(shí)，最終總要趨向無(wú)窮大。(2)閉環(huán)全維狀態(tài)觀(guān)測(cè)器。狀態(tài)觀(guān)測(cè)器的動(dòng)態(tài)方程可寫(xiě)為：從所構(gòu)造的這一裝置可以直接測(cè)量。這種開(kāi)環(huán)狀態(tài)估計(jì)器存在如下缺55因?yàn)?/p>

其解為若,則有由于,觀(guān)測(cè)器中的特征值配置問(wèn)題等價(jià)與對(duì)偶系統(tǒng)中極點(diǎn)配置問(wèn)題。定理6.4.2若n維線(xiàn)性定常系統(tǒng)是狀態(tài)完能觀(guān)，則存在狀態(tài)觀(guān)測(cè)器因?yàn)槠浣鉃槿?則有由于56其估計(jì)誤差滿(mǎn)足在負(fù)共軛特征值成對(duì)出現(xiàn)的條件下，可選擇矩陣來(lái)任意配置的特征值。例6.4.1為例6.2.1的系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)全維狀態(tài)觀(guān)測(cè)器，并使觀(guān)測(cè)器的極點(diǎn)為，。解:系統(tǒng)完全能觀(guān)測(cè)的，可構(gòu)造任意配置特征值全維狀態(tài)觀(guān)測(cè)器。1)由,得；其估計(jì)誤差滿(mǎn)足在負(fù)共軛特征值成對(duì)出現(xiàn)572)觀(guān)測(cè)器的期望特征多項(xiàng)式為得；3)4)2)觀(guān)測(cè)器的期望特征多項(xiàng)式為3)4)585)6)5)6)59得全維狀態(tài)觀(guān)測(cè)器得全維狀態(tài)觀(guān)測(cè)器60其模擬結(jié)構(gòu)如圖為圖6.4.2返回其模擬結(jié)構(gòu)如圖為圖6.4.2返回61第六章?tīng)顟B(tài)反饋和狀態(tài)觀(guān)測(cè)器

6.1狀態(tài)反饋的定義及其性質(zhì)6.2極點(diǎn)配置6.3應(yīng)用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)解耦控制6.4狀態(tài)觀(guān)測(cè)器第六章?tīng)顟B(tài)反饋和狀態(tài)觀(guān)測(cè)器

6.1狀態(tài)反饋的定義及其性626.1狀態(tài)反饋的定義及其性質(zhì)則閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖6.1.1所示。給定系統(tǒng)在系統(tǒng)中引入反饋控制律6.1狀態(tài)反饋的定義及其性質(zhì)則閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖6.1.63的狀態(tài)空間表達(dá)式為：圖6.1.1的狀態(tài)空間表達(dá)式為：圖6.1.164狀態(tài)反饋性質(zhì)(1)時(shí)，為單純的狀態(tài)變量反饋。若，則，狀態(tài)反饋就等價(jià)于輸。出反饋。若，則狀態(tài)反饋性質(zhì)(1)時(shí)，為單純的狀態(tài)變量反饋。若，則，狀態(tài)反65①利用矩陣運(yùn)算直接可推出（見(jiàn)書(shū)）(2)D=0時(shí)，可以求得閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣②在圖6.1.1中令并改用圖6.1.2表示①利用矩陣運(yùn)算直接可推出（見(jiàn)書(shū)）(2)D=0時(shí)，可以求得閉66圖6.1.2圖6.1.267

和輸出反饋所組成從到b的傳遞函數(shù)矩陣。輸出反饋傳遞函數(shù)陣的公式求出，不難用(為單位矩陣)圖中a和b之間的部分，可以看成是由系統(tǒng)和輸出反饋所組成從到b的傳遞函數(shù)矩陣。輸出反饋傳遞函數(shù)陣68于是，從到的傳遞函數(shù)矩陣即為于是，從到的傳遞函數(shù)矩陣即為69證注意到系統(tǒng)和的能控性矩陣分別為由，可知的列向量可以由

的列向量的線(xiàn)性組合表示。

定理6.1.1對(duì)于任何實(shí)常量矩陣，系統(tǒng)完全能控的充要條件是系統(tǒng)完全能控。證注意到系統(tǒng)和的能控性矩陣分別為由，可知的列向量可以70

的列向量可以由()的的線(xiàn)性組合表示。列向量依此類(lèi)推，不難看出≤的線(xiàn)性組合表示。這意味著的列向量可以由的列向量的列向量可以由()的的線(xiàn)性組合表示。列向量依此類(lèi)推，不難71系統(tǒng)也可看成是由系統(tǒng)經(jīng)過(guò)狀態(tài)反饋而獲得的，因此，同理有于是定理得證。所以系統(tǒng)的能控性等價(jià)于系統(tǒng)的能控性，系統(tǒng)也可看成是由系統(tǒng)經(jīng)過(guò)狀態(tài)反饋而獲得的，因此，同理有72

完全能控能觀(guān)，引入反饋例6.1.1系統(tǒng)完全能控能觀(guān)，引入反饋例6.1.1系統(tǒng)73

：不難判斷，系統(tǒng)仍然是能控的，但已不再能觀(guān)測(cè)。則閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：不難判斷，系統(tǒng)仍然是能控的，但已不再能觀(guān)測(cè)。則閉環(huán)系統(tǒng)74

定理6.2.1給定系統(tǒng)通過(guò)狀態(tài)反饋任意配置極點(diǎn)的充完全能控。要條件6.2.1極點(diǎn)配置定理6.2極點(diǎn)配置定理6.2.1給定系統(tǒng)通過(guò)狀態(tài)反饋任意配置極點(diǎn)的充完全能75證:只就單輸入系統(tǒng)的情況證明本定理充分性：因?yàn)榻o定系統(tǒng)能控，故通過(guò)等價(jià)變換必能將它變?yōu)槟芸貥?biāo)準(zhǔn)形

這里，為非奇異的實(shí)常量等價(jià)變換矩陣，且有，證:只就單輸入系統(tǒng)的情況證明本定理充分性：因?yàn)榻o定系統(tǒng)76對(duì)式(6.2.2)引入狀態(tài)反饋則閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為對(duì)式(6.2.2)引入狀態(tài)反饋則閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為77

其中，顯然有系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為其中，顯然有系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為78同時(shí)，由指定的任意個(gè)期望閉環(huán)極點(diǎn)可求得期望的閉環(huán)特征方程通過(guò)比較系數(shù)，可知同時(shí)，由指定的任意個(gè)期望閉環(huán)極點(diǎn)可求得期望的閉環(huán)特征方程79由此即有又因?yàn)樗杂纱思从杏忠驗(yàn)樗?0

且對(duì)任意，有非奇異變換陣使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解必要性：采用反證法，設(shè)不完全能控，則必且對(duì)任意，有非奇異變換陣使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解必要性：采用反81解：因?yàn)槔?.2.1給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為求狀態(tài)反饋增益陣，使反饋后閉環(huán)特征值為系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控，通過(guò)狀態(tài)反饋控制律能配置閉環(huán)特征值。任意解：因?yàn)槔?.2.1給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為求狀態(tài)反饋821)由得2)由得3)1)由得2)由得3)834)5)4)5)846)算法2：直接配置1)將帶入系統(tǒng)狀態(tài)方程，求得閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式

其中,是反饋矩陣的函數(shù)6)算法2：直接配置1)將帶入系統(tǒng)狀態(tài)方程，852)計(jì)算理想特征多項(xiàng)式3)列方程組

并求解。

其解,即為所求例6.2.2同例6.2.1。解：設(shè)所需的狀態(tài)反饋增益矩陣k為因?yàn)榻?jīng)過(guò)狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為的2)計(jì)算理想特征多項(xiàng)式3)列方程組86根據(jù)要求的閉環(huán)期望極點(diǎn)，可求得閉環(huán)期望特征多項(xiàng)式為根據(jù)要求的閉環(huán)期望極點(diǎn)，可求得閉環(huán)期望特征多項(xiàng)式為87比較兩多項(xiàng)式同次冪的系數(shù)，有：8,812,42321211=++=++=+kkkkkk得：即得狀態(tài)反饋增益矩陣為:

與例6.2.1的結(jié)果相同6.2.3討論狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的維數(shù)，但是閉環(huán)傳遞函數(shù)的階次可能會(huì)降低，這是由分子分母的公因子被對(duì)消所致。(1)比較兩多項(xiàng)式同次冪的系數(shù)，有：8,812,4232121188對(duì)于單輸入單輸出系統(tǒng)，狀態(tài)反饋不會(huì)移動(dòng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。(2)若系統(tǒng)是不完全能控的，可將其狀態(tài)方程變換成如下形式：(3)

其中，的特征值不能任意配置。(4)系統(tǒng)綜合往往需要將不穩(wěn)定的極點(diǎn)，移到

s平面的左半部，這一過(guò)程稱(chēng)為系統(tǒng)鎮(zhèn)定。

只有的全部特征值都具有負(fù)實(shí)部時(shí)，系統(tǒng)才能穩(wěn)定。對(duì)于單輸入單輸出系統(tǒng)，狀態(tài)反饋不會(huì)移動(dòng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。(896.3應(yīng)用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)解耦控制6.3.1問(wèn)題的提出考慮MIMO系統(tǒng)

(6.3.1)6.3應(yīng)用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)解耦控制6.3.1問(wèn)題的提出考慮M90式(6.3.2)可寫(xiě)為在的條件下，輸出與輸入之間的關(guān)系，可用傳遞函數(shù)描述：(6.3.2)式(6.3.2)可寫(xiě)為在的條件下，輸出與輸入之間的關(guān)系，可91每一個(gè)輸入控制著多個(gè)輸出，而每一個(gè)輸出被多少個(gè)輸入所控制我們稱(chēng)這種交互作用的現(xiàn)象為耦合。一般說(shuō)來(lái)，控制多輸入多輸出系統(tǒng)是頗為困的。例如,要找到一組輸入如能找出一些控制律，每個(gè)輸出受且只受一個(gè)輸入的控制，這必將大大的簡(jiǎn)化控制實(shí)現(xiàn)這樣的。控制稱(chēng)為解耦控制，或者簡(jiǎn)稱(chēng)為解耦。每一個(gè)輸入控制著多個(gè)輸出，而每一個(gè)輸出被多少個(gè)輸入所控制我們922)狀態(tài)反饋控制律采用如下形式：3)輸入變換矩陣為非奇異的圖6.3.1+-1)即系統(tǒng)的輸出個(gè)數(shù)等于輸入個(gè)數(shù)；三個(gè)基本假定：2)狀態(tài)反饋控制律采用如下形式：3)輸入變換矩陣為非奇異的93解耦控制問(wèn)題:尋找一個(gè)輸入變換矩陣和狀態(tài)反饋增益矩陣對(duì),使得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣顯然，經(jīng)過(guò)解耦的系統(tǒng)可以看成是由個(gè)獨(dú)立單變量子系統(tǒng)所組成。解耦控制問(wèn)題:尋找一個(gè)輸入變換矩陣和狀態(tài)反饋,使得系統(tǒng)的傳遞94圖

6.3.2圖6.3.2956.3.2實(shí)現(xiàn)解耦控制的條件和主要結(jié)論定義兩個(gè)特征量并簡(jiǎn)要介紹它們的一些性質(zhì)。1)已知傳遞函數(shù)陣其中都是嚴(yán)格真的有理分式(或者為零)。令是的分母的次數(shù)與分子的次數(shù)之差6.3.2實(shí)現(xiàn)解耦控制的條件和主要結(jié)論定義兩個(gè)特征量并簡(jiǎn)要96此處的表示的第行。不難看出

由

所唯一確定的

(2)若A,B,C已知，則狀態(tài)反饋不改變此處的表示的第行。不難看出由所唯一確定的(2)97例6.3.1給定系統(tǒng)其中:例6.3.1給定系統(tǒng)其中:98其傳遞函數(shù)矩陣為:得到:其傳遞函數(shù)矩陣為:得到:99因也可求得同樣，由兩種方法求得的也相同。因也可求得同樣，由兩種方法求得的也相同。100定理6.3.1前面系統(tǒng)在狀態(tài)反饋下實(shí)現(xiàn)解耦控制的充要條件是為非奇異。其中，定理6.3.1前面系統(tǒng)在狀態(tài)反饋下實(shí)現(xiàn)解耦控制的充要條件101證：對(duì)等式兩邊分別求導(dǎo)，根據(jù)和的定義可知證：對(duì)等式兩邊分別求導(dǎo)，根據(jù)和的定義可知102當(dāng)且僅當(dāng)矩陣為非奇異時(shí)，由方程組可唯一確定出和在狀態(tài)反饋下,有:當(dāng)且僅當(dāng)矩陣為非奇異時(shí)，由方程組可唯一確定出103輸出僅與輸入有關(guān),且僅能控制。定理得證在狀態(tài)反饋下，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為:輸出僅與輸入有關(guān),且僅能控制。定理得證104

其傳遞函數(shù)矩陣為:其傳遞函數(shù)矩陣為:1056.3.3算法和推論

算法：1)求出系統(tǒng)的2)構(gòu)成矩陣，若非奇異，則可實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋解耦；否則，不能狀態(tài)反饋解耦。3)求取矩陣和,則就是所需的狀態(tài)反饋控制律。6.3.3算法和推論算法：2)構(gòu)成矩陣，若非106例6.3.2給定系統(tǒng)試求使其實(shí)現(xiàn)解耦控制的狀態(tài)反饋控制律和解耦后的傳遞函數(shù)矩陣。例6.3.2給定系統(tǒng)試求使其實(shí)現(xiàn)解耦控制的狀態(tài)反饋控制律107解：1)在例6.3.1中已求得

2)因?yàn)闉榉瞧娈惖?所以可狀態(tài)反饋解耦.3)因?yàn)樗杂薪猓?)在例6.3.1中已求得108于是4)反饋后，對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)有于是4)反饋后，對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)有109推論：1)能否態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)解耦控制取決于和。2)求得，，則解耦系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣即可確定。3)系統(tǒng)解耦后，每個(gè)SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)均為重積分形式。須對(duì)它進(jìn)一步施以極點(diǎn)配置。4)要求系統(tǒng)能控，或者至少能鎮(zhèn)定否則不能。保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。推論：1)能否態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)解