高階差分方程課件

第6章高階差分方程12/21/20221在離散時間分析中可能出現(xiàn)這種情況：t期的經(jīng)濟(jì)變量，比如yt，不僅取決于yt-1，而且取決于yt-2。這樣便引出了二階差分方程。嚴(yán)格地講，二階差分方程是一個包含表達(dá)式Δ2yt，但不含高于二階差分的方程。Δ2yt讀作yt的二階差分。而符號Δ2是符號d2y／dt2在離散時間情況下的對應(yīng)物，表示“取二階差分”如下：Δ2yt=Δ(Δyt)=Δ(yt+1-yt)=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt12/21/20222經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟因此，yt的二階差分可以轉(zhuǎn)換為包含兩期時滯的項的和。因為像Δ2yt和Δyt這樣的表達(dá)式寫起來很麻煩，所以我們將二階差分方程重新定義為包含變量的兩期時滯的方程。類似地，三階差分方程為包含三期時滯的方程；等等。我們首先集中討論二階差分方程的解法，然后再在后面的章節(jié)中將其推廣至高階差分方程。為控制討論的范圍，在本章，我們僅討論常系數(shù)線性差分方程。但對常數(shù)項和可變項兩種形式，均作考察。12/21/20223經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟特別積分是12/21/20225經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟為求出余函數(shù)，我們必須集討論簡化方程yt+2+a1yt+1+a2y＝0解一階差分方程的經(jīng)驗告訴我們，Abt式在這種方程的通解中起非常重要的作用。因此，我們先試探形式為yt＝Abt的解，它自然意味著yt+1＝Abt+1，等等。我們的任務(wù)便是確定A和b的值。將試探解代入簡化方程，方程變成Abt+2+a1Abt+1+a2Abt＝0或在消去（非零）共同因子Abt后，有b2+a1b+a2＝012/21/20226經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟此二階差分方程的特征方程與二階微分方程的特征方程具有可比性。它具有兩個特征根：對解Abt中的b而言，上述每個根都是可接受的。事實上，b1和b2均應(yīng)在齊次差分方程的通解中出現(xiàn)，恰如在微分方程中的情況一樣，此通解必然包括兩個線性無關(guān)的部分，每一部分都有自己的任意乘積常數(shù)。與微分方程特征根的三種情況一樣，差分方程的特征根也有三種情況：兩個不相等的實數(shù)根、兩個相等的實數(shù)根和一對共軛復(fù)數(shù)根。12/21/20227經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟第一種情況（不同的實根）：當(dāng)a12＞4a2時，b1和b2為不同的實根。在這種情況下，b1t和b2t線性無關(guān)，余函數(shù)可以簡單地寫成b1t和b2t的線性組合，即yc=A1b1t+A2b2t。12/21/20228經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟例：求下列方程的通解（1）；（2）；（3）12/21/202210經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟令t=0和t=1則：按照初始條件，令y0=10和y1=36，則A1+A2+2=102A1+8A2+2=36聯(lián)立方程求解A1＝5和A2=3，最后把它代入通解中可得特解：12/21/202212經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟(3)該方程的特別積分為：該方程的特征方程為：b2-2b+1=0，所以特征根為：所以，因此，方程的通解為12/21/202214經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟第三種情況（復(fù)數(shù)根）：當(dāng)a12＜4a2時，b1和b2為一對共軛復(fù)數(shù)根。具體地，根的形式為h±vi，其中因此，余函數(shù)變成：yc=A1b1t+A2b2t=A1(h+vi)t+A2(h-vi)t上式表明，解釋yc并不容易。但幸運的是，由于棣莫弗定理，此余函數(shù)很容易化為三角函數(shù)，而三角函數(shù)我們已知如何解釋。具體如下。12/21/202215經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟若令v=Rsinθ，h=Rcosθ，則共軛復(fù)數(shù)可以變換如下：h±vi＝Rcosθ±Risinθ＝R（cosθ±isinθ）。進(jìn)而，由歐拉關(guān)系（即eiθ=cosθ+isinθ，e-iθ=cosθ-isinθ）可再寫成h±vi＝Re±iθ則相應(yīng)地（h+vi）n＝(Reiθ)n=Rneinθ類似地，（h-vi）n＝(Re-iθ)n=Re-inθ所以(h±vi)n＝[R(cosnθ±isinnθ)]n＝Rn(cosnθ±isinnθ)此即為棣莫弗定理。根據(jù)棣莫弗定理，可以寫出(h±vi)t＝[R(cosnθ±isinnθ)]t＝Rt(costθ±isintθ)12/21/202216經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟其中，θ為（0，2π）內(nèi)的角，以弧度度量。它滿足條件12/21/202217經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟因此，余函數(shù)可以變換如下：yc=A1Rt(cosθt+isinθt)+A2Rt(cosθt-isinθt)＝Rt[(A1+A2)cosθt+（A1-A2）isinθt)]＝Rt（A5cosθt+A6sinθt)該余函數(shù)表達(dá)式與其在微分方程中的對應(yīng)物有兩點重要區(qū)別。首先，表達(dá)式cosθt和sinθt巳取代了原來使用的cosvt和sinvt。其次，乘積因子Rt(以R為底的指數(shù))已取代了自然指數(shù)式eht?？傊?，我們已由復(fù)根的笛卡爾坐標(biāo)系(h和v)轉(zhuǎn)換到極坐標(biāo)系(R和θ)。一旦h和v已知，則R和θ的值可由此確定，或可由參數(shù)a1和a2直接確定。12/21/202218經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟因而，余函數(shù)為為求yp，我們在完備方程中嘗試常數(shù)解yp＝k。這產(chǎn)生k＝4，因此yp＝4，且通解可以寫成：12/21/202220經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟時間路徑的收斂性同在一階差分方程中的情況一樣。時間路徑y(tǒng)t的收斂性僅取決于當(dāng)t→∞時，yc是否趨近于零。因此，我們在關(guān)于t的7個區(qū)域分布圖中所了解的關(guān)于bt式的各種圖形仍可應(yīng)用，盡管在這里我們必須考察兩個特征根，而非一個特征根。12/21/202221經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟我們將絕對值較大的那個根稱作強(qiáng)根。由此看來，實際決定時間路徑的特征，至少是關(guān)于其斂散性這一特征的是強(qiáng)根。因此，我們可以這樣表述；無論初始條件如何，當(dāng)且僅當(dāng)強(qiáng)根的絕對值小于1時，時間路徑將是收斂的。但要注意，盡管收斂性最終僅取決于強(qiáng)根，但非強(qiáng)根也會對時間路徑施加一定的影響，至少在起始階段是如此。因此yt的確切圖形仍取決于兩個根。12/21/202223經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟其次考察重根的情況，此時余函數(shù)包含項A3bt和A4tbt。前者我們早巳熟悉，但對后者(它包含一個乘積因子)仍需做一點解釋。如果│b│＞1，bt項將放大，而乘積項t隨著t的增加，會進(jìn)一步增強(qiáng)放大性。另一方面，如果│b│＜1，則bt部分(當(dāng)t增加時m它趨于零)和t部分變化方向相反，即t值將會抵銷而非強(qiáng)化bt。那么，哪種力量更強(qiáng)一些呢?答案是，bt的衰減力量總是會超過t的放大力量。因此，在重根情況下對收斂性的基本要求仍是根的絕對值小于1。12/21/202224經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟現(xiàn)在我們考察復(fù)數(shù)根的情況。由余函數(shù)的一般形式y(tǒng)c＝Rt（A5cosθt+A6sinθt)可知，括號中的表達(dá)式，像連續(xù)時間狀態(tài)中的表達(dá)式一樣，將產(chǎn)生一種周期性波動形式；但因在這里，變量t僅取整數(shù)值0，1，2，…，我們僅能捕捉并利用三角函數(shù)圖形中點的子集。在每個這樣的點上，直到達(dá)到下一個相關(guān)的點以前，y值在一個完整的時期內(nèi)都是有效的。12/21/202226經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟12/21/202227經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟如圖17.1所描述的那樣，所產(chǎn)生的路徑既不是通常的振蕩形式(在緊鄰的時期中，不在yp值的上下交替)，也不是通常的波動形式(非平滑)，而是表現(xiàn)出一種階梯波動。就收斂性而言，盡管決定性的因素實際上是Rt項，它像連續(xù)時間狀態(tài)中的eht項一樣，將確定階梯波動在t增加時是得到強(qiáng)化，還是受到削弱。在現(xiàn)在這種情況下，當(dāng)且僅當(dāng)R＜1時，波動才能逐漸縮減。因為根據(jù)定義，R是共扼復(fù)數(shù)根(h±vi)的絕對值，所以，收斂性的條件仍是特征根的絕對值小于1。12/21/202228經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟yt+2-4yt+1+16yt=0的通解為：有R＝4，所以時間路徑不再收斂于均衡(＝0)。12/21/202230經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟作業(yè)1、寫出下列每個方程的特征方程，并求出特征根：（1）yt+2-yt+1+1/2yt=2；（2）yt+2+1/2yt+1-1/2yt=5；（3）yt+2-4yt+1+4yt=7；（4）yt+2-2yt+1+3yt=42、對上題中的每個差分方程，根據(jù)特征根判定時間路徑是否包含振蕩或階梯波動，以及時間路徑是否是放大的。3、求第1題中方程的特別積分。它們表示平穩(wěn)均衡或移動均衡嗎？12/21/202231經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟薩繆爾森乘數(shù)一加速相互作用模型我們引用薩繆爾森教授的經(jīng)典的相互作用模型，作為描述二階差分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用的一個例子。此模型探索當(dāng)加速原理與凱思斯乘數(shù)一起發(fā)生作用時，收入決定的動態(tài)過程。此外，此模型還證明，僅僅是乘數(shù)和加速數(shù)的相互作用，就能夠產(chǎn)生內(nèi)生的周期性波動。12/21/202232經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟結(jié)構(gòu)假設(shè)國民收入Yt由三種支出流組成：消費Ct；投資It；政府支出Gt。Ct被看成上期收人Yt-1的函數(shù)，而非本期收入的函數(shù)。為簡單起見，假設(shè)Ct嚴(yán)格地與Yt-1成比例。作為一個“引致”變量，投資是消費者現(xiàn)行支出傾向的函數(shù)。當(dāng)然，正是通過這一引致投資，加速原理才得以進(jìn)入模型。具體地，我們假設(shè)It與消費增量ΔCt-1＝Ct-Ct-1成固定比例。第三個支出流Gt，則可視為外生變量。事實上，我們將假設(shè)它是一個常數(shù)，并以G0表示之。12/21/202233經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟這些假定可以轉(zhuǎn)換成如下方程組：其中γ表示邊際消費傾向，α表示加速數(shù)(加速系數(shù)的簡寫)。因為模型中包含引致投資，我們便得到一個描述乘數(shù)與加速數(shù)相互作用的二階差分方程。12/21/202234經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟利用第二個方程，我們可用收入將It表示如下：將此式與Ct代入第一個方程并整理，模型可以化簡為一個方程或者等價地（將下標(biāo)前移兩個時期）這是一個具有常系數(shù)和常數(shù)項的二階線性差分方程12/21/202235經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟解法作為特別積分，我們有表達(dá)式1/（1-γ）是一個乘數(shù)，G0/(1-γ)(外生支出乘以乘數(shù))應(yīng)在下述意義上給出均衡收入：此收入水平滿足均衡條件“國民收入＝總支出”。然而，作為此模型的特別積分，它也給出瞬時均衡收入。12/21/202236經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟關(guān)于余函數(shù)，存在三種可能的情況。在這里，第一種情況（不相等實根）的特征為：γ2（1+α）2＞4αγ或γ（1+α）2＞4α或γ＞4α／（1+α）2類似地，要描述第二、三種情況的特征，我們只需將上面最后一個不等式中的＞號分別變成＝號和＜號即可。在圖17．2中，我們繪出了方程y＝4α／（1+α）2的圖形。根據(jù)上面的討論，恰好位于此曲線上的(α，γ)數(shù)偶屬于第二種情況。而位于該曲線上面(包含較大的γ值)的(α，γ)數(shù)偶屬于第一種情況，位于該曲線下面的(α，γ)數(shù)偶屬于第三種情況。12/21/202237經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟α加速數(shù)γ邊際消費傾向3C3D1C1Dαγ＝12C2D12/21/202238經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟這種具有圖17.2的圖形表示的三重分類是重要的，因為它清楚地揭示這樣一些條件，在此條件下乘數(shù)與加速數(shù)的相互作用可內(nèi)生地產(chǎn)生周期性波動。但這種分類并未談及Y的時間路徑的斂散性。因此，在每一情況下，我們還需要區(qū)分衰減與放大兩種子情況。當(dāng)然，我們可以通過引用一些數(shù)字例子來簡單地說明這種子情況，這是處理這一問題的簡單方式。不過我們還是設(shè)法求出收斂性和發(fā)散性的一般條件；盡管這很麻煩，但卻更有價值。12/21/202239經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟收斂性與發(fā)散性該模型的差分方程具有特征方程：b2-γ（1+α）b+αγ＝0，它產(chǎn)生兩個根：因為收斂性與發(fā)散性取決于b1和b2的值，又因為b1和b2值取決于參數(shù)α和γ的值，所以，收斂與發(fā)散的條件應(yīng)當(dāng)可以用α和γ值表示。12/21/202240經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟為此，我們可以利用這一事實；兩個特征根總可以通過如下兩個方程聯(lián)系起來：b1+b2＝γ（1+α）b1b2＝αγ在這兩個方程的基礎(chǔ)上，我們可以觀察到（1-b1）（1-b2）＝1-（b1+b2）+b1b2＝1-γ（1+α）+αγ＝1-γ鑒于模型設(shè)定0＜γ＜1，有必要對這兩個根施加條件0＜（1-b1）（1-b2）＜112/21/202241經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟現(xiàn)在，我們來考察第一種情況下的收斂性問題，其中兩個根為不同的實根。因為根據(jù)假設(shè)，α和γ均為正，這表明b1b2＞0，這意味著b1和b2具有相同的代數(shù)符號。進(jìn)而，因為γ（1+α）＞0，所以，表明b1和b2必為正。因此，在第一種情況下，時間路徑y(tǒng)t不會產(chǎn)生振蕩。12/21/202242經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟但在第一種情況下至少存在5種（b1，b2）值的組合，每種組合關(guān)于α和γ的對應(yīng)值如下：(i)0＜b2＜b1＜1→0＜γ＜1；αγ＜1(ii)0＜b2＜b1＝1→γ＝1(iii)0＜b2＜1＜b1→γ＞1(iv)1＝b2＜b1→γ＝1(v)1＜b2＜b1→0＜γ＜1；αγ＞112/21/202243經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟i可能性(其中b1和b2為正分?jǐn)?shù))完全滿足條件0＜（1-b1）（1-b2）＜1，并與模型設(shè)定0＜γ＜1一致。在此可能性下，兩根之積必然也為正分?jǐn)?shù)，這意味著αγ＜1。相反，下面的三種可能性都違背條件0＜（1-b1）（1-b2）＜1，并產(chǎn)生不可接受的γ值，因此，必須將它們排除掉。但可能性v是可接受的。由于b1和b2均大于1，0＜（1-b1）（1-b2）＜1仍然得到滿足，但這次，由關(guān)于b1和b2乘積取值的公式，我們有αγ＞1(而非αγ＜1)。12/21/202244經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟結(jié)果在第一種情況下，只有兩種可接受的子可能性。第一種子可能性(可能性i)包含分?jǐn)?shù)根b1和b2，因而產(chǎn)生了y的一個收斂時間路徑。另一種子情況(可能性v)的根大于1，因而產(chǎn)生一個發(fā)散的時間路徑。但就α和γ的值而言，收斂性與發(fā)散性的問題僅取決于αγ＜1還是αγ＞1。這個結(jié)論概括在下表中最上面的部分，其中收斂的子情況標(biāo)為1C，發(fā)散的子情況標(biāo)為1D。12/21/202245經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟對于第二種情況——重根的分析，實質(zhì)是類似的。現(xiàn)在根為b＝γ（1+α）／2，其符號為正，因為α和γ均為正。因此仍然不存在振蕩。這里我們只需將b值分為三種可能性：(vi)0＜b＜1→γ＜1；αγ＜1(vii)b=1→γ=1(viii)b＞1→γ＜1；αγ＞112/21/202246經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟在可能性vi，b(=b1=b2)為正分?jǐn)?shù)，因此，關(guān)于α和γ的含義與第一種情況下可能性i的情形完全一致。與此類似，可能性viii(其b(=b1=b2)大于1)與可能性v的結(jié)果相同。而可能性vii違背0＜（1-b1）（1-b2）＜1，必須被排除，所以只有兩種可接受的子情況。第一種子情況(可能性vi)產(chǎn)生一個收斂的時間路徑，而另一種子情況(可能性viii)則產(chǎn)生一個發(fā)散的時間路徑。關(guān)于α和γ，收斂與發(fā)散的子情況仍然是分別與αγ＜1和αγ＞1相聯(lián)系的。這些結(jié)論列在下表的中部，其中兩種子情況分別標(biāo)為2C（收斂）和2D(發(fā)散)。12/21/202247經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟表1薩繆爾森模型的各種可能情形情況子情況α和γ的值時間路徑Y(jié)t1不同的實根1C：0＜b2＜b1＜1αγ＜1非振蕩與非波動1D：0＜b2＜b1αγ＞12重實根2C：0＜bαγ＜1非振蕩與非波動2D：b＞1αγ＞13復(fù)根3C：R＜1αγ＜1具有階梯波動3D：R≥1αγ≥112/21/202248經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟最后，在第三種(復(fù)根)情況下，我們得到階梯波動，因而具有內(nèi)生的商業(yè)周期。在此情況下，我們應(yīng)當(dāng)考察絕對值作為判定收斂性與發(fā)散性的線索，而a2則是差分方程中yt項的系數(shù)，在本模型中，我們有，它產(chǎn)生如下三種可能性：(ix)R＜1→αγ＜1(x)R=1→αγ=1(xi)R＞1→αγ＞1盡管上述幾種可能性都是可接受的，但僅有R＜1這種可能性具有收斂的時間路徑，在表中列為子情況3C。而另外兩種情況在上表中一并標(biāo)為子情況3D?？傊?，由上表我們可以得出結(jié)論：當(dāng)且僅當(dāng)αγ＜1時，可以得到收斂的時間路徑。12/21/202249經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟用圖形小結(jié)上述分析結(jié)果在圖17.2中，因為要排除γ＝0和γ＝1的值，正如要排除到α＝0的一樣，所以陰影的面積是一種無邊的矩形。已繪出方程γ＝4α／(1+α)2的圖形，以區(qū)分表1中的三種主要情況：在曲線上的點屬于第一種情況；位于曲線北面上的點(表示較大的γ值)屬于第二種情況；位于曲線南面的點(表示較小的γ值)則屬于第三種情況。為區(qū)別收斂與發(fā)散的子情況，現(xiàn)在加上αγ＝1的圖形(等軸雙曲線〕，作為另一條分界線。位于該等軸雙曲線北面的點滿足不等式αγ＞1，而位于該曲線下面的點則對應(yīng)于αγ＜1。這樣就可能很容易區(qū)分子情況了。12/21/202250經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟在第一種情況下，位于雙曲線下面的虛線陰影區(qū)域，對應(yīng)于子情況1C，而實線陰影區(qū)域則與子情況1D相聯(lián)系。在第二種情況下，即點位于曲線γ＝4α／(1+α)2的情況下，子情況2C包括該曲線向上傾斜的部分，而子情況2D則對應(yīng)該曲線向下傾斜的部分。最后，對于第三種情況，等軸雙曲線用于區(qū)分小點陰影區(qū)域(子情況3c)和小石子陰影區(qū)域(子情況3D)。其中3D也包含位于等軸雙曲線上的點本身，因為設(shè)定的是弱不等式αγ≥1。12/21/202251經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟因為圖2包含了模型中所有定性的結(jié)論，所以如果給定任意有序偶(α，γ)，通過在圖形中繪出該有序偶，我們總可以在圖形上找到正確的子情況。例1若加速數(shù)為0.8，邊際消費傾向為0.7，會產(chǎn)生何種相互作用的時間路徑?有序偶(0.8，0.7)位于子情況3C，因此時間路徑以衰減的階梯波動為特征。12/21/202252經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟例2α＝2和γ＝0.5表明哪類相互作用的時間路徑?有序偶(2，0.5)恰好位于等軸雙曲線上，屬于子情況3D。Y的時間路徑仍表現(xiàn)出階梯波動，但它既非放大，亦非衰減。將其與均勻振蕩和均勻波動的情形相比較，可以將這種情形稱之為“均勻階梯波動”。但是，后一種情況下的均勻特征一般不能期望它是完美的，因為類似于圖1中的圖形，只能采納那些對應(yīng)于t的整數(shù)值的在正弦或余弦曲線上的點，但在每一波動周期中，這些t值可能會碰到曲線上完全不同的點。12/21/202253經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟離散時間條件下的通貨膨脹與失業(yè)模型前面的連續(xù)時間公式由三個微分方程構(gòu)成：p=α-T-βu+hπ（預(yù)期增加的菲力普斯關(guān)系）dπ/dt=j（p-π）（適應(yīng)性預(yù)期）dU/dt=-k（m-p）（貨幣政策）三個內(nèi)生變量均為現(xiàn)值：p(實際通貨膨脹率)，π(預(yù)期通貨膨脹率)，U(失業(yè)率)。在模型中出現(xiàn)6個參數(shù)，參數(shù)m(名義貨幣增長率，或者貨幣擴(kuò)張率)與其它參數(shù)的不同之處在于其大小是由政策決定的。12/21/202254經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟當(dāng)把上述方程納入時期分析模式時，菲利普斯關(guān)系變成：pt=α-T-βUt+hπt（α，β＞0；0＜h≤1）6.17在適應(yīng)性預(yù)期方程中，導(dǎo)數(shù)必然為差分方程所取代：πt+1-πt=j（pt-πt）（0＜j≤1）6.18同理，貨幣政策也將變成Ut+1-Ut=-k（m-pt+1）（k＞0）6.19這三個方程構(gòu)成了通貨膨脹——失業(yè)模型的新形式。12/21/202255經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟以p為變量的差分方程作為分析新模型的第一步，我們?nèi)栽O(shè)法將模型化簡為一個具有單一變量的方程。令該變量為p。相應(yīng)地，我們把注意力集中于新的菲利普斯關(guān)系。但是，因為這個方程不同于其它兩個方程，它本身不能描述一種變化模式，因而需要我們來創(chuàng)造這樣一種模式。我們可以通過對pt取差分，即取pt的一階差分來做到這一點。根據(jù)定義Δpt≡pt+1-pt12/21/202256經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟取一階差分需要兩個步驟：首先，將菲利普斯關(guān)系公式中的時間下標(biāo)前移一個時期，得到pt+1=α-T-βUt+1+hπt+16.17’然后用pt+1減pt，可得到pt的一階差分，它能夠描述所需的變化模式：pt+1-pt=-β（Ut+1-Ut）+h（πt+1-πt）=βk（m-pt+1）+hj（pt-πt）6.20注意在(6.20)的第二行，(6.18)和(6.19)的變化模式都已被納入到p變量的變化模式中去了。因此，該式包容了本模型的所有信息。12/21/202257經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟但是，πt項對p研究無關(guān)緊要，需將其從上述方程中剔除。為此，我們利用這一事實hπt=pt-（α-T）+βUt6.21將該式代入上式，合并同類項，得到（1+βk）pt+1-[1-j（1-h）]pt+jβUt=βkm+j（α-T）6.22但現(xiàn)在又出現(xiàn)了一個有待于刪除的Ut項。為此，差分(6.22)以得到（Ut+1-Ut）項，然后再利用(6.19)消去（Ut+1-Ut）。只有經(jīng)過這樣一個冗長的代換過程，我們才能得到所求的僅含p變量的差分方程，經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后，其形式為6.2312/21/202258經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟p的時間路徑由該標(biāo)準(zhǔn)化的差分方程給出的p的瞬時均衡值為因此，同連續(xù)時間模型中的情況一樣，均衡的通貨膨脹率恰好等于貨幣擴(kuò)張率。至于余函數(shù)，依a12和4a2的相對大小而定，會產(chǎn)生不同的實根(第一種情況)，重根(第二種情況)，或者復(fù)根(第三種情況)。12/21/202259經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟在本模型中6.24比如，如果h=1/2，j＝1/3，βk=5，則，而4a2＝20，那么便出現(xiàn)第一種情況。但若h＝j(luò)＝1，則a12＝4，而4a2＝4(1+βk)>4，那么便會產(chǎn)生第三種情況。12/21/202260經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟收斂性的分析仍可按上一節(jié)的路線來進(jìn)行。具體地，兩個特征根b1和b2之和與之積必定滿足下列數(shù)量關(guān)系：6.256.25’進(jìn)而，在本模型中我們有6.2612/21/202261經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟現(xiàn)在考察兩個根b1、b2為不同實根的情況。因為積b1b2為正，所以b1與b2必取相同的符號。進(jìn)而，因為b1與b2的和為正，所以它們必然均為正，這意味著不會產(chǎn)生振蕩。由(6.26)我們可以推斷b1與b2均不等于1，否則(1-b1)(1-b2)將會等于0，與不等式所表明的含義相違。這表明，按照在薩繆爾森模型中所列舉的關(guān)于(b1，b2)組合的各種可能性，這里不會出現(xiàn)可能性ii和iv。一個根大于1，另一個根小于1的情形也是不可接受的，否則，(1-b1)(1-b2)將為負(fù)。因此可能性iii也被排除了。由此可知，b1與b2或者二者均大于1，或者均小于1。然而，若b1＞1，b2＞1(可能性v)，將違背（6.25’）的假設(shè)結(jié)果，最終只有可能性i，即b1，b2均為正分?jǐn)?shù)，從而p的時間路徑為收斂的情況能夠存在。12/21/202262經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟對第二種情況的分析并沒有什么根本的不同。通過同樣的推理，我們可以斷定重根b在本模型中只能為正分?jǐn)?shù)；即可能性vi是可接受的，但可能性vii和viii則不成立。在第二種情況下，p的時間路徑依然是非振蕩且收斂的。至于第三種情況，收斂性要求R小于1。根據(jù)，由于a2為正分?jǐn)?shù)[見6.25’]，所以確實有R＜1。因此，在第三種情況下，p的時間路徑也是收斂的，盡管這次會出現(xiàn)階梯被動。12/21/202263經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟關(guān)于U的分析如果要分析失業(yè)率的時間路徑，我們可以以貨幣政策影響失業(yè)的表達(dá)式為出發(fā)點。為排除方程中的p項，我們首先代pt+1以得到（1+βk）Ut+1-Ut=k（α-T-m）+khπt+16.27其次，為代換另一個方程作準(zhǔn)備，我們對該式取差分以求得（1+βk）Ut+2-（2+βk）Ut+1+Ut=kh（πt+2-πt+1）6.28鑒于方程右邊存在π的差分表達(dá)式，我們可以用一個前移形式的適應(yīng)性預(yù)期方程來代替它。結(jié)果（1+βk）Ut+2-（2+βk）Ut+1+Ut=khj（pt+1-πt+1）6.29本模型中的所有信息均包含在此方程中。12/21/202264經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟然而，在適當(dāng)?shù)年P(guān)于U的差分方程產(chǎn)生以前，我們必須先剔除p和π變量。為此，由(6.19)我們注意到kpt+1=Ut+1-Ut+km6.30進(jìn)而，以（-kj）通乘(6.21)，并前移時間下標(biāo)，我們可以寫成-kjhπt+1=-kjpt+1+kj（α-T）-βkjUt+1=-j（Ut+1-Ut+km）+kj（α-T）-βkjUt+1（由6.30）=-j（1+βk）Ut+1+jUt+kj（α-T-m）6.3112/21/202265經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟這兩個結(jié)果以U變量來表示pt+1和πt+1，可以使我們將其代入(6.29)，最終得到僅有U變量的差分方程：

6.32值得注意的是，方程左邊的兩個常系數(shù)與p的差分方程[如(6.23)]中的常系數(shù)是一致的。因此，前面關(guān)于p路徑余函數(shù)的分析同樣可以應(yīng)用到這里。但(6.32)右邊的常數(shù)項確實有別于(6.23)中的常數(shù)項。結(jié)果兩種情況下的特別積分便不相同。這也應(yīng)當(dāng)如此，除了巧合因素外，并無內(nèi)在的原因可以預(yù)期瞬時的均衡失業(yè)率與均衡通貨膨脹率相同。12/21/202266經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟長期菲利普斯關(guān)系我們已經(jīng)驗證，瞬時均衡失業(yè)率為但因已求得均衡通貨膨脹率為，我們可以通過如下方程將聯(lián)系起來。6.33因為此方程僅與均衡的失業(yè)率和通貨膨脹率有關(guān)，所以我們認(rèn)為它描述了長期的菲利普斯關(guān)系。12/21/202267經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟(6.33)的一個特例引起了經(jīng)濟(jì)學(xué)家的廣泛關(guān)注：即h＝1的情況。若h＝1，則p項的系數(shù)為零，因而會從方程中消失。換言之，將變成的常函數(shù)。在標(biāo)準(zhǔn)的菲利普斯圖形中(失業(yè)率被繪成橫軸)，這個結(jié)果產(chǎn)生了一個垂直的菲利普斯曲線。在此情況下的值，被稱為自然失業(yè)率，它與均衡的通貨膨脹率是一致的。這個結(jié)論具有明顯的政策含義；在長期中，通貨膨脹與失業(yè)這對孿生魔鬼并不存在像短期中所存在的那種替代關(guān)系。12/21/202268經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟在h＜1的情況下，(6.33)中的系數(shù)為負(fù)，長期的菲利普斯曲線將向下傾斜，因而通貨膨脹與失業(yè)之間存在替代關(guān)系。因此長期菲利普斯曲線是垂直的，還是斜率為負(fù)，關(guān)鍵取決于參數(shù)h的值。按預(yù)期增加的菲利普斯關(guān)系，h度量預(yù)期的通貨膨脹率與工資結(jié)構(gòu)和實際通貨膨脹率相一致的程度。所有這些讀者應(yīng)當(dāng)是非常熟悉的。12/21/202269經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟作業(yè)保留方程(6.17)和(6.18)，但將(6.19)變?yōu)閁t+1-Ut＝-k（m-pt）(1)導(dǎo)出變量p的新的差分方程。(2)新的差分方程能產(chǎn)生不同的嗎？(3)假定j=h=1。求特征根分別屬于第一、二、三種情況的條件。(4)令j=h=1。當(dāng)βk＝3，4和5時，分別描述p的時間路徑(包括收斂性或發(fā)散性)。12/21/202270經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟推廣到可變項和高階方程現(xiàn)在，可以將方法向兩個方向推廣：一是向可變項方向推廣二是向高階差分方程推廣12/21/202271經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟形式為cmt的可變項當(dāng)(6.1)中的常數(shù)項為一個可變項(某個t的函數(shù))代替時，僅僅會對特別積分產(chǎn)生影響。為求出新的特別積分，我們?nèi)钥梢詰?yīng)用待定系數(shù)法。在有關(guān)微分方程的內(nèi)容中，待定系數(shù)法要求可變項及其逐階導(dǎo)數(shù)一起(除乘積常數(shù)外)僅取有限個不同類型的表達(dá)式。將其應(yīng)用于差分方程，這個要求應(yīng)修改為“可變項及共逐次差分一起(除乘積常數(shù)外)僅取有限個不同類型的表達(dá)式”。先取形式為cmt的可變項，其中c和m為常數(shù)。12/21/202272經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟例1求yt+2+yt+1-3yt=7t的特別積分。這里，有c＝1和m＝7。首先，我們來確定可變項7t在逐次差分時是否會產(chǎn)生有限的表達(dá)式類型。按照差分法則（Δyt=yt+1-yt），7t的一階差分為Δ7t＝7t+1-7t＝（7-1）7t＝6（7）t類似地，二階差分Δ2（7）t，可以表示成Δ（Δ7t）＝Δ[6（7）t]＝6（7）t+1-6（7）t＝6（7-1）7t＝36（7）t12/21/202273經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟而且可以驗證，所有各階差分像一階和二階差分一樣，均為的7t倍數(shù)。因為僅有一種表達(dá)式類型，所以我們可以試探y(tǒng)t＝B（7）t作為特別積分，其中B待定系數(shù)。將試探解及（t+1）期、（t+2）期的對應(yīng)形式帶入給定的差分方程，得到B（7）t+2+B（7）t+1-3B7t＝7t或B（72+7-3）（7）t＝7t因此，B＝1/（49+7-3）＝1/53可將特別積分寫成yp=B（7）t=1/53（7）t當(dāng)然，它表示移動均衡。讀者可以這樣驗證解的正確性：將其代入差分方程，從而看到產(chǎn)生恒等式7t≡7t12/21/202274經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟例1中所得到的結(jié)果很容易由可變項7t推廣至cmt。根據(jù)經(jīng)驗，我們可以預(yù)期所有各階差分的表達(dá)式具有相同的形式：即Bmt，其中B為某一乘積常數(shù)。因此，當(dāng)給定差分方程yt+2+a1yt+1+a2yt=cmt6.34我們可以試探解yt=Bmt作為特別積分。運用試探解yt=Bmt，這意味著yt+1=Bmt+1，等等，我們可以將（6.34）重寫成Bmt+2+a1Bmt+1+a2Bmt=cmt或B（m2+a1m+a2）mt=cmt12/21/202275經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟因此，試探解中的系數(shù)B應(yīng)當(dāng)為B=c/(m2+a1m+a2)而且所求的（6.34）的特別積分可以寫成6.35注意，B的分母不允許等于零。如果它恰好為零，那么，我們必須使用試探解yt=Btmt，如果這個試探解也不行，則試探y(tǒng)t=Bt2mt。12/21/202276經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟形式為ctn的可變項現(xiàn)在我們考察形式為的可變項，其中c是任意常數(shù)，n為正整數(shù)。例2求方程yt+2+5yt+1+2yt=t2的特別積分。求出t2（ctn當(dāng)c＝1和n＝2時的特例）的前三階差分如下：Δt2＝（t+1）2-t2＝2t+1Δ2t2＝Δ（Δt2）＝Δ（2t+1）＝Δ2t+Δ1＝2（t+1）-2t+0＝2（Δ常數(shù)＝0）Δ3t2＝Δ（Δ2t2）＝Δ2＝0因為進(jìn)一步差分只能得到零，所以共有三種不同類型的表達(dá)式：t2(源于可變項本身)，t和常數(shù)(源于可變項的各階差分)。12/21/202277經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟因此，我們試用解yt=B0+B1t+B2t2作為特別積分，待定系數(shù)為B0，B1和B2。注意，此解意味著yt+1=B0+B1（t+1）+B2（t+1）2＝（B0+B1+B2）+（B1+2B2）t+B2t2yt+2=B0+B1（t+2）+B2（t+2）2＝（B0+2B1+4B2）+（B1+4B2）t+B2t2將其代入差分方程時，得到（8B0+7B1+9B2）+（8B1+14B2）t+8B2t2=t212/21/202278經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟使方程兩邊逐項相等，我們看到所求的待定系數(shù)滿足如下聯(lián)立方程：8B0+7B1+9B2＝08B1+14B2＝08B2＝1因此，待定系數(shù)值為B0＝13/256，B1＝-7/32，B2＝1/8，給出特別積分yt=13/256-7/32t+1/8t212/21/202279經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟我們可以把處理可變項t2的方法推廣到ctn的情況。在新的試探解中，顯然應(yīng)有一項Bntn，與給定的可變項相對應(yīng)。進(jìn)而，因該項的逐階差分產(chǎn)生不同的表達(dá)式tn-1，tn-2，…，t，B0（常數(shù)），所以可變項ctn情況下的新的試探解應(yīng)寫成yt=B0+B1t+B2t2+…+Bntn但其余的步驟是完全相同的。必須補(bǔ)充的是，這樣的試探解也可能不成立。在這種情況下，我們還需要采用前面經(jīng)常使用的技巧，即以t的更高的冪數(shù)乘以原試探解。也就是說，我們可以試探y(tǒng)t=t（B0+B1t+B2t2+…+Bntn）等等。12/21/202280經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟高階線性差分方程差分方程中的階表示方程中差分的最高階數(shù)，但它也表明所包含的滯后期的最大數(shù)量，因此，一個具有常系數(shù)和常數(shù)項的n階線性差分方程一般可以寫成：yt+n+a1yt+n-1+…+an-1yt+1+anyt=c6.36求此特別積分的方法與前面的方法并無本質(zhì)區(qū)別。首先，我們?nèi)钥稍囉脃t=k（靜態(tài)瞬時均衡的情況）。如果此試探解不成立，則依次試探y(tǒng)t=kt，yt=kt2等等。12/21/202281經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟但在求余函數(shù)時，我們會遇到n次多項式的特征方程bn+a1bn-1+…+an-1b+an=06.37這樣會有個特征根bi（i＝1，2，…，n），所有的特征根都將進(jìn)入余函數(shù)：6.3812/21/202282經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟當(dāng)然，這要假設(shè)所有根為不同實根。在存在重實根（比如b1＝b2＝b3）時，則（6.38）中的前三項應(yīng)修正為A1b1t+A2tb1t+A2t2b1t進(jìn)而，如果存在一對共軛復(fù)根，比如bn-1，bn，那么，（6.38）中的最后兩項應(yīng)合并為表達(dá)式Rt(An-1cosθt+Ansinθt)對其他任意一對共軛復(fù)根，也可以給出類似的表達(dá)式。但在存在兩對重復(fù)根的情況下，必須將其中的一對重根給予乘積因子tRt，而不是Rt。在求出yp和yc以后，將二者相加，便可以得到完全差分方程（6.36）的通解。但因為在此解中含有個任意常數(shù)，確定這個解至少需要n個初始條件。12/21/202283經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院財務(wù)與投資系劉亞娟例3求三階差分方程yt+3-7/8yt+2+1/8yt+1+1/32yt=9的通解。通過試探解yt=k，可以很容易求得yp＝32。至于余函數(shù)，因為三次特征方程b3-7/8b2+1/8b+1/32=0可以分解成如下形式：（b-1/2）(b-1/2)(b+1/8)=0所以其根為b1＝b2＝1/2和b3＝-1/8。我們可以寫出