2023年高三復(fù)習(xí)專項(xiàng)練習(xí)：第56練　基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積

專題7立體幾何與空間向量第56練基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練考點(diǎn)一基本立體圖形1.（多選）給出下列命題正確的是（）A.用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)B.圓錐的頂點(diǎn)、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)這三點(diǎn)的連線都可以構(gòu)成直角三角形C.一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺(tái)D.圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的答案BD解析只有在平面平行于圓錐底面時(shí)，才能將圓錐截為一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，所以A錯(cuò)；由圓錐的性質(zhì)可知B正確；直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是由一個(gè)圓柱與一個(gè)圓錐組成的簡(jiǎn)單組合體，如圖所示，所以C錯(cuò)；由圓柱的定義可知D正確.2.（多選）已知一個(gè)正方形的直觀圖是一個(gè)平行四邊形，其中有一邊長(zhǎng)為4,則此正方形的面積可能為（）A.16 B.64C.32 D.無法確定答案AB解析根據(jù)題意，正方形的直觀圖如圖所示，心。z/v/A'（O'）B'_x'若直觀圖中平行四邊形的邊A'B'=4,則原正方形的邊長(zhǎng)為B'=4,所以該正方形的面積5=4X4=16；若直觀圖中平行四邊形的邊A'D'=4,則原正方形的邊長(zhǎng)為4O=2A'D'=8,所以該正方形的面積5=8X8=64.3.（2022?上海市徐匯區(qū)模擬）在四面體ABCO中，AB=SC=CA=1,D4與直線AB,C4均垂直，且DA=小,一只螞蟻從的中心沿表面爬至點(diǎn)D,則其爬過的路程最小值為（）2+6答案A解析因?yàn)椤辏〢_LAB,O4_LAC,ABQAC=A,AB,ACU平面4BC,所以D4_L平面ABC,又DAU平面D4C,所以平面D4C_L平面ABC,將底面A8C以AC為軸旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至平面D4C與平面ABC共面，且平面D4C與平面ABC位于4c的異側(cè)，如圖，點(diǎn)O為△ABC的中心，此時(shí)0。的直線距離即為最短距離，設(shè)。到直線AC的距離為",考點(diǎn)二表面積與體積.正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為2,最長(zhǎng)的一條對(duì)角線長(zhǎng)為2小，則它的表面積為（ ）Et5A.4(34+4) B.12(73+2)C.12(2#+1) D.3(于+8)答案B解析正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為2,最長(zhǎng)的一條對(duì)角線長(zhǎng)為2小，則高為BBi=叱2@2-QX2)2=2,它的表面積為S1+6S??=2X6x1x2X2Xsin1+6X2X2=125+24=12(5+2)..(2022?蘇州模擬)陀螺指的是繞一個(gè)支點(diǎn)高速轉(zhuǎn)動(dòng)的幾何體，是中國(guó)民間最早的娛樂工具之一.傳統(tǒng)陀螺大致是木或鐵制的倒圓錐形，玩法是用鞭子抽.中國(guó)是陀螺的老家，從中國(guó)山西夏縣新石器時(shí)代的遺址中就發(fā)掘了石制的陀螺.如圖，一個(gè)正放的陀螺，下半部分為圓錐,上半部分為同底圓柱.其總高度為8cm,圓柱部分高度為6cm,已知該陀螺由密度為0.7g/cn?的木質(zhì)材料做成，其總質(zhì)量為70g,則最接近此陀螺圓柱底面半徑的長(zhǎng)度為()A.2.0cm B.2.2cm2.4cm D.2.6cm答案B解析由題意知該陀螺由密度為0.7g/cm3的木質(zhì)材料做成，其總質(zhì)量為70g,70可得該陀螺的總體積為言=100(cm3),設(shè)底面半徑為r,則兀/義6+$戶*(8-6)=100,解得r=yr^-^2.2(cm)..某圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為4的半圓，正方體ABS-AiBiGA內(nèi)接于這個(gè)圓錐的內(nèi)切球，則該圓錐的體積與正方體ABC。-4SG。的體積的比值為( )A.4兀 C.4457rD.24小兀答案B解析根據(jù)題意，設(shè)圓錐的底面半徑為r,則2"=4兀，得r=2,.?.圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，其內(nèi)切圓半徑為4X乎X<=攣設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則￥><2=44,得64，正方體的體積為亍7，又圓錐的高〃=、42—22=2小,則體積為佳爭(zhēng)，，圓錐的體積與正方體ABCC—ABiGG的體積的比值為攣兀.(多選)(2022?濟(jì)南一中模擬)下列說法正確的是()A.若球的表面積為36兀cn?,則其體積為36;tcm3.正三棱柱底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為3,則其表面積為18C.正六棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是2cm和6cm,側(cè)棱長(zhǎng)是5cm,則其表面積為(60\/5+24-721)cm2D.正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為3啦，側(cè)棱長(zhǎng)為5,則其體積為24答案ACD解析對(duì)于A,設(shè)球的半徑為R,因?yàn)榍虻谋砻娣e為36kcm2,可得4成2=36兀，解得R=3cm,4 4所以球的體積V--^nR}X33=367t(cm3),所以A正確；對(duì)于B,因?yàn)檎庵酌孢呴L(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為3,可得其表面積S=S?+SAi=2X：X2?+3X2X3=2\[3+18,所以B不正確；對(duì)于C,正六棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是2cm和6cm,側(cè)棱長(zhǎng)是5cm,可得正六棱臺(tái)的斜高3 cm,則上底面面積為Si=6X乎X22=6\/5(cm2),下底面面積為S2=6X、gx62=54小(cm2),側(cè)面積為S3=6X；X(2+6)X0T=24隹i(cm2),所以六棱臺(tái)的表面積S=S+S2+S3=(6O\8+240T)cm2,所以C正確；對(duì)于D,由正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為36，可得對(duì)角線長(zhǎng)為6,又由側(cè)棱長(zhǎng)為5,所以正四棱錐的高h(yuǎn)=-\l52—32=4,所以體積y=；S/z=：X3mX3啦X4=24,所以D正確..已知正四棱臺(tái)兩底面邊長(zhǎng)分別為4cm,8cm,側(cè)棱長(zhǎng)為8cm,則它的側(cè)面積為cm2.答案48<15解析作出正四棱臺(tái)的一個(gè)側(cè)面，如圖，AED設(shè)E,F分別為AO,BC的中點(diǎn)，過。作。G_LBC于點(diǎn)G.由題知AO=4cm,BC=8cm,CZ)=8cm,得OE=2cm,FC=4cm,解得GC=2cm,在RtZ\OGC中，DG82-22=2巫(cm),即斜高為24行cm,所以所求側(cè)面積為4X^X(4+8)X2巫=48-7T5(cm2)..如圖所示，在三棱柱ABC-AiBiG中，若E,尸分別為A8,4c的中點(diǎn)，平面EBCi尸將三棱柱分成體積為％和匕的兩部分，那么V,:匕=.答案7：5解析設(shè)三棱柱ABC—48G的高為九底面積為S,體積為匕則V=%+V2=S〃，因?yàn)镋,尸分別為48,AC的中點(diǎn)，所以Sa4￡F=1s,所以%=扣+/+]SX(6=缶〃,V2=V—V|所以V1：w=7：5.10.(2022.連云港模擬)市面上出現(xiàn)某種如圖所示的冰激凌，它的下方可以看作一個(gè)圓臺(tái)，上方可以看作一個(gè)圓錐組成的組合圖形，經(jīng)過測(cè)量，圓臺(tái)上底面的半徑為4cm,下底半徑為2cm,深為6cm,上方的圓錐高為9cm,則此冰激凌的體積為cm3.答案1047t解析設(shè)圓臺(tái)上底面半徑n=4cm,下底面半徑n=2cm,圓臺(tái)的體積Vi=17t(rr+H+八㈤義〃1=%(16+4+8)X6=56jt(cm3),圓錐的體積匕=；兀XRX〃2=1nX16X9=48兀(cn?),所以冰激凌的體積丫=56兀+48兀=104?i(cm3).—能力提升練11.(多選)某班級(jí)到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)。。2,在軸截面ABCO中，AB=AD=BC=2cm,且CD=2AB,下列說法正確的有( )A.該圓臺(tái)軸截面A8C。的面積為36cm：B.該圓臺(tái)的體積為笠cm3C.該圓臺(tái)的母線4。與下底面所成的角為30。D.沿著該圓臺(tái)表面，從點(diǎn)C到AO中點(diǎn)的最短距離為5cm答案ABD解析由AB=AO=BC=2cm,且CD=2AB,可得CD=4cm,高5cm,則圓臺(tái)軸截面48C。的面積為3X(2+4)X小=35(cn?),故a正確；圓臺(tái)的體積丫=；兀(1+4+2)故B正確；圓臺(tái)的母線AO與下底面所成的角為NA。。1，其正弦值為華，所以NAOOi=60。，故C錯(cuò)誤；由圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，可得大圓錐的母線長(zhǎng)為4cm,底面半徑為2cm,側(cè)面展開圖的圓心角為，

設(shè)AO的中點(diǎn)為尸，連接CP,可得NCOP=90。，OC=4cm,OP=2+1=3（cm）,則CP=、42+32=5（cm）,所以沿著該圓臺(tái)表面，從點(diǎn)C到AO中點(diǎn)的最短距離為5cm,故D正確.12.（多選）（2022?濟(jì)南模擬）如圖所示，正方體A8CO-A'B'CD'的棱長(zhǎng)為1,E,尸分別是棱A4',CC的中點(diǎn)，過直線EF的平面分別與棱,DD'交于點(diǎn)M,N,以下四個(gè)命題中正確的是（）k.MNEF=QB.|詬=|麗C.四邊形MENF的面積的最小值與最大值之比為2:3D.四棱錐A-MEM7與多面體ABCO-EMFN的體積之比為1：3答案ABD解析對(duì)于A選項(xiàng)，如圖，連接8。，8'O',MN.由題意得EF_L8￡>,EEL88',8DCBB'=B,所以EF_L平面8。。'B',又MNu平面BDD'B',所以EELMV,因此加?辟=0,故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由正方體性質(zhì)得，平面BCC'B'〃平面AO。'A',平面BCC'B'C平面EMFN=MF,平面A。。'A'C平面EMFN=EN,所以MF〃EN,同理得ME〃NF,又EFLMN,所以四邊形MENF為菱形，因此|贏1=|麗，故B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，由選項(xiàng)B易得四邊形MENF的面積S=3MN.EF,所以當(dāng)點(diǎn)M,N分別為BB',DD'的中點(diǎn)時(shí)，四邊形MENF的面積S最小，此時(shí)MN=EF=啦，即面積S的最小值為1；當(dāng)點(diǎn)M,N分別與點(diǎn)仇或點(diǎn)B'),(或必重合時(shí)，四邊形MENF的面積S最大，此時(shí)MN=，§,即面積S的最大值為當(dāng)，所以四邊形MEN尸的面積最小值與最大值之比為2:乖,故C不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，四棱錐A-MEN尸的體積為Vi=Vm-aef+Vn-aef=WdB-Saaef=Wx小又坐因?yàn)镋,尸分別是44',CC的中點(diǎn)，所以BM=D'N,DN=B'M,于是被截面MENF平分的兩個(gè)多面體是完全相同的，1 1則它們的體積也是相同的，因此多面體A8CC-EM尸N的體積V2=2Vi^abcd-abcd=y所以四棱錐A-MENF與多面體ABCC-EWFN的體積之比為1：3,故D正確.13.(2022?衡水中學(xué)模擬)如圖所示，某幾何體由底面半徑和高均為5的圓柱與半徑為5的半球?qū)佣桑谠摲忾]幾何體內(nèi)部放入一個(gè)小圓柱體，且小圓柱體的上、下底面均與外層圓柱的底面平行，則小圓柱體積的最大值為答案4000;t答案4000;t27解析小圓柱的高分為上、下兩部分，上部分的高同大圓柱的高相等且為5,下部分深入底部半球內(nèi).設(shè)小圓柱下部分的高為力(0</?<5),底面半徑為r(O</<5).由于/?,力和球的半徑構(gòu)成直角三角形，即產(chǎn)+必=52,所以小圓柱體積丫=兀/①+5)=n(25-h2)(h+5)(0</?<5),S=一兀(3〃-5)(力+5).當(dāng)0<人<|時(shí)，V'>0,體積丫單調(diào)遞增；當(dāng)|<〃<5時(shí)，S<0,體積"調(diào)遞減.所以當(dāng)人=|時(shí)，小圓柱的體積取得