材料力學(xué)第三章課件

第3章扭轉(zhuǎn)§3-1概述§3-2薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)§3-3傳動軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖§3-4等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力·強(qiáng)度條件§3-5等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形·剛度條件§3-6等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)變能§3-7等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形*§3-8開口和閉口薄壁截面桿自由扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與變形1第3章扭轉(zhuǎn)§3-1概述§3-2薄壁圓筒的扭§3-1概述M2§3-1概述M233變形特點(diǎn):Ⅰ.相鄰橫截面繞桿的軸線相對轉(zhuǎn)動；Ⅱ.桿表面的縱向線(母線)變成螺旋線；受力特點(diǎn)：圓截面直桿在與桿的軸線垂直的平面內(nèi)受外力偶?？v向線4變形特點(diǎn):受力特點(diǎn)：縱向線4§3-2薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒通常指的圓筒當(dāng)其兩端面上作用有外力偶時，任一橫截面上的內(nèi)力偶矩——扭矩(torque)5§3-2薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒通常指Ⅰ.薄壁圓筒橫截面上各點(diǎn)切應(yīng)力的變化規(guī)律表面變形情況：(1)周向線繞軸線轉(zhuǎn)動,形狀及尺寸不變(2)周向線間的距離保持不變(3)縱向線仍為直線,但發(fā)生傾斜周向線縱向線軸線6Ⅰ.薄壁圓筒橫截面上各點(diǎn)切應(yīng)力的變化規(guī)律表面變形情況：周推論：(1)橫截面形狀和大小不變，即橫截面象剛性平面一樣(平截面假定)繞軸線轉(zhuǎn)動；(2)橫截面間的距離不變。7推論：7橫截面上的應(yīng)力：(1)只有與圓周相切的切應(yīng)力(shearingstress)，且圓周上所有點(diǎn)的切應(yīng)力相同；(2)對于薄壁圓筒，可認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布；(3)橫截面上無正應(yīng)力，處于純剪切狀態(tài)。8橫截面上的應(yīng)力：8令，上式可寫為Ⅱ.薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力計算公式由并結(jié)合應(yīng)力均勻分布的特點(diǎn)得

，于是有9令，上式可寫為Ⅱ.薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力計算公式由Ⅲ.剪切胡克定律(Hooke’slawinshear)(1)薄壁圓筒表面格子的直角均改變了g,這種直角改變量稱為切應(yīng)變(shearingstrain).(2)圓筒兩個端面繞軸線產(chǎn)生了相對扭轉(zhuǎn)動角j.(3)在假定切應(yīng)力均勻分布情況下,切應(yīng)變也均勻,故有g(shù)=jr0/l,此處r0為薄壁圓筒的平均半徑.

10Ⅲ.剪切胡克定律(Hooke’slawinshear實驗表明：當(dāng)橫截面上切應(yīng)力t

不超過材料的剪切比例極限tp時，外力偶矩Me(數(shù)值上等于扭矩T)與相對扭轉(zhuǎn)角j成線性關(guān)系,從而可知t

與g亦成線性關(guān)系，即：—剪切胡克定律G—材料的切變模量(shearmodulus)。11實驗表明：當(dāng)橫截面上切應(yīng)力t不超過材料的剪切比例極限tp時§3-3傳動軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖Ⅰ.傳動軸的外力偶矩P—轉(zhuǎn)軸上輸入或輸出功率n—轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速外力偶矩Me亦稱為轉(zhuǎn)矩12§3-3傳動軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖Ⅰ.傳動軸的外Ⅱ.扭轉(zhuǎn)時橫截面上的內(nèi)力——扭矩Me1Me2Me3Me4Me5Me1Me2Me3扭矩符號規(guī)定：面對選定單元體的截面,逆時針轉(zhuǎn)的扭矩為正,順時針轉(zhuǎn)的扭矩為負(fù).習(xí)慣假定扭矩為正.T＋視線Me4Me5T＋視線13Ⅱ.扭轉(zhuǎn)時橫截面上的內(nèi)力——扭矩Me1Me2Me3Me4MIII.扭矩與外力偶矩的關(guān)系取截面左邊的單元體：面對選定單元體的截面,順時針轉(zhuǎn)的外力偶在截面上產(chǎn)生正的扭矩,逆時針轉(zhuǎn)的外力偶在截面上產(chǎn)生負(fù)的扭矩.扭矩的大小等于外力偶矩的大小.截面上總的扭矩等于該單元體上所有外力偶單獨(dú)作用時在截面上產(chǎn)生的扭矩的代數(shù)和.Me1Me2Me3T＋視線III.扭矩與外力偶矩的關(guān)系取截面左邊的單元體：面對選14以橫坐標(biāo)表示截面位置,縱坐標(biāo)表示各截面扭矩大小,并按適當(dāng)比例繪制出的二維圖形.IV.扭矩圖Me41234Me1Me2Me3n【例3-1】轉(zhuǎn)速n=300r/min,主動輪1輸入功率為P1=500kW,從動輪輸出功率分別為P2=150kW,P3=150kW,P4=200kW.試畫扭矩圖.以橫坐標(biāo)表示截面位置,縱坐標(biāo)表示各截面扭矩大小,并按適當(dāng)比例152）畫扭矩圖4774.5N·m9549N·m6366N·m+-Me41234Me1Me2Me3n【解】1）

計算外力偶矩2）畫扭矩圖4774.5N·m9549N·m6316【課堂練習(xí)】若將從動輪3與4對調(diào)如圖,試作扭矩圖.這樣布置是否合理？4774.5N·m11140.5N·m4774.5N·m+_對調(diào)后4774.5N·m9549N·m6366N·m+_對調(diào)前Me31243Me1Me2Me4n對調(diào)后17【課堂練習(xí)】若將從動輪3與4對調(diào)如圖,試作扭矩圖.這樣布置是m=k

xxO【例3-2】圖示桿受矩集度m=kx的線性分布力偶作用，試畫出桿的扭矩圖.Tx—m=kxT(x)T(x)+dT(x)dxm=kxxO【例3-2】圖示桿受矩集度m=kx的線性分布18(1)變形幾何關(guān)系

圓軸扭轉(zhuǎn)前的橫截面,變形后仍保持為平截面,其形狀和大小不變,半徑仍保持為直線,橫截面象剛性平面一樣繞軸線轉(zhuǎn)動了一個角度.從受扭圓軸上同軸截出半徑為ρ的微段dx,設(shè)微段左右端面相對轉(zhuǎn)角為dφ,其端面上承受的扭矩為Tρ,縱向線AB轉(zhuǎn)角為γρ

.OρdφTρTργρdxBAB'Ⅰ.橫截面上的應(yīng)力§3-4等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力·強(qiáng)度條件(1)變形幾何關(guān)系圓軸扭轉(zhuǎn)前的橫截面,變形后仍保持為平截面19OρdφTρTργρdxBAB'因故即受扭圓軸橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)變與該點(diǎn)的半徑ρ成正比當(dāng)ρ=R時，得γmax=Rθ即橫截面邊沿上各點(diǎn)的切應(yīng)變最大令—單位長度相對扭轉(zhuǎn)角,同一截面其為常數(shù)則OρdφTρTργρdxBAB'因故即受扭圓軸橫截面上任一點(diǎn)20（2）物理關(guān)系圓軸處于比例極限內(nèi),由胡克定律知即受扭圓軸橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力與該點(diǎn)的半徑ρ成正比當(dāng)ρ=R時,得τmax=GRθ即橫截面邊沿上各點(diǎn)的切應(yīng)力最大TτmaxτmaxτmaxτmaxτmaxTτmaxτmaxτmax（2）物理關(guān)系圓軸處于比例極限內(nèi),由胡克定律知即受扭圓軸橫21(3)靜力學(xué)關(guān)系τρdAρORT

——圓截面的極慣性矩,它是一個與圓面積有關(guān)的幾何量則即—抗扭剛度

考慮到

令22(3)靜力學(xué)關(guān)系τρdAρORT

——圓截面的極慣性矩,

令——抗扭截面模量

將代入得

令ρ

=R,則

則TτmaxτmaxτmaxτmaxτmaxTτmaxτmaxτmax23

令——抗扭截Ⅱ.極慣性矩IP和抗扭截面模量WP(1)空心圓截面OdD

其中(2)實心圓截面

dρρdA=2πρdρ24Ⅱ.極慣性矩IP和抗扭截面模量WP(1)空心圓截面OdD

MeMeOzxydxdzdyτ右τ左τ上τ下FS上=τ上dxdzFS下=τ下dxdz

FS左=τ左dydz

FS右=τ右dydz

Ⅲ.切應(yīng)力互等定理MeMeOzxydxdzdyτ右τ左τ上τ下FS上=τ上dx25切應(yīng)力互等定理

：在互相垂直的兩個平面上,切應(yīng)力必然成對存在且數(shù)值相等;二者都垂直于兩平面的交線,共同指向或共同背離兩平面的交線.該定理在任意應(yīng)力狀態(tài)下均成立.σxσyσzτxyτyxτxzτzxτzyτyzτxy=τyxτyz=τzyτzx=τxz切應(yīng)力互等定理：該定理在任意應(yīng)力狀態(tài)下均成立.σxσyσz26思考：為什么竹竿受扭后先沿縱向（母線）破環(huán)？思考：為什么竹竿受扭后先沿縱向（母線）破環(huán)？27(1)圓軸扭轉(zhuǎn)時的破壞現(xiàn)象塑性材料如低碳鋼在受扭過程中先屈服,如繼續(xù)增大載荷,試件將沿橫截面破壞.脆性材料如鑄鐵等在受扭過程中,變形始終很小,試件沿與軸線成45o的螺旋面破壞.IⅤ.強(qiáng)度條件低碳鋼鑄鐵(1)圓軸扭轉(zhuǎn)時的破壞現(xiàn)象塑性材料如低碳鋼在受扭過程中先屈28對塑性材料：τ

u＝τ

s對脆性材料：τ

u＝τ

b(2)許用切應(yīng)力和安全系數(shù)1.剪切極限應(yīng)力構(gòu)件扭轉(zhuǎn)時，產(chǎn)生過大塑性變形或斷裂時橫截面上的切應(yīng)力稱為剪切極限應(yīng)力.用τ

u表示.2.許用切應(yīng)力軸能安全工作時橫截面上的最大切應(yīng)力.

n—安全系數(shù)

—許用切應(yīng)力,

對塑性材料：τu＝τs對脆性材料：τu＝τb(229(3)圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件和拉壓強(qiáng)度條件一樣，解決強(qiáng)度計算的三類問題.—強(qiáng)度條件

強(qiáng)度校核設(shè)計截面求許可載荷(3)圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件和拉壓強(qiáng)度條件一樣，解決強(qiáng)度計算的30【例3-3】圖示階梯軸，AB段直徑d1=120mm，BC段直徑d2=100mm。MA=22kN·m，MB=36kN·m，MC=14kN·m，材料的許用切應(yīng)力[t]=80MPa。試校核該軸的強(qiáng)度。31【例3-3】圖示階梯軸，AB段直徑d1=120mm，BC段【解】1）繪扭矩圖MA=22kN·m，MB=36kN·m，MC=14kN·m32【解】1）繪扭矩圖MA=22kN·m，MB=36kNAB段內(nèi)：2）求每段最大切應(yīng)力AB段直徑d1=120mm，BC段直徑d2=100mm33AB段內(nèi)：2）求每段最大切應(yīng)力AB段直徑d1=120mm，BC段內(nèi)：AB段直徑d1=120mm，BC段直徑d2=100mm3）校核強(qiáng)度t2,max>t1,max且t2,max<[t]=80MPa,滿足強(qiáng)度條件.34BC段內(nèi)：AB段直徑d1=120mm，BC段直徑d2=10§3-5等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形·剛度條件Ⅰ.扭轉(zhuǎn)時的變形等直圓桿的扭轉(zhuǎn)變形可用兩個橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角(相對角位移)

j

來度量。MeADBCMejg35§3-5等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形·剛度條件Ⅰ.扭轉(zhuǎn)時的變形若圓軸在標(biāo)距為l的兩橫截面間G、IP、T為常數(shù)，則相對扭轉(zhuǎn)角：—單位為弧度(rad)—單位為度(o)若圓軸的G(x)、IP(x)

、T(x)為橫截面位置x的連續(xù)函數(shù)，則相對扭轉(zhuǎn)角：若圓軸在標(biāo)距為l的兩橫截面間G、IP、T為常數(shù)，則相對扭轉(zhuǎn)角36若圓軸在第i段標(biāo)距l(xiāng)i內(nèi)Gi、IPi、Ti為常數(shù)，則相對扭轉(zhuǎn)角：—單位為弧度(rad)—單位為度(o)若圓軸在第i段標(biāo)距l(xiāng)i內(nèi)Gi、IPi、Ti為常數(shù)，則相對扭轉(zhuǎn)37(a)【例3-4】鋼制實心圓軸中,M1=1592N·m,M2=955N·m,M3=637N·m,lAB=300mm,lAC=500mm,d=70mm,切變模量G=80Gpa.試求橫截面C相對于B的扭轉(zhuǎn)角jBC.【解】1）求I、II兩段的扭矩38(a)【例3-4】鋼制實心圓軸中,M1=1592N·m,(a)2）設(shè)A截面固定,分別求B、C截面相對于A截面的扭轉(zhuǎn)角jAB、jAC39(a)2）設(shè)A截面固定,分別求B、C截面相對于A截面的扭轉(zhuǎn)角(a)3）求C截面相對于B截面的扭轉(zhuǎn)角【思考】C截面相對于B截面的轉(zhuǎn)向？B截面相對于C截面的轉(zhuǎn)向？40(a)3）求C截面相對于B截面的扭轉(zhuǎn)角【思考】C截面相對于B【例3-5】圖示有錐度的實心圓軸長為l,兩端直徑分別為D和d,沿軸線承受矩集度為m的均布力偶,軸材料的剪切彈性模量為G.【解】1）求x截面的扭矩ldDm寫出軸x截面上半徑為ρ的點(diǎn)(x,ρ)的切應(yīng)力τ(x,ρ)

及x截面的扭轉(zhuǎn)角.T(x)dxmT(x)+d

T(x)xdx【例3-5】圖示有錐度的實心圓軸長為l,兩端直徑分別為D和d412）求x截面的極慣性矩x截面的直徑x截面極慣性矩3）求(x,ρ)點(diǎn)的應(yīng)力ldDx2）求x截面的極慣性矩x截面的直徑x截面極慣性矩3）求(x424）求x截面的扭轉(zhuǎn)角ldDx4）求x截面的扭轉(zhuǎn)角ldDx43—軸單位長度最大扭轉(zhuǎn)角(o/m).[θ]—軸單位長度許用扭轉(zhuǎn)角(o/m).和強(qiáng)度條件一樣，可解決剛度計算的三類問題

.剛度校核設(shè)計截面求許可載荷Ⅱ.剛度條件—軸單位長度最大扭轉(zhuǎn)角(o/m).[θ]—軸單位長度許用扭轉(zhuǎn)44【解】1）按強(qiáng)度條件求所需外直徑D【例3-6】某空心圓軸內(nèi)外直徑之比a

=0.5,材料許用應(yīng)力[t

]=40MPa,切變模量G=80GPa.軸的最大扭矩Tmax=9.56kN·m,許可單位長度扭轉(zhuǎn)角[θ]=0.3om.試選擇軸的直徑.45【解】1）按強(qiáng)度條件求所需外直徑D【例3-6】某空心圓軸內(nèi)外2）

按剛度條件求所需外直徑D3）空心圓軸所需外直徑為D≥125.5mm,由a

=d/D=0.5知462）按剛度條件求所需外直徑D3）空心圓軸所需外直徑為D≥1第三章結(jié)束47第三章結(jié)束47第3章扭轉(zhuǎn)§3-1概述§3-2薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)§3-3傳動軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖§3-4等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力·強(qiáng)度條件§3-5等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形·剛度條件§3-6等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)變能§3-7等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形*§3-8開口和閉口薄壁截面桿自由扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與變形48第3章扭轉(zhuǎn)§3-1概述§3-2薄壁圓筒的扭§3-1概述M49§3-1概述M2503變形特點(diǎn):Ⅰ.相鄰橫截面繞桿的軸線相對轉(zhuǎn)動；Ⅱ.桿表面的縱向線(母線)變成螺旋線；受力特點(diǎn)：圓截面直桿在與桿的軸線垂直的平面內(nèi)受外力偶?？v向線51變形特點(diǎn):受力特點(diǎn)：縱向線4§3-2薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒通常指的圓筒當(dāng)其兩端面上作用有外力偶時，任一橫截面上的內(nèi)力偶矩——扭矩(torque)52§3-2薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒通常指Ⅰ.薄壁圓筒橫截面上各點(diǎn)切應(yīng)力的變化規(guī)律表面變形情況：(1)周向線繞軸線轉(zhuǎn)動,形狀及尺寸不變(2)周向線間的距離保持不變(3)縱向線仍為直線,但發(fā)生傾斜周向線縱向線軸線53Ⅰ.薄壁圓筒橫截面上各點(diǎn)切應(yīng)力的變化規(guī)律表面變形情況：周推論：(1)橫截面形狀和大小不變，即橫截面象剛性平面一樣(平截面假定)繞軸線轉(zhuǎn)動；(2)橫截面間的距離不變。54推論：7橫截面上的應(yīng)力：(1)只有與圓周相切的切應(yīng)力(shearingstress)，且圓周上所有點(diǎn)的切應(yīng)力相同；(2)對于薄壁圓筒，可認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布；(3)橫截面上無正應(yīng)力，處于純剪切狀態(tài)。55橫截面上的應(yīng)力：8令，上式可寫為Ⅱ.薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力計算公式由并結(jié)合應(yīng)力均勻分布的特點(diǎn)得

，于是有56令，上式可寫為Ⅱ.薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力計算公式由Ⅲ.剪切胡克定律(Hooke’slawinshear)(1)薄壁圓筒表面格子的直角均改變了g,這種直角改變量稱為切應(yīng)變(shearingstrain).(2)圓筒兩個端面繞軸線產(chǎn)生了相對扭轉(zhuǎn)動角j.(3)在假定切應(yīng)力均勻分布情況下,切應(yīng)變也均勻,故有g(shù)=jr0/l,此處r0為薄壁圓筒的平均半徑.

57Ⅲ.剪切胡克定律(Hooke’slawinshear實驗表明：當(dāng)橫截面上切應(yīng)力t

不超過材料的剪切比例極限tp時，外力偶矩Me(數(shù)值上等于扭矩T)與相對扭轉(zhuǎn)角j成線性關(guān)系,從而可知t

與g亦成線性關(guān)系，即：—剪切胡克定律G—材料的切變模量(shearmodulus)。58實驗表明：當(dāng)橫截面上切應(yīng)力t不超過材料的剪切比例極限tp時§3-3傳動軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖Ⅰ.傳動軸的外力偶矩P—轉(zhuǎn)軸上輸入或輸出功率n—轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速外力偶矩Me亦稱為轉(zhuǎn)矩59§3-3傳動軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖Ⅰ.傳動軸的外Ⅱ.扭轉(zhuǎn)時橫截面上的內(nèi)力——扭矩Me1Me2Me3Me4Me5Me1Me2Me3扭矩符號規(guī)定：面對選定單元體的截面,逆時針轉(zhuǎn)的扭矩為正,順時針轉(zhuǎn)的扭矩為負(fù).習(xí)慣假定扭矩為正.T＋視線Me4Me5T＋視線60Ⅱ.扭轉(zhuǎn)時橫截面上的內(nèi)力——扭矩Me1Me2Me3Me4MIII.扭矩與外力偶矩的關(guān)系取截面左邊的單元體：面對選定單元體的截面,順時針轉(zhuǎn)的外力偶在截面上產(chǎn)生正的扭矩,逆時針轉(zhuǎn)的外力偶在截面上產(chǎn)生負(fù)的扭矩.扭矩的大小等于外力偶矩的大小.截面上總的扭矩等于該單元體上所有外力偶單獨(dú)作用時在截面上產(chǎn)生的扭矩的代數(shù)和.Me1Me2Me3T＋視線III.扭矩與外力偶矩的關(guān)系取截面左邊的單元體：面對選61以橫坐標(biāo)表示截面位置,縱坐標(biāo)表示各截面扭矩大小,并按適當(dāng)比例繪制出的二維圖形.IV.扭矩圖Me41234Me1Me2Me3n【例3-1】轉(zhuǎn)速n=300r/min,主動輪1輸入功率為P1=500kW,從動輪輸出功率分別為P2=150kW,P3=150kW,P4=200kW.試畫扭矩圖.以橫坐標(biāo)表示截面位置,縱坐標(biāo)表示各截面扭矩大小,并按適當(dāng)比例622）畫扭矩圖4774.5N·m9549N·m6366N·m+-Me41234Me1Me2Me3n【解】1）

計算外力偶矩2）畫扭矩圖4774.5N·m9549N·m6363【課堂練習(xí)】若將從動輪3與4對調(diào)如圖,試作扭矩圖.這樣布置是否合理？4774.5N·m11140.5N·m4774.5N·m+_對調(diào)后4774.5N·m9549N·m6366N·m+_對調(diào)前Me31243Me1Me2Me4n對調(diào)后64【課堂練習(xí)】若將從動輪3與4對調(diào)如圖,試作扭矩圖.這樣布置是m=k

xxO【例3-2】圖示桿受矩集度m=kx的線性分布力偶作用，試畫出桿的扭矩圖.Tx—m=kxT(x)T(x)+dT(x)dxm=kxxO【例3-2】圖示桿受矩集度m=kx的線性分布65(1)變形幾何關(guān)系

圓軸扭轉(zhuǎn)前的橫截面,變形后仍保持為平截面,其形狀和大小不變,半徑仍保持為直線,橫截面象剛性平面一樣繞軸線轉(zhuǎn)動了一個角度.從受扭圓軸上同軸截出半徑為ρ的微段dx,設(shè)微段左右端面相對轉(zhuǎn)角為dφ,其端面上承受的扭矩為Tρ,縱向線AB轉(zhuǎn)角為γρ

.OρdφTρTργρdxBAB'Ⅰ.橫截面上的應(yīng)力§3-4等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力·強(qiáng)度條件(1)變形幾何關(guān)系圓軸扭轉(zhuǎn)前的橫截面,變形后仍保持為平截面66OρdφTρTργρdxBAB'因故即受扭圓軸橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)變與該點(diǎn)的半徑ρ成正比當(dāng)ρ=R時，得γmax=Rθ即橫截面邊沿上各點(diǎn)的切應(yīng)變最大令—單位長度相對扭轉(zhuǎn)角,同一截面其為常數(shù)則OρdφTρTργρdxBAB'因故即受扭圓軸橫截面上任一點(diǎn)67（2）物理關(guān)系圓軸處于比例極限內(nèi),由胡克定律知即受扭圓軸橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力與該點(diǎn)的半徑ρ成正比當(dāng)ρ=R時,得τmax=GRθ即橫截面邊沿上各點(diǎn)的切應(yīng)力最大TτmaxτmaxτmaxτmaxτmaxTτmaxτmaxτmax（2）物理關(guān)系圓軸處于比例極限內(nèi),由胡克定律知即受扭圓軸橫68(3)靜力學(xué)關(guān)系τρdAρORT

——圓截面的極慣性矩,它是一個與圓面積有關(guān)的幾何量則即—抗扭剛度

考慮到

令69(3)靜力學(xué)關(guān)系τρdAρORT

——圓截面的極慣性矩,

令——抗扭截面模量

將代入得

令ρ

=R,則

則TτmaxτmaxτmaxτmaxτmaxTτmaxτmaxτmax70

令——抗扭截Ⅱ.極慣性矩IP和抗扭截面模量WP(1)空心圓截面OdD

其中(2)實心圓截面

dρρdA=2πρdρ71Ⅱ.極慣性矩IP和抗扭截面模量WP(1)空心圓截面OdD

MeMeOzxydxdzdyτ右τ左τ上τ下FS上=τ上dxdzFS下=τ下dxdz

FS左=τ左dydz

FS右=τ右dydz

Ⅲ.切應(yīng)力互等定理MeMeOzxydxdzdyτ右τ左τ上τ下FS上=τ上dx72切應(yīng)力互等定理

：在互相垂直的兩個平面上,切應(yīng)力必然成對存在且數(shù)值相等;二者都垂直于兩平面的交線,共同指向或共同背離兩平面的交線.該定理在任意應(yīng)力狀態(tài)下均成立.σxσyσzτxyτyxτxzτzxτzyτyzτxy=τyxτyz=τzyτzx=τxz切應(yīng)力互等定理：該定理在任意應(yīng)力狀態(tài)下均成立.σxσyσz73思考：為什么竹竿受扭后先沿縱向（母線）破環(huán)？思考：為什么竹竿受扭后先沿縱向（母線）破環(huán)？74(1)圓軸扭轉(zhuǎn)時的破壞現(xiàn)象塑性材料如低碳鋼在受扭過程中先屈服,如繼續(xù)增大載荷,試件將沿橫截面破壞.脆性材料如鑄鐵等在受扭過程中,變形始終很小,試件沿與軸線成45o的螺旋面破壞.IⅤ.強(qiáng)度條件低碳鋼鑄鐵(1)圓軸扭轉(zhuǎn)時的破壞現(xiàn)象塑性材料如低碳鋼在受扭過程中先屈75對塑性材料：τ

u＝τ

s對脆性材料：τ

u＝τ

b(2)許用切應(yīng)力和安全系數(shù)1.剪切極限應(yīng)力構(gòu)件扭轉(zhuǎn)時，產(chǎn)生過大塑性變形或斷裂時橫截面上的切應(yīng)力稱為剪切極限應(yīng)力.用τ

u表示.2.許用切應(yīng)力軸能安全工作時橫截面上的最大切應(yīng)力.

n—安全系數(shù)

—許用切應(yīng)力,

對塑性材料：τu＝τs對脆性材料：τu＝τb(276(3)圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件和拉壓強(qiáng)度條件一樣，解決強(qiáng)度計算的三類問題.—強(qiáng)度條件

強(qiáng)度校核設(shè)計截面求許可載荷(3)圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件和拉壓強(qiáng)度條件一樣，解決強(qiáng)度計算的77【例3-3】圖示階梯軸，AB段直徑d1=120mm，BC段直徑d2=100mm。MA=22kN·m，MB=36kN·m，MC=14kN·m，材料的許用切應(yīng)力[t]=80MPa。試校核該軸的強(qiáng)度。78【例3-3】圖示階梯軸，AB段直徑d1=120mm，BC段【解】1）繪扭矩圖MA=22kN·m，MB=36kN·m，MC=14kN·m79【解】1）繪扭矩圖MA=22kN·m，MB=36kNAB段內(nèi)：2）求每段最大切應(yīng)力AB段直徑d1=120mm，BC段直徑d2=100mm80AB段內(nèi)：2）求每段最大切應(yīng)力AB段直徑d1=120mm，BC段內(nèi)：AB段直徑d1=120mm，BC段直徑d2=100mm3）校核強(qiáng)度t2,max>t1,max且t2,max<[t]=80MPa,滿足強(qiáng)度條件.81BC段內(nèi)：AB段直徑d1=120mm，BC段直徑d2=10§3-5等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形·剛度條件Ⅰ.扭轉(zhuǎn)時的變形等直圓桿的扭轉(zhuǎn)變形可用兩個橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角(相對角位移)

j

來度量。MeADBCMejg82§3-5等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形·剛度條件Ⅰ.扭轉(zhuǎn)時的變形若圓軸在標(biāo)距為l的兩橫截面間G、IP、T為常數(shù)，則相對扭轉(zhuǎn)角：—單位為弧度(rad)—單位為度(o)若圓軸的G(x)、IP(x)

、T(x)為橫截面位置x的連續(xù)函數(shù)，則相對扭轉(zhuǎn)角：若圓軸在標(biāo)距為l的兩橫截面間G、IP、T為常數(shù)，則相對扭轉(zhuǎn)角83若圓軸在第i段標(biāo)距l(xiāng)i內(nèi)Gi、