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第17章勾股定理
17.1勾股定理第1課時(shí)第17章勾股定理17.1勾股定理1學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)與技能:通過(guò)觀察、計(jì)算、猜想直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方的結(jié)論.過(guò)程與方法:
1.在充分觀察、歸納、猜想、探索直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方的過(guò)程中,發(fā)展合情推理能力,體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.2.在探索上述結(jié)論的過(guò)程中,發(fā)展歸納、概括和有條理地表達(dá)活動(dòng)的過(guò)程和結(jié)論.學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)與技能:過(guò)程與方法:2學(xué)習(xí)目標(biāo)情感態(tài)度與價(jià)值觀:
1.樹立積極參與、合作交流的意識(shí).2.在探索勾股定理的過(guò)程中,體驗(yàn)獲得結(jié)論的快樂(lè),鍛煉克服困難的勇氣.學(xué)習(xí)目標(biāo)情感態(tài)度與價(jià)值觀:3談話引入
我們知道,研究三角形從它的元素入手,也就是三角形的三條邊和三個(gè)角。對(duì)于等腰三角形和等邊三角形的邊,除滿足三邊關(guān)系定理外,它們還分別存在著兩邊相等和三邊相等的特殊關(guān)系。那么對(duì)于直角三角形的邊,除滿足三邊關(guān)系定理外,它們之間也存在著特殊的關(guān)系,這就是我們這一節(jié)要研究的問(wèn)題:勾股定理.
談話引入我們知道,研究三角形從它的元素入手,也就4新知探究問(wèn)題1相傳2500多年前,古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家作客,發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系.觀察下面圖中的地面,看看你能發(fā)現(xiàn)什么?三個(gè)正方形A,B,C的面積有什么關(guān)系?圖中三個(gè)正方形之間的面積有什么關(guān)系關(guān)系?新知探究問(wèn)題1相傳2500多年前,古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)5兩個(gè)小正方形的面積之和等于大正方形的面積.等腰直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方
每個(gè)正方形的面積等于其邊長(zhǎng)的平方兩個(gè)小正方形的面積之和等于大正方形的面積.6新知探究問(wèn)題2
在網(wǎng)格中的一般的直角三角形,以它的三邊為邊長(zhǎng)的三個(gè)正方形A,B,C的面積是否也有類似的關(guān)系?計(jì)算正方形A、B、C的面積ABC圖1ABC圖2圖1:正方形A、B、C的面積分別為16、9、25;圖2:正方形A、B、C的面積分別為4、9、13.
正方形C的面積你是如何計(jì)算的?新知探究問(wèn)題2在網(wǎng)格中的一般的直角三角形,以它的三邊為邊長(zhǎng)7通過(guò)割、補(bǔ)兩種方法求出其面積ABC圖1ABC圖2正方形的面積轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)的平方直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.
通過(guò)割、補(bǔ)兩種方法求出其面積ABC圖1ABC圖2正方形的面8新知探究問(wèn)題3以上直角三角形的邊長(zhǎng)都是具體的數(shù)值,一般情況下,如果直角三角形的兩直角邊分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,我們的猜想仍然成立嗎?這個(gè)結(jié)論仍然成立
“割”的方法:于是
新知探究問(wèn)題3以上直角三角形的邊長(zhǎng)都是具體的數(shù)值,一般9于是.
“補(bǔ)”的方法:勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
總結(jié)提升于是.“補(bǔ)”的方法:勾股定理總結(jié)提升10新知探究問(wèn)題4
歷史上各國(guó)對(duì)勾股定理都有研究,下面我們看看我國(guó)古代的數(shù)學(xué)家趙爽對(duì)勾股定理的研究,并通過(guò)小組合作完成教科書拼圖法證明勾股定理.這個(gè)圖案是公元3世紀(jì)三國(guó)時(shí)期的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的,人們稱它為“趙爽弦圖”,2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開(kāi),其中的會(huì)徽就是這個(gè)圖案.新知探究問(wèn)題4
歷史上各國(guó)對(duì)勾股定理都有研究,下面我們看看11四個(gè)全等的直角三角形(朱實(shí))可以如圖圍成一個(gè)大正方形,仿照課本中趙爽的思路,只剪兩刀,將邊長(zhǎng)為a、b的兩個(gè)連體正方形,拼成一個(gè)新的正方形?情況1,在線段MN上截取MP=a,得到NP=b,從而確定點(diǎn)P;情況2,通過(guò)折疊,得到邊長(zhǎng)為a-b的正方形,它實(shí)際上是趙爽弦圖的黃實(shí),延長(zhǎng)小正方形的一邊與線段MN相交于點(diǎn)P.圖1
圖2
圖3
怎樣根據(jù)拼圖活動(dòng)的結(jié)果證明勾股定理呢?四個(gè)全等的直角三角形(朱實(shí))可以如圖圍成一個(gè)大正方形,仿照課12圖1兩個(gè)正方形面積為,圖3拼成正方形面積為,即圖1
圖2
圖3
勾股定理的證明方法據(jù)說(shuō)有400多種,有興趣的同學(xué)可以搜集研究一下.圖1兩個(gè)正方形面積為,圖1圖213
總結(jié)提升勾股定理如果直角三角形的兩直角邊分別為a、b,斜邊為c,那么.總結(jié)提升勾股定理14新知探究問(wèn)題5
畫一個(gè)直角三角形,,它的兩直角邊分別是AC=3cm,BC=4cm,量一量它的斜邊是多少厘米?算一算,你量的結(jié)果對(duì)嗎?利用勾股定理解決直角三角形中已知兩邊求第三邊的問(wèn)題.這是勾股定理最重要的應(yīng)用.在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm.由勾股定理得:AB2=AC2+BC2,=32+42=25∴AB=5cm新知探究問(wèn)題5
畫一個(gè)直角三角形,,它的兩直角邊分別是A15典例剖析解:∵BD平分∠ABC,∴點(diǎn)D到AB的距離等于點(diǎn)D到BC距離,過(guò)D作DM⊥BC,則DM=DA,例1如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,交AC于點(diǎn)D,且AB=4,BD=5,則點(diǎn)D到BC的距離是多少?M典例剖析解:∵BD平分∠ABC,例1如圖,在Rt△ABC16典例剖析例2
如圖,是一個(gè)外輪廓為長(zhǎng)方形的機(jī)器零件平面示意圖,根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位:mm),計(jì)算兩孔中心A和B的距離..
解:在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=120-60=60(mm)BC=140-60=80(mm).由勾股定理得:AB2=AC2+BC2∴AB=100(mm)答:兩孔中心A和B的距離為100mm.典例剖析例2如圖,是一個(gè)外輪廓為長(zhǎng)方形的機(jī)器零件平面示意圖17鞏固提升C
鞏固提升C18鞏固提升D
鞏固提升D19鞏固提升4
15
12
16
96
鞏固提升41512169620鞏固提升解:依題意得AC⊥BC,在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2+BC2=AB2,∴AB2=92+122=225.∴AB=15,AB+AC=9+15=24,∴旗桿在折斷之前高24m.鞏固提升解:依題意得AC⊥BC,21總結(jié)結(jié)課(一)學(xué)生總結(jié)這節(jié)課學(xué)習(xí)了什么?你有什么收獲?(小組說(shuō)--組內(nèi)總結(jié)--組間交流)
1.勾股定理證明:⑴割補(bǔ)法⑵拼接法2.勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.3.勾股定理的應(yīng)用:已知兩邊求第三邊總結(jié)結(jié)課(一)學(xué)生總結(jié)1.勾股定理證明:22總結(jié)結(jié)課(二)教師總結(jié)今天,我們通過(guò)自己的努力,學(xué)會(huì)了這么多知識(shí),老師真為你們驕傲!同時(shí)我們還發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)知識(shí)都是相互聯(lián)系、相互貫通的。我們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)要做到舉一反三,運(yùn)用舊知識(shí)來(lái)學(xué)到更多的新知識(shí)。總結(jié)結(jié)課(二)教師總結(jié)23作業(yè)布置完成配套課后練習(xí)題
再見(jiàn)作業(yè)布置完成配套課后練習(xí)題再見(jiàn)24第17章勾股定理
17.1勾股定理第1課時(shí)第17章勾股定理17.1勾股定理25學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)與技能:通過(guò)觀察、計(jì)算、猜想直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方的結(jié)論.過(guò)程與方法:
1.在充分觀察、歸納、猜想、探索直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方的過(guò)程中,發(fā)展合情推理能力,體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.2.在探索上述結(jié)論的過(guò)程中,發(fā)展歸納、概括和有條理地表達(dá)活動(dòng)的過(guò)程和結(jié)論.學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)與技能:過(guò)程與方法:26學(xué)習(xí)目標(biāo)情感態(tài)度與價(jià)值觀:
1.樹立積極參與、合作交流的意識(shí).2.在探索勾股定理的過(guò)程中,體驗(yàn)獲得結(jié)論的快樂(lè),鍛煉克服困難的勇氣.學(xué)習(xí)目標(biāo)情感態(tài)度與價(jià)值觀:27談話引入
我們知道,研究三角形從它的元素入手,也就是三角形的三條邊和三個(gè)角。對(duì)于等腰三角形和等邊三角形的邊,除滿足三邊關(guān)系定理外,它們還分別存在著兩邊相等和三邊相等的特殊關(guān)系。那么對(duì)于直角三角形的邊,除滿足三邊關(guān)系定理外,它們之間也存在著特殊的關(guān)系,這就是我們這一節(jié)要研究的問(wèn)題:勾股定理.
談話引入我們知道,研究三角形從它的元素入手,也就28新知探究問(wèn)題1相傳2500多年前,古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家作客,發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系.觀察下面圖中的地面,看看你能發(fā)現(xiàn)什么?三個(gè)正方形A,B,C的面積有什么關(guān)系?圖中三個(gè)正方形之間的面積有什么關(guān)系關(guān)系?新知探究問(wèn)題1相傳2500多年前,古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)29兩個(gè)小正方形的面積之和等于大正方形的面積.等腰直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方
每個(gè)正方形的面積等于其邊長(zhǎng)的平方兩個(gè)小正方形的面積之和等于大正方形的面積.30新知探究問(wèn)題2
在網(wǎng)格中的一般的直角三角形,以它的三邊為邊長(zhǎng)的三個(gè)正方形A,B,C的面積是否也有類似的關(guān)系?計(jì)算正方形A、B、C的面積ABC圖1ABC圖2圖1:正方形A、B、C的面積分別為16、9、25;圖2:正方形A、B、C的面積分別為4、9、13.
正方形C的面積你是如何計(jì)算的?新知探究問(wèn)題2在網(wǎng)格中的一般的直角三角形,以它的三邊為邊長(zhǎng)31通過(guò)割、補(bǔ)兩種方法求出其面積ABC圖1ABC圖2正方形的面積轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)的平方直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.
通過(guò)割、補(bǔ)兩種方法求出其面積ABC圖1ABC圖2正方形的面32新知探究問(wèn)題3以上直角三角形的邊長(zhǎng)都是具體的數(shù)值,一般情況下,如果直角三角形的兩直角邊分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,我們的猜想仍然成立嗎?這個(gè)結(jié)論仍然成立
“割”的方法:于是
新知探究問(wèn)題3以上直角三角形的邊長(zhǎng)都是具體的數(shù)值,一般33于是.
“補(bǔ)”的方法:勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
總結(jié)提升于是.“補(bǔ)”的方法:勾股定理總結(jié)提升34新知探究問(wèn)題4
歷史上各國(guó)對(duì)勾股定理都有研究,下面我們看看我國(guó)古代的數(shù)學(xué)家趙爽對(duì)勾股定理的研究,并通過(guò)小組合作完成教科書拼圖法證明勾股定理.這個(gè)圖案是公元3世紀(jì)三國(guó)時(shí)期的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的,人們稱它為“趙爽弦圖”,2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開(kāi),其中的會(huì)徽就是這個(gè)圖案.新知探究問(wèn)題4
歷史上各國(guó)對(duì)勾股定理都有研究,下面我們看看35四個(gè)全等的直角三角形(朱實(shí))可以如圖圍成一個(gè)大正方形,仿照課本中趙爽的思路,只剪兩刀,將邊長(zhǎng)為a、b的兩個(gè)連體正方形,拼成一個(gè)新的正方形?情況1,在線段MN上截取MP=a,得到NP=b,從而確定點(diǎn)P;情況2,通過(guò)折疊,得到邊長(zhǎng)為a-b的正方形,它實(shí)際上是趙爽弦圖的黃實(shí),延長(zhǎng)小正方形的一邊與線段MN相交于點(diǎn)P.圖1
圖2
圖3
怎樣根據(jù)拼圖活動(dòng)的結(jié)果證明勾股定理呢?四個(gè)全等的直角三角形(朱實(shí))可以如圖圍成一個(gè)大正方形,仿照課36圖1兩個(gè)正方形面積為,圖3拼成正方形面積為,即圖1
圖2
圖3
勾股定理的證明方法據(jù)說(shuō)有400多種,有興趣的同學(xué)可以搜集研究一下.圖1兩個(gè)正方形面積為,圖1圖237
總結(jié)提升勾股定理如果直角三角形的兩直角邊分別為a、b,斜邊為c,那么.總結(jié)提升勾股定理38新知探究問(wèn)題5
畫一個(gè)直角三角形,,它的兩直角邊分別是AC=3cm,BC=4cm,量一量它的斜邊是多少厘米?算一算,你量的結(jié)果對(duì)嗎?利用勾股定理解決直角三角形中已知兩邊求第三邊的問(wèn)題.這是勾股定理最重要的應(yīng)用.在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm.由勾股定理得:AB2=AC2+BC2,=32+42=25∴AB=5cm新知探究問(wèn)題5
畫一個(gè)直角三角形,,它的兩直角邊分別是A39典例剖析解:∵BD平分∠ABC,∴點(diǎn)D到AB的距離等于點(diǎn)D到BC距離,過(guò)D作DM⊥BC,則DM=DA,例1如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,交AC于點(diǎn)D,且AB=4,BD=5,則點(diǎn)D到BC的距離是多少?M典例剖析解:∵BD平分∠ABC,例1如圖,在Rt△ABC40典例剖析例2
如圖,是一個(gè)外輪廓為長(zhǎng)方形的機(jī)器零件平面示意圖,根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位:mm),計(jì)算兩孔中心A和B的距離..
解:在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=120-60=60(mm)BC=140-60=80(mm
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