多元函數(shù)微分學(xué)知識解析

多元函數(shù)微分學(xué)知識解析多元函數(shù)的概念'極限與連續(xù)性一、多元函數(shù)的概念TOC\o"1-5"\h\z.二元函數(shù)的定義及其幾何意義 Z設(shè)D是平面上的一個點(diǎn)集，如果對每個點(diǎn)P(x,y)GD, ?按照某一對應(yīng)規(guī)則f,變量z都有一個值與之對應(yīng)，則稱zf\ \是變量x,y的二元函數(shù)，記以z=f(x,y),〃稱為定義域。 石-一亍1 二元函數(shù)z=f(x,y)的圖形為空間一塊曲面，它在燈平面上的投影域就是定義域D。例如z=y]\-x2-y2,D:x2+y2<1二元函數(shù)的圖形為以原點(diǎn)為球心，半徑為1的上半球面，其定義域D就是xy平面上以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的閉圓。.三元函數(shù)與"元函數(shù)u=f(x,y,z), (尤,y,z)eO空間一個點(diǎn)集，稱為三元函數(shù)u=/(2,工2,…,x“)稱為〃元函數(shù)。它們的幾何意義不再討論，在偏導(dǎo)數(shù)和全微分中會用到三元函數(shù)。條件極值中，可能會遇到超過三個自變量的多元函數(shù)。二、二元函數(shù)的極限設(shè)/(x,y)在點(diǎn)(%,%)的鄰域內(nèi)有定義，如果對任意￡>0,存在5>0,只要7(x-x0)2+(y-y0)2<8,就有y)一⑷<￡則記以lim/(x,y)=A或limf(x,y)=A溫稱當(dāng)(x,y)趨于(q,％)時，?x,y)的極限存在，極限值為A。否則，稱為極限不存在。值得注意：這里(x,y)趨于(與，光)是在平面范圍內(nèi)，可以按任何方式沿任意曲線趨于(%,九)，所以二元函數(shù)的極限比一元函數(shù)的極限復(fù)雜，但考試大綱只要求知道基本概念和簡單的討論極限存在性和計(jì)算極限值不象一元函數(shù)求極限要求掌握各種方法和技巧。三、二元函數(shù)的連續(xù)性.二元函數(shù)連續(xù)的概念

若見”（x,y）=/（xo，%）則稱f（x，y）在點(diǎn)（x。，%）處連續(xù)若/（x,y）在區(qū)域。內(nèi)每一點(diǎn)皆連續(xù)，則稱f（x,y）在〃內(nèi)連續(xù)。.閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1 （有界性定理）設(shè)/（x,y）在閉區(qū)域〃上連續(xù)，則/（x,y）在〃上一定有界定理2（最大值最小值定理）設(shè)/（x,y）在閉區(qū)域〃上連續(xù)，則/（x,y）在〃上一定有最大值和最小值max/（x,y）=M（最大值），min/（x,y）=m（最小值）（x,>）eD （x,y）eD定理3 （介值定理）設(shè)/（x,y）在閉區(qū)域〃上連續(xù)，，1/為最大值，0為最小值，若m<c<M,則存在(%,%)eD,使得f(xQ,y0)=C典型例題例1例1求函數(shù)z=arcsin鼻+JH的定義域解：要求又要求xy20BPx>O,y>0或c<0,y<0綜合上述要求得定義域-3<x<0 [0<x<3x 或《Iy<0Iy>0例2求函數(shù)Z=,4_x2_y2+1n（丁2_2++1）的定義域解：要求4-x2-y~20和y~-2,x+1>0x2+y2<22

y2+1>2x函數(shù)定義域D在圓/+y2w2z的內(nèi)部（包括邊界）和拋物線V+l=2x的左側(cè)（不包括拋物線上的點(diǎn)）二、有關(guān)二元復(fù)合函數(shù)例1設(shè)/@+￥/-丁）=*2丁+，2,四（羽\）

解：設(shè)x+y=〃，x-y=u解出x=](〃+u),y=2(〃一y)代入所給函數(shù)化簡/(w,v)=-(w+v)2(w-v)+-(w-v)28 4故/(元,y)=：(x+y)2(x-y)+J(x-y)2o 4例2設(shè)/(x+y,xy)=r+3盯+/+5,^f(x,y)解：vx2+3xy+y2+5=(x2+2xy+y2)+xy+5=(x+y>+盯+5?，?f(x,y)=x2+y+5例3設(shè)z=77+/(4-1),當(dāng)y=l時，z=x,求函麴和z解：由條件可知%=1+)(4一1),令五一1=〃,貝曠(〃)=%—1=3+1)2-1=〃2+2/(x)=x2+2x,z=y[y+x-\三、有關(guān)二元函數(shù)的極限1 例1討論lim(l+」-)E (〃工0常數(shù))■xy\H(x+V)解：原式二Hm(14-—)'?令/=xylim(l+!y=f.JC, ]又lim =lim ；^xy(x+y)蘆1yQ+4X原式=/例2討論lim:，2Zr3(x,y)-M0,0)x+Zr3解：沿y=h原式"Hm4,v->0X+/X沿了=比2,原式=lim' =；~-x4+l2x41+/2原式的極限不存在X21y|i例3討論lim41T(x,y)-MO,O)x+y解：x4+j2>2x2|y|.0V?席心而lim，M5=0； limx-M911 j->0y->0乙 )tO用夾逼定理可知原式=0一、偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念1.偏導(dǎo)數(shù)(V(x2-|y|)2>0).1=別0=0偏導(dǎo)數(shù)與全微分二元：設(shè)z=/(x,y)f^=/：(x,y)=OXf^=H(x,y)=oy注意：在分界點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)，練習(xí)：設(shè)z=/(x,y)=J6jjmf(x+Ar,y)-/(x,y)Ax-M) AX如」」,y+Ay)—/(x,y)Ay—O Ay用偏導(dǎo)數(shù)定義求，求AO,0)/(0,0)三元：設(shè)〃=/(x,y,z)受"”z);1ox &2.二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z=f(x,y),d2z#”(、8dz獲工G'y)=次喘)’=/：(x，y，z)；.=￡'(x,y,zp? ozd2z_n ddz'w一《-a(a)dxdy oyox定理：求偏導(dǎo)數(shù)與次序無關(guān)的定理例：已知(oxy'-y2cosx)dr+(l+bysinx+3x2y2)c(y為某一函數(shù)/(x,y)的全微分，則a和白的值分別是.全微分設(shè)z=f(x,y),增量Az=/(x+Ax,y+a)-/(x,y)若Az=AAx+BAy+o(7(Ar)2+(Ay)2)當(dāng)ArfOAyf耐則稱z=/(x,y)可微，而全微分dz=AAx+8Ay定義：dr=Ar,dy=兇定理：可微情況下，A=fXx,y\B=f；(x,y)dz=f^x,y)dx+f'.(x,y)dy三元函數(shù)u=f(x,y,z)全微分du=f'(x,y,z)dx+f'(x,y,z)dy+f\x,y,z)dz.相互關(guān)系4(a)4(a)/(x.y)連轉(zhuǎn)例：二元函數(shù)冬=/(",》)在(七”為)處可微的充分條件是()(A)」(x,y)在(與，/)處連續(xù):(B)(A)」(x,y)在(與，/)處連續(xù):(B)(C)(D)/：(*,y)，G(*,y)在(七”典)的某鄰域存在；及一Ax。，，。心一月(工0，丁0)2，當(dāng)J(Ax)2+(Ay)2fo時,是無窮小量;女-力(工為心―/;(%/應(yīng)當(dāng)商e-o時，是無窮小量V(Ax)2+(Aj)2(x2+v2)sin—--x2+y20練習(xí)：設(shè)/(x,y)T x2+y2 在原點(diǎn)(0,0)處/(x,y)0 x2+j2=0(A)偏導(dǎo)數(shù)不存在(B)不可微(C)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)(D)可微.方向?qū)?shù)與梯度(數(shù)學(xué)一)二、復(fù)合函數(shù)微分法一一鎖鏈公式三、隱函數(shù)微分法設(shè)F(x,y,z)= =z(x,y)則I；導(dǎo)中傻求偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)恥。。)四、幾何應(yīng)用(數(shù)學(xué)一).空間曲面上一點(diǎn)處的切平面和法線.空間曲線上一點(diǎn)處的切線和法平面X=x(t)設(shè)空間曲線廠的參數(shù)方程為。y=y(t)z=z(t)空間曲線r空間曲線r的一般方程為/(x,y,z)=0G(x,j,z)=()設(shè)曲面S的隱函數(shù)方程為F(x,j,z)=0，則過S上一點(diǎn)M=(x。,%,7)的切平面和法線方程分別為屋|m(x_x(,)+月|“(，―/)+￡1“口—。)=0x-x0典型例題Z-Xz例1求M=(±)zZ-Xz解= 浮=Z(與N(_：)=_oxyydyyy

包=(E>ln二

dzyy例2設(shè)”=/(x,y,z)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，又函數(shù)y=y(x)及z=z(x)分別由下列兩式確定

,dudt 求一dx解4=/；+＜哼+￡哼dx axax由e"_孫=2兩邊對x求導(dǎo)，得e0Iy+x電］_(y+x心)=0dx-dx解出粵=_2(分子和分母消除公因W*-1))axx由e，=由e，=j包I小兩邊對x求導(dǎo)，得/=ntsin(x-z)(x-z)ex(x-z)ex(x-z)sin(x-z)解出華=1一ax所以李=要一，莖+口一生二包］孚dxdxxdysm(x-z)dz設(shè)〉=5(工),2=2(%)是由z=W(x+y)和jF(x,y,z)=O所確定的函數(shù)，其中F具有dz一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，尸具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)求絲dx解分別在兩方程兩邊對x求導(dǎo)得+K+K-41+f+如公化簡解出豪T/設(shè)〃=設(shè)〃=/(x,y,z)有連續(xù)偏導(dǎo)瓶z=z(x,y)由方程xe'-yey=z/所確定求du解一：令b(x,y,z)=xe‘一四’一次得工'=(x+l)e*,F'.=-(y+Y)ey,理=-(z+l)" 則用隱函數(shù)求導(dǎo)公式得就啜加料=（力+/:言，"+0-公苧”>解二：在xe"-yey=zez 兩邊求微分得(1+x)exdx—(1+y)eydy=(1+z)ezdz/一(1+ -(1+y)eydy解出(1+z)e解出(1+z)e代入du=frxdx+f；dy+f；dz=.f：dx+f；dy=.f：dx+f；dy+f；(1+x)exdx-[\4-y)eydy(1+z)e合并化簡也得而=（《+力eI）辦+（H一力空e-）dyz+1 z+1/（”,n）具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足駕+駕=1,OUOVg(x,y)=fxy,^(x2-y2)解：u=xy,v=-(x2-y2)%—V或+x笠 蜚—x笠-V或~~y I人, --人 ydxdudvdydudv故：駕4駕+2孫亞+/吆+紇dx2 du2 dudv 加，dv駕??一句粵+“罵L或廿 du~ dudv dv2dv所以：零+票=，+/）黑+，+/）￥=/+/2

例6已知F(-,—)=0 確定z=z(x,y)其中尸(〃》),z(x,y)zzr)7 %TOC\o"1-5"\h\z均有連續(xù)編導(dǎo)數(shù)，求證X笄+y^=zox dy證:F(u,v)=F(-,馬=G(x,y,z)=0

zzG：=婷,，G'y=F；-, G；=伍-今)+婷(-與z z z z根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)公式8z不G1；zF：dz，G：；dxG':xFt'+yF'.dyG'z 俎'+陽n[,口dz dz則得x—+y—=zdx dyX=-X=-U24-V4-Zy=u+vzdudvdu

dx'dx'dz解:X=解:X=-14?+U+Z

y=〃+uz的兩邊求全微分，得dx=dx=-2udu+dv+dz

dy=du+zdv+vdz[ludu-dv=—dx+dzIdu4-zdv—dy—vdz=,_-zdx4-(z-v)dz4-dy2〃z+l小_2udy+tic-(1+2uv)dz2uz+\duz dv1 du z-v—>—= —— ~ dx 2uz+1' dx 2uz+1' dz 2uz+1多元函數(shù)的極值和最值一、求z=/(x,y)的極值第一步N(%，y)=o

f；(x,y)=0求出駐點(diǎn)(x*,%)第二步令%=￡(%,%)&(和%)一片5,”才若“<0則/（與,"）不是極值若%=0則不能確定（有時需從極值定義出發(fā)討論）若Aa.>0則是極值出土若二（x*，"）>°則/（?%%）為極小值進(jìn)一步若《（占,"）<0則/（X*,%）為極大值二、求多元（”22）函數(shù)條件極值的拉格朗日乘子法求M= X”）的極值‘臼（七,…,x.）=0約束條件" : （m<n）（pm（xi,---,xn）=0令F=FUp---,xn,A,,?,A,?）=,/1（%），???,xn）+^2,v>.（xl,??%?）i=\號=。F；=0V'"匕=%（F，…，怎）=。=%（石，-認(rèn)）=0求出（尺,???,/）（Z=1,2,???1）是有可能的條件極值點(diǎn)，一般再由實(shí)際問題的含義確定其充分性，這種方法關(guān)鍵是解方程組的有關(guān)技巧。典型例題一、普通極值例1求函數(shù)z=x4+y4-x2-2xy-y2的極值Qra Qz a解 —=4x3-2x-2y, —=4y3-2x-2ydx dy要求李=孚=0,^x+y=2x3=2y3dxdy故知x=乂由此解得三個駐點(diǎn)x=0 x=1 Px=-17=0, (y=1, 1y=-1Dd2Zic?>cd2Z cd2Zic2c又tt=12x--2, -t-2=12/-2ox~ oxoy oy在點(diǎn)(1，1)處^=|4|(1.l)=10, B=-^\(U)=-2, C=|^|(l.1=10A=AC-B2=96>0又A=10>0, (U)是極小值點(diǎn)極小值Z|(m=-2在點(diǎn)(-1,-1)處-嘴|”=1。，8=急|…尸-2，.=款1)=10A=AC-B2=96>0A=10>0, 也是極小值點(diǎn)極小值Z|(T._])=—2 在點(diǎn)(0,0)處TOC\o"1-5"\h\za?z a?z d^zA=—r =—2, B= =—2, C=—y =2&<?,o, 曬,o.o> <0,0,a=ac-b2=o不能判定這時取x=￡,y=-￡(其中小充分小的正數(shù))貝七=2￡*>0而取x=y=時z=2s4-4￡2<0 由此可見(0,0)不是極值點(diǎn)例2ife=z(x,y)是由Y-6xy+l())，-2yz-z?+18=0確定的函數(shù)，求z=z(x,y)的極值點(diǎn)和極值。解因?yàn)閄2-6xy+\0y2-2yz-z2+18=0每一項(xiàng)對“求導(dǎo)，z看作x,y的函數(shù)，得2x-6y-2y—-2z—=0, (1)dxdx每一項(xiàng)對y求導(dǎo)，z看作x,y的函數(shù)，得-6x+20y-2z-2y—-2z—=0. (2)dydy令L得尸y=o， 故尸y,=0,-3x+10y-z=0, [z=y.=0,將上式代入刀2-6盯+10?-2yz-z-+18=0,可得x=9, x=-9,<y=3,或y=-3,z=3. z=—3.、 IHz把(1)的每一項(xiàng)再對X求導(dǎo)，Z和一看作x,y的函數(shù)，得dx0、d2z&20"z—n2gm-2(說)-2z評=0,0Z(1)的每一項(xiàng)再對y求導(dǎo)，z和9看作x,y的函數(shù)，得dx,_& d2z .dzdzcd2z ?dx dxdy dydxdxdy3z(2)的每一項(xiàng)再對y求導(dǎo)，z和匕看作*,y的函數(shù)，得20-2—-2--2y^f-2(—)2-2z^|=0,dydydy2dydy2TOC\o"1-5"\h\z所以4 =-,B=- C=- =-dx(3,6 dxdy2 dy),.3.3)3AC-B2=^->0,又4=!>0,從而點(diǎn)(9,3)是2(乂丁)的極小值點(diǎn)，極小值36 6為z(9,3)=3.類似地，由A_d2z_1 d2z_1 52z _5而(…尸一引 礪<…)=-于 C=示(…)=一寸,1可知,1可知AC-B2=—>0,

361-6

-=

A

又<0,所以點(diǎn)(-9,-3)是z(x,y)的極大值點(diǎn),極大值為z(—9,—3)=—3.條件極值問題1第一卦限上夕點(diǎn)處作切平面，使與三個坐標(biāo)平面所圍四面體的體積最小，求〃點(diǎn)坐標(biāo)。2 2 1切平面：力工(乂一%)+制(丫一丁)+?2 2 1 x2—xX+-yy+-zZ-2(^+^25 9 2 522 2 1—xX+-yy+-zZ-2=025 9- 2x軸截距(丫=0,Z=0)y軸截距(Z=0,X=0)x軸截距(x=o,r=o)]_2594_1506xyzxyz9 2 2約束條件,+小a-1=。(%>°，]尸=尸。,y,z,A)= F丸(有xyz 5一口，—1502Anx^yz25「 150 nF、，= 2+ny=°xyz9廣，1502A八￡= 2+z=0xyz42 2 2l， x y z 1cF^￥+￥+￥~l=0用x乘(l)+y乘(2)+z乘(3) i450則22=— (5)xyz(Z—z)=02 2Vv25X——Xy=-yZ=d所以四面體的體積z>0,z>0)用拉格朗日乘子法令1 2 2-+亳+口450-+22=0xyz2.x2y2z解：設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)(x,y,z),則橢球面在戶點(diǎn)的切平面的法向量為(亍~，于-，擊~)將(5)分別找代入(1),(2),(3)得所以P點(diǎn)坐標(biāo)為告鼻耳)而最小體積V=154y/373y/3例2求坐標(biāo)原點(diǎn)到曲線C：〈x2+y例2求坐標(biāo)原點(diǎn)到曲線C：〈. 的最短距離。2x-y-z=l解:設(shè)曲線C上點(diǎn)(x,y,z)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為d,令w=d-=x2+y2+z2,約束條件f+V—z2-i=o,2x—y—z—1=0用拉格朗日乘子法，令F=F(x,y,z,A,〃)=(x2+y2+z2)+A(x2+y2—z2—l)+yU(2x—y—z—1)TOC\o"1-5"\h\zF；=2x+2Ax+2p=0 (1)K=2y+22y_〃=0 (2)娉=2z-22z-〃=0 (3)F1=x2+y2-z2-1=0 (4)F^=2x-y-z-1=Q⑸首先,由(1),(2)可見，如果取4=一1,則〃=0,由(3)可知z=0,再由(4),⑸得x~+y~-1=0,2x__y—1=0,4TOC\o"1-5"\h\z[x