尼科爾森《微觀經(jīng)濟(jì)理論-基本原理與擴(kuò)展》（第11版）配套題庫(kù)【考研真題＋章節(jié)題庫(kù)】

尼科爾森《微觀經(jīng)濟(jì)理論——基本原理與擴(kuò)展》（第11版）配套內(nèi)容簡(jiǎn)介第一部分為考研真題精選。本部分精選了名校的考研真題，按照題型分類，并提供了詳解。通過(guò)本部分，可以熟悉考研真題的命題風(fēng)格和難易程度。第二部分為章節(jié)第一部分考研真題精選

一、計(jì)算題某企業(yè)的生產(chǎn)需要使用兩種要素，其生產(chǎn)技術(shù)為f（xi，X2）=（min{xi,2x2}。），其中X［和X2為兩種要素的使用量。企業(yè)可以同時(shí)調(diào)整兩種要素的投入量。假定產(chǎn)品的市場(chǎng)價(jià)格外生給定為p,且W1和W2表示外生給定的兩種要素的價(jià)格。請(qǐng)回答：（1）該廠商的要素需求函數(shù)和利潤(rùn)函數(shù)。（2）為使得本題的解有意義，你需要對(duì)參數(shù)01施加何種限制？［中國(guó)人民大學(xué)2019研］解：（1）由該廠商的生產(chǎn)函數(shù)f（X1，X2）=（min{xi，2x2}a）可知其要素使用原則為xi=2x2，則其產(chǎn)量Q=f（Xl，X2）=乂產(chǎn)=（2X2）。，其利潤(rùn)函數(shù)為：7T=pQ-W1X1—W2X2—pxia—W1X1—W2X1/2其一階條件為：d7r/dxi=apxiar—wi—W2/2=0；解得：故該廠商的要素需求函數(shù)為：利潤(rùn)函數(shù)為:（2）為使得本題的解有意義，參數(shù)a需滿足以下條件:①要素使用量X1N0,要素使用量X2Z0,則a>0。②要素需求是自身價(jià)格的減函數(shù)，即：則a<lo&利潤(rùn)函數(shù)是產(chǎn)品價(jià)格的增函數(shù)，即：/印>0,易得當(dāng)aVl時(shí),加/仇）>0恒成立。綜上所示，需要對(duì)參數(shù)a施加的限制為OVaVl。在一個(gè)純交換的經(jīng)濟(jì)中有兩個(gè)人，消費(fèi)者A和消費(fèi)者B,市場(chǎng)上有兩種商品，即面包X1和牛奶X2。兩個(gè)人的初始稟賦為WA=（2,5）,WB=（10,15）,他們的效用函數(shù)分別為l］A（Xl，X2）=X1°-6X204,UB（X1,X2）=X|+lnX2。假設(shè)消費(fèi)者對(duì)兩種商品的消費(fèi)都嚴(yán)格大于零。（1）求解消費(fèi)者的契約曲線。（2）求解一般均衡時(shí)的價(jià)格與資源分配狀況（提示：可把一種商品的價(jià)格標(biāo)準(zhǔn)化為1）。（3）假設(shè)P1=P2=1，求出兩人對(duì)兩種商品的需求和兩種商品的過(guò)剩需求，此時(shí)市場(chǎng)出清嗎？哪種商品的相對(duì)價(jià)格偏貴了？［上海財(cái)經(jīng)大學(xué)2018研］解：為簡(jiǎn)便符號(hào)，設(shè)面包為x,牛奶為y,則消費(fèi)者A和消費(fèi)者B的效用函數(shù)分別為：uA（x,y）=Xa°,6yAMuB（x,y）=XB+lnyB（1）由題意知，消費(fèi)者A和消費(fèi)者B面臨預(yù)算約束：xa+xb—2+10；yA+yB=5+15。消費(fèi)者的契約曲線，又稱交換的契約曲線，指的是埃奇沃思盒中，不同消費(fèi)者的無(wú)差異曲線切點(diǎn)的軌跡。在本題中，消費(fèi)者的契約曲線表示兩種產(chǎn)品在兩個(gè)消費(fèi)者之間的所有最優(yōu)分配（即帕累托最優(yōu)狀態(tài)）的集合，需滿足的條件為：MRSxyA=MRSxyB,即MUxA/MUyA=MUxB/MUyB,BP0.6xA°-4yA04/(0.4xA°-6yA°6)—1/(1/yB)，解得：yB=3yA/(2xa)。則消費(fèi)者契約曲線為：xA=3yA/[2(20-yA)](0<xa<12,00yAs20)。(2)假設(shè)面包價(jià)格為1,即px=l,牛奶價(jià)格為p，即Py=P。消費(fèi)者A的效用最大化條件為：MUxA/MUyA=Px/py,即3yA/(2xa)=l/p@謫費(fèi)者A的預(yù)算約束為：pxXA+pyyA=2px+5py,即XA+pyA=2+5p②聯(lián)立①②可得消費(fèi)者A的消費(fèi)選擇：xa=3(2+5p)/5，yA—2(2+5p)/(5p)。消費(fèi)者B的效用最大化條件為：MUxB/MUyB=px/py,即yB=l/p③消費(fèi)者B的預(yù)算約束為：pxxB+pyyB=10px+15py,即xb+pYb—10+15P④聯(lián)立倉(cāng))④可得消費(fèi)者B的消費(fèi)選擇：xb=9+15p，yB=1/po聯(lián)立yA=2(2+5p)/(5p),yB=1/p和yA+yB=5+15,解得p=0.1。則px/py=10,xa=1.5,yA=10,xb=10.5,yB=10o即一般均衡時(shí)，面包價(jià)格是牛奶的10倍，消費(fèi)者A消費(fèi)1.5單位面包，10單位牛奶，消費(fèi)者B消費(fèi)10.5單位面包，10單位牛奶。(3)由題意知，面包和牛奶價(jià)格均為1,即p=l。則由(2)可知，消費(fèi)者A的消費(fèi)選擇：xa=3(2+5p)/5=4.2,yA=2(2+5p)/(5p)=2.8；消費(fèi)者B的消費(fèi)選擇:xb—9+15p—24,ye—1/p—1o又因?yàn)橄M(fèi)者A和消費(fèi)者B面臨預(yù)算約束：xa+xb=2+10,yA+yB=5+15,所以兩人對(duì)面包的過(guò)剩需求為4.2+24-(2+10)=16.2,對(duì)牛奶的過(guò)剩需求為2.8+1-(5+15)=-16.2,此時(shí)市場(chǎng)不出清，牛奶的相對(duì)價(jià)格偏貴了?？紤]某機(jī)場(chǎng)和其附近房地產(chǎn)建造商的問(wèn)題，機(jī)場(chǎng)附近的航班會(huì)對(duì)居住造成一定程度的不利影響，房地產(chǎn)建造商的利潤(rùn)函數(shù)為兀E=42y—y2—xy,飛機(jī)場(chǎng)的利潤(rùn)函數(shù)為tia=36x—x2,x為機(jī)場(chǎng)每天起飛的飛機(jī)數(shù)，y為房地產(chǎn)商建造的房屋量。(1)求各自利潤(rùn)最大化時(shí)的x,y；(2)現(xiàn)在房地產(chǎn)建造商購(gòu)買飛機(jī)場(chǎng)，求此時(shí)利潤(rùn)最大化時(shí)的x,y；(3)建造商和飛機(jī)場(chǎng)各自經(jīng)營(yíng)，但飛機(jī)場(chǎng)給房地產(chǎn)建造商xy補(bǔ)貼，求達(dá)到社會(huì)最優(yōu)量時(shí)的補(bǔ)貼xy。［上海財(cái)經(jīng)大學(xué)2013研］解：(1)單獨(dú)經(jīng)營(yíng)時(shí)，飛機(jī)場(chǎng)利潤(rùn)最大化的一階條件為：d7iA/dx=36—2x=0,解得：x=18。此時(shí)房地產(chǎn)制造商的利潤(rùn)函數(shù)為：?TE=42y—y2—xy=42y—y2—］8y=24y—y2其利潤(rùn)最去化的一階家件為d7iE/dy=24-2y=0,解得y=12o(2)若房地產(chǎn)建造商購(gòu)買飛機(jī)場(chǎng)，此時(shí)總利潤(rùn)函數(shù)為：兀=tea+冗e=36x-X2+42y—y2—xy利潤(rùn)最大化的一階條件為：3ti/9x=36—2x—y=0。兀/0y=42—2y—x=0解得：x=10,y=16o(3)若飛機(jī)場(chǎng)給房地產(chǎn)補(bǔ)貼xy,此時(shí)房地產(chǎn)制造商的利潤(rùn)函數(shù)為：7iE=42y—y2,利潤(rùn)最大化的一階條件為：(Itie/dy=42-2y=0,解得y=21。此時(shí)飛機(jī)場(chǎng)的利潤(rùn)函數(shù)變?yōu)椋簍ta—36x—x2—xy=36x—x2—21x=15x—x2飛機(jī)場(chǎng)利潤(rùn)最大化的一階條件為cbiA/dx=15—2x=0,解得x=7.5o故達(dá)到社會(huì)最優(yōu)量時(shí)的補(bǔ)貼為：xy=7.5x21=157.5。假定兩個(gè)人，初始財(cái)富是W"兩人同時(shí)決定向公共項(xiàng)目貢獻(xiàn)。，剩下的Wi—Ci用于私人消費(fèi)，福利函數(shù)為Ui=Vi(ci+c2)+Wi-a，i=1>2o(1)社會(huì)福利函數(shù)為U=U1+ll2，Vi(Cl+c2)—3(ci+c2)/4,V2(C1+C2)=3(Cl+c2)/2,求社會(huì)最優(yōu)資源配置以及公共貢獻(xiàn)總量。(2)如果兩人同時(shí)決定貢獻(xiàn)量，找出純策略納什均衡，計(jì)算均衡下公共項(xiàng)目總量，并判斷是否最好以及為什么會(huì)產(chǎn)生這種結(jié)果?！干虾Ｘ?cái)經(jīng)大學(xué)2011研］解：(1)社會(huì)福利函數(shù)為：U=U1+u2=3(C1+C2)/4+wi-C1+3(Ci+c2)/2+w2—C2=5(C1+C2)/4+wi+w2很顯然，社會(huì)福利函數(shù)是Ci的增函數(shù)，因此社會(huì)福利函數(shù)最大化的條件就是5=WI和C2=W2,公共貢獻(xiàn)總量為W1+W2O(2)如果兩人同時(shí)決定貢獻(xiàn)量，對(duì)于第一個(gè)人來(lái)說(shuō)，因?yàn)槠涓＠瘮?shù)為5=3(ci+c2)/4+wi—ci=-ci/4+3c2/4+wi，所以他的最佳選擇就是自己不做貢獻(xiàn)，而不管對(duì)方貢獻(xiàn)多少。但是，對(duì)于第二個(gè)人來(lái)說(shuō)，因?yàn)槠涓＠瘮?shù)為U2=3(ci+c2)/2+W2—C2=3cJ2+c2/2+W2，所以他的最佳選擇就是把財(cái)富全部貢獻(xiàn)出來(lái)，而不管對(duì)方貢獻(xiàn)多少，因此純策略納什均衡為Cl=0和C2=W2，公共貢獻(xiàn)總量為W2。當(dāng)然這對(duì)于公共項(xiàng)目來(lái)說(shuō)不是最好結(jié)果，最好結(jié)果就是(1)的結(jié)果，但是由于非合作博弈，個(gè)人理性占據(jù)上風(fēng)以及個(gè)人忽視了公共項(xiàng)目的有益的外部性，所以結(jié)果只能是這一純策略納什均衡。有相鄰的一個(gè)果園A和一個(gè)養(yǎng)蜂場(chǎng)H,單位水果價(jià)格為2,單位蜂蜜價(jià)格為4。果農(nóng)的成本函數(shù)為Ca(A,H)=A2/100-4H,蜂蜜成本函數(shù)為Ch(A,H)=H2/100-6Ao(1)他們各自決策，那么他們的最優(yōu)產(chǎn)量各是多少？(2)如果合并，那么最大利潤(rùn)是多少？合并之和的產(chǎn)量分別是多少？［上海財(cái)經(jīng)大學(xué)2010研］解：(1)設(shè)果農(nóng)的產(chǎn)量為Qa,蜂農(nóng)的產(chǎn)量為Qh，則果農(nóng)的利潤(rùn)函數(shù)為：tia=2Qa-Ca(A,H)=2Qa-Qa2/100+4Qh利潤(rùn)最大化的一階條件為：Ea/3Qa=0，得：2—Qa/50=0。解得：Qa=100o同理，蜂農(nóng)的利潤(rùn)函數(shù)為：tth=4Qh—Ch(A,H)=4Qh-Qh2/100+6Qa利潤(rùn)最大化的一階條件為：珈h/SQh=0，得：4-Qh/50=0。解得：Qh=200o即如果他們各自決策，果農(nóng)和蜂農(nóng)的最優(yōu)產(chǎn)量分別是100和200o(2)合并后的利潤(rùn)函數(shù)為：7i=7ia+71h=2Qa-Qa2/100+4Qh+4Qh-Qh2/100+6Qa=8Qa—Qa2/100+8Qh-Qh2/100利潤(rùn)最大化的一階條件為：解得：Qa=Qh=400o將Qa=Qh=400代入合并后的利潤(rùn)函數(shù)兀=8Qa—Qa2/100+8Qh-Qh2/100,可得：7T=8x400-4002/100+8x400-4002/100=3200假設(shè)一個(gè)村莊的村長(zhǎng)決定修建村里的道路。但他不知道村民對(duì)修建交通道路的估價(jià)。修筑道路的成本C與道路的長(zhǎng)度x有關(guān)，且C(x)=x2/20每個(gè)村民的邊際意愿支付為P(x)=l-Xo(1)確定所修建道路的最優(yōu)長(zhǎng)度的條件是什么？如果村民的人數(shù)為1000人，那么該村應(yīng)修建多長(zhǎng)的道路？(2)假設(shè)修建道路的成本是固定的，且C(x)=500。那么當(dāng)村民人數(shù)為多少時(shí)才應(yīng)該實(shí)施修路工程？［上海財(cái)經(jīng)大學(xué)2008研］解：(1)如果公共物品按可變數(shù)量提供，提供帕累托有效公共物品量的必要條件為：邊際支付意愿之和等于公共物品的邊際成本。所以，確定所修建的道路的最優(yōu)長(zhǎng)度的條件是所有村民的邊際支付意愿之和等于修筑道路的邊際成本。如果村民的人數(shù)為1000人，最優(yōu)的道路長(zhǎng)度為：1000(1-x)=MC(x)=x。解得：最優(yōu)的道路長(zhǎng)度x=1000/1001。(2)在道路修建成本固定條件下，當(dāng)村民的邊際支付意愿之和大于或等于總成本，則修建道路是合意的。因此，設(shè)村民人數(shù)為n時(shí)修建道路，則應(yīng)滿足n(l—x)>C(x)=500,解得：n>500/(l-x)。所以，當(dāng)村民人數(shù)在500/(1-x)及以上時(shí)才應(yīng)該實(shí)施修路工程。市場(chǎng)有兩個(gè)行業(yè)，服裝行業(yè)和鋼鐵行業(yè)，服裝行業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為yc=k，鋼鐵行業(yè)生產(chǎn)函數(shù)為ys=241s0-5-2k，1c與k分別是服裝與鋼鐵行業(yè)的勞動(dòng)人數(shù)。市場(chǎng)總?cè)藬?shù)為25,而且所有人都會(huì)進(jìn)入某個(gè)行業(yè)，假設(shè)服裝行業(yè)與鋼鐵行業(yè)都是完全競(jìng)爭(zhēng)行業(yè)，產(chǎn)品價(jià)格都是1。(1)假定勞動(dòng)市場(chǎng)完全競(jìng)爭(zhēng)，求k和k以及均衡工資。(2)假定鋼鐵工人組成一個(gè)強(qiáng)大的工會(huì)，擁有壟斷權(quán)力向鋼鐵行業(yè)提供勞動(dòng)，工會(huì)的目標(biāo)是使本行業(yè)工人總收入最大化，求1c和k以及鋼鐵行業(yè)和服裝行業(yè)的工資。(3)假定兩個(gè)行業(yè)的工人共同組成一個(gè)強(qiáng)大的工會(huì)，可以壟斷的向兩個(gè)行業(yè)提供勞動(dòng)，工會(huì)的目標(biāo)是使所有工人總收入最大化，求k和1s以及兩個(gè)行業(yè)的工資。［上海財(cái)經(jīng)大學(xué)2011研］解：(1)因?yàn)閯趧?dòng)市場(chǎng)完全競(jìng)爭(zhēng)均衡，故設(shè)服裝行業(yè)和鋼鐵行業(yè)的工資為Wc=Ws=W，服裝行業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為yc=lc，所以服裝行業(yè)工人的邊際產(chǎn)量MP=1,因?yàn)楫a(chǎn)品價(jià)格為1,所以服裝行業(yè)工人的邊際產(chǎn)品價(jià)值VMP=PMP=1,又因?yàn)閯趧?dòng)市場(chǎng)完全競(jìng)爭(zhēng)，所以有VMP=Wc=Ws~~W――1o對(duì)于鋼鐵行業(yè)，工人的邊際產(chǎn)量MP=121s-°$—2,邊際產(chǎn)品價(jià)值VMP=PMP=121s05-2=1,所以得ls-0-5=1/4,因此」=16；因?yàn)閗+lc=25,所以lc=9。(2)此時(shí)服裝行業(yè)因?yàn)闆](méi)有發(fā)生變化，所以VMP=Wc=1,但是鋼鐵行業(yè)發(fā)生了變化，產(chǎn)品市場(chǎng)依然是完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)而勞動(dòng)市場(chǎng)不再是完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)，鋼鐵行業(yè)利潤(rùn)函數(shù)為its=psys—Isws=241s°5—21s—IsWs,假如給定了鋼鐵行業(yè)工人的工資，則根據(jù)利潤(rùn)最大化的一階條件，有：7rs/dls—121ss5—2—Ws=0=Ws=121s0,5—2可以把上式看成是鋼鐵行業(yè)對(duì)工人工資的一個(gè)反應(yīng)函數(shù)。此時(shí)工會(huì)的目標(biāo)是最大化收入函數(shù)Rs=lsWs，把反應(yīng)函數(shù)Ws=12『°$—2代入該目標(biāo)函數(shù)，得：Rs=ls(121s-°-5-2)n21s05—21s則根據(jù)收入最大化的一階條件，有：dRs/dls=61s-o-5-2=O=>ls=9因?yàn)閘s+lc=25,所以1=16。此時(shí)鋼鐵行業(yè)的工人工資為\^=出1°$—2=2。(3)此時(shí)工會(huì)的目標(biāo)函數(shù)是7l=lcWc+lsWs，服裝行業(yè)利潤(rùn)函數(shù)為以=pcyc-lcWc=1c-IcWc,利用利潤(rùn)最大化可求得Wc=l,血模行業(yè)利潤(rùn)函數(shù)為：7ls=psys—lsWs=24is05—21s—lsws,利用利潤(rùn)最大化可求得ws=121s05—2。注意到h+k=25,于是工會(huì)的目標(biāo)函數(shù)變?yōu)椋?l=lcWc+lsWs=25—ls+ls(121s0,5—2)—121s0,5—31s+25根據(jù)一階條件得ls=4o因?yàn)閗+lc=25,所以1=21。此時(shí)鋼鐵行業(yè)的工人工資為Ws=12k—°$—2=4。某產(chǎn)品市場(chǎng)中存在很多的消費(fèi)者，而生產(chǎn)該產(chǎn)品的企業(yè)只有兩家，企業(yè)A和企業(yè)B,這兩家企業(yè)生產(chǎn)完全相同的產(chǎn)品，固定成本均為0,企業(yè)A的邊際成本為10,企業(yè)B的邊際成本為14,已知該市場(chǎng)的需求函數(shù)為線性，且當(dāng)價(jià)格P為20時(shí)，需求量Qd為100，需求價(jià)格彈性為一0.2。(1)求該市場(chǎng)的需求函數(shù)。(2)如果兩家企業(yè)進(jìn)行古諾競(jìng)爭(zhēng)，此時(shí)市場(chǎng)的均衡價(jià)格與均衡產(chǎn)出是多少？(3)如果企業(yè)A先做產(chǎn)出決策，在預(yù)測(cè)到企業(yè)A的決策之后，企業(yè)B再進(jìn)行產(chǎn)出決策，此時(shí)市場(chǎng)的均衡價(jià)格與均衡產(chǎn)出是多少？?jī)杉移髽I(yè)的產(chǎn)出分別多少？［清華大學(xué)2015研］解：(1)設(shè)該市場(chǎng)的需求函數(shù)為P=a—bQD，由“當(dāng)價(jià)格P為20時(shí)，需求量Qd為100，需求價(jià)格彈性為一0.2”，可得下列方程組：解得：a=120,b=1o因此該市場(chǎng)的需求函數(shù)為P=120—Qd。(2)若兩家企業(yè)進(jìn)行古諾競(jìng)爭(zhēng)，則企業(yè)A的利潤(rùn)函數(shù)為7TA=PqA—c<qA)=(120—qA-Qb)Qa_10qA其利潤(rùn)最大化南一階條件為EA/SqA=110—2qA—qB=0,所以企業(yè)A的反應(yīng)函數(shù)為qA=55—0.5qB；企業(yè)B的利潤(rùn)函數(shù)為：7iB=PqB—c(qB)—(120—qA—Qb)Qb-14qb其利潤(rùn)最大化同一階條件為EB/SqB=106—2qB~qA=0,所以企業(yè)B的反應(yīng)函數(shù)為qB=53—0.5qA；聯(lián)立企業(yè)A、B的反應(yīng)函數(shù)得：qA=38,qB=34；此時(shí)市場(chǎng)的均衡價(jià)格為P=48,均衡產(chǎn)出為Qd=72。(3)如果企業(yè)A先做產(chǎn)出決策，則企業(yè)A為領(lǐng)導(dǎo)者，企業(yè)B為追隨者，由(2)知B的反應(yīng)函數(shù)為qB=53—0.5qA，將其代入領(lǐng)導(dǎo)者A的利潤(rùn)函數(shù)可得7ia=(120—qA-Qb)Qa—lOqA—(120—qA—53+0.5qA)qA—10qA=(67—0.5qA)qA_10qA其利潤(rùn)最大化的一階條件為：而A/dqA=57—qA=0，解得：qA=57；代入B的反應(yīng)函數(shù)得：qB=24.5；此時(shí)，市場(chǎng)的均衡產(chǎn)出為Qd=81.5,均衡價(jià)格為P=38.5o在某一座10萬(wàn)人口的城市，政府發(fā)了1000輛出租車經(jīng)營(yíng)牌照。為了模型的簡(jiǎn)便，我們?cè)O(shè)每輛出租車每天固定載客運(yùn)行300公里，每天運(yùn)行的成本(包括汽車折舊、司機(jī)勞動(dòng)力投入和汽油等等)是300元。設(shè)該城市中每人每天對(duì)出租車的需求函數(shù)是p=32—10q,其中q為坐出租車出行的公里數(shù)，p為每公里的價(jià)格。假設(shè)出租車市場(chǎng)是完全競(jìng)爭(zhēng)的。（1）試計(jì)算當(dāng)?shù)爻鲎廛囀袌?chǎng)的均衡價(jià)格（每公里價(jià)格）以及數(shù)量（總里程數(shù)）。（2）設(shè)每一年365天，一輛出租車每天都按上述的情況在跑，人們對(duì)未來(lái)收益的年折現(xiàn)率是10%,求每塊出租車經(jīng)營(yíng)牌照的價(jià)格。［北京大學(xué)2015研］解：（1）由每人每天對(duì)出租車的需求為p=32—10q即q—3.2—O.lp,可知該城市每天對(duì)出租車的需求為：1000輛出租車每天載客運(yùn)行300x1000=300000公里；由完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)的均衡條件，可知當(dāng)?shù)爻鲎廛囀袌?chǎng)的均衡數(shù)量為Qc=30000（）,代入需求函數(shù)可得：均衡價(jià)格為pe=2（元）o（2）每輛出租車每年利潤(rùn)為由未來(lái)收益的年折現(xiàn)率是10%,可知每輛出租車未來(lái)收益的現(xiàn)值為兀/10%=109500/0.1=1095000；因此，每塊出租車經(jīng)營(yíng)拍照的價(jià)格為1095000元。棉花市場(chǎng)需求函數(shù)為Qd=10—2p,供給函數(shù)為Qs=3p-5,政府為了保護(hù)棉農(nóng)利益，決定采取適當(dāng)政策。（1）政府決定制定最低價(jià)格，并決定按照最低p=4收購(gòu)市場(chǎng)上剩余棉花，求政策前后供給量與需求量的變化量以及政府需要采購(gòu)的數(shù)量。（2）計(jì)算政策實(shí)行前后消費(fèi)者剩余以及生產(chǎn)者剩余的變化、政府采購(gòu)的成本。（3）政府決定將最后價(jià)格政策改為對(duì)棉農(nóng)補(bǔ)貼。棉農(nóng)每銷售一單位棉花，政府對(duì)其補(bǔ)貼s元，請(qǐng)確定s使生產(chǎn)者利益和實(shí)行最低價(jià)格時(shí)相同以及政府的成本。［上海財(cái)經(jīng)大學(xué)2011研］解：(1)根據(jù)市場(chǎng)均衡條件Qd=Qs可以求得政府決定制定最低價(jià)格之前的均衡價(jià)格和均衡數(shù)量，有10—2p=3p-5,均衡價(jià)格為p*=3,均衡數(shù)量Q*=4。破府制定最低價(jià)格p=4后需求量變?yōu)镼d=10—2x4=2,減少了2,供給量變?yōu)镼s=3x4—5=7,增加了3,市場(chǎng)的剩余量為5,所以政府需要購(gòu)買5個(gè)單位的棉花。(2)需求函數(shù)和供給函數(shù)如圖1所示。圖1需求函數(shù)和供給函數(shù)政策實(shí)行后，消費(fèi)者剩余減少，減少的數(shù)量為梯形D1D2P*E的面積,EP*=OQ*=4,DiD2=ODd=2,P*D2=1,則消費(fèi)者剩余減少(4+2)xlxl/2=3o政策實(shí)行后，生產(chǎn)者剩余增加，增加的數(shù)量為梯形D2S1EP*的面積,D2sl=ODs=7,EP*=OQ*=4,則生產(chǎn)者剩余增加(4+7)xlxl/2=5.5o政府采購(gòu)的成本為：4x5=20。(3)由于政府對(duì)每單位的棉花生產(chǎn)補(bǔ)貼s,設(shè)消費(fèi)者最終實(shí)際支付的價(jià)格為Pd，生產(chǎn)者最終實(shí)際得到的價(jià)格為Ps，則有Pd+s=Ps,并且由最終供求均衡10—2Pd=3Ps—5。再由實(shí)行價(jià)格補(bǔ)貼與最低價(jià)格時(shí)生產(chǎn)者剩余相同可知：解方程組得，Ps=4,s=2.5。所以，當(dāng)政府為每單位的棉花生產(chǎn)補(bǔ)貼2.5時(shí)，生產(chǎn)者的利益和實(shí)行最低價(jià)格時(shí)相同，此時(shí)，政府的成本為2.5x7=17.5。已知某產(chǎn)品的生產(chǎn)函數(shù)為f（X1，X2）=[min（xi,x2）]a,a>0,xi，X2為生產(chǎn)要素，生產(chǎn)要素的價(jià)格為wi=10,w2=20,p=50,p為產(chǎn)品價(jià)格。（1）求規(guī)模報(bào)酬遞增、規(guī)模報(bào)酬不變、規(guī)模報(bào)酬遞減情況下的取值范圍。（2）求利潤(rùn)最大化時(shí)X],X2的要素需求函數(shù)。（3）求成本函數(shù)。（4）前面的（2）、（3）問(wèn)如何依賴于a的取值。[北京大學(xué)2015研]解：（1）設(shè)入>1。f（人xi，Xx2）=[min（Xxi,Xx2）]a=Xa[min（xi,X2）]a=Mf（X1，X2）規(guī)模報(bào)酬遞增時(shí)，f（Xxi，Xx2）>Xf（xi，X2）,a>1;規(guī)模報(bào)酬不變時(shí)，f（Xxi，Xx2）=kf（xi,X2）,a=1;規(guī)模報(bào)酬遞減時(shí)，f（Xxi，Xx2）<Xf（xi，X2）,a<lo（2）設(shè)產(chǎn)量為Q,則Q=f（xi，x2）o由題意知，該生產(chǎn)函數(shù)是完全互補(bǔ)型生產(chǎn)函數(shù)，廠商的要素使用原則是：Q=Xia=X2a,則Xi=X2=Q"a。廠商利潤(rùn)函數(shù)為：7i=pQ—WiXi—W2X2=pXia—W1X1—W2X1；其一階條件為：d7i/dxi=paxia-1—W1—W2=0；解得：Xl=[（W1+W2）/（pa）]]/（a~V,則X2=X1=[（wi+w2）/（pa）]IZ（a_1}o這就是利潤(rùn)最大化時(shí)XI，X2的要素需求函數(shù)。（3）成本函數(shù)為：C=W[X1+W2X2=（W1+W2）Q"a,這就是成本函數(shù)。（4）由（2）可知：等式兩端對(duì)a求導(dǎo)，得:化簡(jiǎn)，得:因?yàn)閍>0,所以當(dāng)0<心0.5時(shí)，dxi/da>0,xHX2的要素需求函數(shù)隨a增大而增大；當(dāng)a>0.5時(shí)，dxi/da<0,xi，X2的要素需求函數(shù)隨a增大而減小。由(3)可知，dC/da=(wi+w2)Q1/alnQx(-1/a2)VO恒成立，所以成本函數(shù)隨a增大而減小?？紤]一個(gè)有三家公司各自生產(chǎn)產(chǎn)品參加的博弈。如果每家公司i選擇自己公司商品的價(jià)格P￡［O,+00),那么這家公司的銷售數(shù)量是，邊際成本為Cj>0。請(qǐng)計(jì)算每家企業(yè)的商品價(jià)格以及獲得的利潤(rùn)。［北京大學(xué)2018研］解：依題，三家企業(yè)進(jìn)行價(jià)格博弈，故必有k>0(否則三種商品之間不存在替代關(guān)系，三家廠商之間不存在博弈)?？紤]博弈進(jìn)行一期、有限期、無(wú)限期三種情況。(1)博弈只進(jìn)行一期。三家企業(yè)同時(shí)決定價(jià)格以最大化自己的利潤(rùn)(由于固定成本在短期內(nèi)不影響企業(yè)的生產(chǎn)決策，此處不用考慮固定成本問(wèn)題)。設(shè)三家公司選擇的價(jià)格分別為Pl，P2,P3；利潤(rùn)分別為兀1，兀2，兀3；總成本分別為Ci，C2，C30顯然7ll=Pl(l-Pi+kP2+kP3)-C1，712=P2(I-P2+kPi+kP3)—C2，兀3=P3(1—Ps+kPi+k?2)—C30三家公司利潤(rùn)最大化的一階條件分別為：dn\ldV\=1_2Pi+kP2+kPs+ci=0①派20P2=1-2P2+kP|+kP3+C2=0②。九3/OP3—1—2P3+kPi+k?2+C3=。③三式相加得到Pi+P?+P3=(3+ci+C2+C3)/(2—2k),由于P>0,故必有kVl(這排除了產(chǎn)品完全同質(zhì)的情況)。聯(lián)立①②③，得每家企業(yè)的商品價(jià)格：于是每家企業(yè)的產(chǎn)量為:進(jìn)而可以解得每家企業(yè)的利潤(rùn)為:(2)博弈進(jìn)行有限期。運(yùn)用逆向歸納法，最后一期三家企業(yè)進(jìn)行同時(shí)定價(jià)博弈，與只進(jìn)行一期相同；倒數(shù)第二期三家企業(yè)的博弈仍舊與只進(jìn)行一期相同，以此類推。所以進(jìn)行有限期價(jià)格博弈的均衡結(jié)果與只進(jìn)行一期相同。(3)博弈進(jìn)行無(wú)限期。由于OVkVl,故廠商進(jìn)行的是差異化價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)，不可能出現(xiàn)廠商合謀獲取壟斷利潤(rùn)的情況，因此長(zhǎng)期內(nèi)廠商之間的競(jìng)爭(zhēng)行為仍有可能是一期博弈行為。假設(shè)有一家企業(yè)生產(chǎn)桌子，需要資本和勞動(dòng)力兩種生產(chǎn)要素，分別用K,L表示，資本和勞動(dòng)力的單價(jià)均為10元，生產(chǎn)函數(shù)為f(K,L)=K1/3L1/3o(1)這家企業(yè)決定生產(chǎn)y張桌子，那么它的最小花費(fèi)是多少？(2)如果企業(yè)是處于完全競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)環(huán)境中，桌子的單價(jià)是每張120元，那么它應(yīng)該生產(chǎn)多少?gòu)堊雷樱?3)如果企業(yè)處于壟斷的市場(chǎng)環(huán)境中(即市場(chǎng)只有上述企業(yè)一家)，反需求函數(shù)為P=120—20D?2。D表示市場(chǎng)需求量，那么它應(yīng)該生產(chǎn)多少?gòu)堊雷?？［上海?cái)經(jīng)大學(xué)2015研］解：(1)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：F=10K+10L+入(K1/3L1/3-y)；其一階條件是：SF/3K=10+(XK-2/3L1/3)/3=0SF/dL=10+(ZK1/3L-2/3)/3=05F/aX=K1/3L1/3-y=0解得：K=L=y3/2o故生產(chǎn)y張桌子的最小花費(fèi)是TC=10K+10L=20y3/2。(2)由TC=20y3/2可得邊際成本MC=dTC/dy=30y1/2o完全競(jìng)爭(zhēng)企業(yè)利潤(rùn)最大化條件是MC=P,即30y“2=120,解得：y=16o即該企業(yè)應(yīng)該生產(chǎn)16張桌子。(3)由題意知，壟斷廠商的利潤(rùn)函數(shù)為：7t=PD-TC=(120-20y1/2)y—20y其一階條件是：dn:/dy=120—30yI?—30y,2=0；解得：y=4。即該企業(yè)應(yīng)該生產(chǎn)4張桌子。在上海財(cái)經(jīng)大學(xué)，某書籍的反需求函數(shù)是P=520—8Q,反供給函數(shù)是P=20+2Q,政府要向賣家每(1)分別求出征稅前的銷量和征稅后的銷量；(2)求出征稅后，對(duì)于每賣出一(3)求出征稅后，消費(fèi)者剩余、生產(chǎn)者剩余以及稅收引起的額外損失。［上海財(cái)經(jīng)大學(xué)2015研］解：(1)①征稅前：聯(lián)立反需求函數(shù)P=520—8Q和反供給函數(shù)P=20+2Q,解得：Q=50,P=120o②征稅后：聯(lián)立反需求函數(shù)pd=520—8Q,反供給函數(shù)ps=20+2Q和pd=ps+50,解得：Q=45,Ps=110,Pd=160o綜上所述，征稅前的銷量為50,征稅后的銷量為45。（2）征稅后，每賣出一（3）征稅后，消費(fèi)者剩余為CS=（520-160）x45/2=8100,生產(chǎn)者剩余PS=（110-20）x45/2=2025,稅收引起的額外損失為deadweightloss=（50—45）x50/2=125o假設(shè)在咖啡市場(chǎng)中，只有兩家企業(yè)，這兩家企業(yè)生產(chǎn)一樣的咖啡，我們用1和2表示這兩家企業(yè)。這兩個(gè)企業(yè)進(jìn)行生產(chǎn)的邊際成本恒定為10（即生產(chǎn)每一額外單位的咖啡的額外成本總是10）o現(xiàn)在假設(shè)咖啡市場(chǎng)的年需求為D（p）=100-p,其中p代表市場(chǎng)價(jià)格，D（p）為市場(chǎng)需求。（1）用yi表示企業(yè)1的年產(chǎn)量，用y2表示企業(yè)2的年產(chǎn)量。假設(shè)兩個(gè)企業(yè)同時(shí)決定產(chǎn)量（即考慮古諾模型），那么在均衡時(shí)，每個(gè)企業(yè)應(yīng)該生產(chǎn)多少？（2）用口表示企業(yè)1設(shè)置的價(jià)格，用P2表示企業(yè)2設(shè)置的價(jià)格，假設(shè)兩個(gè)企業(yè)同時(shí)確定價(jià)格（即考慮伯特蘭模型），則在均衡時(shí)，兩個(gè)企業(yè)分別會(huì)設(shè)置什么樣的價(jià)格？請(qǐng)解釋你的結(jié)果。（3）假設(shè)兩個(gè)企業(yè)可以串謀起來(lái)決定整個(gè)市場(chǎng)總產(chǎn)量，然后各自生產(chǎn)總產(chǎn)量的一半，那么每個(gè)企業(yè)應(yīng)該生產(chǎn)多少？（4）請(qǐng)解釋為什么串謀的形式是不穩(wěn)定的。且如果企業(yè)之間不能相互監(jiān)督對(duì)方的產(chǎn)量的話，那么每個(gè)企業(yè)都有動(dòng)機(jī)通過(guò)改變自己的串謀產(chǎn)量（即前一問(wèn)中所求出的產(chǎn)量）來(lái)增加自己的利潤(rùn)？［上海財(cái)經(jīng)大學(xué)2016研］解：（1）企業(yè)1的利潤(rùn)函數(shù)是：tii=［100-（yi+yi）］yi—10yi；其一階條件是：dit\/dy\=100—2yi—y2—10=0；整理得企業(yè)1的產(chǎn)量對(duì)企業(yè)2產(chǎn)量的反應(yīng)函數(shù)：yi=45-0.5y2o同理可得企業(yè)2的產(chǎn)量對(duì)企業(yè)1產(chǎn)量的反應(yīng)函數(shù)：y2=45—0.5y（o聯(lián)立兩反應(yīng)函數(shù)可得古諾均衡時(shí)的產(chǎn)量：yi=y2=30。（2）當(dāng)企業(yè)1定價(jià)為pi=10+￡i（￡i>0）時(shí)，企業(yè)2只要定價(jià)為P2=10+￡2（0<82<81）就可以獲得全部市場(chǎng)份額。若￡2#。，企業(yè)1只要降價(jià)至pi=10+￡3（0<￡3<82）就可以獲得全部市場(chǎng)份額。以此類推。伯特蘭模型均衡時(shí)，兩個(gè)企業(yè)均定價(jià)為邊際成本10。（3）串謀后的總利潤(rùn)函數(shù)為：兀=（100-y）y-10y；利潤(rùn)最大化的一階條件為：d7i/dy=100—2y-10=0；解得：y=45。則yi=y2=22.5,即每個(gè)企業(yè)應(yīng)該生產(chǎn)22.5。（4）在串謀的形式下，若兩個(gè)企業(yè)都合作（不改變自己的串謀產(chǎn)量），可獲得利潤(rùn)兀1=兀2=1012.5。若一個(gè)企業(yè)（以企業(yè)2為例）合作（不改變自己的串謀產(chǎn)量），另一個(gè)企業(yè)（以企業(yè)1為例）不合作（改變自己的串謀產(chǎn)量），那么不合作的企業(yè)利潤(rùn)函數(shù)為：[100-（yi+22.5）]y]-10yi；其一階條件是：ain/ayi=100-2yi-22.5-10=0；解得：yi=33.75。則不合彳乍的企業(yè)利潤(rùn)為：兀i=1139.0625〉1012.5。即在博弈相對(duì)方產(chǎn)量不變的前提下，企業(yè)改變自己的串謀產(chǎn)量可以增加利潤(rùn)。這意味著每個(gè)企業(yè)都具有占優(yōu)策略：不合作，該博弈的均衡是占優(yōu)策略均衡：博弈參與者都不合作。因此，串謀的形式是不穩(wěn)定的。假設(shè)一個(gè)企業(yè)生產(chǎn)衣服，需要兩種投入要素：資本和勞動(dòng)力。該企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為f（K,L）=K1/4L1/4,其中K和L分別表示這個(gè)企業(yè)在資本和勞動(dòng)力上的投入量，假設(shè)資本和勞動(dòng)的單價(jià)分別為40元和10元。（1）若企業(yè)決定生產(chǎn)y件衣服，那么需要花費(fèi)的最小成本是多少？（2）假設(shè)該企業(yè)處在一個(gè)完全競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)環(huán)境中，若該企業(yè)所生產(chǎn)的衣服的市場(chǎng)價(jià)格為p元每件，這個(gè)企業(yè)應(yīng)該生產(chǎn)多少件衣服？（提示：生產(chǎn)的衣服的數(shù)量是關(guān)于p的函數(shù)）（3）我們進(jìn)一步假設(shè)在該完全競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)中有800個(gè)企業(yè)，所有企業(yè)都生產(chǎn)相同的衣服，并且所有這些企業(yè)的生產(chǎn)技術(shù)都一樣，即每個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)都是f（K,L）=K1/4L1/4o同時(shí)該衣服的市場(chǎng)反需求函數(shù)為p=800-D/10,其中D表示市場(chǎng)的總需求，試求出當(dāng)市場(chǎng)處于均衡時(shí)，該衣服的市場(chǎng)價(jià)格為多少？每個(gè)企業(yè)賣出的衣服數(shù)量是多少？［上海財(cái)經(jīng)大學(xué)2016研］解：（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：①=40K+10L+入（y-K1/4J4）；其一階條件是：。①/3K=40-XK-3/4L1/4/4=0；3①/3L=10-XK1/4L-3/4/4=0；5<D/aX=y-K1/4L1/4=0；解得：L=2y2,K=0.5y2。則企業(yè)生產(chǎn)y件衣服需要花費(fèi)的最小成本是：C=40K+10L=20y2+20y2=40y2o（2）完全競(jìng)爭(zhēng)廠商利潤(rùn)最大化條件為p=MC=80y,則這個(gè)企業(yè)應(yīng)該生產(chǎn)y=p/80件衣服。（3）由題意知，該衣服的市場(chǎng)供給為S=800y=800xp/80=10p,市場(chǎng)需求為D=8000—10p,解5=D,得：p=400,則y=p/80=5。即當(dāng)市場(chǎng)處于均衡時(shí)，該衣服的市場(chǎng)價(jià)格為400,每個(gè)企業(yè)賣出的衣服數(shù)量是5?？紤]一個(gè)雙寡頭古諾模型，P和Q分別表示市場(chǎng)價(jià)格和產(chǎn)品銷售總量；qi和q2分別表示廠商1和廠商2的產(chǎn)量；MC表示廠商生產(chǎn)的邊際成本，假設(shè)兩個(gè)廠商生產(chǎn)的產(chǎn)品完全同質(zhì)。（1）如果兩個(gè)廠商的生產(chǎn)均面臨不變的邊際成本1/2,且反需求曲線為P=l—Q，則均衡時(shí)兩個(gè)企業(yè)的產(chǎn)量分別是多少？（2）如果兩個(gè)廠商同質(zhì)，且在均衡價(jià)格上的需求彈性（以絕對(duì)值定義）為2,那么均衡時(shí)廠商的價(jià)格加成率是多少？（3）如果均衡價(jià)格上的需求價(jià)格彈性仍為2,而均衡時(shí)行業(yè)的HHI指數(shù)（即每個(gè)企業(yè)占有總市場(chǎng)份額的平方和si2+s22）為0.68,以企業(yè)市場(chǎng)份額為權(quán)重計(jì)算的行業(yè)平均價(jià)格加成率為多少？（價(jià)格加成率以勒納指數(shù)（P—MC）/P度量）［中國(guó)人民大學(xué)2016研］解：（1）廠商1的利潤(rùn)函數(shù)為：m=TRi—TCi=［l—（qi+q2）］qi-qi/2=—qj-qiqz+qi/2。利潤(rùn)函數(shù)對(duì)卬求導(dǎo)，可以得到廠商1的反應(yīng)函數(shù)為：2qi+q2=1/2；同理可以得到廠商2的反應(yīng)函數(shù)為：2q2+qi=l/2。將兩個(gè)反應(yīng)函數(shù)聯(lián)立可以得到均衡時(shí)兩個(gè)企業(yè)的產(chǎn)量：qi=l/6,q2=l/6。（2）古諾競(jìng)爭(zhēng)下，廠商利潤(rùn)最大化的邊際條件為：MRi=MCio于是，MCi=MRi=P（1—Si/e）o整理得到：（P—MG）/P=sje。由e=2,且兩個(gè)廠商生片的產(chǎn)品完全同質(zhì)有：si=S2=0.5,從而均衡下的廠商價(jià)格加成率為：（P—MG）/P=Si/e=0.5/2=0.25o(3)若赫芬達(dá)爾指數(shù)(HHI指數(shù))為s/+s22=0.68,則行業(yè)的價(jià)格加成率為：某消費(fèi)者的效用函數(shù)為U=(X,,X2)=Xi=3x22/3,Xl和X2分別為兩種商品的消費(fèi)量，消費(fèi)者收入為100,兩種商品現(xiàn)在價(jià)格分別為Pl=l，P2=2,求：(1)消費(fèi)者最優(yōu)消費(fèi)的X1和X2量。(2)如果第一種商品價(jià)格由1提高為2,其他因素不變，則價(jià)格上升對(duì)第一種商品的消費(fèi)量影響的總效應(yīng)有多少？按照Slutsky分解原理，收入效應(yīng)和替代效應(yīng)分別是多少？(3)計(jì)算第一種商品價(jià)格從1變化為2,要保持原有效應(yīng)不變的收入補(bǔ)償數(shù)額。[中國(guó)人民大學(xué)2017研]解：(1)由題意知，消費(fèi)者的效用函數(shù)為U=X[l/3X22/3?預(yù)算約束為：Xj+2X2=100o因此可以建立拉格朗日方程：(|)=xJ/3x22/3—入(X1+2X2-100)o消費(fèi)者效用最大化的一階條件為：d(|)/3xi=(1/3)xi-2/3X22/3—x=od^ldx.2—(2/3)xi1/3X2~1/3-21=0師/汝=一(xi+2x2-100)=0解得：X1=X2=100/3,即最優(yōu)消費(fèi)量為X1=X2=100/3。(2)當(dāng)P=2時(shí)，新的預(yù)算約束為xi+x2=50,按照(1)的解法算得：xi=50/3,x2=100/3,所以總效應(yīng)為：Ax1=50/3-100/3=-50/3o根據(jù)柯布-道格拉斯效用函數(shù)的性質(zhì)可知，商品xi和商品X2的馬歇爾需求函數(shù)分別為：X1=I/(3P]),X2=2I/(3P2)o根據(jù)Slutsky分解原理，總效應(yīng)=替代效應(yīng)+收入效應(yīng)。斯拉茨基替代效應(yīng)是指保持消費(fèi)者的購(gòu)買能力不變的情況下，價(jià)格變化引起的需求量的變化，價(jià)格變化前的消費(fèi)束是(100/3,100/3),價(jià)格變化后要使消費(fèi)者仍消費(fèi)原來(lái)的消費(fèi)束,收入應(yīng)為：「=2x100/3+2x100/3=400/3o在此收入下的預(yù)算約束為xi+x2=200/3,故xi=xi(2,2,I')=17(3Pi)=200/9o所以斯拉茨基替代效應(yīng)為：Ax,s=xi(2,2,19-xi(1,2,I)=(200/9)-(100/3)=-100/9o收入效應(yīng)為：Axim=Axi-Axis=-50/9o(3)按照?？怂狗纸庠?，總效應(yīng)=替代效應(yīng)+收入效應(yīng)。替代效應(yīng)是在保持效用水平不變的條件下的變動(dòng)，由(1)知原來(lái)的總效用水平為U(xi，X2)=100/3。當(dāng)Pi=2時(shí)，在保持既定效用水平的情況下，尋求支出最小化，構(gòu)造新的拉格朗日方程：對(duì)xi，X2，y求偏導(dǎo)得：解得：在新的價(jià)格下，要保持效用不變，則收入補(bǔ)償額為:假設(shè)消費(fèi)者對(duì)于蘋果x和香蕉y的效用函數(shù)為：U(x,y)=(x+1)yo消費(fèi)者的收入水平為I,蘋果和香蕉的市場(chǎng)價(jià)格分別為px和pyo(1)為追求效用最大化，求解消費(fèi)者的馬歇爾需求函數(shù)。香蕉是蘋果的總替代品還是總互補(bǔ)品？(2)計(jì)算間接效用函數(shù)和支出函數(shù)。(3)以香蕉為例，驗(yàn)證斯拉茨基方程。［中國(guó)人民大學(xué)2018研］解：(1)易知MUx/px=MUy/py時(shí)效用達(dá)到最大，即y/px=(x+1)/py,彳弋入消費(fèi)窺算約束pxx+pyy=L解得消費(fèi)者的馬歇爾需求函數(shù)為乂=(I-px)/(2px),y=(1+px)/(2py)o因?yàn)?。X/3py=0,所以香蕉既不是蘋果的總替代品也不是總互補(bǔ)品。(2)將(1)中馬歇爾需求函數(shù)代入效用函數(shù)表達(dá)式，得間接效用函數(shù)：由對(duì)偶性得支出函數(shù)：(3)斯拉茨基方程為：由(2)可知y的?？怂剐枨蠛瘮?shù)為：則：此時(shí)以上四式代入斯拉茨基方程中，有再將y=(l+px)/(2py)代入，化簡(jiǎn)可知等式成立,因此可證斯拉茨基方程成立。某消費(fèi)者對(duì)商品x和商品y的效用函數(shù)為u(x,y)=x—0.5x2+yo商品x的價(jià)屆為p,商品y的價(jià)格標(biāo)準(zhǔn)化為1。問(wèn)題：(1)寫出該消費(fèi)者對(duì)商品x的需求函數(shù)。(2)假定商品x由一個(gè)具有規(guī)模報(bào)酬不變生產(chǎn)技術(shù)的壟斷廠商提供，單位成本為0.4元。求產(chǎn)品定價(jià)、消費(fèi)者剩余、生產(chǎn)者剩余。(3)若x由兩個(gè)廠商供給，單個(gè)產(chǎn)品成本為0.4,兩個(gè)廠商之間進(jìn)行古諾競(jìng)爭(zhēng)，求均衡時(shí)的市場(chǎng)定價(jià)、生產(chǎn)者剩余和消費(fèi)者剩余。川」同人民大學(xué)2018研]解：(1)為使效用最大化，則有MUx/px=MUy/py,可以得到：(1-x)/p=l,則x=l—p即為消費(fèi)者對(duì)x的需求函數(shù)。(2)設(shè)該市場(chǎng)有n個(gè)和該消費(fèi)者一樣的其他消費(fèi)者，對(duì)需求加總得到市場(chǎng)上的總需求函數(shù)為q=nx=n(1—p),反需求函數(shù)p=1—q/n。由于單位成本AC=0.4,則TC=0.4q,邊際成本MC=0.4,而邊際收益：壟斷廠商極大化收益時(shí)，有MR=MC,則l—2q/n=0.4,q=0.3n,代入反需求函數(shù)，得p=0.7,消金者剩余為：生產(chǎn)者剩余為總利潤(rùn)兀=(p-AC)xq=0.09n。(3)對(duì)兩個(gè)廠商而言，面臨的市場(chǎng)反需求函數(shù)均為p=1—(qi+q2)/no則廠商1的利潤(rùn)函數(shù)為7ti=pqi—ciqi=[l—(qi+q2)/n]qi—0.4qi，對(duì)qi求一階偏顯等于0,得廠商1對(duì)廠商2的反應(yīng)函數(shù)為qi=(0.6n-q2)/2,同理解得廠商2對(duì)廠商1的反應(yīng)函藪為q2=(0.6n—qi)/2,聯(lián)立兩個(gè)反應(yīng)函數(shù)，解得古諾均衡解qi*=0.2n,q2*=0.2n。代入反需求函數(shù)有均衡定價(jià)為p*=0.6,消費(fèi)者剩余：(p_生產(chǎn)者剩余是兩家廠商利潤(rùn)函數(shù)之和，為兀=AC)xq=0.08n。(p_冰淇淋的市場(chǎng)取決于天氣變化。天氣炎熱則冰淇淋售價(jià)為每個(gè)6元；天氣寒冷售價(jià)為4元。一個(gè)冰淇淋小生產(chǎn)者的成本函數(shù)為：C=q2+q+5,生產(chǎn)者須在知道天氣情況之前做出決策，已知天氣冷熱的概率各為0.5。如果廠商要期望利潤(rùn)最大化，應(yīng)該生產(chǎn)多少冰淇淋？［中國(guó)人民大學(xué)2018研］解：天氣炎熱時(shí)，生產(chǎn)者的利潤(rùn)函數(shù)為m=6q—C=6q—q2—q-5=-q2+5q-5o天氣寒冷時(shí)，生產(chǎn)者而利潤(rùn)函數(shù)為7i2=4q—C=4q—q?—q-5=-q2+3q-5o由于天氣冷熱概率各為0.5,則廠商的期望利潤(rùn)為：E(7T)=0.5(—q2+5q—5)+0.5(—q2+3q-5)=—q2+4q-5期望利潤(rùn)最大化的一階條件為：dE(7i)/Sq=—2q+4=0o解得q=2,所以廠商要期望利潤(rùn)最大化，應(yīng)該生產(chǎn)2單位冰淇淋，此時(shí)期望利潤(rùn)為一1。已知消費(fèi)者只消費(fèi)兩種商品，效用函數(shù)是x價(jià)格為10元，y價(jià)格是5元，財(cái)富為500元。請(qǐng)回答下列問(wèn)題。(1)計(jì)算邊際替代率判斷該消費(fèi)者是否具有凸偏好？(2)求解消費(fèi)者最優(yōu)需求。(3)政府對(duì)每單位商品x征收5元的消費(fèi)稅，那么為了使得消費(fèi)者福利水平不變，政府應(yīng)給予消費(fèi)者多少補(bǔ)貼？［中國(guó)人民大學(xué)2019研］解：(1)由效用函數(shù)可得該消費(fèi)者的邊際替代率為：進(jìn)而有:即該消費(fèi)者的邊際替代率遞減，因而該消費(fèi)者具有凸偏好。（2）該消費(fèi)者的預(yù)算約束為10x+5y=500,則其效用最大化問(wèn)題為：構(gòu)造拉格朗日輔助函數(shù)：效用最大化一階條件為：解得消費(fèi)者的最優(yōu)需求為：x=25,y=50。（3）征稅前，消費(fèi)者福利水平為：征稅后，x價(jià)格變?yōu)?5元，y價(jià)格不變，財(cái)富變?yōu)镮,消費(fèi)者預(yù)算約束變?yōu)?5x+5y=I,則其支出最小化問(wèn)題為：構(gòu)造拉格朗日輔助函數(shù)：支出最小化一階條件為：解得消費(fèi)者的最優(yōu)需求為：，，。所以為了使消費(fèi)者的福利水平不變，政府應(yīng)給予消費(fèi)者的補(bǔ)貼為。在一個(gè)民事賠償中，原告將聘請(qǐng)某律師為代理。案件可能的結(jié)果有兩種，即原告獲得的賠償可能為yi=8000或y2=10000。兩種結(jié)果發(fā)生的概率與律師工作的努力程度e￡[l,+oo）有關(guān)，結(jié)果yi=8000出現(xiàn)的概率為1/e,而結(jié)果y2=10000出現(xiàn)的概率為l—1/e。律師采用努力程度e的成本為c（e）=e2+700,其中700為律師的固定成本。原告付給律師的費(fèi)用可以與案件的判決結(jié)果有關(guān)，記為（Wi，W2）,其中兩個(gè)變量分別代表兩種判決結(jié)果下支付的律師費(fèi)。律師和原告均為風(fēng)險(xiǎn)中性。在這個(gè)博弈中，原告首先提出一個(gè)律師費(fèi)支付方案，律師決定是否接受。如果不接受，原告放棄聘請(qǐng)律師，并接受結(jié)果yi=8000；如果接受，即形成聘用合同關(guān)系，律師選擇其努力程度。案件的判決結(jié)果實(shí)現(xiàn)后，原告根據(jù)合同支付律師費(fèi)。（1）如果原告能夠觀察和驗(yàn)證律師的工作努力程度，并且可以將其寫入合同，請(qǐng)找出原告的最優(yōu)支付方案。（2）如果原告不能觀察律師的工作努力程度，請(qǐng)找出原告的最優(yōu)支付方案。［北京大學(xué)2011研］解：（1）這是一個(gè)努力成果不確定但可監(jiān)督的委托人-代理人博弈模型。既然原告能夠觀察律師的努力程度，而且能夠算出自己期望收益最大化的律師努力水平e*,那么他的工資標(biāo)準(zhǔn)就應(yīng)該是：如果律師的努力程度低于e*,那么原告支付給律師的工資為0,否則支付w。原告的期望得益函數(shù)為8000/e+10000x（l-1/e）一w,但還必須滿足律師的參與約束條件即w>e2+700,這里取等號(hào)，因此原告的期望得益函數(shù)為8000/e+10000x（1-1/e）-（e2+700）=9300-2000/e-e2,根據(jù)函數(shù)極值的一階條件易得e*=10（此時(shí)極大值的二階條件滿足）。因此，原告的最優(yōu)支付方案為：如果獲得8000的賠償則不支付工資，如果獲得10000的賠償則支付800的工咨O（2）這是一個(gè)努力成果不確定且不可監(jiān)督的委托人-代理人博弈模型，由于原告（委托人）無(wú)法掌握律師（代理人）的努力程度，因此只能根據(jù)判決結(jié)果支付報(bào)酬。設(shè)原告采用線性報(bào)酬計(jì)算公式亞=人+8田（e）］,其中R（e）為原告的期望得益，因此8000/e+10000x（1-1/e）=10000—2000/e,線性報(bào)酬意味著原告采取的是固定工資加提成的工資制度。這樣原告的純期望得益函數(shù)為R(e)-w=10000-A-10000B+(B-l)2000/e,律師的期望得益函數(shù)為w—C(e)=A+10000B-2000B/e—e?—700?，F(xiàn)在原告面臨的問(wèn)題就是確定A和B的值以使這種工資制度成為一種有效的激勵(lì)制度。因?yàn)槁蓭熓秋L(fēng)險(xiǎn)中性的，只要工資滿足w—C_(e)=A+10000B-2000B/e-e2-700>0,律師就接受委托。律師的期望得益函數(shù)為w—C(e)=A+10000B-2000B/e-e2-700,根據(jù)函數(shù)極值的一階條件，當(dāng)滿足e3=1000B時(shí)，律師的得益最大(同時(shí)滿足二階條件)。原告對(duì)A和B的選擇必須滿足律師參與約束的下限，即：A+10000B-2000B/e=e2+700這樣，原告的收益函數(shù)即為：10000-2000/e-(e2+700)容易求得當(dāng)律師的努力水平e=10時(shí)，原告的期望收益最大，即e=10是符合原告的最佳律師努力水平。將e=10代入律師的最優(yōu)選擇公式e3=1000B中，可得B=lo再將e=10和B=1代入到約束條件A+10000B-2000B/e=e2+700中可得A=-9000。因此，原告的最優(yōu)支付方案就是：律師選擇努力水平e=10,官司失敗時(shí)讓律師支付1000給自己，官司成功時(shí)支付1000給律師。金老板擁有一個(gè)小作坊，生產(chǎn)產(chǎn)品A。小張是金老板唯一的雇員。小張工作x小時(shí)可以生產(chǎn)x單位的產(chǎn)品Ao每單位產(chǎn)品A售價(jià)1元。小張工作x小時(shí)的成本為c(x)=x2/2o(1)假設(shè)小張?jiān)趧e處工作能獲得的最高收入為0。金老板決定把他的作坊以固定租金租給小張，那么金老板會(huì)決定以什么價(jià)格將作坊租給小張？小張租到作坊之后，會(huì)選擇生產(chǎn)多少單位的產(chǎn)品A?這一結(jié)果有效率的嗎？(2)仍然假設(shè)小張?jiān)趧e處工作能獲得的最高收入為Oo但金老板現(xiàn)在改變主意，不將作坊出租給小張了，取而代之的是給小張支付激勵(lì)性報(bào)酬。如果小張工作x小時(shí)，金老板支付s(x)=wx+k。那么金老板該選擇什么樣的w和k才是最優(yōu)的激勵(lì)報(bào)酬機(jī)制？(3)現(xiàn)在假設(shè)小張?jiān)趧e處參加某項(xiàng)活動(dòng)可以獲得收入1元而不用付出任何努力。那么這會(huì)如何改變第二問(wèn)的答案呢？[上海財(cái)經(jīng)大學(xué)2012研]解：(1)根據(jù)已知條件，c(x)=x2/2；并且，1單位時(shí)間的工作可有1單位的產(chǎn)出，所以可設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為f(x)=x。有效激勵(lì)機(jī)制的條件是F(x*)=c，(x*)=1,此時(shí)x*=lO①若金老板以固定租金R租給小張，小張的收益是：s[f(x)]=f(x)-R,由于小張?jiān)趧e處工作能獲得的最高收入為0,即有：s(x)—c(x)=f(x)—R—c(x)=x—R—(x2/2)[x*=?=Q而得R=l/2,即金老板會(huì)決定以1/2元的價(jià)格將作坊租給小張。②租到作坊之后，小張追求s[f(X)]—c(x)=f(X)—R—c(x)的最大化，則會(huì)選擇F(x*)=c，(x"),此時(shí)x*=l。因此，小張租到作坊后，會(huì)選擇生產(chǎn)1單位的產(chǎn)品A,且生產(chǎn)是有效率的。(2)支付激勵(lì)性報(bào)酬下，小張的最優(yōu)問(wèn)題為：最優(yōu)化的結(jié)果是c，(x*)=w=l。因?yàn)樾堅(jiān)趧e處工作能獲得的最高收入為0,所以，wx+k—c(x)|x*=i—0,解得，k=-l/2o此時(shí)最優(yōu)激勵(lì)報(bào)酬機(jī)制為：s(x)=x—l/2o(3)此時(shí)假設(shè)小張?jiān)趧e處參加某項(xiàng)活動(dòng)可以獲得收入1元而不用付出任何努力，則在支付激勵(lì)性報(bào)酬下，小張的最優(yōu)問(wèn)題為：最優(yōu)化的結(jié)果仍為c，(x*)=w=l。因?yàn)樾堅(jiān)趧e處工作能獲得的最高收入為1,所以，wx+k—c(x)k*=i=1,解得，k=l/2。此時(shí)最優(yōu)激勵(lì)報(bào)酬機(jī)制為：s(x)=x+1/2o美國(guó)波音和法國(guó)空客都向世界出售民用客機(jī)。假設(shè)世界對(duì)于飛機(jī)的需求函數(shù)為：P=20—q。兩個(gè)公司的成本函數(shù)都是c(q)=8q。(1)假設(shè)兩個(gè)公司都進(jìn)行生產(chǎn)，請(qǐng)找出兩個(gè)公司的古諾/納什均衡，包括各自的產(chǎn)量，價(jià)格和利潤(rùn)。(2)請(qǐng)問(wèn)這兩個(gè)公司是否愿意合謀從而平分壟斷利潤(rùn)？(3)現(xiàn)在假設(shè)美國(guó)政府決定給予波音公司每架飛機(jī)3單位的生產(chǎn)補(bǔ)貼，請(qǐng)問(wèn)新的古諾/納什均衡價(jià)格和兩個(gè)公司的利潤(rùn)為多少？(4)相比于沒(méi)有補(bǔ)貼的古諾均衡，兩個(gè)公司各自的利潤(rùn)有何改變？美國(guó)作為整體的利潤(rùn)有何改變？(5)第(4)問(wèn)中的結(jié)果反映古諾模型的假設(shè)是否合適?為什么？［北京大學(xué)2015研］解：(1)設(shè)美國(guó)波音和法國(guó)空客生產(chǎn)的飛機(jī)數(shù)分別為qi、q2，則市場(chǎng)需求函數(shù)為P=20—q1一q2，美國(guó)波音的利潤(rùn)函數(shù)為：7T1=Pqi—c(qi)=(20—qi—q2)qi-8q)其利潤(rùn)最大化的一階條件為。冗i/dqi=20—2q1一q2—8=0,所以美國(guó)波音的反應(yīng)函數(shù)為qi=6—0.5q2；法國(guó)空客的利潤(rùn)函數(shù)為：兀2=Pq2-'C(q2)—(20-qi—q2)q2-8q2其利潤(rùn)最大化的一階條件為。兀2/朋2=20—2q2—q1—8=0,所以法國(guó)空客的反應(yīng)函數(shù)為q2=6—0.5qi；聯(lián)立上述兩個(gè)公司的反應(yīng)函數(shù)，可得：兩公司的產(chǎn)量為qi=q2=4,利潤(rùn)為兀1=兀2=16；古諾均衡價(jià)格為P=12o(2)若兩公司合謀，則兩公司的利潤(rùn)最大化的條件為MC1=MC2=MR,其中邊際收益為MR=20—2(qi+q2)，邊際成本為MCi=MC2=8,代入利潤(rùn)最大化的條件可得：qi+q2=6,壟斷利潤(rùn)為：tt=P(qi+q2)-c(qi+q2)=(20—6)x6—8x6=36平分壟斷利潤(rùn)后每家公司的利潤(rùn)為兀1=兀2=18>16。雖然在合謀之下雙方可以獲得比古諾競(jìng)爭(zhēng)下更多的利潤(rùn)，但古諾均衡是一個(gè)占優(yōu)均衡，而合謀并非一個(gè)納什均衡，兩寡頭即使進(jìn)行合謀，均衡也是不穩(wěn)定的，因?yàn)楣杨^有違背合約而單獨(dú)增加產(chǎn)量以便獲得更大利潤(rùn)的激勵(lì)。因此，即便是合謀可以獲得更大利潤(rùn)，兩寡頭也無(wú)法進(jìn)行合謀。(3)若美國(guó)政府給予波音公司每架飛機(jī)3單位的生產(chǎn)補(bǔ)貼，則美國(guó)波音的利潤(rùn)函數(shù)為：Tn=Pqi—c(qi)+3qi=(20—qj—q2)qi-8qi+3qi其利潤(rùn)最大化的一階條件為而/Oqi=20—2q1一q2—5=0,所以美國(guó)波音新的反應(yīng)函數(shù)為qi=7.5—0.5q2；法國(guó)空客的反應(yīng)函數(shù)仍為q2=6-0.5qi，聯(lián)立兩公司的反應(yīng)函數(shù)，可得：兩公司的產(chǎn)量為qi=6、q2=3；古諾均衡價(jià)格為P=ll;兩公司的利潤(rùn)分別為兀1=36、兀2=9。(4)相比于沒(méi)有補(bǔ)貼的古諾均衡，美國(guó)波音的利潤(rùn)增加了36—16=20單位，法國(guó)空客的利潤(rùn)減少了16-9=7；美國(guó)作為整體的利潤(rùn)從16變?yōu)?6—3x6=18,增加了2單位。（5）古諾模型的假定包括：①市場(chǎng)上只有兩個(gè)企業(yè)，彼此之間并不存在任何正式或非正式的勾結(jié)；②兩個(gè)企業(yè)生產(chǎn)同質(zhì)產(chǎn)品，并以追求利潤(rùn)最大化為目標(biāo)；③每個(gè)企業(yè)都視對(duì)方的產(chǎn)出水平既定不變，并據(jù)此確定自己的產(chǎn)量；④需求曲線為線性，邊際成本是常數(shù)。（4）中的結(jié)果反映出該假設(shè)中的③不合適，因?yàn)閷?duì)方的產(chǎn)出水平并不是既定不變的，會(huì)隨著政策以及政府補(bǔ)貼的變化而變化?？紤]如下一個(gè)雙寡頭市場(chǎng)上企業(yè)研發(fā)投資模型：某寡頭市場(chǎng)上有兩個(gè)企業(yè)：企業(yè)1和企業(yè)2,在目前情況下這兩個(gè)企業(yè)的單位生產(chǎn)成本都是c=2,其中一企業(yè)（比如企業(yè)1）在考慮是否引進(jìn)一項(xiàng)新技術(shù)，該項(xiàng)技術(shù)可以使企業(yè)1的單位生產(chǎn)成本下降到c=l,該項(xiàng)技術(shù)需要投資f。在企業(yè)1作出是否投資的決策（企業(yè)2可以觀察到）后，然后兩企業(yè)同時(shí)決定其產(chǎn)量。假設(shè)市場(chǎng)需求函數(shù)為：P=14—Q,其中P是市場(chǎng)價(jià)格，Q是兩企業(yè)的總產(chǎn)量，即Q=ql+q2。請(qǐng)問(wèn)上述投資額f為何種水平時(shí)，企業(yè)1會(huì)引進(jìn)新技術(shù)用于經(jīng)營(yíng)活動(dòng)。［北京大學(xué)2010研］解：（1）企業(yè)1不進(jìn)行投資時(shí)，兩個(gè)廠商進(jìn)行斯塔克博格模型競(jìng)爭(zhēng)。企業(yè)2的利潤(rùn)函數(shù)為：冗2=（14—01—02）02—2q2利潤(rùn)最大化的一階條件為：。九2/0q2=14—q（—2q2—2—0得企業(yè)2的反應(yīng)函數(shù)為：q2=6—q）/2將q2=6—qi/2代入企業(yè)1的利潤(rùn)函數(shù)，可得：Til=（14-qi-q2）qi_2qi=（14-qi-6+qi/2）qi一2qi利潤(rùn)最大化的一階條件為：d7C1/dqi=8—qi—2=0解得：qi=6。企業(yè)1的利潤(rùn)為兀i=(14—3—6)x6—2x6=18。(2)企業(yè)1投資引進(jìn)新技術(shù)時(shí)，兩個(gè)廠商進(jìn)行斯塔克博格模型競(jìng)爭(zhēng)。將q2=6—qi/2代入企業(yè)1的利潤(rùn)函數(shù),可得：7ii—(14-qi-q2)qi-qi-f=(14-qi-6+qi/2)qi-qi-f利潤(rùn)最大化的一階條件為：d兀，dqi=8-qi—1—0解得：qi=7o企業(yè)1的利潤(rùn)為兀i=(14-6-7/2)x7-7-f=49/2-fo當(dāng)49/2—f>18nfV13/2時(shí)，即當(dāng)引進(jìn)新技術(shù)的利潤(rùn)大于不引進(jìn)技術(shù)的利潤(rùn)時(shí)，企業(yè)1會(huì)選擇引進(jìn)新技術(shù)。競(jìng)爭(zhēng)性市場(chǎng)上有N個(gè)廠商，他們具有相同的生產(chǎn)技術(shù)，生產(chǎn)相同的產(chǎn)品，所需的投入為資本K和能源L。其中，資本的單位價(jià)格為R;由于能源受政府管制，單位價(jià)格為W不變。生產(chǎn)函數(shù)f(K,L)=AKaL|-ao(1)求各企業(yè)的供給曲線和行業(yè)總供給曲線。(2)若出現(xiàn)能源短缺，共有17可用于此行業(yè)投入，17i為第i個(gè)企業(yè)可買到的最多能源，求此時(shí)各企業(yè)的供給曲線和行業(yè)總供給曲線。(3)若政府實(shí)行能源指標(biāo)分配，每單位能源對(duì)應(yīng)1單位能源指標(biāo)，共I：?jiǎn)挝荒茉?，N個(gè)企業(yè)參與能源指標(biāo)的拍賣。求能源指標(biāo)的價(jià)格。［北京大學(xué)2016研］解：(1)對(duì)于企業(yè)來(lái)說(shuō)，既定產(chǎn)量的成本最小化問(wèn)題為：構(gòu)造拉格朗日輔助函數(shù)：S(K,L,X)=RK+WL+入(Q-AKaL1-a)o于是其成本最小的一階條件為：解得擴(kuò)展線方程為：R/W=a/(1-a)?(L/K)。將上式代入生產(chǎn)函數(shù)中，解得條件要素需求函數(shù)為：K=(Q/A)-[a/(1-a)]1-a.(W/R),-aL=(Q/A).[(1-a)/a]a-(R/W)a于是可得成本函數(shù)為：c=RK+WL=(Q/A)W1aRa{[a/(1-a)]1-a+[(1-a)/a]a}o因此，各企業(yè)的供給曲線為：p=MC=W1-aRa([a/(1-a)]1-o+[(1—a)/a]a}/Ao因?yàn)樯a(chǎn)函數(shù)的規(guī)模報(bào)酬不變，市場(chǎng)是充分競(jìng)爭(zhēng)的，行業(yè)供給曲線為價(jià)格等于最小平均成本的一條水平直線，所以行業(yè)的供給曲線也為：p=WLaRa{[a/(l-a)]l~a+[(1-a)/a]a}/Ao(2)若出現(xiàn)能源短缺時(shí)，則每個(gè)廠商的成本函數(shù)為：g=RK+Wl7io聯(lián)立成本函數(shù)與生產(chǎn)函數(shù)，可以得到要素K的條件需求函數(shù)為：K=[Qi/(AL7i1-a)]1/ao由此可得成本函數(shù)為：Ci=R[Qi/(ATi,-a)]1/a+wI7io故，企業(yè)的供給曲線為：p=MC=RA=/a(Qj/T7i)(I-a)/a/ao行業(yè)供給曲線為：由于每個(gè)企業(yè)都是同質(zhì)的，因此，每個(gè)企業(yè)能夠買到的短缺資源和最終產(chǎn)量必相等，則有：Li=L/N,Qi—Q/No于是，可求得行業(yè)供給曲線為：p=NRA-l/a(Q/I7)a)/a/ao(3)如果政府實(shí)行能源指標(biāo)分配，并對(duì)能源進(jìn)行拍賣，此時(shí)能源的實(shí)際價(jià)格不再固定。企業(yè)可以自由進(jìn)出行業(yè)，所以經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)為0。設(shè)產(chǎn)品的市場(chǎng)價(jià)格為p,能源的均衡價(jià)格為W。行業(yè)成本函數(shù)為：于是，行業(yè)利潤(rùn)函數(shù)為：7i=pQ—c=pQ—R[Q/(AL1-a)]i/a-wrI7=0o由此，可以得到能源的實(shí)際價(jià)格為：W，=pQ/T—R[Q/(Al7)],/ao因此，能源指標(biāo)的價(jià)格為：W'-W=pQ/T-RLQ/(AT)]1/a-Wo假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為f(Xi，X2)=(Xi)1/2+(X2)1/2o產(chǎn)品的價(jià)格為P，生產(chǎn)要素1和2的價(jià)格分別為W1和W2O(1)求要素需求函數(shù)和產(chǎn)出供給函數(shù)；(2)求條件要素需求函數(shù)；(3)要素需求函數(shù)和條件要素需求函數(shù)之間存在什么關(guān)系？[上海財(cái)經(jīng)大學(xué)2008研]解：(1)廠商利潤(rùn)函數(shù)為：冗=p[(XI)1/2+(X2)1/2]—W1X]—W2X20利潤(rùn)最大化的一階條件為：371/0X1=p/[2(xi),/2]—wi=Odn/dx2=p/[2(X2)1/2]—W2=O解得：X1=p2/(4wi2),X2=p2/(4W22)O此即為要素需求函數(shù)，表示既定產(chǎn)出價(jià)格下利潤(rùn)最大化選擇。將Xi=p2/(4wi2)和X2=p2/(4\V22)代入生產(chǎn)函數(shù)，可得f(X1，X2)=p/(2\V1)+p/(2\V2),此即為產(chǎn)出供給函數(shù)。(2)既定產(chǎn)量水平的最小成本選擇的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：求解可得：X1=W22y2/(Wi+w2)2,X2=W12y2/(W1+W2)2o此即為條件要素需求函數(shù)，表示既定產(chǎn)量水平的最小成本選擇。(3)條件要素需求函數(shù)與要素需求函數(shù)的區(qū)別是：有條件的要素需求函數(shù)給出的是既定產(chǎn)量水平下的成本最小化選擇，實(shí)現(xiàn)利益最大化的要素需求則給出了既定產(chǎn)出品價(jià)格下的利潤(rùn)最大化選擇。通常有條件的要素需求曲線是觀察不到的，它們是一個(gè)假定的定義。它回答的是這樣一個(gè)問(wèn)題：如果廠商以經(jīng)濟(jì)的方式生產(chǎn)某個(gè)既定的產(chǎn)量，它們將如何選擇每種要素的使用量。某企業(yè)投入勞動(dòng)力與機(jī)器來(lái)生產(chǎn)商品Y,其生產(chǎn)技術(shù)可用生產(chǎn)函數(shù)f(L,K)=L2/3k"3來(lái)表示，其中L(>0)代表勞動(dòng)力投入數(shù)量，K(>0)代表機(jī)器投入數(shù)量。假設(shè)勞動(dòng)力價(jià)格為1,機(jī)器價(jià)格為4,Q代表商品Y的產(chǎn)量。(1)假設(shè)在長(zhǎng)期，勞動(dòng)力和機(jī)器的投入量可以隨意調(diào)整，求該企業(yè)的長(zhǎng)期成本函數(shù)LRTC(Q)o(2)假設(shè)在短期機(jī)器的投入量固定為Ks，Ks>0,而勞動(dòng)力的投入量可以隨意調(diào)整，求企業(yè)的短期成本函數(shù)SRTC(Q)o(3)比較長(zhǎng)期成本函數(shù)LRTC(Q)與短期成本函數(shù)SRTC(Q)之間的大小關(guān)系。(4)假設(shè)商品Y的市場(chǎng)為完全競(jìng)爭(zhēng)型市場(chǎng)，且市場(chǎng)價(jià)格為6,短期內(nèi)該企業(yè)為了最大化利潤(rùn)應(yīng)該生產(chǎn)多少單位的商品Y?企業(yè)利潤(rùn)為多少？［清華大學(xué)2015研］解：(1)企業(yè)在既定產(chǎn)量下成本最小化問(wèn)題為由成本最小化的條件MPl/MPk=Pl/Pk，可得2L「/3K1/3/(L2/3K-2/3)=1/4,即2K/L=l/4;代入產(chǎn)量約束條件L2/3K,/3=Q,解得：K=Q/4,L=2Q。因此，該企業(yè)的長(zhǎng)期成本函數(shù)為：LRTC(Q)=L+4K=2Q+4Q/4=3Q(2)由生產(chǎn)函數(shù)f(L,K)=L2/3k"3及短期機(jī)器的投入量Ks得：勞動(dòng)力的投入量為L(zhǎng)=Q3/2KsF2,該企業(yè)的短期成本函數(shù)為SRTC(Q)=Q3/2Ks-i/2+4Kso(3)短期內(nèi)，廠商只能調(diào)節(jié)勞動(dòng)投入但不能調(diào)節(jié)資本投入，因此短期的成本函數(shù)是廠商在既定資本水平下的低成本；而長(zhǎng)期內(nèi)，廠商既可以調(diào)節(jié)勞動(dòng)投入，也可以調(diào)節(jié)資本投入，因此長(zhǎng)期的成本函數(shù)是廠商在最優(yōu)生產(chǎn)規(guī)模下的最低成本。從幾何上來(lái)說(shuō)，廠商的長(zhǎng)期成本曲線是短期成本曲線的包絡(luò)線。因此對(duì)于既定的產(chǎn)量，長(zhǎng)期成本小于等于短期成本。(4)完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)的均衡條件為P=MC,將P=6及SRMC(Q)=3Q?2KsF2/2+4Ks代入上式，可得：6=3Q,/2Ks-1/2/2+4Ks，化簡(jiǎn)得：短期內(nèi)該企業(yè)利潤(rùn)最大化的產(chǎn)量為：Q=(4-8Ks/3)2KS企業(yè)利潤(rùn)為：生產(chǎn)函數(shù)Y=F(K,L),定義Ek和El為資本和勞動(dòng)的產(chǎn)出彈性，Ckl=Ek/El，Skl為生產(chǎn)的邊際替代率，Tlk=L/K；a=dlnTLK/dlnSKL，0=一dlnTtK/dlnCKLo試證明：l/a+1/0=1,并說(shuō)明Ckl的意義。[清華大學(xué)2011研]證明：(1)根據(jù)產(chǎn)出彈性的定義，有：Ek=(3Y/SK)?(K/Y)El=(SY/OL)?(L/Y)根據(jù)生產(chǎn)的邊際替代率有：Skl=(SY/SK)/(3Y/SL)于是：Ckl=Ek/El=[(3Y/0K)/(3Y/3L)]?(K/L)=Skl/Tlk兩邊取對(duì)數(shù)，得：IfiCkl—IoSkl-IiiTlk兩邊取微分，得：dlnCKL=dlnSKL—dlnTLK兩邊同除以dlnTLK并整理得：dlnSKL/dlnTtK-dlnCKL/dlnTtK—1根據(jù)定義，顯然有：l/a+l/p=l(2)Ckl顯然是資本與勞動(dòng)的產(chǎn)出彈性之比，其大小反映的是資本與勞動(dòng)在生產(chǎn)中的重要性。小明在未名湖畔擁有一家店，專門出租滑冰和攀巖裝置。他認(rèn)為今年寒冬的概率為0.55,暖冬的概率為0.45o如果是寒冬，很多學(xué)生就會(huì)租用滑冰裝置在未名湖上滑冰，而在旁邊攀巖的人就會(huì)很少。小明必須要決定準(zhǔn)備多少滑冰裝置，多少攀巖裝置。他的報(bào)酬矩陣如下：(1)如果小明選擇只出租滑冰裝置，他的期望報(bào)酬是多少？只出租攀巖裝置呢？(2)如果小明選擇將x比例的資源分配到滑冰裝置上，他的期望報(bào)酬是多少(以x表示)？(3)假設(shè)小明是風(fēng)險(xiǎn)中性，他會(huì)把多大比例的資源分配在滑冰裝置上？(4)如果小明的效用函數(shù)是U(x)=ln(x),寫出他的期望效用(以x表示)。這種情況下，小明會(huì)把多大比例的資源分配在滑冰裝置上？(5)一家保險(xiǎn)公司給小明建議：“你只出租滑冰裝置。如果是暖冬，我賠給你5000元；如果是寒冬，你付我5000元”。保險(xiǎn)公司的期望報(bào)酬是多少？在什么條件下，小明會(huì)接受這個(gè)建議？(只需列出判斷式子，不用計(jì)算出具體數(shù)值)。[北京大學(xué)2015研]解：(1)如果小明只出租滑冰裝置，他的期望報(bào)酬是0.55x20000+0.45x5000=13250；如果小明只出租攀巖裝置，他的期望報(bào)酬是0.55x5000+0.45x15000=9500o(2)如果小明選擇將x比例的資源分配到滑冰裝置上，他的期望報(bào)酬是：E(x)=0.55[20000x+5000(1-x)]+0.45[5000x+15000(1-x)]=9500+3750x(3)假設(shè)小明是風(fēng)險(xiǎn)中性，則期望報(bào)酬的效用與期望效用相同。由(2)中小明的期望報(bào)酬函數(shù)已知，當(dāng)乂=1,即全部的資源分配在滑冰裝置上時(shí)，小明的期望報(bào)酬最大，期望效用也最大。(4)小明的期望效用為：E(U)=0.551n[20000x+5000(1-x)]+0.451n[5000x+15000(1-x)]=0.551n(5000+1500x)+0.451n(15000-lOOOOx)期望效用最大化的一階條件為：dE(U)/dx=0.55xl5000/(5000+15000x)一0.45x10000/(15000-lOOOOx)=0解得：x=0.675,即小明會(huì)把0.675比例的資源分配在滑冰裝置上。(5)保險(xiǎn)公司的期望報(bào)酬是0.55x5000—0.45x5000=500o此時(shí)，小明的期望效用為：E(U)=0.551n(20000-5000)+0.451n(5000+5000)=0.551nl5000+0.451nl0000只有在上述期望效用大于(4)中的期望效用時(shí)，小明才會(huì)接受保險(xiǎn)公司的建議。一個(gè)納稅人，效用函數(shù)為In(w),w為其財(cái)富，是固定值。國(guó)家按照固定稅率t )對(duì)納稅人上報(bào)的收入征稅，但此人可以少報(bào)收入，即報(bào)的收入為x(0<x<w)o同時(shí)稅務(wù)機(jī)關(guān)有p的概率0<p〈l查此人的收入。一旦查肯定能查出此人真實(shí)收入。查出之后，不僅要補(bǔ)齊所應(yīng)繳納的稅款，同時(shí)還要承擔(dān)罰金，罰金為應(yīng)補(bǔ)交稅款乘以一個(gè)大于0的固定常數(shù)Go(1)求此納稅人選擇的最優(yōu)x值。同時(shí)求此納稅人選擇的x與其收入的關(guān)系。(2)如果。=0,問(wèn)此時(shí)此人選擇的最優(yōu)X。(3)此人有沒(méi)有可能選擇x=0?在什么條件下此人會(huì)這樣做？[北京大學(xué)2012研]解：(1)由題意可知，納稅人的期望效用最大化問(wèn)題為：一階條件為：一(1—p)t/(w—xt)+pOt/[w—wt—(w—x)tO]=O。解得：x*=[p0—(1—p)(1—t—0t)]w/(0t)當(dāng)p。一(1—p)(1—t—0t)NO時(shí)，x*=[p0—(1-p)(1—t—Ot)]w/(0t)；當(dāng)pO—(1-p)(l-t-0t)VO且xNO時(shí)，EUVO,所以p。一(1—p)(1—t—Ot)VO時(shí)，x*=0o因此，此納稅人選擇的最優(yōu)X值為：與收入成正比或者恒為0。(2)當(dāng)。=0時(shí)，EU=(1—p)In(w—xt)+pln(w—wt),關(guān)于x遞減，因此x=0。如果逃稅沒(méi)有成本的話，納稅人將完全逃稅。(3)由(1)可知，當(dāng)pO—(1—p)(1—t—0t)<0時(shí)，此人選擇x=0。此時(shí)，稅率較低(意味著被查出謊報(bào)收入所需要繳納的罰金較少)；稅務(wù)機(jī)關(guān)檢查的概率較低(補(bǔ)全稅收并繳納罰款的概率較低)；罰金的乘數(shù)較低(繳納罰款的數(shù)額較少)。王先生對(duì)財(cái)富w的效用函數(shù)為In(w),他目前有1萬(wàn)元，他的地里可以種植某種作物，旁邊有條小河，有10%的概率可能發(fā)生災(zāi)害，發(fā)生災(zāi)害了就會(huì)顆粒無(wú)收，如果沒(méi)有發(fā)生災(zāi)害就會(huì)得到兩倍的毛收益，問(wèn)：(1)王先生會(huì)投資多少？(2)有提供競(jìng)爭(zhēng)性保險(xiǎn)的保險(xiǎn)公司，保費(fèi)是多少？［上海財(cái)經(jīng)大學(xué)2010研］解：(1)設(shè)王先生投資x元，則剩余(10000-x)元。如果發(fā)生災(zāi)害，他這一部分的效用為In(10000-x)；如果沒(méi)有發(fā)生災(zāi)害，則投資的收益為2x元，總財(cái)富變?yōu)?0000—x+2x=10000+x,他這一部分的效用為In(10000+x)o從而期望效用EU=10%ln(10000-x)+(1-10%)In(10000+x)o要使總效用最大，則根據(jù)一階條件得：-0.1/(10000-x)+0.9/(10000+x)=0解得：x=8000o因此，王先生會(huì)投資8000元。(2)假如王先生投資8000元，則發(fā)生災(zāi)害的話，其損失為8000元。設(shè)定保費(fèi)為y元，則保險(xiǎn)公司的收益為(y-8000)元，而假如沒(méi)有發(fā)生災(zāi)害的話，保險(xiǎn)公司的收益為y元，因此保險(xiǎn)公司的期望收益為：0.1(y—8000)+0.9y=y-800o因?yàn)楸ｋU(xiǎn)市場(chǎng)是競(jìng)爭(zhēng)性的，因此保險(xiǎn)公司的期望收益為零，于是有y=800,因此保險(xiǎn)費(fèi)y為800元。假設(shè)某產(chǎn)費(fèi)者只消費(fèi)兩種商品(X和Y),其效用函數(shù)可以表示為U(x,y)=min{x,y},其中x代表商品X的數(shù)量，y代表商品Y的數(shù)量，min{x,y}代表x和y中較小的值。商品X的價(jià)格是p>0,商品Y的價(jià)格是lo該消費(fèi)者的收入為100o(1)求該消費(fèi)者的最優(yōu)消費(fèi)選擇(x*,y*)。(2)如果政府對(duì)該消費(fèi)者征收占收入a%的個(gè)人所得稅，00心100,證明此時(shí)該消費(fèi)者對(duì)商品X的需求函數(shù)是關(guān)于p與a的函數(shù)。(3)假設(shè)個(gè)人收入所得稅稅率為20%,如果商品X的市場(chǎng)價(jià)格p從1上升2,該消費(fèi)者在商品X的市場(chǎng)上的消費(fèi)者剩余變化量是多少？(4)現(xiàn)假設(shè)個(gè)人收入所得稅稅率為0,并假設(shè)商品X市場(chǎng)是供給無(wú)窮大的完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)。如果政府針對(duì)消費(fèi)者對(duì)每消費(fèi)1單位商品X征收不超過(guò)價(jià)格p的金額為t的消費(fèi)稅(即日p),并且變量最大化其來(lái)自該消費(fèi)者的稅收收入，那么政府應(yīng)該如何設(shè)定消費(fèi)稅T?最大化的稅收收入是多少？(提示：最優(yōu)的消費(fèi)稅和最大稅收收入都是價(jià)格p的函數(shù)。)[清華大學(xué)2015研]解：(1)消費(fèi)者的效用最大化問(wèn)題為效用最大化的條件為x=y，代入預(yù)算約束條件px+y=100,可得該消費(fèi)者最優(yōu)消費(fèi)選擇為(x*,y*)=(100/(p+1),100/(p+1))o(2)若政府對(duì)該消費(fèi)者征收占收入a%的個(gè)人所得稅，則消費(fèi)者的效用最大化問(wèn)題為利用效用最大化的條件*=丫，可得：此時(shí)該消費(fèi)者對(duì)商品X的需求函數(shù)為x=[100/(1-a%)]/(p+1),是關(guān)于p與a的函數(shù)。(3)若個(gè)人所得稅稅率為20%,則消費(fèi)者對(duì)X的需求函數(shù)為x=80/(p+1)o如果商品X的價(jià)格p從1上升到2,則該消費(fèi)者在商品X的市場(chǎng)上的消費(fèi)者剩余變化量為(4)如果政府針對(duì)消費(fèi)者對(duì)每消費(fèi)1單位商品X征收不超過(guò)價(jià)格p的金額為t的消費(fèi)稅，則消費(fèi)者的效用最大化問(wèn)題為利用效用最大化的條件*=丫，可得：此時(shí)該消費(fèi)者對(duì)商品X的需求函數(shù)為x=100/(p+i+1)o此時(shí)，政府稅收收入為T=tx=10