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第一節(jié)第一類曲線積分第一節(jié)第一類曲線積分1一、曲線積分的概念本章要點(diǎn)二、第一類曲線積分的計(jì)算方法一、曲線積分的概念本章要點(diǎn)二、第一類曲線積分的計(jì)算方法21.柱面的面積一、第一類曲線積分的概念
設(shè)是一張母線平行于
軸,準(zhǔn)線為
平面上曲線的柱面的一部分,高度為求曲面的面積.分析若
是常量,則曲面面積為曲線的長(zhǎng)度與
之積.即:1.柱面的面積一、第一類曲線積分的概念設(shè)3由此得到曲面面積的近似值其中:s為曲線的弧長(zhǎng).若
不是常量,則考慮用分割的方法求之.在曲線L上插入
個(gè)分點(diǎn)在小弧段上取點(diǎn)并用
作為相應(yīng)小柱面的高度,從而得到小柱面的面積的近似值由此得到曲面面積的近似值其中:s為曲線的弧長(zhǎng).若4即,曲面的面積可以表達(dá)為一個(gè)和式的極限.以表示
個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度,在上式取
時(shí)的極限,則有即,曲面的面積可以表達(dá)為一個(gè)以表示個(gè)小弧段的最大52.曲線型構(gòu)件的質(zhì)量設(shè)一曲線型構(gòu)件,在
平面上為曲線
密度函數(shù)為求此曲線構(gòu)件的質(zhì)量.分析如果
為常數(shù),則質(zhì)量為密度與弧長(zhǎng)之積,即:若
為變量,仍然考慮分割:在曲線上插入個(gè)分點(diǎn)在小弧段上取點(diǎn)2.曲線型構(gòu)件的質(zhì)量設(shè)一曲線型構(gòu)件,在6由此得到小弧段質(zhì)量的近似值:由此得到小弧段質(zhì)量的近似值:以
表示
個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度,在上式取
時(shí)的極限,則有由此得到小弧段質(zhì)量的近似值:由此得到小弧段質(zhì)量的近似值:以73.曲線積分的定義定義設(shè)是
平面內(nèi)以
為端點(diǎn)的光滑曲線,函數(shù)
在
上有界.在上任意插入一個(gè)點(diǎn)列把分成個(gè)小段,設(shè)第個(gè)小段的弧長(zhǎng)為在上任取一點(diǎn)作和3.曲線積分的定義定義設(shè)是8即:記如果當(dāng)時(shí),和式的極限存在,則稱此極限為數(shù)量值函數(shù)在曲線上的積分,記作即:記如9注:1.此類曲線積分又稱為第一類曲線積分或?qū)¢L(zhǎng)的曲線積分:4.由前面的討論,可以看到柱面的面積可以由下面的計(jì)算公式得到2.如果是上的連續(xù)函數(shù),則曲線積分一定存在;3.若是閉曲線,則曲線積分一般表示為注:1.此類曲線積分又稱為第一類曲線積分或?qū)¢L(zhǎng)的4.由前面10而曲線型構(gòu)件的質(zhì)量為5.由曲線積分的定義,不難得到如下的兩個(gè)性質(zhì):⑴
有而曲線型構(gòu)件的質(zhì)量為5.由曲線積分的定義,不難得到如下的兩個(gè)11⑵若曲線弧由曲線弧和連接而成的,則由此得到,若是分段光滑曲線,
在
上連續(xù),則曲線積分存在.⑵若曲線弧由曲線弧和連接而成的,則12二、第一類曲線積分的計(jì)算方法設(shè)平面光滑曲線弧由參數(shù)方程給出,函數(shù)
在
上連續(xù),則⑴二、第一類曲線積分的計(jì)算方法設(shè)平面光滑曲線弧13下面給出公式⑴推導(dǎo)過程:該點(diǎn)列對(duì)應(yīng)于一列單調(diào)遞增的參數(shù)值由第一類曲線積分的定義設(shè)參數(shù)由
變至
時(shí),上的點(diǎn)依點(diǎn)
到點(diǎn)在
上從
到
取點(diǎn)列下面給出公式⑴推導(dǎo)過程:該點(diǎn)列對(duì)應(yīng)于一列單調(diào)遞增的參14由積分中值定理,得其中,因取則由積分中值定理,得其中,15而等式中的最后一式為函數(shù)在區(qū)間上的定積分.而由于被積函數(shù)連續(xù),故而等式中的最后一式為函數(shù)在區(qū)間上的定積16積分存在,因而特別地,若曲線由方程給出,則相應(yīng)的曲線積分為⑵積分存在,因而特別地,若曲線由方程給出,則相應(yīng)的曲線積分為⑵17若曲線由極坐標(biāo)形式給出,則代入積分公式(1),即有若曲線由極坐標(biāo)形式18⑶若對(duì)空間分段光滑曲線是曲線上的連續(xù)函數(shù),則⑷⑶若對(duì)空間分段光滑曲線19例1求其中解故,由積分公式,得例1求20例2求其中解代入相應(yīng)的積分公式,有例2求21第一類曲線積分課件22解由曲線積分的幾何意義,得其中為平面曲線為錐面方程函數(shù).取為積分變量,則有例3求圓柱面介于平面和錐面之間的側(cè)面積解由曲線積分的幾何意義,得23將
代入積分表達(dá)式,再由對(duì)稱性,得將代入積分表達(dá)式,再由對(duì)稱性,得24解由微元素法,得,故例4求曲線段繞
軸旋轉(zhuǎn)所得曲面的面積.1解由微元素法,得25例5設(shè)空間曲線,方程為質(zhì)量密度為求曲線的質(zhì)量.解由曲線型構(gòu)件的質(zhì)量計(jì)算公式:例5設(shè)空間曲線,方程為質(zhì)量密度為26例6求心形線的形心.解由對(duì)稱性,得,例6求心形線27弧長(zhǎng)故,由此得到重心坐標(biāo):.弧長(zhǎng)故,由此得到重心坐標(biāo):28例7求其中為連的線段.解線段的方向?yàn)楣示€段的方程為由此得到曲線積分為例7求29例8求為曲線上相應(yīng)于的一段弧.解由積分公式,得例8求30第一類曲線積分課件31第一節(jié)第一類曲線積分第一節(jié)第一類曲線積分32一、曲線積分的概念本章要點(diǎn)二、第一類曲線積分的計(jì)算方法一、曲線積分的概念本章要點(diǎn)二、第一類曲線積分的計(jì)算方法331.柱面的面積一、第一類曲線積分的概念
設(shè)是一張母線平行于
軸,準(zhǔn)線為
平面上曲線的柱面的一部分,高度為求曲面的面積.分析若
是常量,則曲面面積為曲線的長(zhǎng)度與
之積.即:1.柱面的面積一、第一類曲線積分的概念設(shè)34由此得到曲面面積的近似值其中:s為曲線的弧長(zhǎng).若
不是常量,則考慮用分割的方法求之.在曲線L上插入
個(gè)分點(diǎn)在小弧段上取點(diǎn)并用
作為相應(yīng)小柱面的高度,從而得到小柱面的面積的近似值由此得到曲面面積的近似值其中:s為曲線的弧長(zhǎng).若35即,曲面的面積可以表達(dá)為一個(gè)和式的極限.以表示
個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度,在上式取
時(shí)的極限,則有即,曲面的面積可以表達(dá)為一個(gè)以表示個(gè)小弧段的最大362.曲線型構(gòu)件的質(zhì)量設(shè)一曲線型構(gòu)件,在
平面上為曲線
密度函數(shù)為求此曲線構(gòu)件的質(zhì)量.分析如果
為常數(shù),則質(zhì)量為密度與弧長(zhǎng)之積,即:若
為變量,仍然考慮分割:在曲線上插入個(gè)分點(diǎn)在小弧段上取點(diǎn)2.曲線型構(gòu)件的質(zhì)量設(shè)一曲線型構(gòu)件,在37由此得到小弧段質(zhì)量的近似值:由此得到小弧段質(zhì)量的近似值:以
表示
個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度,在上式取
時(shí)的極限,則有由此得到小弧段質(zhì)量的近似值:由此得到小弧段質(zhì)量的近似值:以383.曲線積分的定義定義設(shè)是
平面內(nèi)以
為端點(diǎn)的光滑曲線,函數(shù)
在
上有界.在上任意插入一個(gè)點(diǎn)列把分成個(gè)小段,設(shè)第個(gè)小段的弧長(zhǎng)為在上任取一點(diǎn)作和3.曲線積分的定義定義設(shè)是39即:記如果當(dāng)時(shí),和式的極限存在,則稱此極限為數(shù)量值函數(shù)在曲線上的積分,記作即:記如40注:1.此類曲線積分又稱為第一類曲線積分或?qū)¢L(zhǎng)的曲線積分:4.由前面的討論,可以看到柱面的面積可以由下面的計(jì)算公式得到2.如果是上的連續(xù)函數(shù),則曲線積分一定存在;3.若是閉曲線,則曲線積分一般表示為注:1.此類曲線積分又稱為第一類曲線積分或?qū)¢L(zhǎng)的4.由前面41而曲線型構(gòu)件的質(zhì)量為5.由曲線積分的定義,不難得到如下的兩個(gè)性質(zhì):⑴
有而曲線型構(gòu)件的質(zhì)量為5.由曲線積分的定義,不難得到如下的兩個(gè)42⑵若曲線弧由曲線弧和連接而成的,則由此得到,若是分段光滑曲線,
在
上連續(xù),則曲線積分存在.⑵若曲線弧由曲線弧和連接而成的,則43二、第一類曲線積分的計(jì)算方法設(shè)平面光滑曲線弧由參數(shù)方程給出,函數(shù)
在
上連續(xù),則⑴二、第一類曲線積分的計(jì)算方法設(shè)平面光滑曲線弧44下面給出公式⑴推導(dǎo)過程:該點(diǎn)列對(duì)應(yīng)于一列單調(diào)遞增的參數(shù)值由第一類曲線積分的定義設(shè)參數(shù)由
變至
時(shí),上的點(diǎn)依點(diǎn)
到點(diǎn)在
上從
到
取點(diǎn)列下面給出公式⑴推導(dǎo)過程:該點(diǎn)列對(duì)應(yīng)于一列單調(diào)遞增的參45由積分中值定理,得其中,因取則由積分中值定理,得其中,46而等式中的最后一式為函數(shù)在區(qū)間上的定積分.而由于被積函數(shù)連續(xù),故而等式中的最后一式為函數(shù)在區(qū)間上的定積47積分存在,因而特別地,若曲線由方程給出,則相應(yīng)的曲線積分為⑵積分存在,因而特別地,若曲線由方程給出,則相應(yīng)的曲線積分為⑵48若曲線由極坐標(biāo)形式給出,則代入積分公式(1),即有若曲線由極坐標(biāo)形式49⑶若對(duì)空間分段光滑曲線是曲線上的連續(xù)函數(shù),則⑷⑶若對(duì)空間分段光滑曲線50例1求其中解故,由積分公式,得例1求51例2求其中解代入相應(yīng)的積分公式,有例2求52第一類曲線積分課件53解由曲線積分的幾何意義,得其中為平面曲線為錐面方程函數(shù).取為積分變量,則有例3求圓柱面介于平面和錐面之間的側(cè)面積解由曲線積分的幾何意義,得54將
代入積分表達(dá)式,再由對(duì)稱性,得將代入積分表達(dá)式,再由對(duì)稱性,得55解由微元素法,得,故例4求曲線段
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