第一類曲線積分課件

第一節(jié)第一類曲線積分第一節(jié)第一類曲線積分1一、曲線積分的概念本章要點二、第一類曲線積分的計算方法一、曲線積分的概念本章要點二、第一類曲線積分的計算方法21.柱面的面積一、第一類曲線積分的概念

設(shè)是一張母線平行于

軸，準(zhǔn)線為

平面上曲線的柱面的一部分，高度為求曲面的面積.分析若

是常量，則曲面面積為曲線的長度與

之積.即:1.柱面的面積一、第一類曲線積分的概念設(shè)3由此得到曲面面積的近似值其中:s為曲線的弧長.若

不是常量，則考慮用分割的方法求之.在曲線L上插入

個分點在小弧段上取點并用

作為相應(yīng)小柱面的高度，從而得到小柱面的面積的近似值由此得到曲面面積的近似值其中:s為曲線的弧長.若4即，曲面的面積可以表達為一個和式的極限.以表示

個小弧段的最大長度，在上式取

時的極限，則有即，曲面的面積可以表達為一個以表示個小弧段的最大52.曲線型構(gòu)件的質(zhì)量設(shè)一曲線型構(gòu)件，在

平面上為曲線

密度函數(shù)為求此曲線構(gòu)件的質(zhì)量.分析如果

為常數(shù)，則質(zhì)量為密度與弧長之積，即:若

為變量，仍然考慮分割：在曲線上插入個分點在小弧段上取點2.曲線型構(gòu)件的質(zhì)量設(shè)一曲線型構(gòu)件，在6由此得到小弧段質(zhì)量的近似值:由此得到小弧段質(zhì)量的近似值:以

表示

個小弧段的最大長度，在上式取

時的極限，則有由此得到小弧段質(zhì)量的近似值:由此得到小弧段質(zhì)量的近似值:以73.曲線積分的定義定義設(shè)是

平面內(nèi)以

為端點的光滑曲線，函數(shù)

在

上有界.在上任意插入一個點列把分成個小段，設(shè)第個小段的弧長為在上任取一點作和3.曲線積分的定義定義設(shè)是8即：記如果當(dāng)時，和式的極限存在，則稱此極限為數(shù)量值函數(shù)在曲線上的積分，記作即：記如9注：1.此類曲線積分又稱為第一類曲線積分或?qū)￠L的曲線積分:4.由前面的討論，可以看到柱面的面積可以由下面的計算公式得到2.如果是上的連續(xù)函數(shù)，則曲線積分一定存在；3.若是閉曲線，則曲線積分一般表示為注：1.此類曲線積分又稱為第一類曲線積分或?qū)￠L的4.由前面10而曲線型構(gòu)件的質(zhì)量為5.由曲線積分的定義，不難得到如下的兩個性質(zhì):⑴

有而曲線型構(gòu)件的質(zhì)量為5.由曲線積分的定義，不難得到如下的兩個11⑵若曲線弧由曲線弧和連接而成的，則由此得到，若是分段光滑曲線，

在

上連續(xù)，則曲線積分存在.⑵若曲線弧由曲線弧和連接而成的，則12二、第一類曲線積分的計算方法設(shè)平面光滑曲線弧由參數(shù)方程給出，函數(shù)

在

上連續(xù)，則⑴二、第一類曲線積分的計算方法設(shè)平面光滑曲線弧13下面給出公式⑴推導(dǎo)過程:該點列對應(yīng)于一列單調(diào)遞增的參數(shù)值由第一類曲線積分的定義設(shè)參數(shù)由

變至

時，上的點依點

到點在

上從

到

取點列下面給出公式⑴推導(dǎo)過程:該點列對應(yīng)于一列單調(diào)遞增的參14由積分中值定理，得其中，因取則由積分中值定理，得其中，15而等式中的最后一式為函數(shù)在區(qū)間上的定積分.而由于被積函數(shù)連續(xù)，故而等式中的最后一式為函數(shù)在區(qū)間上的定積16積分存在，因而特別地，若曲線由方程給出，則相應(yīng)的曲線積分為⑵積分存在，因而特別地，若曲線由方程給出，則相應(yīng)的曲線積分為⑵17若曲線由極坐標(biāo)形式給出，則代入積分公式(1)，即有若曲線由極坐標(biāo)形式18⑶若對空間分段光滑曲線是曲線上的連續(xù)函數(shù)，則⑷⑶若對空間分段光滑曲線19例1求其中解故，由積分公式，得例1求20例2求其中解代入相應(yīng)的積分公式，有例2求21第一類曲線積分課件22解由曲線積分的幾何意義，得其中為平面曲線為錐面方程函數(shù)．取為積分變量，則有例3求圓柱面介于平面和錐面之間的側(cè)面積解由曲線積分的幾何意義，得23將

代入積分表達式，再由對稱性，得將代入積分表達式，再由對稱性，得24解由微元素法，得，故例4求曲線段繞

軸旋轉(zhuǎn)所得曲面的面積.1解由微元素法，得25例5設(shè)空間曲線，方程為質(zhì)量密度為求曲線的質(zhì)量．解由曲線型構(gòu)件的質(zhì)量計算公式:例5設(shè)空間曲線，方程為質(zhì)量密度為26例6求心形線的形心．解由對稱性，得，例6求心形線27弧長故，由此得到重心坐標(biāo)：.弧長故，由此得到重心坐標(biāo)：28例7求其中為連的線段.解線段的方向為故線段的方程為由此得到曲線積分為例7求29例8求為曲線上相應(yīng)于的一段弧.解由積分公式，得例8求30第一類曲線積分課件31第一節(jié)第一類曲線積分第一節(jié)第一類曲線積分32一、曲線積分的概念本章要點二、第一類曲線積分的計算方法一、曲線積分的概念本章要點二、第一類曲線積分的計算方法331.柱面的面積一、第一類曲線積分的概念

設(shè)是一張母線平行于

軸，準(zhǔn)線為

平面上曲線的柱面的一部分，高度為求曲面的面積.分析若

是常量，則曲面面積為曲線的長度與

之積.即:1.柱面的面積一、第一類曲線積分的概念設(shè)34由此得到曲面面積的近似值其中:s為曲線的弧長.若

不是常量，則考慮用分割的方法求之.在曲線L上插入

個分點在小弧段上取點并用

作為相應(yīng)小柱面的高度，從而得到小柱面的面積的近似值由此得到曲面面積的近似值其中:s為曲線的弧長.若35即，曲面的面積可以表達為一個和式的極限.以表示

個小弧段的最大長度，在上式取

時的極限，則有即，曲面的面積可以表達為一個以表示個小弧段的最大362.曲線型構(gòu)件的質(zhì)量設(shè)一曲線型構(gòu)件，在

平面上為曲線

密度函數(shù)為求此曲線構(gòu)件的質(zhì)量.分析如果

為常數(shù)，則質(zhì)量為密度與弧長之積，即:若

為變量，仍然考慮分割：在曲線上插入個分點在小弧段上取點2.曲線型構(gòu)件的質(zhì)量設(shè)一曲線型構(gòu)件，在37由此得到小弧段質(zhì)量的近似值:由此得到小弧段質(zhì)量的近似值:以

表示

個小弧段的最大長度，在上式取

時的極限，則有由此得到小弧段質(zhì)量的近似值:由此得到小弧段質(zhì)量的近似值:以383.曲線積分的定義定義設(shè)是

平面內(nèi)以

為端點的光滑曲線，函數(shù)

在

上有界.在上任意插入一個點列把分成個小段，設(shè)第個小段的弧長為在上任取一點作和3.曲線積分的定義定義設(shè)是39即：記如果當(dāng)時，和式的極限存在，則稱此極限為數(shù)量值函數(shù)在曲線上的積分，記作即：記如40注：1.此類曲線積分又稱為第一類曲線積分或?qū)￠L的曲線積分:4.由前面的討論，可以看到柱面的面積可以由下面的計算公式得到2.如果是上的連續(xù)函數(shù)，則曲線積分一定存在；3.若是閉曲線，則曲線積分一般表示為注：1.此類曲線積分又稱為第一類曲線積分或?qū)￠L的4.由前面41而曲線型構(gòu)件的質(zhì)量為5.由曲線積分的定義，不難得到如下的兩個性質(zhì):⑴

有而曲線型構(gòu)件的質(zhì)量為5.由曲線積分的定義，不難得到如下的兩個42⑵若曲線弧由曲線弧和連接而成的，則由此得到，若是分段光滑曲線，

在

上連續(xù)，則曲線積分存在.⑵若曲線弧由曲線弧和連接而成的，則43二、第一類曲線積分的計算方法設(shè)平面光滑曲線弧由參數(shù)方程給出，函數(shù)

在

上連續(xù)，則⑴二、第一類曲線積分的計算方法設(shè)平面光滑曲線弧44下面給出公式⑴推導(dǎo)過程:該點列對應(yīng)于一列單調(diào)遞增的參數(shù)值由第一類曲線積分的定義設(shè)參數(shù)由

變至

時，上的點依點

到點在

上從

到

取點列下面給出公式⑴推導(dǎo)過程:該點列對應(yīng)于一列單調(diào)遞增的參45由積分中值定理，得其中，因取則由積分中值定理，得其中，46而等式中的最后一式為函數(shù)在區(qū)間上的定積分.而由于被積函數(shù)連續(xù)，故而等式中的最后一式為函數(shù)在區(qū)間上的定積47積分存在，因而特別地，若曲線由方程給出，則相應(yīng)的曲線積分為⑵積分存在，因而特別地，若曲線由方程給出，則相應(yīng)的曲線積分為⑵48若曲線由極坐標(biāo)形式給出，則代入積分公式(1)，即有若曲線由極坐標(biāo)形式49⑶若對空間分段光滑曲線是曲線上的連續(xù)函數(shù)，則⑷⑶若對空間分段光滑曲線50例1求其中解故，由積分公式，得例1求51例2求其中解代入相應(yīng)的積分公式，有例2求52第一類曲線積分課件53解由曲線積分的幾何意義，得其中為平面曲線為錐面方程函數(shù)．取為積分變量，則有例3求圓柱面介于平面和錐面之間的側(cè)面積解由曲線積分的幾何意義，得54將

代入積分表達式，再由對稱性，得將代入積分表達式，再由對稱性，得55解由微元素法，得，故例4求曲線段