2014線性代數(shù)基礎預科課程講義

第一講行列式

考試內

考試要

排列與逆序n個不同的元素排成一列，就叫做這n123為一個3級排列，51324是一個5級排列?！靖拍罾斫恻c睛】不同的 級排列共有n!個在一個n級排列 jn中，若一對數(shù)jsjt，大前小后，即jsjt，則jsjt構成了一(5，記作(51324)5，(123)0

jn)。如：51324逆序數(shù)排列 jn中，交換任兩個數(shù)的位置，其余不變，則稱對排列作了一次對換【概念理解點睛】對換一次改變排列的奇偶性。如(1230,(3213nD(a ij

(1)(j1

ajna1

n

(1)(j1

ajna

ajn【概念理解點睛 . Dn是一個數(shù)值，是n!項的代數(shù)和，每 . 1.1】上三角行列式D二、行列式的性性質

an

.性質 aiaja.ajaianan【概念理解點睛行列式中兩行對應元素全相等，其值為零，即當ailajl(ij,l1, ,n)時，Daiajan.性質 行列式的某行（或列）元素都乘k，則等于行列式的值也乘.kaiaianan ai2biainb ai2biainbin aiain bibinan an an【概念理解點睛

c1

c2

a2a1

b2b1

a2

. 性質5 在行列式中，把某行各元素分別乘非零常數(shù)k，再加到另一行的對應元素上，，aiai.a aj a an kai1a kai2aj kaina an 1.2】計算n階行列式D

,ai0,i1,

,n b a三、行列式的展開定理（降階法的基礎引例與式與代數(shù)A(1)ijM 【概念理解點睛 a23， a23，a12與0 式與代 式是 Mij,Aij行列式的展開定nDai1Ai1ai2Ai2 ainAinaijAij,(i1, ,nnDakjAkja1jA1ja2jA2jk

anjA1)ijM，MD中去掉第ij列全部元素后，按原順序排成的n 階行列式，稱為元素aij的式，Aij為元素aij的代 【概念理解點睛nn即aikAjkai1Aj1ai2Aj2k

0(ij)【例1.5】范德蒙行

則第4行元素式之和的值 30402222030402222000532V

x2 (xx

這里

(xixj)(x2x1)(x3 (xnx1)(x3x2 (xnx2 (xnxn1)

計算行列式的方；（或列）展開，將n階行列式計算化為n1階行列式的計算的關系，即遞推公式，利用遞推公式遞推求得Dn；克萊姆法則n個未知n個方程的線性方程組，在系數(shù)行列式不等于零時的方程11 12 1n axax axbax11 12 1n

21 22 2n

annxn

naijxjbi,i1,

0，則方程組I an 一解xDj,j1, ,n其中D是用常數(shù)項b,b ,b替換D中第j列所成的行列式

1 a1a1ja2ja1ja2j.anjanj【概念理解點睛n若齊次線性方程組aij

0(i1, nD

n01程組只有零解xj0,j1, ,n（此時Dj0,j1,

,n

n011.7求解下列三元線性方程組2xxx533 x1x2x3ax4x2xxx

3xx

【題型1】數(shù)字型行列式的計

基本題型與典型例00000000000b c a【例2】 a1a1x000x000x【例3 0000x00x00x

的值等于（57321215f(x46357321215f(x4637f(x)0（3 【題型2】含參數(shù)行列式的計 1】若

0，則 2】若

0，則【題3n階行列式的計

1 1 【題型4】式、代數(shù)式的計11234134121123413412206（2）A312A32M34第二講矩陣

考試內矩陣的線性運算矩陣的乘法方陣的冪方陣乘積的行列式矩陣的轉置逆矩陣的概念和性質矩陣可逆的充分必要條件伴隨矩陣矩陣的初等變換等矩 矩陣的秩矩陣的等價分塊矩陣及其運

考試要引定數(shù)域F中mn個數(shù)aij(i1,2,,m;j1, ,n)排成m行n列，并括以圓括弧（

a1n

2n m mn稱為數(shù)域F上的mn矩陣，通常用大寫字母記做AAmn，有時也記A(aij)mn(i1,2,m;j1,2,naijA的第ij【概念理解點睛矩陣相等如果兩個矩陣A(aij)mnB(bij)mn是同型矩陣且各對應元素也相等，aijbij(i1,2,,m;j1,2,,n)，就稱AB相等，記作AB.mn個元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記作0 a1n稱為行矩陣，又稱行向量。為避免元素間b1 行矩陣也記作Aaa a只有一列的矩陣Bb2稱為列矩陣或列向量 b bnmnA為n階矩陣（或n階方陣）1，其余元素全為零的n階矩陣，稱為n階單位矩陣（簡稱單位陣InIE.記作kIn或kI或kE.即

，或記作diag(aa

,a) a an上（下）三角矩陣n階矩陣A(aij)nn，當ij時，aij0(j1,2, 矩陣稱為上三角矩陣.下三角矩陣當ij時，aij0(j2,3, ,n)的矩陣稱為下三角矩二、矩陣的運矩陣的線性運加

a12 a1nb1nAB(ab)

a22 a2nb2n

mn矩陣的數(shù)量乘法（簡稱數(shù)乘

ka1nkA并稱這個矩陣為kA【概念理解點睛

)

ka2n mn線性運算規(guī)律與數(shù)的加和乘運算規(guī)律一i）kA0k0A0矩陣的乘A是一個mn矩陣B是一個ns矩陣a1na2na1na2n,Bb

b1saaA

b2sb b

mn n

nsABAB（記作Ccij）是一個msncijai1b1jai2b2j nk即矩陣CAB的第ij列元素cijA的第i行nBj列相應的n個元素【概念理解點睛矩陣乘法運算規(guī)律有別于數(shù)乘法的運算AB0，不能推出A0B0.AmnEnEmAmna12

Bb,b ,b【例2.2】用矩陣表示一般的a11x1a12x2 a1nxnb1axax ax21 22 2n

1 an方陣的

amnxn Ak個 Ak個A0E k 設f(x)axk xk1 axa是x的k次多項式，A是n階 k fA)aAk Ak1 aAaEA的k次多項式（ k 0a0En【概念理解點睛mkAmAkAmk(Am)kAmk，但(AB)kAkBkAA2EAE)(AEAE)(AE(AE)2A22AE2.3】求1中的ABm矩陣的轉

1 2 a1n 定義把一個mn矩陣A 2n的行列互換得到的一個n m mn

am1AATAAT

am2(AT)T (AB)TBTAT

aa

amn【例2.4】設(x,x ,x)，HE2T，且T 方陣的行列記作A或detA.AT

kAkn

A【方法運用點睛AkAkkABABA0A0A0A0 2n,A*A 2n,A*A2.5A

aaaaAA

nn nn中元素a的代數(shù)式。證明：AA*A*AAE 0【例2.6】設A 0，矩陣B滿足ABA*2BA*E，則B 1 三、逆矩引可逆矩陣的定【概念理解點睛矩陣可逆的條定理AA0【概念理解點睛AA11A*A

1AA【例2.7】設矩陣A滿足A2A4E0,其中E為單位矩陣，則AE1 可逆矩陣的性AA1亦可逆，且A1)1AA可逆，數(shù)k0，則kA亦可逆，且(kA)11A1（k為非零常數(shù)k1 (A A)1A1A A1A1；An1 AAT亦可逆，且(AT)1A1)TA1A1四、分塊矩

A

000001

1

0 2，A2

，O 0，I3 A4A

A2 I3

A的一個22把一個mnA，在行的方向分成s塊，在列的方向分成t塊，稱為Ast分塊矩陣，記作A(Akl)st，其中Akl(k1,2s;l1,2,,t)A的子塊，它們可以是各AAkl)stBBkl)stABAklBkl要求：AB設分塊矩陣A(Akl)st是一個數(shù)，則A(AklAmnBnp，如Ars分塊矩陣(Akl)rsB分塊st分塊矩陣(Bkl)st j列j j列 2 2

A1s

B2tj2A則AB C記作(CA 2s kl A r Bj s sts其中Crt分塊矩陣，且CklAkiBilk1,

,r;l1, ,t)分塊矩陣A(A 的轉置矩陣為AT(B ，其kl lk,t;k1, ,B,t;k1, ,

A

，其

A,i ,

A A mAA1 Am，因此，對角塊矩陣A可逆的充要條件為Ai0.i1, ,m， A1

A1 m2

b1按行分塊

2 b b

nm【方法運用點睛mn矩陣既可看成是由m個n維行向量組成，也可看成是由n個m維列向量組成；x1 b1x xb(, ,)2 xx x n 1 2 n n nx1x2n1 2 若b0， x0(,n1 2

0xx x0nn 0 0 【例2.9】設A 0，求A,A1 2 0 五、矩陣的初等變換和初等矩1初等變換的定kri或kcik0rikrj或cikcjrirj,cicj【概念理解點睛2初等矩初等倍乘矩陣Ei(c) ,1)，Ei(c)是由單位矩陣第i行（或列）乘（c0）初等倍加矩陣

i(c) j Eij(c是由單位矩陣第i行乘cjj列乘c加到第i

i

E

j Eij是由單位矩陣第i,j行（或列）

a13 a23 a a 23 13 a13 a23E12 a a 23 13Ei(cAA的第i行乘cEij(cAA的第i行乘cjEijAA的第i行與第j行對換位置.【方法運用點睛ET(c)E(c),ET(c)E(c)，ETE E1(c) 1,E1(c)E(c)，E1E Ei(c 1E*(c)

,E*(c)E(c),E*E cEi(c

3矩陣的等定義P，QPAQB.則稱A與BAB【概念理解點睛①反身性:AA②對稱性:AB,B③傳遞性:ABBC,ACii）同型矩AB等價rAr(Biii）A可逆AE4利用初等變換求逆就變?yōu)锳1A,E初等行變換(E,A1) 0【例2.10】求A 1的逆矩陣 3

基本題型與典型例【題型1】有關方陣逆的判斷 1【例1】A 0，求A2E 3 0200201 0200201【例2】A ，求 1 1 3】A為nA2A5E0，求A3E【題型2】利用方陣行列式的性質求抽象 1【例1】已知A2BABE，A 0,求 1 2】A3A13A122【題型3】與伴隨矩陣相關1】A為n方陣，證明（1）A0A*0（2）A*A2】ABnA2B32 【例3】已知3階矩陣A的逆矩陣A1 1，試求伴隨矩陣的逆矩陣1 1 3 【例1】 0 7 【例2】設A為n（n2）階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B,A*,B*分別為A,B的伴隨矩陣，則（ （A）交換A*的第1列與第2列得B* （B）交換A*的第1行與第2行得B*交換A*的第1列與第2列得B* （D）交換A*的第1行與第2行得B*第三講向量

考試內線性無關組等價向量組向量組的秩向量組的秩與矩陣的秩之間的關系向量空間及其相關概念n維向量空間的基變換和坐標變換過渡矩陣向量的內積線性無關向量組的正交規(guī)范化方法規(guī)范正交基正交矩陣及其性質

考試要理解 維向量、向量的線性組合與線性表示的概念了解 維向量空間、子空間、基底、維數(shù)、坐標等概念一、n維向量的概念與運算定n個數(shù)a1,a2 ,an構成的有序數(shù)組，稱為一個n元向量（也稱n維向量），記a1 an，其ai稱為a的第i個分量。向量寫成上述形式稱為行向量，寫成a1 的形式a2a,a ,a

稱為列向量 a an 向量的 設a1,a2 ,

T,b,b

,

T，定義（1）向量加法（之和）abab

,

b)Tn向量的數(shù)量乘法（簡稱數(shù)乘）為kka,ka ,kaT，k稱為向量與數(shù)kn abTn1 2abTn1 2

(,3.1】設2,00)T,0,10)T,00,1)T，求34 二、線性相關對于1,2

,m

kiik11k22 kmm稱為向量組1,2 ,m的個線性組合，k1,k2 ,km稱為這個線性組合的系數(shù)向量組1,2 ,m和向量b，如果存在一組數(shù)1,2 ,m，b1122 mm則向量b是向量組1,2 ,m的線性組合，稱向量b能由向量組 ,m線性表示【概念理解點睛 ,m，i0102 1i 0m若可由 ,m中的部分向量線性表示，則可由 ,m線性表示能（不能）由 ,m線性表存在（不存在）k1,k2 ,km，使得k11k22方程組1,2 ,mx有（無）解向量組（Ⅰ）1,2

kmm,（Ⅰ）可由（Ⅱ）線性表示 （Ⅰ）中任意i可由（Ⅱ）線性表如果對m個向量 ,m，有m個不全為零的數(shù)k1,k2 ,km，使k11k22

kmm0成立，則稱 ,m線性相關，否則，稱

,m【概念理解點睛向量,線性（無關）相關分量（不）成比例單個向量線性相關（無關向量組A：1,2 ,s線性相關（無關）Ax0有非零解（只有零解22

32，3

4問向量組1,2,3和1,2的線性相關【例3.3】t取何值時，下列向量組線性相 (1,1,1)T，(1,2,3)T，(1,3, 【例3.4】設1,2,3線性無關（1）證明：13212232（2）問mk滿足什么條件時，向量組：k21m32,133.5ARnn，Rn，0Am0Am1證明：向量組,A, ,Am1線性無關【例3.6】ARnn，, 3，證明：向量組1,2,3線性無關【例3.7】設1,2 ,s(s2)線性無關且1a1b2，2a2b3 ，sas討論1,2 ,s線性相關性唯一表示定理若向量組1,2, ,n線性無關,而,1,2, ,n線性相關,則可由1,2, ,n線性表示,且表示法唯一.【例3.8】設n維向量i ,0)T，即第i個分量為1，其余分量為0，證明1,2, ,n是線性無關的.1定義設向量組1,2,,s的部分組i1,i2,,ir（1）i1,i2,,ir線性無關1,2,,s中的任一向量均可由它們線性表示，則稱向量組i1,i2,,ir為向量組1,2,,s秩，記為r(1,2,,s)r.【概念理解點睛 ,s)s若r(1,2,,s)rs，則1,2,,s中任意r個線性無關的向量組均可作2向量組的等【概念理解點睛 1反身性；②對稱性；③傳遞性兩向量組等價其極大無關組等價3向量組秩的性性質1如果1,2, ,s線性無關，則r(1,2, ,s)s；如果1,2, 相關，則r(1,2, ,s)s.性質 若1,2 ,t可由 ,s線性表出，r(1,2 ,t)r(1,2 ,s)性質3 若向量組1,2,,t可由1,2,,s線性表示，且1,2,,t線性無關,則ts性質4 若向量組1,2,,t可由1,2,,s線性表示，且ts,則1,2,,t線 3.9】求向量組1,1,1)T，0,2,5)T，2,4,7)T，1,3, 3.10】向量組1(2,14,3)T，2(1,166)T，3(1,229)T 1k矩陣Aa 的任意k個行和任意k個列的交點上的k2個元素按原順序排成kaiaiaiai12aiai21aiai2k1aikaikaik

的k2矩陣的則稱矩陣的秩為r，記為r(A)r【概念理解點睛r(Amn)min{m,rArAr階子式rArA．rrA0A0A0rA3A是mn矩陣,PQ分別是m階n階可逆矩陣,rArPArAQrn)n)A(a (ij

,n),n) ,n)r(A)A為nrA)nA0A行A列Amn矩陣,則rArATminmnr(kArAk0r(AB)r(A)r(B) (3,2,1,p2)T，(2,6,10,p)T 2【例3.12】設A為43的矩陣且r(A)2，B 0，則r(AB) 3 3.13】A為三階矩陣，1,2,3三維無關列向量A112233A2313A3916273，求rA五、向量空1向量空間的基本概念（數(shù)一向量空間：VnV非空，且對于向量的加法和數(shù)乘兩種運算封閉，即V中兩個向量之和及數(shù)乘VV,V為向量空間.維數(shù)：坐標：設1,2,,nnV的一個基，對任一元素V，總有且僅有一組數(shù)x1x2,xn使x11x22xnx1x2xn稱為在基1,2,,n下的坐標，記為(x1x2xn設1,2,,n1,2,,nn維向量空間V的基 11 12 1na 11 12 1naa a 21 22 2n

即,)(,)(, ,)aa1nan n, , n②anann稱C為基1,2,,n1,2,,n的過渡矩陣.①或②稱為基變換坐標變換公 設V，在基1,2,,n下的坐標為(x1,x2,,xn)，在1,2,,n下的坐標為(y1,y2,yn)，且(1,2 ,n)(1, ,n)C（C是從1,2,,n1,2,,n的過渡矩陣x1 y1 y1 x1 2C2 或2C12 n n n n2向量的內內積：設有nxx1

,

T,yy,y

,

x,yxTyyTxxyxy 1 2

xn①x,yy,x②xy,zx,zy,z③kx,ykx,yxxx2 x20x0 x,x模、長度：xx,x【概念理解點睛x1xxx0x正交：當xy0xy正交

【概念理解點睛】零向量與任何向量正3施密特正交設1,2 ,r是一組線性無關的向量，可用下述方法把1,2 11,2 1,11,r2,r r1,r , , , r r rrr則1,2, ,r線性無關，且兩兩正交，與1,2, 再把,, ,單位化1,rr 即得到一組與原向量組等價的兩兩正交的單位向量1,2, 4規(guī)范正交基（數(shù)一設, ,，若,1,ij,i,j1, ,n，則稱, ,是一組 0,i （規(guī)范正交基

基本題型與典型例【題型1】討論向量組的線性【例1】已知向量組1,1,2,1T,1,0,0,2T 1,4,8,kT線性相關，求 【例2】已知向量組1,1,a,4T,2,1,5,aT 【題型2】求向量組的極大無 3】已知向量組1a,1,1,1)T，22a22)T，3,3,3a (4,4,4,4a)T.問a為何值時，,,,4

【題型3】有關向量組或矩陣秩的計算與 11,2,3,4T,2,3,4,5T,3,4,5,6T,4,5,6, 2】已知向量組1,2,1,1T,2,0,t0T,0,4,5,2T2，則 （2）rA第四講線性方程組

考試內

考試要1線性方程組的三種表達形a11x1a12x2 a1nxnb1axax ax21 22 2n

amnxn稱為m個方程n個未知量的非齊次線性

a1n x1 b1

x b A

2n,X2,b2aa

am

amn

n m則（1）可表為Aｍｎx (Ax22, 222 ,22, 222 , n2n,b2 baa m1 m2 mn m【概念理解點睛

xnn.(x11x22 xnn【概念理解點睛公共解：若Ax0b1，Bx0b2x0Axb1，Bxb2的公共解.1引

2x2x2x0有自由變量（2個 x1x2x3

xx0 x x12x23x303x2xx x2x 3 1

3 2

x

3x 2 0 3 2解的判

得同解方程組 有自由變量（1個 x22x3定理AmnAx0有非零解（只有零解）件為rA)n（rA)n推論【方法運用點睛Amnx0，若mnAmnx0 xnn0A1,2 ,n，有非零解（只有零解1,2 ,n線性相關（無關）r(A)n（r(A)nA的列向量線性相關（無關）討論1,2 ,n線性相關性的常用方法12用秩：r1,2 ,nr，若rn則相關；若rn則無關3用行列式（維數(shù)等于個數(shù)4用線性方程組：x11x22 xnn0有無非零解 【例4.1】設a,0,cT,b,c,0T,0,a,bT線性無關，則a,b,c 3解的結解的性個解，則k1x1k2x2（k1k2為任意常數(shù)）也是它的解.

,xs均為Ax0的解，則k1x1 ksxs也是Ax0的解齊次線性方程組的基礎解系（解的極大線性無關組設x1,x2 （1） （2）的任一個解向量可由x1,x2 ,xp線性表示，則稱x1,x2 ,xp是Ax0的一個基礎解系通A是mn矩陣，若rArnAx0存在基礎解系，且基礎解系含nr個解向量.求解齊次線性方程組Amnx0rAn，則無基礎解系，只有零解；若rAn，化行階梯形為行最簡形，寫1,2 ,nrA寫出通解xk11k22 knrAnrA4.2】求解齊次線性方程組2xx2x2x xx4x3x 【例4.3】為何值時，方程

x2xx0 三、非齊次線性方程組有解的條件及解的結引（1）x1x2x3xxx

11111112 出現(xiàn)11111112 x1x2x3

111

xx0A

1

，r(A)r(A,b)3 x

0 2 1 xxx 1 1 0 解rArAb23解的判定 Amnxb有解rArrn時Amnxb

br，且當rn時AmnxbAmnxb無解rAr

brA1r

b【方法運用點睛當mnA0Axb的無解（或有無窮多解） xnnb（A1,2 ,n）有解（無解b可（不可）由 ,n線性表示b可（不可）由A的列向量線性表解的結解的性1Ax1bAx2bAx1x20x1x2Ax02Ax1bAx00Ax1x0bx1x0Axb若Axb有無窮多解，則其通解為xk11k22 knrAnrA，其1,2 用初等行變換化增廣矩陣A b為行階梯形若rAr b，則Axb無解若rAr b，化行階梯形為行最簡形，寫出等價的方程組，觀察有無自由變量x22x32x4【例4.4】 (a3)x2x 3x2xxax 3【例4.5】設A是3階矩陣，第一行 c)不全為零，B 6，AB0， k Ax0的通解)

基本題型和典型例【題型1】有關線性方程組的基本【例1】設A是mn矩陣，B是nm矩陣，則線性方程組ABx （（A）當nm時，僅有零解（B）當nm當mn時，僅有零解（D）當mn2】設,,是四元非齊次方程的三個解，且rA3，1,2,3,4)T 0,1,2,3)T，則通解為（ （A）(1,2,3,4)T （B）(1,2,3,4)T（C）(1,2,3,4)Tk(2,3, 123【例3】設A0，,,,為Axb的互不相等的解向量，則Ax0的基礎解系所含解向123 【題型2】線性方程組4】已知非齊次線性方程組x1x2x3x4114x3x5xx axx3xbx 證明方程組系數(shù)矩A的秩rA：（I）設1,2,3是非齊次方程3個線性無關的解，那么12，13Ax線性無關的解，所以nrA)2，即rA)A20，所以又有rA2，從而秩rA2A A

1 a 1 01 3 b a 1 1 1 1 0 4 b4a 4rA)rA)2知a2b 礎解系，所以方程組的通解是k11k22（其中k1k2為任意常數(shù)5】為何值時，方程組4xx2x2, 6xx4x2 第五講特征值和特征

考試內

考試要二、相似矩陣的概念與性質方陣對角化的條1相似的概【概念理解點睛2性（1）AT~BT；A1~B1；An~Bn（nNA*~B*（AB可逆 （2）rArB；AB；EAEB；trAaiibiitrB 3方陣可對角

AP

n（

,n A1,2

,n n ,nn ,n定理（方陣可對角化的充要條件n階方A可對角化的充要條件是An個線性無關的特征向量【方法運用點睛 記作， n1 1

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P P1 nA

nnn三、方陣的特征值和特征向1定A為n階矩陣，若存在常數(shù)和非零n維列向量，使A，則稱A的特征值，是A的屬于特征值的特征向量.【概念理解點睛特征值問題僅是針對方陣而言的；特征向量0若向量A的特征向量，則A與特征值與其對應的特征向量是一對多Akkk02求A的特征值，A的屬于特征值的特征向量A齊次線性方程組EAx0（或AEx0）有非零f(EAAEA0A的特征方程.顯然n階矩A的特征多項式是的n次多項式。特征多項式的k重根也稱為k重特解特征方程EA0，得到A的全部特征值 ,n對每個不同的特征值i，解齊次線性方程組(iEA)x01,2, ,s，則k11k22 kssk1,k2, 值i的特征向量. 0 0的特征值和特征向量 3 性質 若是矩陣A的特征值，x是A的屬于的特征向量，對任意的常數(shù)kk是kA的特x是kA的屬于k的特征向量對任意的自然數(shù)mmAmxAm的屬于m（3）A的多項fA的特征值fxfA的屬f的特征向量當A可逆1是A1的特征x是A1的屬于1的特征向量AAA*xA*A（7）BP1AP的特征值為，P1xB的特征向量.設nAa的n個特性質2 若x1和x2都是A的屬于特征值0的特征向量，則k1x1k2x2也是A的屬于0的特征向量（其中k1,k2是任意常數(shù)，但k1x1k2x20）.性質3 性質4 若矩陣A的特征值為1, ,n，則 iaii其中aiiAA的跡，記作trA niA 1 5.2】設A

AP1 An四、實對稱矩陣的相似對角性質 性質 性質 P1APdiag, ,，其中, ,是A的特征值 ,n特征向量對每個特征值i解(iEA)X0求出它的基礎解系 ,s正交化：利用施密特正交化方法將屬于同一特征值 的特征向量正交化，得Yi1,Yi2 ,Yik

2 5.3A

，求正交矩陣Q，使

AQ

基本題型與典型例【題型1】方陣特征值、特征 【例1】求矩陣A 2