2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第4章函數(shù)應(yīng)用章末綜合提升學(xué)案北師大版1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第4章函數(shù)應(yīng)用[牢固層·知識(shí)整合][提升層·題型研究]函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根由于函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)之間有著內(nèi)在的實(shí)質(zhì)的聯(lián)系，因此函數(shù)問題可轉(zhuǎn)變成方程的問題，方程的問題可轉(zhuǎn)變成函數(shù)問題解決,依照函數(shù)的性質(zhì)和方程根的存在條件我們常借助不等式來求解相關(guān)的問題，此間，要善于結(jié)合函數(shù)圖像，從中領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的作用．【例1】已知函數(shù)f(x）＝x－1＋錯(cuò)誤!x2－2，試?yán)没境醯群瘮?shù)的圖像判斷f(x)有幾個(gè)零點(diǎn)，并利用判斷區(qū)間內(nèi)可否有零點(diǎn)的方法確定各零點(diǎn)所在的范圍(各區(qū)間長度不高出1）．［思路研究］函數(shù)f（x）＝x－1＋錯(cuò)誤!x2－2的圖像不易作出，而將方程x－1＋錯(cuò)誤!x2－2＝0變形為x－1＝－錯(cuò)誤!x2＋2后，函數(shù)y＝x-1-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1與y＝－錯(cuò)誤!x2＋2的圖像較簡單作出,它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程x－1＋錯(cuò)誤!x2－2＝0的實(shí)數(shù)解，即函數(shù)f(x)＝x－1＋錯(cuò)誤!x2－2的零點(diǎn)．[解］由f（x）＝0,得x－1＝－錯(cuò)誤!x2＋2.令y1＝x－1，y2＝－錯(cuò)誤!x2＋2，在同素來角坐標(biāo)系中畫出它們的圖像，以下列圖．由圖可知,1它們有3個(gè)交點(diǎn)，因此，函數(shù)f（x）＝x－1＋2x2－2有3個(gè)零點(diǎn)．由f（x)知x≠0，f(x）圖像在（－∞，0)，（0，＋∞)上分別是連續(xù)曲線．f(－3）＝(－3）－1＋錯(cuò)誤!×(－3)2－2＝錯(cuò)誤!〉0，f(－2）＝（－2）1＋錯(cuò)誤!×(－2)2－2＝－錯(cuò)誤!〈0，f錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!×錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!－2＝錯(cuò)誤!>0，(1)＝1－1＋錯(cuò)誤!2錯(cuò)誤!，＝－1＋錯(cuò)誤!2<022f(2)2＝錯(cuò)誤!〉0，即f（－3)·f(－2)〈0,f錯(cuò)誤!·f（1）<0，f(1）·f(2)〈0，∴函數(shù)f（x）＝x－1＋錯(cuò)誤!x2－2的3個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間（－3，－2)，錯(cuò)誤!，（1，2）內(nèi).函數(shù)建模-2-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精建模思想就是建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)質(zhì)應(yīng)用問題．函數(shù)是重要的數(shù)學(xué)模型，不相同的函數(shù)模型可以刻畫現(xiàn)實(shí)世界中不相同的變化規(guī)律，因此，不相同的問題需選擇合適的函數(shù)模型來描述．在初中學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)以及現(xiàn)在學(xué)習(xí)的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)都是常用的描述現(xiàn)實(shí)世界中不相同增加規(guī)律的函數(shù)種類．關(guān)于函數(shù)模型的應(yīng)用，一方面是利用已知函數(shù)模型解決問題，另一方面是建立合適的函數(shù)模型，并利用所得的函數(shù)模型講解相關(guān)現(xiàn)象，對(duì)某些發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行展望，因此，應(yīng)的確掌握建立函數(shù)模型，解決實(shí)責(zé)問題的基本過程．縱觀近幾年高考，實(shí)質(zhì)應(yīng)用題層見迭出，并且向跨學(xué)科知識(shí)浸透,像相關(guān)環(huán)境問題、經(jīng)濟(jì)問題已成為熱點(diǎn)，還有經(jīng)典的成本最低問題、效率最大問題等也都是極為重要的考點(diǎn)．1．一次函數(shù)模型的應(yīng)用一次函數(shù)模型層次性不高，求解也較為簡單,一般我們可以用“問什么，設(shè)什么，列什么"這一方法來辦理．【例2】某文具店銷售軟皮本和鉛筆,軟皮本每本2元，鉛筆每支0。5元．該店推出兩種優(yōu)惠方法：（1)買一本軟皮本贈(zèng)予一支鉛筆；(2）按總價(jià)的92%付款．現(xiàn)要買軟皮本4本，鉛筆若干支(很多于4支)，若購買鉛筆數(shù)為x支，支付款數(shù)為y元,試分別建立兩種-3-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精優(yōu)惠方法中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并說明使用哪一種優(yōu)惠方法更合算？[解］優(yōu)惠方法(1)：y＝4×2＋0.5(x－4)＝0。5x＋6(x≥4，且x∈N），優(yōu)惠方法（2)：y＝(4×2＋0。5x）×0.920＝.46x＋7。36（x≥4，且x∈N),令0。5x＋6＝0.46x＋7.36，解得x＝34，且當(dāng)4≤x<34時(shí)，0。5x6<0。46x＋7。36，當(dāng)x>34時(shí),0。5x＋6〉0。46x＋7.36，即當(dāng)購買鉛筆數(shù)少于34支（很多于4支）時(shí)，優(yōu)惠方法(1)合算；當(dāng)購買鉛筆數(shù)多于34支時(shí)，優(yōu)惠方法(2）合算;當(dāng)購買鉛筆數(shù)是34支時(shí),兩種優(yōu)惠方法支付的總錢數(shù)是相同的，即相同合算．2．二次函數(shù)模型的應(yīng)用在函數(shù)模型中，二次函數(shù)模型占有重要的地位．依照實(shí)責(zé)問題建立函數(shù)剖析式后,可利用配方法、鑒識(shí)式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)責(zé)問題中的最大、最省等問題．【例3】某租借公司出租同一型號(hào)的設(shè)備40套，當(dāng)每套月租金為270元時(shí)，恰好全部租出．在此基礎(chǔ)上，每套月租金每增加10-4-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精元，就少租出1套設(shè)備，而未租出的設(shè)備每個(gè)月需支付各種花銷每套20元．設(shè)每套設(shè)備實(shí)質(zhì)月租金為x元(x≥270元），月收益為y元（總收益＝設(shè)備租金收入－未租出設(shè)備花銷）．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)x為何值時(shí),月收益最大？最大值是多少？［思路研究］(1）利用總收益＝設(shè)備租金收入－未租出設(shè)備費(fèi)用,列出函數(shù)關(guān)系式；(2）轉(zhuǎn)變成求二次函數(shù)的最大值．[解](1）每套設(shè)備實(shí)質(zhì)月租金為x元（x≥270元)時(shí)，未租出的x－270設(shè)備為10套，租出的設(shè)備為40－錯(cuò)誤!套，未租出的設(shè)備花銷為錯(cuò)誤!×20元，月租金總數(shù)為錯(cuò)誤!x元，因此y＝錯(cuò)誤!x－錯(cuò)誤!×20＝－0。1x2＋65x＋540（x≥270．）2)y＝－0。1x2＋65x＋540＝－0。1(x－325)2＋11102.5.則當(dāng)x＝325時(shí)，y取最大值為11102。5，即當(dāng)每套設(shè)備實(shí)質(zhì)月租金為325元時(shí)，月收益達(dá)到最大值11102。元．3．指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)責(zé)問題中，相關(guān)人口增加、銀行利率、細(xì)胞分裂等增加率問-5-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精題?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型來表示,在建立函數(shù)模型時(shí)注意用列舉、歸納等方法來研究內(nèi)在的規(guī)律．【例4】某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可減少水中雜質(zhì)20%。1）寫出水中雜質(zhì)含量y與過濾的次數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式；2)要使水中雜質(zhì)減少到原來的5％以下，則最少需要過濾幾次？（lg2≈0.3010）[思路研究]（1)利用歸納猜想的方法得函數(shù)關(guān)系式；(2)利用（1)的結(jié)論轉(zhuǎn)變成解不等式．[解]（1）設(shè)剛開始水中雜質(zhì)含量為1，第1次過濾后，y＝1－20%；第2次過濾后，y＝（1－20％）（1－20%)＝(1－20%)2;第3次過濾后，y＝(1－20%）2(1－20％）＝（1－20%)3；第x次過濾后，y＝（1－20％）x?！鄖＝(1－20％）x＝0。8x(x≥1，且x∈N)．(2)由(1)得0.8x〈5％，∴x>log0.80.05＝錯(cuò)誤!≈13.4.-6-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精∴最少需要14次．4．?dāng)M合函數(shù)模型的應(yīng)用【例5】我們知道：人們對(duì)聲音有著不相同的感覺,這與它的強(qiáng)度相關(guān)系，聲音的強(qiáng)度用I（單位：W/m2）表示，但在實(shí)質(zhì)測(cè)量時(shí),常用聲音的強(qiáng)度水平L1表示，它們滿足以下公式：L1L1I0－12·lg≥0,＝1×10，這是人們錯(cuò)誤!平均能聽到的最小強(qiáng)度,是聽覺的初步）．解決以下問題：（1）樹葉沙沙聲的強(qiáng)度是－122，密語的強(qiáng)度是1×101×10W/m－102－82，試分別求出W/m，寂靜的無線電廣播的強(qiáng)度是1×10W/m它們的強(qiáng)度水平；(2)某一新建的小區(qū)規(guī)定:小區(qū)內(nèi)公共場(chǎng)所的聲音的強(qiáng)度水平必定保持在50分貝以下，試求聲音強(qiáng)度I的范圍．[解](1)由題意可知：樹葉沙沙聲的強(qiáng)度是－122，I1＝1×10W/m則錯(cuò)誤!＝1，∴LI1＝10lg1＝0.即樹葉沙沙聲強(qiáng)度水平為0分貝；－1022，密語的強(qiáng)度是I2＝1×10W/m,則錯(cuò)誤!＝102∴LI2＝10lg10＝20，-7-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精即密語聲的強(qiáng)度水平為20分貝；寂靜的無線電廣播的強(qiáng)度是－824，I3＝1×10W/m，則錯(cuò)誤!＝10∴LI3＝10·lg104＝40，即寂靜的無線電廣播的強(qiáng)度水平為40分貝．2)由題意知：0L≤1〈50，即0≤10lg錯(cuò)誤!<50，∴1≤錯(cuò)誤!<105，即10－12≤I〈10－7。故新建的小區(qū)的聲音強(qiáng)度I大于或等于10－12W/m2，同時(shí)應(yīng)小于10－7W/m2.本章用到的數(shù)學(xué)思想方法1.數(shù)形結(jié)合的思想【例6】解不等式錯(cuò)誤!〉x。［思路研究]本題為無理不等式問題，我們還沒有接觸過，若是我們借用函數(shù),設(shè)f（x)＝錯(cuò)誤!，g(x）＝x，爾后在同一坐標(biāo)系中分別畫出它們的圖像，其中f（x）＝錯(cuò)誤!的圖像在g（x）＝x的圖像上方所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍就是所求不等式的解集．［解]以下列圖，在同素來角坐標(biāo)系中分別畫出f(x）＝錯(cuò)誤!和g(x）＝x的圖像，y＝x＋2，由y＝x，-8-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精得兩圖像的交點(diǎn)P(2，2)，由圖像易知f（x）＝錯(cuò)誤!的圖像在g(x）的圖像上方時(shí)對(duì)應(yīng)的x的取值范圍是－2x≤<2，因此不等式的解集為｛x|－2≤x〈2}．2．轉(zhuǎn)變與化歸的思想【例7】設(shè)a∈R，試談?wù)撽P(guān)于x的方程lg（x－1)＋lg(3－x）＝lg(a－x）的實(shí)根個(gè)數(shù)．[解］原方程等價(jià)于錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!由①②得1<x<3.由③得－x2＋5x－3＝a(1〈x<3)．在同一坐標(biāo)系中分別作函數(shù)y＝a的圖像及函數(shù)y＝－x2＋5x－3，x∈（1，3）的圖像，以下列圖．y＝－x2＋5x－3中,當(dāng)x＝1時(shí),y＝1；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝3；當(dāng)x＝錯(cuò)誤!時(shí)，y最大＝錯(cuò)誤!，由圖可知:13(1)當(dāng)a>4或a≤1時(shí)，兩函數(shù)圖像無交點(diǎn)，原方程無實(shí)數(shù)解；-9-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2）當(dāng)a＝錯(cuò)誤!或1<a≤3時(shí),兩函數(shù)圖像有一個(gè)交點(diǎn)，故原方程有一個(gè)解；13(3)當(dāng)3〈a〈4時(shí),兩函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn),故原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．3．分類談?wù)撍枷胗行?shí)責(zé)問題，在建立函數(shù)模型的過程中,可能會(huì)涉及多種說不清楚的情況，此時(shí)，應(yīng)運(yùn)用分類談?wù)摰乃枷?，?duì)它進(jìn)行分類談?wù)?，從而順利地建模．分類?biāo)準(zhǔn)應(yīng)視詳盡情況而定，但要依照“不重不漏”的原則．【例8】我國是水資源比較困窮的國家之一，各地采用價(jià)風(fēng)格控等手段來達(dá)到節(jié)約用水的目的，某市用水收費(fèi)的方法是：水費(fèi)＝基本費(fèi)＋超額費(fèi)＋耗費(fèi)費(fèi)．若每個(gè)月用水量不高出最低限量am3,只付基本費(fèi)8元和每戶每個(gè)月定額耗費(fèi)費(fèi)c元；若用水量高出am3時(shí)，除了付以上的基本費(fèi)和損耗費(fèi)外，高出部分按b元/m3支付超額費(fèi)．已知每戶每個(gè)月的定額耗費(fèi)費(fèi)不高出5元．該市一家庭今年第一季度的用水量和支付花銷以下表所示，依照表中的數(shù)據(jù)求a,b,c。-10-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精月份用水量/m3水費(fèi)/元1月份992月份15193月份2233[思路研究］易知2月份，3月份的用水量已高出了最低限量am3，但1月份的用水量可否已高出最低限量,需要進(jìn)行分類談?wù)摚甗解］設(shè)每個(gè)月用水量為x(m3），支付花銷為y元，則y＝8＋c，0≤x≤a，①，8＋bx－a＋c，x〉a.②由題意知,