厲害了如何用數(shù)學(xué)解構(gòu)太極圖

厲害了！如何用數(shù)學(xué)解構(gòu)太極圖?資料圖一人歷三圣，世歷三古的《周易》經(jīng)傳極深研幾，體大思精，代表著中國古代哲學(xué)的最高智慧。孔子說：“圣人立象以盡意，設(shè)卦以盡情偽，系辭焉以盡其言。變而通之以盡利，豉之舞之以盡神?！薄兑讉?系辭上》解釋說：“乾坤，其《易》之編邪？乾坤成列，而《易》立乎其中矣。乾坤毀，則無以見《易》。《易》不可見，則乾坤或幾乎息矣。是故形而上者謂之道，形而下者謂之器，化而裁之謂之變，推而行之謂之通，舉而錯之天下之民謂之事業(yè)。是故夫象，圣人有以見天下之岐，而擬諸其形容，象其物宜，是故謂之象。圣人有以見天下之動，而觀其會通，以行其典禮，系辭焉以斷其吉兇，是故謂之爻。極天下之岐者存乎卦，豉天下之動者存乎辭，化而裁之存乎變，推而行之存乎通?！币郧ち⑾?，是《周易》會通天道與人道的基本路徑，而太極圖正是體現(xiàn)“一陰一陽”互補(bǔ)原理自治性的最準(zhǔn)確的表現(xiàn)形式。自宋代理學(xué)家周敦頤著《太極圖說》以后，在《周易》闡釋史上，太極圖就具有了獨特的意義。真理總是歷久彌新。我們甚至可以從量子力學(xué)的創(chuàng)始人玻爾與太極圖之間千絲萬縷的聯(lián)系中清晰地體味到太極圖的意義。玻爾努力用太極圖表達(dá)量子場的對應(yīng)原理和并協(xié)原理，并把太極圖刻成徽章懸桂，這至少說明太極圖與玻爾的學(xué)說具有共通性。玻爾的“并協(xié)原理”強(qiáng)調(diào)“互斥即互補(bǔ)”，“對立者是相互補(bǔ)充的”，正是《易傳?系辭上》“一陰一陽之謂道”所彰顯的對立統(tǒng)一的原理?！皩?yīng)原理”解釋量子現(xiàn)象與經(jīng)典物理之間的對應(yīng)關(guān)系，如果否定這一原理與《周易》的哲學(xué)體系之間有任何聯(lián)系，那就意味著否定了《周易》思想所具有的廣度和深度。事實上長期以來，國內(nèi)學(xué)術(shù)界一直存在否定玻爾“并協(xié)原理”與太極圖之間有密切關(guān)系的觀點。這種觀點的存在或多或少都源于對太極圖科學(xué)性認(rèn)識的欠缺，從一個側(cè)面反映由20世紀(jì)以來對中國古代文明缺乏應(yīng)有的敬畏，以及對中國古代哲學(xué)思想的科學(xué)性自信之不足。二太極圖的S曲線，并不是隨意性的美工圖，它實際上貫徹了以勾股定理為基礎(chǔ)的中國古代數(shù)學(xué)智慧。中國人對勾股定理的描述，最少可以上溯至三千年前西周初年的商高，而古巴比倫人應(yīng)用勾股定理，大約在公元前三千年前。公元前六世紀(jì)古希臘人畢達(dá)哥拉斯對勾股定理的證明，使勾股定理在歐洲有了“畢達(dá)哥拉斯定理”的名稱。如果從勾股定理入手，通過單位正方形內(nèi)的內(nèi)切圓，應(yīng)用阿基米德定理的杠桿平衡原理和模糊數(shù)學(xué)的核心思想，可以用一個初等函數(shù)精確地表達(dá)太極圖的S曲線。這一論證將表明，太極圖是可以用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的，并不是無標(biāo)準(zhǔn)方程、無標(biāo)準(zhǔn)幾何圖形的。其意義不僅在于充分表達(dá)了中國太極圖的科學(xué)性，也充分表達(dá)了太極圖反映事物存在和發(fā)展的本根依據(jù)。一般來說，我們認(rèn)為，當(dāng)一條線段繞著它的一個端點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周時，它的另一端的軌跡叫作圓；在同一平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的集合叫圓。圓的定義也可由眾所周知的勾股定理而得，“一個直角三角形兩個直角邊的平方之和等于斜邊的平方”，也就是說，當(dāng)斜邊定長時，兩個直角邊此消彼長的點的集合恰恰就是圓的軌跡。幾何圖形如圖1,代數(shù)表達(dá)式為：a2+b2=c2,或(a/c)2+(b/c)2=1(1)圖1勾股定理和圓的幾何圖(資料圖)我國東漢末的數(shù)學(xué)家趙爽在注《周髀算經(jīng)》時就說：“勾股各自乘，并之為弦實。開方除之，即弦?！壁w爽并依此還創(chuàng)造了“勾股圓方圖”。若用x和y分別表示兩個直角邊與斜邊所對應(yīng)正方形面積的商值，并分別定義這個商值為這個三角形的陽值和陰值：即令x=a2/c2,y=b2/c2則有x+y=1(2)這意味著無論兩個直角邊怎樣變化，其商值之和恒等于“1”，即它們的陽值和陰值之和恒等于“1”。其幾何形式如圖2。圖2:a,bS(0,c),「.x,y6(0,1).x=a2/c2=(c2-b2)/c2=sin2==(1-cos2a)/2:=P(a)a6",+s)y=b2/c2=(c2-a2)/c2=cos2a=(1+cOS2a)/2：=N(a)a6(-°°,+°°)(3)如果說式(1)和圖1是歐幾里得幾何的基石，那么圖2和式(2)則提由了模糊集合的概念，開啟了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展之路。把它們聯(lián)系起來，則有如下概念：圖3勾股定理的本質(zhì)內(nèi)涵是指一個單位直角三角形的斜邊所對應(yīng)的面積恒等于兩個直角邊所對應(yīng)的面積之和。我們假定可以選擇一個特定的城市，如甘肅省張掖市。這個城市由沙漠和綠洲兩部分構(gòu)成，有水即為綠洲，無水則為沙漠，但沙漠面積和綠洲面積之和總不會變。若把張掖這個城市的總面積看作一個單位面積“一”，那么，綠洲面積和沙漠面積之和則恒等于“1”，當(dāng)綠洲面積變大時，沙漠面積就會變小，反之亦然（圖4）。而這個此消彼長的點的集合恰恰就是圓的軌跡。圖4又因為x=1-y,y=1-x,說明陽函數(shù)和陰函數(shù)相反相成、偶對平衡、對立統(tǒng)一，像量子糾纏一樣，總是彼此以對方的存在為依據(jù)，相互糾纏、相互疊加，總值恒等于“1”，即綠洲面積是關(guān)于沙漠面積的偏差值，而沙漠面積是關(guān)于綠洲面積的偏差值，它們的偏差值之和恒等于“1”。然而，張掖的大部分區(qū)域是在綠洲和沙漠之間，就像是在x+y=1這條線段上的點一樣，總處于：0,1］這個區(qū)間內(nèi)，所不同的是相對于莫一個平衡值而言，是綠洲屬性更強(qiáng)一點，還是沙漠屬性更強(qiáng)一點。對于一個系統(tǒng)，我們完全可以在更一單純屬性上，就兩個相反相成的狀態(tài)，進(jìn)行集合分類，就像土壤的含水量可以分為干濕兩個相反相成的集合，經(jīng)濟(jì)運行狀態(tài)也可以分為積累和消費兩個相反相成的集合。大道至簡，簡而言之，就像我們對待一切事物的主觀態(tài)度一樣，都可以以莫一個客觀平衡值，將事物分為正反、白黑、上下、左右、大小、輕重，甚至是好和壞兩個相反相成的狀態(tài)進(jìn)行集合分類（我們可以將此集合分類法記為：T0；）o盡管如此，但事物狀態(tài)的真實存在大多是在黑白的區(qū)間內(nèi)，不是簡單的非白即黑的羅素悖論，而更多的是亦白亦黑，所不同的是黑白大小比例不同而已，這也是模糊數(shù)學(xué)之由來。如此看來，弦、勾股定理和圓的本質(zhì)內(nèi)涵是一致的，動則為圓，靜則為矩，都是關(guān)于“一”的哲學(xué)和科學(xué)。實際上，源于我國魏晉時期的玄學(xué)，已經(jīng)是在先秦易學(xué)思想“一陰一陽之謂道”“道生一，一生二，二生三，三生萬物”關(guān)于陰陽消長、此消彼長的哲學(xué)思辨和《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》關(guān)于圓、勾股定理的數(shù)形學(xué)理分析基礎(chǔ)之上才興起的，它一直深刻地影響著中國后期的文化。中國的水墨畫就是這一思想的典型代表，如果說把黑白定義為0和1或者陰和陽，那么，大千世界就會隨著墨香的濃淡深淺在黑白之間，在[0,1]的區(qū)間內(nèi)，在陰陽此消彼長的變化中惟妙惟肖地飄逸呈現(xiàn)由來，把人帶入天地間的無限遐想之中。從這個角度講，我們完全有理由說，中國的水墨畫就是一張陰陽圖，就是一張模糊數(shù)學(xué)的集合圖。不僅如此，它也是辯證唯物主義“一分為二”的數(shù)學(xué)模型圖，視事物為一個相反相成的矛盾統(tǒng)一體T0J,矛盾著的兩個方面相互作用此消彼長推動事物的發(fā)展。三在圖2中，如果以P點為圓心，以該正方形邊長的1/2長度為半徑，作該正方形的內(nèi)切圓，則有圖5。圖5-1圖5-2在圖5中，若把AB視為一根長度為“1”的杠桿，把C、D兩點的長度y2-y和y-y1分別視為杠桿兩端重物的重量，根據(jù)杠桿原理，則存在有：AR=1-x,BR=x.x6[0,1]AR/BR=CQ/DQ,即(1-x)/x=(y-y1)/(y2-y).y=xy1+(1-x)y2(4)設(shè)C(x,y1),D(x,y2),則C,D滿足圓方程：(x-1/2)2+(y-1/2)2=1/4其中y1=1/2-,y2=1/2+代入式(4)得中國太極圖S曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：y=1/2+(1-2x),x€[0,1].(5)令y'=0,即得：x1=1/2-,x2=1/2+,則y分別有最大值3/4和最小值1/4,由此可確定由中國標(biāo)準(zhǔn)太極圖(圖7)中的拐點坐標(biāo)分別為(1/2-,3/4)和(1/2+,1/4)，“魚眼”坐標(biāo)分別為(1/2-,1/2)和(1/2+,1/2)。圖7式(5)所表達(dá)的中國太極陰陽標(biāo)準(zhǔn)圖(陰陽面積之和為1,陰陽反向值之和為1)式(4)說明了圓和正方形之間的關(guān)系，杠桿和重物盡管各屬于兩個不同的系統(tǒng)，但距離和重物兩個系統(tǒng)之間始終圍繞著一個力矩相等的平衡點保持著一個新系統(tǒng)的平衡，即盡管左右兩邊力臂長短不同，受力大小不同，但兩個系統(tǒng)陰陽值的比例相等，這既是阿基米德的杠桿原理，也是桿秤稱重物的原理，如圖6。對此，我國先秦時期的墨子早已有詳細(xì)論述。圖6式(5)說明當(dāng)把直角坐標(biāo)系中的x+y=1這條直線放在其內(nèi)切圓內(nèi)時，該直線則變形為式(5)的S曲線，如圖7。四世界猶如一個單位直角三角形，兩個直角邊有一個相反相成的屬性，像量子糾纏一樣，相互疊加、偶對平衡存在于一個事物之中；這個相反相成的屬性此消彼長、偶對平衡，但都始終恒等于“1”，從這個角度講，中國太極圖及其思想表達(dá)的核心就是偶對平衡、對立統(tǒng)一，就是關(guān)于“存在者之存在”的幾何表達(dá)，是對“存在”之根據(jù)的表述，是“beingofbeings”中的“being"，是“一即一切”中的“一”,它源于勾股定理，去口早已超越了勾股定理，不僅表達(dá)了歐拉公式的思想(eiee-i0=(cos0+isin0(cos0-isin0)=cos20+sin20=1),并且早已開啟了相對世界的大門，表達(dá)了在近現(xiàn)代才發(fā)展起來的現(xiàn)代數(shù)學(xué)模糊集合的重要思想?！跋摇辈荒艿韧凇靶保鋵嵅⒉弧靶?。梁漱溟(資料圖)英國學(xué)者李約瑟曾質(zhì)疑中國古代技術(shù)為什么沒有產(chǎn)生科學(xué)，近代大儒梁漱溟先生則認(rèn)為中國文化是早熟的文化。有的時候，可能真會覺得，真理之所以難以被人普遍接受，就是因為太簡單。在人們追逐物欲的物理世界里，后物理學(xué)顯得如此孤傲和凋零。但是，正如《論語?子張》中孔子的弟子子夏所說：“博學(xué)而篤志，切問而近思?！薄抖Y記?大學(xué)》說：“