直線與圓的位置關(guān)系-2022年新九年級(jí)數(shù)學(xué)暑假課（蘇科版）解析版

第07講直線與圓的位置關(guān)系O【學(xué)習(xí)目標(biāo)】.理解并掌握直線與圓的各種位置關(guān)系；.理解切線的判定定理、性質(zhì)定理和切線長(zhǎng)定理，了解三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心的概念，并熟練掌握以上內(nèi)容解決一些實(shí)際問(wèn)題；2【基礎(chǔ)知識(shí)】直線與圓的位置關(guān)系(1)直線和圓的三種位置關(guān)系：①相離：一條直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn).②相切：一條直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn).③相交：一條直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線.(2)判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)。。的半徑為r,圓心。到直線/的距離為乩①直線/和。0相交=4＜，②直線/和0。相切="=，③直線/和。。相離二.切線的性質(zhì)(1)切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn).③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心.(2)切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線過(guò)圓心；②直線過(guò)切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直.(3)切線性質(zhì)的運(yùn)用由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系.簡(jiǎn)記作：見(jiàn)切點(diǎn)，連半徑，見(jiàn)垂直.

三.切線的判定(1)切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.(2)在應(yīng)用判定定理時(shí)注意：①切線必須滿足兩個(gè)條件：心經(jīng)過(guò)半徑的外端；從垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線.②切線的判定定理實(shí)際上是從“圓心到直線的距離等于半徑時(shí)，直線和圓相切”這個(gè)結(jié)論直接得出來(lái)的.③在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過(guò)圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長(zhǎng)等于半徑，可簡(jiǎn)單的說(shuō)成“無(wú)交點(diǎn)，作垂線段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過(guò)該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡(jiǎn)單地說(shuō)成“有交點(diǎn)，作半徑，證垂直”.四.切線的判定與性質(zhì)(1)切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn).③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心.(2)切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.(3)常見(jiàn)的輔助線的：①判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過(guò)圓心作這條直線的垂線”；②有切線時(shí)，常?！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑”.五.弦切角定理(1)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角.(2)弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.如右圖所示，直線PT切圓O于點(diǎn)C,BC、AC為圓O的弦，則有NPCA=NPBCCZPCA為弦切T、角). 六.切線長(zhǎng)定理(1)圓的切線長(zhǎng)定義：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).

（2）切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角.（3）注意：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量.（4）切線長(zhǎng)定理包含著一些隱含結(jié)論：①垂直關(guān)系三處：②全等關(guān)系三對(duì)；③弧相等關(guān)系兩對(duì)，在一些證明求解問(wèn)題中經(jīng)常用到.七.切割線定理（1）切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng).幾何語(yǔ)言：切。O于點(diǎn)T,PBA是。0的割線...PT的平方（切割線定理）（2）推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等.幾何語(yǔ)言：?：PBA,POC是00的割線：.PD'PC=PA'PB（切割線定理推論）（割線定理）由上可知：Pli=PA'PB=PC'PD.A.三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（1）內(nèi)切圓的有關(guān)概念：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn).（2）任何一個(gè)三角形有且僅有一個(gè)內(nèi)切圓，而任一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形.（3）三角形內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角.【考點(diǎn)剖析】一.直線與圓的位置關(guān)系（共3小題）（2022?祁江區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知。。的直徑是8,圓心。到直線a的距離是3,則直線a和。。的位置關(guān)

系是（ ）D.外切A.相交 B.相離 C.D.外切【分析】直接根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行解答即可.【解答】解：:。。的直徑是8,Q0的半徑是4.圓心0到宜線a的距離是3.二直線“和0。相交.故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，即設(shè)。。的半徑為r,圓心。到直線/的距離為d,當(dāng)dVr時(shí)，直線與圓相交.（2021秋?江北區(qū)期末）已知圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，且圓心到直線的距離為4,則該圓的半徑可能為（）A.2 B.3 C.4 D.5【分析】根據(jù)直線和圓相交，則圓心到直線的距離小于圓的半徑，即可得到問(wèn)題答案.【解答】解：???圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，且圓心到直線的距離為4,該圓的半徑＞4,故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，熟悉宜線和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系.同時(shí)注意圓心到直線的距離應(yīng)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵.（2021秋?信都區(qū)期末）半徑為5的四個(gè)圓按如圖所示位置擺放，若其中有一個(gè)圓的圓心到直線/的距離為4,則這個(gè)圓可以是（ ）【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系解答即可.【解答】解：。。2、。。3、。。4是四個(gè)半徑為5的等圓，圓心到直線I的距離為4是003，故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是找出這個(gè)圓.

二.切線的性質(zhì)（共2小題）（2022春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）如圖，尸8是。。的切線，A,8是切點(diǎn)，點(diǎn)。為上一點(diǎn)，若/尸C.20°D.C.20°D.40°【分析】連接OA、OB，利用四邊形內(nèi)角和可求出N4O從根據(jù)圓周角定理即可得出答案./.ZAOB=360°-ZPAO-ZPBO-ZP=360°-90°-90°-40°=140°,1AZACB=iZAOfi=70°,故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)及圓周角定理是解題關(guān)鍵.（2022春?南岸區(qū)月考）如圖，A8是OO的直徑，點(diǎn)C在AB延長(zhǎng)線上，。。與。0相切于點(diǎn)O,連接A。，若NACD=20°,則NC4O的度數(shù)等于（A.20°DB.25°C.A.20°DB.25°C.35°D.45°【分析】連接O。，構(gòu)造直角三角形，利用OA=O。，可求得NOD4=35°,從而得出NC4C的度數(shù).【解答】解：如圖，連接OC,?.?(7。與。。相切于點(diǎn)。，：.ZODC=90°,：.ZCOD+ZACD=90°,VZACD=20°,：.ZCOD=90Q-20°=70°,，：OA=OD,：.ZODA=ZCAD,,/ZCOD=ZODA+ZCAD,i/.ZCAD=iZCOD=35",故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，熟記切線的性質(zhì)及三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.三.切線的判定（共2小題）（2022?東明縣一模）已知，在RtZVlBC中，NBAC=90°,以A8為直徑的。。與8c相交于點(diǎn)E,在AC上取一點(diǎn)。，使得￡>E=4Q,（1）求證：OE是。0的切線.（2）當(dāng)8c=10,40=4時(shí)，求。0的半徑.【分析】（1）連接?！?、DE,證明△A。。/△EOO,得到/OEOn/BACugO。，證明結(jié)論;(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NAOQ=NEOQ,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到N8EO=NEO￡>,得到OD//BC,求出OD,根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.【解答】(1)證明：連接OE、OD,在△AOO和△EOD中，0A=0EZM=DE，0D=0D:?△AODQREOD(SSS),.,.ZO￡D=ZBAC=90°,???DE是OO的切線；(2)解：V/\AOD^^EOD,：.ZAOD=ZEOD,??OB=OE,:?/B=NOEB,:NAOE=NB+NOEB,:?NBEO=NEOD,J.OD//BC,又AO=BO,1

：.OD=^BC=5,由勾股定理得，AO=>JOD2-AD2=3,則。。的半徑為3.ADC【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理的應(yīng)用，掌握經(jīng)過(guò)半徑的外端目.垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵.(2021秋?玉林期末)AB是。。的弦，力為半徑0A的中點(diǎn)，過(guò)。作C￡)_LOA交弦AB于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)F,且CE=CB.(1)求證：8C是。。的切線；(2)連接4凡BF,求乙48尸的度數(shù).【分析】(1)連接。8,有圓的半徑相等和已知條件證明NO8C=90°即可證明8c是。。的切線；(2)連接OF,AF,BF,首先證明△OAF是等邊三角形，再利用圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)圓心角的一半即可求出NA8尸的度數(shù)：【解答】(1)證明：連接08VOB=OA,CE=CB,：.ZA=ZOBA,NCEB=NABC又?.?CO_LOA:.NA+/AED=/A+NCE8=90°：.ZOBA+ZABC=90°：.OB±BC是。。的切線.(2)解：連接OF,AF,BF,'：DA=DO,CDLOA,：.AF=OF,"：OA=OF,-'?￡\OAF是等邊三角形，：.ZAOF=60Q：.ZABF=^ZAOF=30【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.四.切線的判定與性質(zhì)（共2小題）（2021秋?源匯區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB為。。的切線，8。是NA8C的平分線，以點(diǎn)。為圓心，D4為半徑的。。與AC相交于點(diǎn)E.求證：8c是。D的切線.【分析】作￡>F_LBC,證明出。尸=AO即可.【解答】證明：過(guò)點(diǎn)。作。FL8c于點(diǎn)尸，???A8為。。的切線，VZBAD=90°,又：打。平分/A8C,：.AD=DF,：AO是的半徑，DFVBC,是。。的切線.【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的判定和性質(zhì)，掌握切線的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.（2021秋?臺(tái)江區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，48為半圓的直徑，。為圓心，A。平分NBAC交弦BC于F,DELAC,垂足為E.（1）求證：OE?與00相切;(2)若DF=2,AF=6,求。。的半徑.【分析】(1)連接0。，推出OO〃A￡,推出0D_L￡>￡,根據(jù)切線判定推出即可;nonri 1rpap三角形的性質(zhì)得到J=LDEAD⑵根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到就=第一，rpap三角形的性質(zhì)得到J=LDEAD設(shè)CF=3k,DE=4k,得到CH=4k,BC=8k,BF=5k,根據(jù)相交弦定理得到&=空，求得。E=C〃=￥，根據(jù)勾股定理得到4E=VAD2-D2=率,即可得到結(jié)5 5 □論.【解答】(I)證明：連接OQ,:04=00,：.ZODA=ZOAD,???A￡＞平分NBAC,：.ZCAD=ZOAD,：.ZCAD=ZODA,：.OD//AC,VAE±DE,JODLDE,???。。為半徑，JOE是OO切線；(2)VOD//AC,???△ACFs^DHF,?:NCAD=NBAD,：.CH=BH,,:AO=OB,o”=1ac，VCF±AE,DELAE.：.CF//DEf:AACFsAAED,.CF_4F_6_3'DE~AD~8~4設(shè)CF=3匕DE=4k,:?CH=4k,工BC=8k,；?BF=5k,:,AF，DF=CF?BF,：.12=155，:?DE=CH=等，5：.AE=y/AD2-D2=卑,'：DH=：AC,4J5：.CE=DH=^,5

：.AC=50H=%C=誓,2 5OD=OH+DH=2y/5>二0。的半徑為2js.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，相交弦定理，勾股定理，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.五.弦切角定理（共1小題）10.如圖，△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。交BC于E,過(guò)B作。。的切線，交AC的延長(zhǎng)線于D.求1證：/CBD=^/CAB.【分析】連接AE,利用等腰三角形的性質(zhì)易證/BAE=NCAE=：/CA8,由弦切角定理可得/C8O=1/BAE,所以NC8O=1/CA8.【解答】證明：連接AE,???A8是圓的直徑，：.AE±BC,'：AB=AC,...AE平分N8AC,NBAE=NCAE=^ZCAB,是。。的切線，:.NCBD=NBAE,：.ZCBD=^ZCAB.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弦切角定理的運(yùn)用、圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的添加輔助線，利用等腰三角形的性質(zhì)解題.六.切線長(zhǎng)定理（共3小題）（2021秋?中山市期末）如圖，OO內(nèi)切于四邊形A8CD,AB=10,BC=1,CD=8,則AO的長(zhǎng)度為DA.8 B.9 C.10 D.11【分析】根據(jù)圓外切四邊形的性質(zhì)對(duì)邊和相等進(jìn)而得出AD的長(zhǎng).【解答】解：:。。內(nèi)切于四邊形A8CD,：.AD+BC=AB+CD,V4B=10,BC=1,CD=8,?"￡>+7=10+8,解得：AD=\\.故選：D.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓外切四邊形的性質(zhì)，得出對(duì)邊和直接關(guān)系是解題關(guān)鍵.（2021秋?上思縣期末）如圖，P為。。外一點(diǎn)，PA.尸8分別切。0于A、B,CO切。。于點(diǎn)E分別交網(wǎng)、PB于點(diǎn)、C、D,若%=5,則△PC。的周長(zhǎng)為（ ）A.5 B.7 C.8 D.10【分析】由切線長(zhǎng)定理可得以=P8,CA=CE,DE=DB,由于△PCO的周長(zhǎng)=PC+CE+ED+P￡）,所以△PCD^]}^=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA,故可求得三角形的周長(zhǎng).【解答】解：：以、尸8為圓的兩條相交切線，：.PA=PB,同理可得：CA=CE,DE=DB.,:4PCD的周長(zhǎng)=PC+CE+ED+PD,：.APCD的周長(zhǎng)=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA,.?.△PCD的周長(zhǎng)=10,故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)以及切線長(zhǎng)定理的運(yùn)用.（2021秋?無(wú)為市校級(jí)月考）如圖，PA和尸8是。O的兩條切線，A,B是切點(diǎn).C是弧AB上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C畫(huà)。。的切線，分別交力和尸B于。，￡兩點(diǎn)，已知必=PB=5cm,求△尸。E的周長(zhǎng).DADA【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到%=P8,DA=DC,EB=EC,根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案.【解答】解：???以和P8是。0的兩條切線，：.PA=PB,同理可得：DA=DC,EB=EC,：.^PDE^^^=PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10（cm）.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線長(zhǎng)定理，從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等.七.切割線定理（共2小題）（2021秋?襄都區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)P是。。直徑A8的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC切。。于點(diǎn)C,已知08=3,PB=2.則尸C等于（ ）AA.2 B.3 C.4 D.5【分析】根據(jù)題意可得出尸不=尸8?左，再由08=3,尸8=2,則辦=8,代入可求出PC.【解答】解：：PC、PB分別為。。的切線和割線，J.PC^^PB-PA,?.?08=3,28=2,：.PC2=PB-PA=2X^=\6,：.PC=4.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切割線定理，熟記切割線定理的公式PC2=ps.用.（2020秋?崇川區(qū)月考）如圖，P是圓。外的一點(diǎn)，點(diǎn)B、。在圓上，PB、PO分別交圓。于點(diǎn)A、C,如果4P=4,AB=2,PC=CD,那么PD=4展R【分析】根據(jù)“從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等”得1 -至lj：PA-PB=PC*PD,B|JPA'PB=^PD~.【解答】解：如圖，：AP=4,AB=2,PC=CD.：.PB=AP+AB=6,PC=^PD.又二PA'PB=PC*PD,.,.4X6=ipD2,則PD=4V3.故答案是：473.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切割線定理.（1）切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng).（2）推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等.八.三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（共4小題）（2021秋?大余縣期末）如圖，。。是△4BC的內(nèi)切圓，若NA=70°,則NBOC=（ ）A.125° B.115° C.100° D.130°【分析】利用三角形內(nèi)心性質(zhì)得到/O8C=：/A8C,ZOCB= 則根據(jù)三角形內(nèi)角和得到NO8C+ZOCB=i(180°-ZA),然后利用三角形內(nèi)角和得到NBOC=90°+1zA,再把NA=70°代入計(jì)算即可.【解答】解：丫。。是△ABC的內(nèi)切圓，.?.08平分NABC,0c平分NACB,：.ZOBC=^ZABC,ZOCB=^ZACB,1 1:?NOBC+/OCB=W(/A8C+NAC8)*(180°-NA),/.ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)=180°-i(180°-NA)=90°+；NA=180。+1x70°=125°.故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角.也考查了等邊三角形的性質(zhì).(2021秋?信都區(qū)期末)已知△ABC中，ZACB=90",CD、CE分別是△ABC中線和高線，則( )A.。點(diǎn)是△ABC的內(nèi)心 B.。點(diǎn)是△ABC的外心C.E點(diǎn)是△ABC的內(nèi)心 D.E點(diǎn)是△ABC的外心【分析】根據(jù)直角三角形的外心為宜角三角形斜邊的中點(diǎn)即可解決問(wèn)題.【解答】解：在△ABC中，NACB=90°,是△ABC中線，二。點(diǎn)是AABC的外心.故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形外接圓與外心，解決本題的關(guān)鍵是掌握直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn).(2021秋?涼山州期末)如圖，AB是OO的直徑，點(diǎn)M是△ABC的內(nèi)心，連接8M并延長(zhǎng)交4C于點(diǎn)F交。。于點(diǎn)E,連接OE與AC相交于點(diǎn)。.(1)求證：OD=加；(2)求證：EM=EA.【分析】(1)由三角形內(nèi)心的性質(zhì)得出NA8E=NC8E,由圓周角定理得出及=冠，證出CO=OA,由三角形中位線定理可得出結(jié)論；(2)連接AM,證出/EMA=NEAM.由等腰三角形的判定可得出結(jié)論.【解答】(1)證明：?.,點(diǎn)M是△A8C的內(nèi)心，:.NABE=NCBE,二度=屈，:.CD=DA,又.：OA=OB,是△4BC的內(nèi)心，：.ZBAM=ZCAM,NABE=NCBE,"：ZEMA=ZABE+ZBAM,ZEAM=ZCAE+ZCAM,NCBE=NCAE,

：.ZEMA=ZEAM.：.EM-=EA.【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，垂徑定理，等腰三角形的判定，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.(2022春?定遠(yuǎn)縣校級(jí)月考)已知：如圖，。。是RtZVlBC的內(nèi)切圓，ZC=90°.若4c=12cm,BC=9cm,求0。的半徑r；若AC=b,BC=a,AB=c,求。。的半徑r.【分析】首先設(shè)AC、AB.BC與。0的切點(diǎn)分別為。、E、F；易證得四邊形OFCZ)是正方形；那么根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得：CD=CF=^(AC+BC-AB),由此可求出r的長(zhǎng).【解答】解：如圖；在RtZXABC,ZC=90°,AC=12cm,BC=9c/n；根據(jù)勾股定理A8=y/AC2+BC2=15c/n；四邊形OFCQ中，OD=OF,ZODC=ZOFC=ZC=90"；則四邊形OFC3是正方形：由切線長(zhǎng)定理，得：AD=AE,CD=CF,BE=BF；1則CD=CF=W(.AC+BC-AB)；即：=三(12+9-15)=3.當(dāng)AC=b,BC=a,AB=c,由以上可得：CD=CF=iCAC+BC-AB)；即：/?=i(a+b-c).【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查直角三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)及半彳仝的求法.利用切線長(zhǎng)定理得出四邊形OFC。是正方形是解題關(guān)鍵.9【過(guò)關(guān)檢測(cè)】選擇題（共5小題）（2022春?岳麓區(qū)月考）已知OO的直徑AB與弦AC的夾角為25°,過(guò)點(diǎn)C作。。的切線交A8的延長(zhǎng)A.25° B.30° C.35° D,40°【分析】連接OC，根據(jù)切線性質(zhì)求出NOC￡>=90°,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出NOCA=N4=25°,根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出NCOC,在△OCO中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可.【解答】解：連接。C，?；OA=OC,N048=25°,：.ZCAB=ZOCA=25a,:.ZCOD=NCAB+/OCA=50°,'：CD切OO于C,ZOCD=90a,/.ZADC=180--90°-50°=40°,故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目.(2021秋?大余縣期末)如圖，。。是△4BC的內(nèi)切圓，若NA=70°,則N80C=( )【分析】利用三角形內(nèi)心性質(zhì)得到NO8C= NOCB= 則根據(jù)三角形內(nèi)角和得到NO8C+(180°-NA),然后利用三角形內(nèi)角和得到NBOC=90° 再把NA=70°代入計(jì)算即可.【解答】解：:。。是△ABC的內(nèi)切圓，.?.08平分NA8C,0c平分NAC8,11ZOBC=/.ZOBC+ZOCB=(NA8C+NAC8)=；(180°-N4),1 1 1AZBOC=180°-(ZOBC+Z(?CB)=180°一米180°-NA)=90°+/A=180°4-^x70°=125°.故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角.也考查了等邊三角形的性質(zhì).(2021秋?建鄴區(qū)期末)如圖，若OO的半徑為6,圓心O到一條直線的距離為3,則這條直線可能是A.l\ B.12 C./3 D./4【分析】直接根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得出結(jié)論.【解答】解：：。。的半徑是6,圓心。到直線/的距離是3,6>3,.?.直線/與。。相交.故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，熟知設(shè)。。的半徑為小圓心。到直線/的距離為d,當(dāng)d時(shí)直線/和。。相交是解答此題的關(guān)鍵.（2021秋?濱?？h期末）如圖，以點(diǎn)O為圓心作圓，所得的圓與直線a相切的是（ ）A.以O(shè)A為半徑的圓 B.以08為半徑的圓C.以O(shè)C為半徑的圓 D.以。。為半徑的圓【分析】根據(jù)宜線與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷.【解答】解：???OD_La于。，???以點(diǎn)。為圓心，OC為半徑的圓與直線"相切.故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了宜線與圓的位置關(guān)系：判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)。。的半徑為r,圓心。到直線/的距離為d.若直線/和。。相交=d〈r；直線/和。O相切=d=r；直線/和。O相離（2021秋?蘭山區(qū)期末）等邊三角形的內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑和高的比為（ ）A.3：2：1 B.1：2：3 C.2：3：1 D.3：1：2【分析】如圖，0。為△ABC的內(nèi)切圓，設(shè)。。的半徑為r,作于〃，利用等邊三角形的性質(zhì)得平分NBAC,則可判斷點(diǎn)。在A”上，所以O(shè)H=r,連接08,再證明OA=OB=2r,則A”=3r,所以O(shè)H：OA：AH=1：2：3.【解答】解：如圖，OO為aABC的內(nèi)切圓，設(shè)。。的半徑為r,作A”_LBC于",???△ABC為等邊三角形，平分N8AC,即/&4〃=30°,二點(diǎn)。在A”上，：.OH=r,連接0B,；0。為△A8C的內(nèi)切圓，.?.NA8O=NC8O=30°,：.OA=OB.在 中，OB=2OH=2r,：.AH=2r+r=3r,：.OH：OA：AH=\t2：3,即等邊三角形的內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑和高的比為1：2：3.故選：B.A【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等：三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角.也考查了等邊三角形的性質(zhì).二.填空題（共6小題）（2021秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，。。的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,4）,直線AB為0O的切線，B為切點(diǎn),則B點(diǎn)的坐標(biāo)為 （一次，1）或（一，1）.【分析】設(shè)。。交y軸于點(diǎn)C,連接08、BC,可證明△08C為等邊三角形，過(guò)8作8。_Lx軸于點(diǎn)。，利用直角三角形的性質(zhì)可求得8。、OD,可求得8點(diǎn)坐標(biāo).【解答】解：設(shè)0O交y軸于點(diǎn)C，連接08、BC,過(guò)B作軸于點(diǎn)。，.?半徑為2,A（0,4）,??OC=2,??C為。4中點(diǎn)，JAB切。。于點(diǎn)8,??0B1AB,:?BC=0C=2,??△8OC為等邊三角形，?,NBOC=60°,，N8O￡>=30°,在RtZ\8O。中，BD=^B=1,OB=^OB=73,，兩切點(diǎn)8的坐標(biāo)為（一H，1）或（H，1）,故答案為：（一百，1）或（百，1）.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查切線的性質(zhì)，掌握過(guò)切點(diǎn)的半徑與切線垂直是解題的關(guān)鍵.（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知正三角形的內(nèi)切圓的半徑為r,外接圓的半徑為R,則r：R=1；2.【分析】作出輔助線OD、OE,證明△A。。為直角三角形且NOAC為30°,即可求出O。、OA的比.【解答】解：如圖，連接0。、0E；因?yàn)锳3、AC切圓。與E、D,所以O(shè)ELAB,ODLAC,在RtAAEO和RtAADO中，710=A0￡0=D0：./^AEO^AADO(HL),故NDAO=NEAO：又「△ABC為等邊三角形,：.ZBAC=60°，1.".ZOAC=60ox1=30°,：.OD：AO=\：2.等邊三角形的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的比是1：2.故答案為：1：2.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形內(nèi)心與外心的知識(shí)，找到直角三角形，將二角形內(nèi)切圓和三角形外接圓聯(lián)系起來(lái)是解題的關(guān)鍵.(2022?越秀區(qū)校級(jí)一模)如圖，A8是。。的直徑，BC是。。的切線，AC與。。交于點(diǎn)。，若8c=3,AD=浮則AB的長(zhǎng)為4□【分析】利用切割線定理、切線的性質(zhì)、勾股定理即可得出.【解答】解：是。。的切線，:.Bd=CD，CA,即32=0(CD+DA),即32=C￡>?(CO+崇，(CD>0),Q解得CD=(：.AC=5,是。。的切線，：.AB±BC,由勾股定理可得：AB=yjAC2-BC2=V52-32=4-故答案為：4.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切割線定理、切線的性質(zhì)、勾股定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握切割線定理、切線的性質(zhì)、勾股定理.（2022?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）如圖，已知NAOB=30°,M為OB邊上任意一點(diǎn)，以M為圓心，2cm為半徑作OM,當(dāng)OM=4cm時(shí)，與OA相切.【分析】作于點(diǎn)〃，如圖，根據(jù)切線的判定方法得到當(dāng)時(shí)，0M與。A相切，然后利用含30度的宜角三角形三邊的關(guān)系得到OM=4cm【解答】解：作于點(diǎn)H,如圖，當(dāng)M”=2cm時(shí)，0M與。4相切，因?yàn)镹O=30°,所以此時(shí)OM=2MH=4cm,即OM=4cm時(shí)，與OA相切.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.（2022?越秀區(qū)校級(jí)模擬）如圖，PA,PB分別切。。于點(diǎn)4,B,ZP=70°,則/ABO=35°【分析】由切線的性質(zhì)得到O4J_用，PA=PB,由等腰三角形的性質(zhì)求得乙48P,即可求出NA8O.

【解答】解：???R1，PB分別切0O于點(diǎn)A,B,：.OA1PA,pa=pb,：.ZPBO=9(y,VZP=70",NABP=NBAP=180NABP=NBAP=180；"180°-70°c.o 1 =8ZABO=ZPBO-ZABP=90°-55°=35°,故答案為：35°.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)健.（2022?玉環(huán)市一模）如圖，已知。。內(nèi)切于RlZXABC,ZC=90°,8c邊上切點(diǎn)為點(diǎn)。.作0。的直徑OE,連結(jié)AE并延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)F,若NAR7=45°,FD=2,則A8的長(zhǎng)為5.【分析】記0。與邊A8、AC的切點(diǎn)為“、G,連接O”、OG,易得出CD、CG、AC.4G長(zhǎng)，由切線長(zhǎng)定理可得A"=AG,BD=BH,設(shè)BF=x,根據(jù)勾股定理列方程即可求出x,進(jìn)而得到AB長(zhǎng).【解答】解：記。。與邊A8、AC的切點(diǎn)為“、G,連接0”、OG,：。。內(nèi)切于RtaABC,ZC=90°,ZACB=ZOGC=ZODC=90°,BH=BD,AH^AG,二四邊形。DCG是矩形，在Rt^E￡＞尸中，NA尸C=45°,則。E=Z)/=2,

AOD=OG=\,矩形OCCG是正方形，：.CD=CG=\,：.CF=2+\=3,在Rt/XACF中，NAFC=45°,AC=CF=3,：.AG=3-l=2=AH,設(shè) 貝lj8O=8"=2+x,AB=2+x+2=4+x,BC=3+x,在RtZXABC中，32+（3+x）2=（4+x）2,；.x=l,：.AB=5.故答案為：5.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理以及勾股定理等，解題關(guān)鍵是熟練使用切線長(zhǎng)定理.三.解答題（共10小題）（2022?富平縣一模）如圖，已知直線出交。。于A、B兩點(diǎn),AE是。。的直徑，點(diǎn)C為。。上一點(diǎn),且AC平分NB4E.（1）過(guò)點(diǎn)C作。。的切線交BP于點(diǎn)O,求證：CD1M；（2）若。。的半徑為5,48=6,求8。的長(zhǎng).【分析】（1）連接OC,證明OC與AP平行即可.（2）過(guò)點(diǎn)O作OFL4B交8P于點(diǎn)凡易證四邊形OCOF為矩形，，進(jìn)而可求出8。的長(zhǎng).【解答】（1）證明：如圖，連接OC,：.OA=OC,NOCA=NOAC,?.?AC平分：.ZDAC=ZCAO,；?NDAC=NOCA,：.PA//OC.???。。為。。的半徑，co為。。的切線，；?OC工CD,：.CD.LPA.(2)如圖，過(guò)點(diǎn)。作。尸，48交8尸于點(diǎn)尸,：.AF=BF=^AB,NOFD=90°,由(1)可知/OC￡>=NCD4=90°,...四邊形。COF為矩形，:.DF=OC=OA,DF=CD,1/.BD=DF+BF=OA+AB=5+^x6=8.【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)與圓的性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理的應(yīng)用及切線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.(2020秋?佳木斯期末)已知A8是。0的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，48=4,BC=2,「是。。上半部分的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP,CP.(1)如圖①，AOPC的最大面積是4；(2)如圖②，延長(zhǎng)PO交。。于點(diǎn)。，連接08,當(dāng)CP=OB時(shí)，求證：CP是。。的切線.【分析】(1)在△OPC中，底邊OC長(zhǎng)度固定，因此只要0C邊上高最大，則△OPC的面積最大；觀察圖形，當(dāng)OPLOC時(shí)滿足要求：(2)連接AP,BP通過(guò)可求得OPJ_尸C,從而求得PC是。。的切線.【解答】(1)解：'：AB=4,：.OB=2,OC=OB+BC=4.在△OPC中，設(shè)OC邊上的高為6,,:S&opc=^OC*h=2h,當(dāng)h最大時(shí)，S^opc取得最大值.觀察圖形，當(dāng)OPLOC時(shí)，h最大,如答圖1所示：此時(shí)萬(wàn)=半徑=2,Saopc—2X2=4....△OPC的最大面積為4,故答案為:4.(2)證明：如答圖②，連接AP,BP.D圖②:.NA=NO=ZAPD=ZABDf??例=用，???希=曲：.AP=BDt■:CP=DB,：.AP=CP9：.NA=NC,在△APB與△CPO中，(AP=CP=，C,[AB=CO:?△APBQ4CPO(SAS),:./APB=/OPC,TAB是直徑，AZAPB=90°,/.ZOPC=90°,：.DP±PC,???QP經(jīng)過(guò)圓心，???PC是OO的切線.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵.(2022?泗陽(yáng)縣一模)如圖，A3是0O的直徑，射線BC交。。于點(diǎn)。，E是劣弧AO上一點(diǎn)，且屈=龐,過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F,延長(zhǎng)/E和BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G.(1)證明：G尸是OO的切線；(2)若4G=6,GE=6y/i，求AGOE的面積.E.E.【分析】（1）連接OE,由愈=龐知N1=N2,由/2=/3可證OE〃BF,根據(jù)BFLGF得OELGF,得證；（2）設(shè)OA=OE=r,在Rtz^GOE中由勾股定理求得r=3,即0E=3,再根據(jù)三角形的面積公式得解.【解答】解：（1）如圖，連接OE,V4E=DE./.Z1=Z2,；N2=N3,.\Z1=Z3,:.OE//BF,,:BFLGF,J.OEVGF,；.GF是。。的切線；(2)設(shè)OA=OE=r,在Rt/XGOE中，'：AG=6,GE=60,(60)2+/,二由C)g2=GE2+OE2可得(6+r)2(60)2+/,解得：r=3,即OE=3,則Sagoe=}OE?GE=ix3x6y/2=90.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查切線的判定、圓周角定理、勾股定理及平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定是關(guān)鍵：連接半徑，證明半徑與直線垂直.(2022?蘭溪市模擬)如圖，4B為。。的直徑，延長(zhǎng)4B至點(diǎn)。，CO切。。于點(diǎn)C,點(diǎn)8是注1的中點(diǎn),弦CF交AB于點(diǎn)、E,連結(jié)。尸、BC,過(guò)B點(diǎn)作BG_LC。于點(diǎn)G.(1)若/BCO=28°,求/尸的度數(shù)；(2)若C尸=4。￡。0的半徑為百，求8G的長(zhǎng).【分析】(1)連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC_LCC,進(jìn)而求出NOC8,根據(jù)直角三角形的兩銳角互余計(jì)算即可；(2)根據(jù)勾股定理分別求出?！?、EC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出證明△O8Gs/\￡)OC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可.【解答】解：(1)連接OC,,:CD切。。于點(diǎn)C,J.OCVCD,；NBCO=28°,：.ZOCB=9Q°-28°=62°,'：OB=OC,，NOBC=NOCB=62°,/.ZBOC=180°-62°X2=56",???點(diǎn)8是日的中點(diǎn)，BC=BF'：.NBOF=NBOC=56°,OBVCF,：.ZF=90°-56°=34°；(2)VOB1CF,1：.CE=EF=^CF,VCF=4OE,：?EC=2OE,設(shè)OE=m,則EC=2m,由勾股定理得：OC=JOE?+EC2=叵,Voc=乘,*?/w=1?：/OEC=/OCD=9U°,NEOC=/COD,:AOECs^OCD,空一生即1 4OCODy/5OD解得：00=5,：.BD=5-y[5<VBG1CD,OC±CD,：.BG//OC,...△OBGs/XOOC,【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、垂徑定理，掌握?qǐng)A的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)

的半徑是解題的關(guān)健.(2022?和平區(qū)二模)如圖，A8為。。的直徑，CO是。。的內(nèi)接三角形，PB切。。于點(diǎn)B.(I)如圖①，延長(zhǎng)AO交PB于點(diǎn)P,若NC=40°,求N尸和NBAP的度數(shù)；(II)如圖②，連接AP交0O于點(diǎn)E,若ND=NP,CE=AC，求NP和/BA尸的度數(shù).圖① 圖②【分析】(I)連接BD,根據(jù)圓周角定理和切線的性質(zhì)即可得到結(jié)論:(II)連接BC,根據(jù)圓周角定理和切線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【解答】解：(I)連接8￡),VZC=40°,.*.ZABD=ZC=40",,：AB為。。的直徑，：.ZADB=90°,：.ZBAP=90°-NA8￡)=90°-40°=50°,:尸B切。。于點(diǎn)B,/.ZABP=90°,.?.NP=90°-NBAP=90°-50°=40°；(II)連接BC,則N48C=N￡>,,/ZD=ZP,:.NABC=NP,為。。的直徑，PB切。0于點(diǎn)B,ZACB=ZABP=90°,：.ZCAB=ZBAP,,-"CE=AC>：.ZCAP=ZABC,

：.ZP=2ZBAP,/.ZP=60°,ZBAP=30°用①【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線性質(zhì)，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.（2022?邳州市一模）如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)AO為。。的直徑，E是A8上一點(diǎn)，將正方形的一個(gè)角沿EC折疊，使得點(diǎn)8恰好與圓上的點(diǎn)F重合.（1）求證：CF與。O相切:2（2）若。。的半徑為1,則AE的長(zhǎng)為一-3-【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)及翻折的性質(zhì)可得0、F、￡三點(diǎn)共線，再利用切線的判定方法可得結(jié)論；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=A8=2,設(shè)BE=x,則AE=AB-x=2-x,OE=\+EF=\+x,利用勾股定理可得方程，求解可得答案.

【解答】（1）證明：?.?四邊形ABC。是正方形,.*.ZB=90o,?.?將正方形的一個(gè)角沿EC折疊，使得點(diǎn)8恰好與圓上的點(diǎn)尸垂合,；.NB=NEFC=90°，BE=EF,：.O,F、E三點(diǎn)共線，：.ZOFC=90a,；.CF與。。相切；（2）解；?四邊形A8CZ）是正方形，：.AD=AB=2,'：AO=\,OF=\,設(shè)8E=x,貝ijAE=A8-x=2-x,OE=\+EF=\+x,,：AO1+AE2=OE2,：.12+(2-x)2=(1-x2故答案為：3【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、翻折變換、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵.（2022?藍(lán)田縣二模）如圖，在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,點(diǎn)。為BC上一點(diǎn)，以。為圓心、OB為半徑的OO切AC于點(diǎn)D,連接。4、BD,0A與BD相交于點(diǎn)E.（1）求證：BO平分NA8C；（2）若NC=30°,。。的半徑為10,求OE的長(zhǎng).【分析】（1）連接。￡>,根據(jù)切線的性質(zhì)得到ODLAC,根據(jù)平行線的判定定理得到A8〃。。，求得/

ABD=ZBDO,根據(jù)角平分線定義即可得到結(jié)論;(2),根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到A3=?C=15,AD=^BD=5^過(guò)A作A”,80于〃，得到NA//3=ZAHO=90°,根據(jù)勾股定理得到AO=山1H2+?！?=50,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【解答】(1)證明：連接0Q,VZBAC=90°,：.BDLACf??。0切AC于點(diǎn)拉，??0D±AC,：.AB//DO.：.NABD=/BDO,,?OB=OD,:.NBD0=/DB0,：.ZABD=ZDBO,??BD平分/ABC；(2)由(1)知0D1.AC,：.ZCDO=90°,ZC=30°,00=10,J00=200=20,ZCOD=60°,.".BC=30,??N8AC=90°,：.AB=刎?=15,：.AD=/。=5百，過(guò)A作A”_L80于“，ZAHB=ZAHO=W°,；NBAH=60°,,r>rj114A-15A￡/v3d.口15)3?Dri'^ 2，/i/i- 2'i'5AOH=OB-BH=y；?AO=y/AH2+OH2=5々,■:OD//AB,：.AAEB^AOED,.ABAE??-,ODOE.竺_56一OE#10=-OE：.OE=2y/7.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.(2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中)如圖，△A8C內(nèi)接于OO,過(guò)點(diǎn)C作8C的垂線交。0于。，點(diǎn)E在8C的延長(zhǎng)線上，且NOEC=NBAC.(1)求證：OE是。。的切線；AC//DE,當(dāng)AB=6,CE=2時(shí)，求。。直徑的長(zhǎng).【分析】(1)先判斷出8。是圓。的宜徑，再判斷出即可得出結(jié)論：(2)先判斷出AULBC,進(jìn)而求出BC=AB=6,進(jìn)而判斷出求出BC,即可得出結(jié)論.【解答】(1)證明：連接8D,交AC于F,:DCLBE,：?NBCD=NDCE=90°,??8。是。。的直徑，AZDEC+ZCDE=90°,VZDEC=ZBAC,ZA=ZBDC,.\ZBDC+ZCDE=90°,即N8OE=90°,BD.LDE,??DE是