大學(xué)微積分第七節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)課件

1第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的間斷點(diǎn)三、初等函數(shù)的連續(xù)性四、小結(jié)思考題2【引言】自然界中的許多現(xiàn)象，如氣溫的變化、河水的流動(dòng)、動(dòng)植物的生長等等都是連續(xù)地變化著的；這種現(xiàn)象在數(shù)學(xué)上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性.3一、函數(shù)的連續(xù)性1.【增量】【增量的幾何解釋】5⑶【定義2】【注】f(x)在x0處連續(xù)的三個(gè)條件（三條缺一不可）①②③則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù).6【注解】條件①

條件②在本質(zhì)上是一樣的，只是形式上的不同條件①式清楚地反映了連續(xù)概念的實(shí)質(zhì)，即自變量產(chǎn)生微小變化時(shí)，函數(shù)的變化也很微小.但在證明具體函數(shù)的連續(xù)性以及作理論分析時(shí)，常應(yīng)用條件②式（因?yàn)闂l件①要具體計(jì)算△y,往往很麻煩）7【補(bǔ)例1】【證】由定義2知f(x)在x0的鄰域內(nèi)顯然有定義83.【單側(cè)連續(xù)】⑴【左連續(xù)】⑵【右連續(xù)】⑶【定理】104.【連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間】在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.【幾何表現(xiàn)】閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)的集合121.【間斷點(diǎn)定義】設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義。在此前提下，如果函數(shù)f(x)有下列三種情形之一：①在x=x0沒有定義；②雖在x=x0有定義，但

不存在；③雖在x=x0有定義，且

存在，但則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0

處不連續(xù)（或間斷），并稱點(diǎn)x0為f(x)的不連續(xù)點(diǎn)（或間斷點(diǎn)）.二、函數(shù)的間斷點(diǎn)14①［跳躍間斷點(diǎn)］【補(bǔ)例4】【解】2.【函數(shù)間斷點(diǎn)的幾種常見類型】(1).【第一類間斷點(diǎn)】(左右極限都存在的點(diǎn)).115②［可去間斷點(diǎn)］【補(bǔ)例5】16【解】【說明】

可去間斷點(diǎn)只要改變（原來有定義時(shí)）或者補(bǔ)充（原來無定義時(shí)）間斷點(diǎn)處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)，故稱其為可去間斷點(diǎn).17如例5中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).【特點(diǎn)】可去型：左右極限存在且相等.跳躍型：左右極限存在但不相等.18(2)【第二類間斷點(diǎn)】【補(bǔ)例6】【解】【特點(diǎn)】

這種情況稱為無窮間斷點(diǎn)20狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類間斷點(diǎn).僅在x=0處連續(xù),其余各點(diǎn)處處間斷.特別地★★【注意】

不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).21如:無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)231、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算的連續(xù)性【定理1】［例如］（上節(jié)已證）由函數(shù)“點(diǎn)連續(xù)”的定義和極限四則運(yùn)算法則，立得:【推廣】有限個(gè)連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)。【結(jié)論】三角函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).若f(x),g(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，則f(x)±g(x)，f(x)g(x),f(x)/g(x)[g(x0)≠0]在點(diǎn)x0處也連續(xù).三、初等函數(shù)的連續(xù)性242、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性【定理2】嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).（證明略）［例如］【結(jié)論】反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).1.反函數(shù)的連續(xù)性26將上兩步綜合起來:【證完】27【意義】【例9】【解】可知極限符號可以與函數(shù)符號f交換次序;條件是：內(nèi)層函數(shù)極限存在、外層函數(shù)在對應(yīng)點(diǎn)連續(xù)；則可交換次序.同理利用lnu的連續(xù)性28【例10】【解】可視為由復(fù)合而成，則30【定理4】【注意】定理4是定理3的特殊情況.簡言之：內(nèi)、外層函數(shù)在對應(yīng)點(diǎn)都連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)連續(xù)31［例如］是由連續(xù)函數(shù)鏈因此在上連續(xù).復(fù)合而成,323、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.（已證）★★★（指出但不詳細(xì)討論）（由【定理2】反函數(shù)的連續(xù)性可得）33【定理5】

基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.★(均在其定義域內(nèi)連續(xù))定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.由【定理4】復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)【定理6】

341.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),

在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);［例如］在這些孤立點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)沒有定義.在0點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)沒有定義.【注意】【注意】2.初等函數(shù)求極限的方法代入法.則既不是連續(xù)點(diǎn)也不是間斷點(diǎn)［又如］35【例11】【例12】【解】【解】有理化后消去0因子36【例13】【解Ⅰ】由定理3及極限運(yùn)算法則得【解Ⅱ】ln(1+2x)~2x(x→0)37【補(bǔ)充】則有l(wèi)n[1+u(x)]~u(x)(u(x)→0)38【一般地】的函數(shù)稱為冪指函數(shù)若則【注意】①.lim表示自變量的同一變化過程中的極限.（是定式情況下成立）②.不能分兩步寫作：39右連續(xù)四、小結(jié)左連續(xù)在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在第二類間