北京大學量子力學期末試題

量子力學習題（三年級用）北京大學物理學院二OO三年第一章緒論1、計算下列情況的（1）能量為波長，指出那種情況要用量子力學處理：；被鈾吸收；的慢中子（2）能量為粒子穿過原子；（3）飛行速度為100米/秒，質(zhì)量為40克的子彈。2、兩個光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正、負電子對，如果兩光子的能量相等，問要實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，光子的波長最大是多少？3、利用關(guān)系，及園形軌道為各波長的整數(shù)倍，給出氫原子能量可能值。第二章波函數(shù)與波動力學1、設(shè)（1）求歸一化常數(shù)（2）2、求的幾率流密度。3、若求其幾率流密度，你從結(jié)果中能得到什么樣的結(jié)論？（其中為實數(shù)）4、一維運動的粒子處于的狀態(tài)，其中求歸一化系數(shù)A和粒子動量的幾率分布函數(shù)。5、證明：從單粒子的薛定諤方程得出的粒子的速度場是非旋的，即求證其中6、一維自由運動粒子，在時，波函數(shù)為求：第三章一維定態(tài)問題1、粒子處于位場中，求：E＞時的透射系數(shù)和反射系數(shù)（粒子由右向左運動）2、一粒子在一維勢場中運動。（1）求粒子的能級和對應(yīng)的波函數(shù)；（2）若粒子處于態(tài)，證明：3、若在x軸的有限區(qū)域，有一位勢，在區(qū)域外的波函數(shù)為如這即“出射”波和“入射”波之間的關(guān)系，證明：這表明S是么正矩陣4、試求在半壁無限高位壘中粒子的束縛態(tài)能級和波函數(shù)5、求粒子在下列位場中運動的能級6、粒子以動能E入射，受到雙勢壘作用求反射幾率和透射幾率，以及發(fā)生完全透射的條件。7、質(zhì)量為的粒子處于一維諧振子勢場的基態(tài)，（1）若彈性系數(shù)突然變?yōu)椋磩輬鲎優(yōu)殡S即測量粒子的能量，求發(fā)現(xiàn)粒子處于新勢場基態(tài)幾率；（2）勢場突然變成后，不進行測量，經(jīng)過一段時間后，勢場又恢復成，問取什么值時，粒子仍恢復到原來場的基態(tài)。8、設(shè)一維諧振子處于基態(tài)，求它的，并驗證測不準關(guān)系。第四章量子力學中的力學量1、若證明：2、設(shè)（1）的可微函數(shù)，證明（2）3、證明4、如果，（1）證明是厄密算符是厄密算符；（2）求出5、證明：是厄密算符的條件。6、如果與它們的對易子都對易，證明（提示，考慮證明然后積分）7、設(shè)是一小量，算符存在，求證8、如是能量的本征函數(shù)（），證明從而證明：9、一維諧振子處在基態(tài)求：（1）勢能的平均值（2）動能的平均值（3）動量的幾率分布函數(shù)其中10、若(1)(2)(3)11、設(shè)粒子處于狀態(tài)，利用上題結(jié)果求12、利用力學量的平均值隨時間的變化，求證一維自由運動的隨時間的變化為：（注：自由粒子與時間無關(guān)）。第五章變量可分離型的波動方程1、求三維各向異性的諧振子的波函數(shù)和能級。2、對于球方位勢試給出有的束縛態(tài)條件。3、設(shè)氫原子處于狀態(tài)求氫原子能量，角動量平方和角動量分量的可能值，以及這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學量的平均量。4、證明5、設(shè)氫原子處于基態(tài)，求電子處于經(jīng)典力學不允許區(qū)域6、設(shè)的幾率。，求粒子的能量本征值。7、設(shè)粒子在半徑為，高為的園筒中運動，在筒內(nèi)位能為0，筒壁和筒外位能為無窮大，求粒子的能量本征值和本征函數(shù)。8、堿金屬原子和類堿金屬原子的最外層電子在原子實電場中運動，原子實電場近似地可用下面的電勢表示：其中，表示原子實的電荷，，證明，電子在原子實電場中的能量為而為的函數(shù)，討論何時較小，求出小時，公式，并討論能級的簡并度。9、粒子作一維運動，其哈密頓量的能級為的能級，試用定理，求。10、設(shè)有兩個一維勢阱若粒子在兩勢阱中都存在束縛能級，分別為（1）證明（提示：令（2）若粒子的勢場中運動，試估計其束縛能總數(shù)的上、下限11、證明在規(guī)范變換下不變。12、計算氫原子中的三條塞曼線的波長。13．帶電粒子在外磁場中運動，如選或試求其本征函數(shù)和本征值，并對結(jié)果進行討論。14、設(shè)帶電粒子在相互垂直的均勻電場E及均勻磁場B中運動，求其能譜和波函數(shù)（取磁場方向為Z軸方向，電場方向為X軸方向）。第六章量子力學的矩陣形式及表象理論1、列出下列波函數(shù)在動量表象中的表示（1）一維諧振子基態(tài)：（2）氫原子基態(tài)：2、求一維無限深位阱（0≤≤a）中粒子的坐標和動量在能量表象中的矩陣元。3、求在動量表象中角動量的矩陣表示。的空間中的4、在（）表象中，求的可能值及相應(yīng)幾率。5、設(shè)，試用純矩陣的方法，證明下列求和規(guī)則（提示：求然后求矩陣元）6、若矩陣A，B，C滿足（1）證明：；（2）在A表象中，求B和C矩陣表示。7、設(shè)分別寫出表象和表象中及的矩陣表示。8、在正交基矢和展開的態(tài)空間中，某力學量求在態(tài)中測量A的可能值，幾率和平均值。第七章自旋1、設(shè)為常數(shù)，證明。2、若證明3、在表象中，求的本征態(tài)，是方向的單位矢。4、證明恒等式：其中都與對易。5、已知原子的電子填布為，試給出（1）簡并度；（2）給出耦合的組態(tài)形式；（3）給出耦合的組態(tài)形式；6、電子的磁矩算符，電子處于的本征態(tài)中，求磁矩。7、對于自旋為的體系，求的本征值和本征態(tài)，在具有較小的本征值所相應(yīng)的態(tài)中，測量的幾率是多大？8、自旋為的體系，在時處于本征值為的的本征態(tài)，將其置于的磁場中，時，求時刻，測量取的幾率。9、某個自旋為的體系，磁矩時，處于均勻磁場中，指向方向，再加上一個旋轉(zhuǎn)磁場，其方向和軸垂直。其中已知時，體系處于的本征態(tài)，求時，體系的自旋波函數(shù)，以及自旋反向所需要的時間。10、有三個全同粒子，可以處于三個單粒子態(tài)上，當三種情形下的對稱或反對稱波函數(shù)如何寫？11、兩個全同費米子體系處于一個二維方勢阱中，假設(shè)兩粒子間無相互作用，求體系最低兩上能級的能量和波函數(shù)。12、設(shè)有兩個全同粒子，處于一維諧振子勢中，彼此間還有與相互距