高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)真題源講義專題強(qiáng)化訓(xùn)練(二十一)

專題強(qiáng)化訓(xùn)練(二十一)1.(2022·山東淄博模擬)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M(2,m)在拋物線C上,且|MF|=2.(1)求實(shí)數(shù)m的值及拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)不過點(diǎn)M的直線l與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),若直線MA,MB的斜率之積為-2,試判斷直線l能否與以點(diǎn)M為圓心的圓(x-2)2+(y-m)2=80相切?若能,求此時(shí)直線l的方程;若不能,請說明理由.解:(1)因?yàn)辄c(diǎn)M(2,m)在拋物線C上,所以4=2pm,即pm=2,由拋物線的定義知,|MF|=m+p2故實(shí)數(shù)m的值為1,拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y.(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+t,A(x1,14x12),B(x2聯(lián)立y=kx+t,x2=4y,得x因?yàn)橹本€MA,MB的斜率之積為-2,M(2,1),所以14x12-1x1-2·所以-4t+8k=-36,即t=2k+9,若直線l與圓(x-2)2+(y-m)2=80相切,則圓心(2,1)到直線l的距離d=|2k+t-整理得4k2-4k+1=0,解得k=12,所以t=2k+9=10,故直線l的方程為y=12.(2022·安徽淮南二模)已知離心率為22的橢圓C:x2a2+y2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)試判斷xM·xN是否為定值?若為定值,請求出該定值;若不是定值,請說明理由.解:(1)由題意可知ca=所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28+(2)由題意設(shè)直線PQ的方程為y=kx+3,P(x1,y1),Q(x2,y2),聯(lián)立y=kx+3,x則Δ=(12k)2-4×10(2k2+1)=64k2-40>0,解得k2>58根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-12k2k2+1,x1根據(jù)題意,直線AP的方程為y=y1+2x1x-2,令y=0,得x同理可得xN=2x于是xM·xN=4x1x2(4·102k2所以xM·xN是定值,該定值為853.(2022·福建福州模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,動(dòng)點(diǎn)P到直線x=2的距離和點(diǎn)P到點(diǎn)C(1,0)的距離的比為2,記點(diǎn)P的軌跡為T.(1)求T的方程;(2)若不經(jīng)過點(diǎn)C的直線l與T交于M,N兩點(diǎn),且∠OCM=∠xCN,求△CMN面積的最大值.解:(1)設(shè)P(x,y),P到直線x=2的距離記為d,則d|PC|依題意,|2-x|=2(x-1)2+y2(2)設(shè)直線l:x=my+t,t≠1,M(x1,y1),N(x2,y2),由x=my+t,x2則Δ=(2mt)2-4(m2+2)(t2-2)=8(m2+2-t2)>0,可得m2+2>t2,由根與系數(shù)的關(guān)系得y1+y2=-2mtm2+2,y1y法一由∠OCM=∠xCN,則kCM+kCN=y1x1所以x2y1+x1y2=y1+y2,即2my1y2+(t-1)(y1+y2)=0,所以2m(t所以直線l經(jīng)過定點(diǎn)D(2,0).因?yàn)椤鰿MN的面積為S=12|CD||y1-y2|=12|y1-y所以S=2m2+2-t當(dāng)1m2+2=18,即m=±法二作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M′(x1,-y1),如圖所示.因?yàn)椤螼CM=∠xCN,則∠OCM′=∠xCN,故∠OCM′+∠OCN=180°,所以M′,C,N三點(diǎn)共線,所以CM'→∥因?yàn)镃M'→=(x1-1,-y1),CN→=(x2所以(x1-1)y2-(-y1)(x2-1)=0,即x2y1+x1y2=y1+y2,所以2my1y2+(t-1)(y1+y2)=0,則2m(t所以直線l經(jīng)過定點(diǎn)D(2,0),因?yàn)椤鰿MN的面積為S=12|CD||y1-y2|=12|y1-y所以S=2m2+2設(shè)m2-2=u(u>0),則m2=u2+2,則S=2·uu2+4=當(dāng)u=2,即m=±6時(shí),S有最大值,最大值為244.(2022·河北石家莊模擬)已知拋物線Γ:x2=2py(p>0)的準(zhǔn)線l被圓x2+y2=2所截得的弦長為2.(1)求拋物線Γ的方程;(2)設(shè)準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)為M,過M的直線l1,l2與拋物線Γ分別交于點(diǎn)A,B和點(diǎn)C,D,直線AC,BD與準(zhǔn)線l分別交于E,G兩點(diǎn),求證:|ME|=|MG|.(1)解:由拋物線Γ:x2=2py(p>0)可得準(zhǔn)線l的方程為y=-p2,可得圓x2y2=2的圓心(0,0)到準(zhǔn)線l的距離d=p2所以準(zhǔn)線l被圓x2+y2=2所截得的弦長為2r2-d所以拋物線Γ的方程為x2=4y.(2)證明:由(1)可得點(diǎn)M(0,-1),由題意可知直線l1,l2的斜率存在,設(shè)直線l1的方程為y=k1x-1,直線l2的方程為y=k2x-1,其中k1≠k2,聯(lián)立y=k1x-所以xAxB=4,xA+xB=4k1,同理可得xCxD=4,xC+xD=4k2,直線AC的方程為yC-yAx令y=-1,可得xE=(