多屬性決策課件

多屬性決策分析多目標決策與多屬性決策的劃分多目標決策(multi-objectivedecisionmaking)

決策變量是連續(xù)型的（即備選方案有無限多個），求解這類問題的關(guān)鍵是向量優(yōu)化，即數(shù)學規(guī)劃問題。多屬性決策(multi-attributedecisionmaking)

。 決策變量是離散型的（即備選方案數(shù)量為有限多個），求解這類問題的核心是對各備選方案進行評價后排定各方案的優(yōu)劣次序，再從中擇優(yōu)。多屬性決策指標體系多屬性多指標綜合評價有兩個顯著特點:指標間的不可公度性 即多屬性指標之間沒有統(tǒng)一量綱，難用同一標準進行評價。指標之間的矛盾性 提高了這個指標值，可能損害另一指標值。問題： 如何解決指標間的不可公度性和矛盾性？多屬性決策指標體系指標體系的基本概念多屬性決策的指標體系

由多個相互聯(lián)系、相互依存的評價指標，按照一定層次結(jié)構(gòu)組合而成，具有特定評價功能的有機整體。 單一的評價指標只能反映社會經(jīng)濟系統(tǒng)的某一具體特征，要全面、準確地評價一個系統(tǒng)，首先要構(gòu)建合理的指標體系。社會經(jīng)濟系統(tǒng)常用的評價指標

經(jīng)濟性指標

社會經(jīng)濟系統(tǒng)常用的評價指標

社會性指標

技術(shù)性指標

資源性指標

政策性指標

基礎(chǔ)設(shè)施指標

其他指標產(chǎn)值、收入、成本、稅金、投資額、投資回收期、固定資產(chǎn)等等人員素質(zhì)、社會福利、生態(tài)環(huán)境、就業(yè)機會等產(chǎn)品性能、可靠性、工藝水平、人員素質(zhì)等礦產(chǎn)資源、水源、土地、人力等國家和地方的政策、法令、計劃等交通、供水、供電等特定決策系統(tǒng)的特有指標，如凈現(xiàn)值多屬性決策指標體系指標體系設(shè)置的原則系統(tǒng)性原則指標體系應(yīng)反映系統(tǒng)的整體性能和綜合情況，指標體系的整體評價功能應(yīng)大于各指標的簡單總和。指標體系應(yīng)層次清晰，結(jié)構(gòu)合理，相互關(guān)聯(lián)，協(xié)調(diào)一致。應(yīng)抓住主要因素，既能反映直接效果，又能反映間接效果，保證決策的全面性和可信度。多屬性決策指標體系指標體系設(shè)置的原則可比性原則決策指標和評價標準的制定應(yīng)客觀實際，便于比較。指標間應(yīng)避免顯見的包含關(guān)系，隱含的相關(guān)關(guān)系應(yīng)以適當?shù)姆椒右韵?。不同量綱的指標應(yīng)按特定的規(guī)則作標準化處理，化為無量綱指標，以便于整體綜合評價。指標處理中應(yīng)保持同趨勢化，以保證指標間的可比性。多屬性決策指標體系指標體系設(shè)置的原則科學性原則定性分析與定量分析相結(jié)合。定量指標應(yīng)注意絕對量和相對量的結(jié)合使用。實用性原則指標應(yīng)涵義明確，數(shù)據(jù)規(guī)范，口徑一致，資料收集可靠。指標設(shè)計應(yīng)符合國家和地方的政策法規(guī)，口徑和計算應(yīng)與通用的會計、統(tǒng)計、業(yè)務(wù)核算協(xié)調(diào)一致，便于統(tǒng)計和計算。多屬性決策指標體系決策指標的標準化

將不同量綱的指標，通過適當?shù)淖儞Q，化為無量綱的標準化指標。決策指標的變化方向效益型（正向）指標：越大越優(yōu)成本型（逆向）指標：越小越優(yōu)中立型指標：在某中間點最優(yōu) （如人的體重）多屬性決策指標體系決策指標的標準化

設(shè)有 n個決策指標fj（1≤j≤n）

m個可行方案ai（1≤i≤m）m個方案n個指標構(gòu)成決策矩陣：多屬屬性性決決策策指指標標體體系系決策策指指標標的的標標準準化化向量量歸歸一一化化法法令：：稱矩矩陣陣Y＝(yij)m×n為向向量量歸歸一一標標準準化化矩矩陣陣。。矩矩陣陣Y的列列向向量量模模等等于于1，即即注：：向向量量歸一一標標準準化化后后①0≤≤yij≤1；②正正、、逆逆向向指指標標的的方方向向沒沒有有發(fā)發(fā)生生變變化化。。決策指指標的的標準準化線性比比例變變換法法在決策策矩陣陣X中，對于正正向指指標fj，取：：令：對于負負向指指標fj，?。海毫睿悍Q矩陣陣Y＝(yij)m×n為線性性比例例標準準化矩矩陣。。注：經(jīng)經(jīng)線性性比例例變換換后①0≤yij≤1；②所所有有指標標均化化為正正向指指標；；③最優(yōu)值值為1。決策指指標的的標準準化極差變變換法法在決策策矩陣陣X中，對于正正向指指標fj，?。海簩τ谪撠撓蛑钢笜薴j，?。海毫睿悍Q矩陣陣Y＝(yij)m×n為極差差變換換標準準化矩矩陣。。注：經(jīng)經(jīng)極差差變換換后①0≤yij≤1；②所所有有指標標均化化為正正向指指標；；③最優(yōu)值值為1，最劣劣值為為0。決策指指標的的標準準化標準樣樣本變變換法法在決策策矩陣陣X中，令：其中：稱矩陣陣Y＝(yij)m×n為標準準樣本本變換換矩陣陣。注：經(jīng)經(jīng)標準準樣本本變換換后標準化化矩陣陣的樣樣本均均值為為0，方差差為1。決策指指標的的標準準化定性指指標量量化處處理方方法將定性性指標標依問問題的的性質(zhì)質(zhì)劃分分為若若干級級別，，每一一級別別分別別賦以以不同同的量量值。。如：分分五級級賦以以分值值等級指標很低低一般高很高正向指標13579逆向指標97531分值【例1】某航空空公司司欲購購買飛飛機按6個決策策指標標對不不同型型號的的飛機機進行行綜合合評價價。這這6個指標標是，，最大大速度度(f1)、最大大范圍圍(f2)、最大大負載載(f3)、價格格(f4)、可靠靠性(f5)、靈敏敏度(f6)?，F(xiàn)有有4種型號號的飛飛機可可供選選擇，，具體體指標標值如如下表表：

指標(fj)機型(ai)

最大速度(馬赫)最大范圍(公里)最大負載(千克)費用(106美元)可靠性靈敏度a12.01500200005.5一般很高a22.52700180006.5低一般a31.82000210004.5高高a491800200005.0一般一般【例1】寫出決決策矩矩陣，，并進進行標標準化化處理理。解：第一步步，劃劃分各各類指指標正向指指標：：f1、f2、f3；負向向指標標：f4；定性指指標：f5、f6。第二步步，將將定性性指標標化為為定量量指標標，得得到如如下決決策矩矩陣:【例1】解：第三步步，進進行標標準化化處理理向量歸歸一化化法令：【例1】解：第三步步，進進行標標準化化處理理線性比比例變變換法法極差變變換法法決策指指標的的標準準化極差變變換法法的改改進在決策策矩陣陣X中，對于正正向指指標fj，?。海簩τ谪撠撓蛑钢笜薴j，取：：令：變換后①1≤yij≤100；②所所有有指標標均化化為正正向指指標；；③最優(yōu)值值為100，最劣劣值為為1。多屬性性決策策指標標體系系決策指指標權(quán)權(quán)重的的確定定指標權(quán)權(quán)重表示各各指標標相對對于決決策目目標的的重要要性程程度，，或表表示一一種效效益替替換另另一種種效益益的比比例系系數(shù)。。確定指指標權(quán)權(quán)重的的方法法主觀賦賦權(quán)法法：根根據(jù)主主觀經(jīng)經(jīng)驗和和判斷斷，用用某種種特定定法則則測算算出指指標權(quán)權(quán)重的的方法法。客觀賦賦權(quán)法法：依依據(jù)決決策矩矩陣提提供的的評價價指標標的客客觀信信息，，用某某種特特定法法則測測算出出指標標權(quán)重重的方方法。。決策指指標權(quán)權(quán)重的的確定定幾種常常用的的確定定指標標權(quán)重重的方方法1.相對比比較法法（屬于于主觀觀賦權(quán)權(quán)法））將所有有指標標按三三級比比例標標度兩兩兩相相對比比較評評分，，三級級比例例標度度的含含義是是：顯然：：注意：：評分時時應(yīng)滿滿足比比較的的傳遞遞性，，即若若f1比f2重要，，f2又比f3重要，，則f1比f3重要。。決策指指標權(quán)權(quán)重的的確定定幾種常常用的的確定定指標標權(quán)重重的方方法1.相對比比較法法（屬于于主觀觀賦權(quán)權(quán)法））指標fi的權(quán)重重系數(shù)數(shù)為確定例例1中6個指標標的權(quán)權(quán)重解：1.相對比比較法法指標fi指標fi

f1f2f3f4f5f6評分總計權(quán)重wif10.51110.50f200.50.50.500f300.50.50.500f400.50.50.500f50.51110.50f6111110.5評分值值41.51.51.545.5∑：182/91/121/121/122/911/36幾種常常用的的確定定指標標權(quán)重重的方方法2.連環(huán)比比率法法（屬于于主觀觀賦權(quán)權(quán)法））將所有有指標標以任任意順順序排排列，，不妨妨設(shè)為為：f1,f2,…,fn。從前到到后，，依次次賦以以相鄰鄰兩指指標相相對重重要程程度的的比率率值。。指標標fi與fi＋1比較，，賦以以指標標fi以比率率值ri（i=1，2，…，n-1）并賦以以rn=1。幾種常常用的的確定定指標標權(quán)重重的方方法2.連環(huán)比比率法法（屬于于主觀觀賦權(quán)權(quán)法））計算各各指標標的修修正評評分值值。賦賦以fn的修正正評分分值kn＝1，根據(jù)據(jù)比率率值ri計算各各指標標的修修正評評分值值：ki＝ri·ki+1（i=1，2，…，n-1）歸一化化處理理，求求出各各指標標的權(quán)權(quán)重系系數(shù)值值。即即【例3】確定例例1中6個指標標的權(quán)權(quán)重解：2.連環(huán)比比率法法指標fi

比率值修正評分值指標權(quán)重wif13f21f31f41/3f51/2f61∑11/21/61/61/61/25/21/51/151/151/151/52/5幾種常常用的的確定定指標標權(quán)重重的方方法3.熵值法法（屬于于客觀觀賦值值法））利用指指標熵熵值確確定權(quán)權(quán)重，熵越大大，權(quán)權(quán)重越越小。。對決策策矩陣陣X=(xij)m×n用線性性比例例變換換法作作標準準化處處理，，得到到標準準化矩矩陣Y=(yij)m×n，并進進行歸歸一化化處理理，得得:計算第第j個指標標的熵熵值，，其中中，k＞0，ej≥0幾種常常用的的確定定指標標權(quán)重重的方方法3.熵值法法（屬于于客觀觀賦值值法））計算第第j個指指標標的的差差異異系系數(shù)數(shù)確定定指指標標權(quán)權(quán)重重。。第第j個指指標標的的權(quán)權(quán)重重為為【例例3】確定定例例1中6個指指標標的的權(quán)權(quán)重重解：：3.熵值值法法歸一一化化處處理理得得：【例例3】確定定例例1中6個指指標標的的權(quán)權(quán)重重解：：計算算第第j個指指標標的的熵熵值值（（取取k＝0.5）得：差異異系系數(shù)數(shù)：：指標標權(quán)權(quán)重重為為：：幾種種常常用用的的確確定定指指標標權(quán)權(quán)重重的的方方法法4.專家家咨咨詢詢法法(Delphi法)（屬屬于于主主觀觀賦賦值值法法））設(shè)有有n個決決策策指指標標f1,f2,…,fn，組組織織m個專專家家咨咨詢詢，，每每個個專專家家確確定定一一組組指指標標權(quán)權(quán)重重估估計計值值對m個專專家家給給出出的的權(quán)權(quán)重重估估計計值值平平均均，，得得到到平平均均估估計計值值計算算估估計計值值和和平平均均估估計計值值的的偏偏差差幾種種常常用用的的確確定定指指標標權(quán)權(quán)重重的的方方法法4.專家家咨咨詢詢法法(Delphi法)（屬屬于于主主觀觀賦賦值值法法））對偏偏差差△ij較大大的的第第j個指指標標的的權(quán)權(quán)重重估估計計值值，，再再請請專專家家i重新新估估計計第第j個指指標標的的權(quán)權(quán)重重。。反復復進進行行以以上上步步驟驟，，直直至至偏偏差差滿滿足足一一定定要要求求為為止止。。這這樣樣就就得得到到一一組組權(quán)權(quán)重重指指標標的的平平均均估估計計修修正正值值。。多指指標標決決策策方方法法簡單單線線性性加加權(quán)權(quán)法法根據(jù)據(jù)實實際際情情況況，，先先確確定定各各決決策策指指標標的的權(quán)權(quán)重重，，再再對對決決策策矩矩陣陣進進行行標標準準化化處處理理，，求求出出各各方方案案的的線線性性加加權(quán)權(quán)指指標標平平均均值值，，并并以以此此作作為為各各可可行行方方案案排排序序的的判判據(jù)據(jù)。注意意標準準化化處處理理時時，，應(yīng)應(yīng)當當使使所所有有的的指指標標正向向化化。簡單單線線性性加加權(quán)權(quán)法法簡單單線線性性加加權(quán)權(quán)法法的的基基本本步步驟驟用適適當當?shù)牡姆椒椒ǚù_確定定各各決決策策指指標標的的權(quán)權(quán)重重，，設(shè)設(shè)權(quán)權(quán)重重向向量量為為：：決策策矩矩陣陣X=(xij)m×n標準準化化得得Y=(yij)m×n，要要求求標標準準化化之之后后的的指指標標均均為為正正向向指指標標；；求出出各各方方案案的的線線性加加權(quán)權(quán)指指標標值值：：選擇擇ui最大大者者為為最最滿意意方方案案，，即即：：【例例4】用簡簡單單線線性性加加權(quán)權(quán)法法對對例例1的購購機機問問題題進進行行決決策策解：①用適當?shù)牡姆椒ù_確定各決決策指標標的權(quán)重重為：用線性比比例法將將決策矩矩陣X=(xij)m×n標準化得得Y=(yij)m×n；求出各方方案的線線性加權(quán)權(quán)指標值值ui：ui最大者為為0.851，故滿意意方案為為方案4。多指標決決策方法法理想解法法（TOPSIS）通過構(gòu)造造多指標標問題的的理想解和負理想解解，并以靠近理想想解和遠離負理理想解兩個基準準，作為為評價各各可行方方案的判判據(jù)。理想解是設(shè)想各各指標屬屬性都達達到最滿滿意值的的解。負理想解解是設(shè)想各各指標屬屬性都達達到最不不滿意值值的解。。又稱雙基點法法，逼近理理想解的的排序方方法。理想解與與負理想想解設(shè)決策問問題有m個可行方方案a1,a2,…,am，兩個評評價指標標f1、f2，不妨設(shè)設(shè)二指標標均為正向指標標。方案ai的二指標標值記為為xi1,xi2，于是方方案ai可以用平平面f1f2上的點Ai(xi1,xi2)表示。記記：則：理想解為A*(x*1,x*2)；負理想解解為A-(x-1,x-2)。理想解與與負理想想解f1f2OA1A2A3AmA*A-問題：如何表示示各方案案目標值值靠近理理想解和和遠離負負理想解解的程度度？相對貼近近度設(shè)方案ai對應(yīng)的點點Ai到理想點點A*和負理想想點A-的距離分分別為：：定義方案案ai與理想解解、負理理想解的的相對貼貼近度為為滿足：0≤Ci*≤1；理想點Ci*＝1，負理想點點Ci*＝0；方案逼近近理想解解而遠離離負理想想解時Ci*→1。理想解法法的基本本步驟用向量歸一一化法對決策矩陣陣進行標準準化處理理，得標標準化矩矩陣Y=(yij)m×n；用適當?shù)牡姆椒ù_確定各決決策指標標的權(quán)重重wj，計算加加權(quán)標準準化矩陣陣：確定理想解和負理想解解正向指標標集負向指標標集理想解法法的基本本步驟計算各方方案到理理想解和和負理想想解的距距離計算各方方案的相相對貼近近度Ci*，相對貼貼近度大大者為優(yōu)優(yōu)，小者者為劣。?！纠?】用理想解解法對例例1的購機問問題進行行決策解：①求求決策矩矩陣的向向量歸一一標準化化矩陣Y適當?shù)姆椒椒ù_定定各決策策指標的的權(quán)重為為：計算加權(quán)權(quán)標準化化矩陣：：V=(wj·yij)m×n；正正正正正負負！正正正正【例5】解：③確定理想解和負理想解解計算各方方案到理理想解和和負理想想解的距離；計算各方方案的相相對貼近近度Ci*：Ci*最大的方方案最優(yōu)優(yōu)，故滿滿意方案案為方案案1。多指標決決策方法法改進的理理想解法法利用決策策矩陣的的信息，，客觀地地賦以各各指標的的權(quán)重系系數(shù)，并并以各方方案到理理想點距距離的加加權(quán)平方方和作為為綜合評評價的判判據(jù)，更更簡便實實用。設(shè)權(quán)重向向量（待定））為：最優(yōu)的權(quán)權(quán)重系數(shù)數(shù)應(yīng)滿足足：符號含義義與理想想解法相相同改進的理理想解法法注意到：：vij=wj·yij用求解條條件極值值的拉格格朗日乘乘數(shù)法，，可以解解得：改進的理理想解法法的基本本步驟將決策矩陣陣進行標準準化得Y=(yij)m×n確定標準準化矩陣陣的理想解按式（7.18）計算各各指標的的權(quán)重系系數(shù)wj(j=1,2,……,n)計算各方案到到理想解的距距離平方di，并按di對方案排序：：di越小，方案越越優(yōu)?！纠?】用改進的理想想解法對例7.1的購機問題進進行決策解：①求決策策矩陣標準化化矩陣Y（以極差變換換標準化矩陣陣為例）正正正正負負！正正 正標準化矩陣Y的理想解為Y*={1,1,1,0,1,1}【例6】解：按式（18）計算各指標的的權(quán)重系數(shù)wj計算各方案到到理想解的距距離平方dj：得按dj對方案排序：：di越小，方案越越優(yōu)。因此最優(yōu)方案案為方案1。多指標決策方方法功效系數(shù)法將各決策指標標的相異度量量，轉(zhuǎn)化為相相應(yīng)的無量綱綱的功效系數(shù)，再進行綜合合評價的多指指標決策方法法。功效系數(shù)的計計算設(shè)第j個指標的滿意意值為，不不允許值為功效系數(shù)為：：滿意值的功效效系數(shù)為100，不允許值的的功效系數(shù)60。功效系數(shù)法功效系數(shù)法的的基本步驟確定決策指標標體系設(shè)決策矩陣為X=(xij)m×n，用適當?shù)姆椒ǚù_定指標的的權(quán)重向量計算各指標值值的功效系數(shù)數(shù)dij計算各方案的的總功效系數(shù)數(shù)以總功效系數(shù)數(shù)為判據(jù)，對對各方案進行行排序。功效系數(shù)越大大，方案越優(yōu)優(yōu)；功效系數(shù)數(shù)越小，方案案越劣。【例7】用功效系數(shù)法法對例1的購機問題進進行決策。解：①用適當?shù)姆椒ǚù_定指標的的權(quán)重向量為為計算各指標值值的功效系數(shù)數(shù)dij負！【例7】解：計算各指標值值的功效系數(shù)數(shù)dij計算各方案的的總功效系數(shù)數(shù)di以總功效系數(shù)數(shù)為判據(jù)，對對各方案進行行排序。功效系數(shù)越大大，方案越優(yōu)優(yōu)；功效系數(shù)數(shù)越小，方案案越劣。因此此方案3最優(yōu)。主成分分析法法主成分分析的的原理在多指標決策策中，當指標標數(shù)量大，并并且指標之間間存在某種程程度的相關(guān)關(guān)關(guān)系時，這不不僅增加決策策的工作量，，也直接影響響到?jīng)Q策的有有效性和可靠靠性。問題：如何消消除指標間的的相關(guān)性？主成分分析法法（主元分析析法）是將多個指標標轉(zhuǎn)化成少數(shù)幾個相互互無關(guān)的綜合指標的的一種多元統(tǒng)統(tǒng)計分析方法法。主成分分析體體現(xiàn)了降維的思想。主成分分析的的原理假定只有兩個個變量（指標標），分別以以它們?yōu)樽鴺藰溯S建坐標系系，則每個觀觀測值都對應(yīng)應(yīng)于該坐標平平面上的一個個點。如果這些點形形成一個橢圓圓形狀的點陣陣（這在變量量服從二維正正態(tài)的假定下下是可能的）），那么這個個橢圓有一個個長軸和一個個短軸。在短短軸方向上，，數(shù)據(jù)變化很很少；在極端端的情況，短短軸如果退化化成一點，那那只有在長軸軸的方向才能能夠解釋這些些點的變化了了；這樣，由由二維到一維維的降維就自自然完成了。。主成分分析的的原理主成分分析的的原理當坐標軸和橢橢圓的長短軸軸平行，那么么代表長軸的的變量就描述述了數(shù)據(jù)的主主要變化，而而代表短軸的的變量就描述述了數(shù)據(jù)的次次要變化。但是，坐標軸通常并并不和橢圓的的長短軸平行行。因此，需要要尋找橢圓的的長短軸，并并進行變換，，使得新變量量和橢圓的長長短軸平行。。如果長軸變量量代表了數(shù)據(jù)據(jù)包含的大部部分信息，就就用該變量代代替原先的兩兩個變量（舍舍去次要的一一維），降維維就完成了。。橢圓（球）的的長短軸相差差得越大，降降維也越有道道理。主成分分析的的原理對于多維變量量的情況和二二維類似，也也有高維的橢橢球，只不過過無法直觀地地看見罷了。。首先把高維橢橢球的主軸找找出來，再用用代表大多數(shù)數(shù)數(shù)據(jù)信息的的最長的幾個個軸作為新變變量；這樣，，主成分分析析就基本完成成了。注意，和二維維情況類似，，高維橢球的的主軸也是互互相垂直的。。這些互相正交交的新變量是是原先變量的的線性組合，叫做主成分分(principalcomponent)。主成分分析的的原理正如二維橢圓圓有兩個主軸軸，三維橢球球有三個主軸軸一樣，有幾幾個變量，就就有幾個主成成分。選擇越少的主主成分，降維維就越好。什什么是標準呢呢？那就是這這些被選的主主成分所代表表的主軸的長長度之和占了了主軸長度總總和的大部分分。有些文獻建議議，所選的主軸總總長度占所有有主軸長度之之和的大約85%即可，其實，這只只是一個大體體的說法；具具體選幾個，，要看實際情情況而定。主成分分析的的原理設(shè)有n個決策指標fj（1≤j≤n）m個可行方案ai（1≤i≤m）m個方案n個指標構(gòu)成決決策矩陣：其中主成分分析的的原理如何用新的指指標來代替原原來的n個指標Xj呢？新變量是原先先變量的線性性組合：滿足主成分分析的的原理此外，新變量量應(yīng)滿足：相互不相關(guān)Z1的方差最大，，Z2,…,Zn的方差依次減減少。新舊指標的總總方差不變。。主成分分析的的原理滿足上述條件件的新變量（（綜合指標））Z1、Z2、…、Zn分別稱為原始始指標的第1、第2、…、第n個主成分（主主元）。當很小時，用Z1、Z2、…、Zk就可基本上反映映出原始n個指標所包含含的信息量。。優(yōu)點：減少了評價指指標個數(shù)；充分保留了原原始指標的信信息量；新指標彼此不不相關(guān)，避免免了信息的交交叉和重疊。。主成分分析的的原理如何求得原始始指標的n個主成分？設(shè)X有協(xié)方差矩陣陣∑，λ1≥λ2≥…≥λn是∑的從大到小的的n個特征根，L1,L2,…,Ln是這n個特征根對應(yīng)應(yīng)的標準化正正交特征向量量。其中：數(shù)理統(tǒng)計已經(jīng)經(jīng)證明，原始始指標的第j個主成分Zj為：主成分分析的的計算步驟設(shè)有n個決策指標，，m個可行方案的的決策問題。。決策矩陣為X=(xij)m×n決策矩陣標準準化（一般采用標標準樣本變換換）其中：主成分分析的的計算步驟決策矩陣標準準化（一般采用標標準樣本變換換）？為什么要進進行決策矩陣陣的標準化由于主成分是是從協(xié)方差矩矩陣∑求得的，而協(xié)協(xié)方差矩陣會會受評價指標標的量綱和數(shù)數(shù)量級的影響響，從而主成成分也會因評評價指標的量量綱和數(shù)量級級的改變而不不同。標準化指標的的協(xié)方差矩陣陣等于其相關(guān)關(guān)系數(shù)矩陣，，而相關(guān)系數(shù)數(shù)矩陣不受指指標量綱或數(shù)數(shù)量級的影響響，因此標準準化后的主成成分是不受原原指標量綱或或數(shù)量級的影影響的。主成分分析的的計算步驟求出樣本相關(guān)關(guān)系數(shù)矩陣R=(rij)n×nR是對稱矩陣，，且主對角線線元素均為1，即：主成分分析的的計算步驟計算相關(guān)系數(shù)數(shù)矩陣R的特征值和對對應(yīng)的特征向向量由特征方程解出n個特征值：λ1≥λ2≥…≥λn再由齊次線性性方程組解出對應(yīng)的特特征向量：L1,L2,…,Ln主成分分析的的計算步驟按累積貢獻率率準則提取主主成分計算各主成分分的貢獻率并按累積貢獻獻率準則，即即以累積貢獻獻率為準則，提取取k個主成分主成分分析的的計算步驟分析主成分的的經(jīng)濟意義，，用主成分進進行綜合評價價綜合評價值根根據(jù)具體情況況，可以取第第1主成分；也可可以按綜合評評價值，即以以各主成分的的方差貢獻率率為權(quán)數(shù)，對對k個主成分線性性加權(quán)求和：：以Z值的大小來評評判被評價對對象的優(yōu)劣。。主成分分析的的應(yīng)用實例用主成分分析析法對14個企業(yè)的經(jīng)濟濟效益進行綜綜合評價。經(jīng)經(jīng)過專家咨詢詢，。選取8個經(jīng)濟效益評評價指標這些些指標是：（1）凈產(chǎn)值利潤潤率（％）；；（2）固定資產(chǎn)利利潤率（％））；（3）總產(chǎn)值利潤潤率（％）2（4）銷售收人利利潤率（％））；（5）產(chǎn)品成本利利潤率（％））；（6）物耗利潤率率（％）；（7）人均利潤率率（千元/人）；（8）流動資金利利潤率（％））；14個企業(yè)8個指標的樣本本數(shù)據(jù)如下表表

指標企業(yè)xi1xi2xi3xi4xi5xi6xi7xi8123456789101112131440.425.013.222.334.335.622.048.440.624.812.51.832.638.524.712.73.36.711.812.57.813.417.18.09.70.613.99.17.211.23.95.67.116.49.910.919.89.84.20.79.411.36.111.04.33.77.116.710.29.919.08.94.20.78.39.58.312.94.46.08.022.812.610.929.711.94.60.89.812.238.720.25.57.48.929.317.613.939.616.26.51.113.316.42.4423.5420.5780.7161.7263.0170.8471.7722.4490.7890.8740.0562.1261.32720.09.13.67.327.526.610.617.835.813.73.91.017.111.6主成分分析的的應(yīng)用實例解:①樣本數(shù)據(jù)標準準化變換求得樣本標準化變變換矩陣如下表yij0.9574-0.2296-1.1391-0.43770.48720.5874-0.46081.57400.9728-0.2450-1.1930-2.01770.33310.81092.34880.3200-1.26920.69440.16790.2862-0.50840.43841.0639-0.4746-0.1872-1.72570.5229-0.2886-0.38120.4213-1.0433-0.7022-0.40131.46460.16050.36112.14670.1404-0.9831-1.68530.06020.4414-0.49430.4972-0.8585-0.9800-0.29201.65060.33530.27462.11600.0723-0.8788-1.587-0.04910.1937-0.36950.2449-0.8904-0.6767-0.40961.56730.2048-0.02222.48890.1113-0.8637-1.3713-0.16920.1554-0.58270.5503-0.8980-0.7108-0.5631.44690.2942-0.07042.46170.1562-0.7994-1.3315-0.12950.17590.53721.8532-0.8845-0.7570.17581.3683-1.34010.21830.8436-0.6896-0.6111-1.36660.5453-0.19270.5244-0.5512-1.0939-0.72881.26441.1756-0.40320.30732.0834-0.0973-1.0643-1.35040.2382-0.3045求出樣本相關(guān)關(guān)系數(shù)矩陣R=(rij)n×nrij10.76120.70760.64280.59640.54430.63120.77290.761210.51490.47540.46660.41950.74080.68020.70760.514910.98790.97770.97410.68420.78020.64280.47540.987910.98070.97980.68810.77310.59640.46660.97770.980710.99240.62650.78700.54430.41950.97410.97980.992310.62900.72450.63120.74080.68420.68810.62650.629010.61960.77290.68020.78020.77310.78700.72450.61961求R的特征值、特特征向量和貢貢獻率λj6.09121.01560.43320.21200.14200.01170.00300.0013L1j0.32370.39790.4596-0.66200.1174-0.11800.1501-0.1930L2j0.28390.6214-0.10700.2812-0.65200.1191-0.05000.0296L3j0.3905-0.22400.0230-0.2390-0.0990-0.1050-0.55300.6426L4j0.3856-0.2730-0.0530-0.10100.01500.85700.1268-0.1130L5j0.3804-0.31200.02040.1295-0.1830-0.32500.73230.2564L6j0.3716-0.3630-0.09500.0459-0.2160-0.3240-0.3310-0.6860L7j0.32210.2883-0.7470-0.07000.4812-0.12300.05240.0042L8j0.35630.13560.45360.62570.4896-0.0030-0.13300.0077bj0.76140.13820.05410.02650.01780.00150.00040.0002特征值：λ1≥λ2≥…≥λn按累積貢獻率率準則提取主主成分計算第1、2主成分的累計計貢獻率提取第1主成分：第2主成分：用主成分進行行綜合評價-2.8488企業(yè)1234567Z10.73561.0895-2.8488-2.04770.06453.4825-0.2922Z22.69920.0774-0.6040-0.05721.0097-0.8192-1.0618Z按Z1排序按Z排序企業(yè)891011121314Z11.01315.1459-0.3182-2.3927-4.39440.40220.3607Z20.8683-1.1556-0.77430.0824-0.76930.7407-0.2363Z按Z1排序按Z排序12345678910111213140.93310.8402-2.2525-1.56700.18862.5383-0.36920.89143.7594-0.3493-1.8104-3.45220.40860.24201234567891011121314主成分分析的的特點及缺陷能消除評價指指標間相關(guān)關(guān)關(guān)系的影響，，減少了指標標選擇的工作作量。因此指標的選選擇原則是盡盡可能全面，，而不必顧慮慮評價指標之之間的相關(guān)性性。綜合評價所得得的權(quán)數(shù)是伴伴隨數(shù)學變換換自動生成的的，具有客觀觀性。但這種權(quán)數(shù)具具有不穩(wěn)定性性，且各評價價對象之間數(shù)數(shù)值差異大的的指標不一定定有更重要的的經(jīng)濟意義。。綜合評價結(jié)果果不穩(wěn)定。減少或增加被被評價對象都都有可能改變變原來的排序序。適合一次次性、大樣本本容量的綜合合評價。一般要求樣本本容量大于指指標個數(shù)的兩兩倍。物元決策方法法物元分析和矛矛盾問題現(xiàn)實世界存在在各式各樣的的矛盾，物元分析研究處理矛盾盾問題的理論論和方法。物元分析的數(shù)數(shù)學基礎(chǔ)是可拓集合論經(jīng)典數(shù)學的基基礎(chǔ)是經(jīng)典集集合論。在經(jīng)經(jīng)典集合中，，一個元素與與某個集合的的關(guān)系，要么么屬于它，要要么不屬于它它，二者必居居其一。模糊數(shù)學的基基礎(chǔ)是模糊集集合論。在模模糊集合論中中，一個元素素與某個集合合的關(guān)系，或或者屬于它，，或者不屬于于它，或者在在一定程度上上屬于它，三三者必居其一一。物元分析和矛矛盾問題物元分析的數(shù)數(shù)學基礎(chǔ)是可拓集合論事物是處于不不斷的運動和和變化中的，，經(jīng)典集合論論不能描述事事物及其性質(zhì)質(zhì)的可變性。?？赏丶涎芯坎粚儆谀衬臣系帜苣軌蜣D(zhuǎn)化為屬屬于該集合的的元素及其變變換性質(zhì)。物元決策方法法物元和可拓集集合的基本概概念人、事統(tǒng)稱事事物。事物各具不同同的特征，事事物的特征又又由相應(yīng)的量量值所規(guī)定。。名稱、特征和和量值是事物物的三要素。。定義4（物元）設(shè)事物的名稱稱為N，關(guān)于特征C的量值為V，則三元有序序組R＝（N,C,V）稱為事物的基基本元，簡稱稱物元。N，C，V稱為物元的三三要素。物元和可拓集集合的基本概概念若某事物有多多個(n個)特征記作c1,c2,…,cn，相應(yīng)量值記記作v1,v2,…,vn，則物元記為為稱為n維物元，簡記記為R＝（N,C,V），其中：物元和可拓集集合的基本概概念定義5（物元變換））使物元R0=(N0,C0,V0)變換為物元R=(N,C,V)或若干個物元元Ri=(Ni,Ci,Vi)，i=1,2,…,n稱為物元R0的變換，記作作TR0=R或TR0={R1,R2,…,Rn}物元變換可以以是對事物的的特征、量值值或它們組合合的變換。物元和可拓集集合的基本概概念物元變換的基基本運算設(shè)有物元R1,R2,R3積變換若T1R1=R2，T2R2=R3，稱使R1變?yōu)镽3的變換為變換換T2與T1的積變換。記記作：T=T2T1逆變換若T1R1=R2，稱使R2變?yōu)镽1的變換為變換換T的逆變換，記記作T-1。有：T-1(T1R1)=T-1R2=R1物元和可拓集集合的基本概概念物元變換的基基本運算設(shè)有物物元R1,R2,R3或變換換若T1R1=R2，T2R1=R3，稱使使R1變?yōu)镽2或R3的變換換為變變換T1與T2的或變變換。。記作作：T=T1∨T2與變換換若T1R1=R2，T2R1=R3，稱使使R1變?yōu)镽2和R3的變換換為變變換T1與T2的與變變換。。記作作：T=T1∧T2物元和和可拓拓集合合的基基本概概念定義6（可拓拓子集集）設(shè)?是論域域U上的一一個可可拓子子集，，若對對任意意u∈U，都對對應(yīng)一一個實實數(shù)則稱為元素u對?的關(guān)聯(lián)度。實值函數(shù)稱為可可拓子子集?的關(guān)聯(lián)聯(lián)函數(shù)數(shù)，簡簡記為為K(u)。物元和和可拓拓集合合的基基本概概念定義6（可拓拓子集集）稱A＝{u|u∈U,K(u)≥0}為可拓拓子集集?的經(jīng)典域域；

稱 ＝{u|u∈U,-1≤K(u)＜0}

為可拓子集?的可拓域；

稱 ＝{u|u∈U,K(u)＜-1}

為可拓子集?的非域。物元和和可拓拓集合合的基基本概概念定義7（點與與區(qū)間間的距距）點x0與區(qū)間間X＝[a,b]的距離離稱為為點與與區(qū)間間的距距，記記作：：點與區(qū)區(qū)間的的距對對于開開區(qū)間間、半半開半半閉區(qū)區(qū)間同同樣適適用。物元和和可拓拓集合合的基基本概概念定理2設(shè)X0,X是實數(shù)數(shù)域上上的兩兩個區(qū)區(qū)間，X?X0，且無公公共端端點，令關(guān)聯(lián)聯(lián)函數(shù)數(shù)則x∈X0的充要要條件件是：K(x)≥0；x∈X－X0的充要要條件件是：-1≤K(x)＜0；x?X的充要要條件件是：K(x)＜-1。物元和和可拓拓集合合的基基本概概念定義8（節(jié)域域）設(shè)有物物元R=(N,C,V)，事物物N關(guān)于特特征C的允許許取值值范圍圍為V，子集集V0?V。若在在某限限制條條件下下，對對任意意的x,y∈V0，x變?yōu)閥，事物物N不變；；而對對任意意的x∈V0，y?V0，x變成y，事物物N變?yōu)槌鱿尴拗茥l條件的的另一一事物物，則則稱V0為該限限制條條件下下N關(guān)于C的節(jié)域域。物元和和可拓拓集合合的基基本概概念定義9（問題題）給定物物元R和實現(xiàn)現(xiàn)它的的條件件物元元r