2022屆高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)總復(fù)習提升之專題突破詳解專題28排列組合【含答案】

專題28排列組合一．知識點及學(xué)習目標【學(xué)習目標】1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理；會用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題.2.理解排列、組合的概念；能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式；能解決簡單的實際問題.3.進一步理解排列、組合的概念，了解計數(shù)原理的思想，熟練掌握排列、組合計算公式.4.提升綜合應(yīng)用排列組合的知識解決一些簡單的應(yīng)用問題的思維能力和分類討論的數(shù)學(xué)思想.二．方法規(guī)律總結(jié)1.計數(shù)重復(fù)或遺漏的原因在于分類、分步的標準不清，一般來說，應(yīng)檢查分類是否是按元素的性質(zhì)進行，分步是否是按事件發(fā)生的過程進行.2.排列與組合的定義相近，它們的區(qū)別在于是否與順序有關(guān).處理排列組合問題的一般思想是先選元素(組合)，后排列，按元素的性質(zhì)“分類”和按事件發(fā)生的連續(xù)過程“分步”，始終是處理排列組合問題的基本方法和原理，要注意積累分類與分步的基本技能.3.分清問題與元素順序有關(guān)還是無關(guān)，是區(qū)分排列組合問題的原則；搞清解決問題的方法需分步還是需分類，是統(tǒng)計排列與組合問題總數(shù)的依據(jù).4.排列組合問題的常見解法主要有以下幾種：(1)特殊元素優(yōu)先安排的策略；(2)合理分類與準確分步的策略；(3)排列、組合混合問題先選后排的策略；(4)正難則反、等價轉(zhuǎn)化的策略；(5)相鄰問題捆綁處理的策略；(6)不相鄰問題插空處理的策略；(7)定序問題除法處理的策略；(8)分排問題直接處理的策略；(9)“小集團”排列問題中先整體后局部的策略；(10)構(gòu)造模型的策略.三．命題陷阱及方法總結(jié)1.涂色方法例1.如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有___________種（以數(shù)字作答）72由題意可知，當選用三種顏色著色，由乘法原理種方法，當選用四種顏色時，由乘法原理則種方法，再據(jù)加法原理可得種方法．1．有六種不同顏色,給如圖的六個區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不同色,不同的涂色方法共有()A.4320B.2880C.1440D.720A試題分析：第一個區(qū)域有6種不同的涂色方法，第二個區(qū)域有5種不同的涂色方法，第三個區(qū)域有4種不同的涂色方法，第四個區(qū)域有3種不同的涂色方法，第六個區(qū)域有4種不同的涂色方法，第五個區(qū)域有3種不同的涂色方法，根據(jù)乘法原理，故選：A．考點：乘法原理.2．將數(shù)字1,2,3,4，填入右側(cè)的表格內(nèi)，要求每行、每列的數(shù)字互不相同，如圖所示，則不同的填表方式共有（）種A.432B.576C.720D.864B對符合題意的一種填法如圖，行交換共有種，列交換共有種，所以根據(jù)分步計數(shù)原理得到不同的填表方式共有種，故選B.3．如圖，用6種不同的顏色把圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有()A.400種B.460種C.480種D.496種C涂有種涂法，有種，有種，因為可與同色，故有種，由分步乘法計數(shù)原理知，不同涂法有種，故選C．4．我國古代數(shù)學(xué)名著《續(xù)古摘奇算法》（楊輝）一書中有關(guān)于三階幻方的問題：將1，2，3，4，5，6，7，8，9分別填入的方格中，使得每一行，每一列及對角線上的三個數(shù)的和都相等（如圖所示），我們規(guī)定：只要兩個幻方的對應(yīng)位置（如每行第一列的方格）中的數(shù)字不全相同，就稱為不同的幻方，那么所有不同的三階幻方的個數(shù)是（）A.9B.8C.6D.4B【方法總結(jié)】高考已說明加強數(shù)學(xué)史等知識的考查，所以對于數(shù)學(xué)史書的數(shù)學(xué)問題，也會是高考的熱點，本題考了計數(shù)問題，首先如題設(shè)分析，每行每列的所有書的和都是15，然后列舉所有3個數(shù)的和為15的組合情況，168,159,249，258，267，348，357，456共8種情況，含5的有5個，所以5放中間，含2,4,6,8的都3個，所以放在四個角處，并且456,258分占兩條對角線，再用列舉法就比較簡單了，總之，審題要清楚，并且能抽象為一個什么數(shù)學(xué)問題，當解決問題時，計算準確.5．對右圖中的A、B、C、D四個區(qū)域染色，每塊區(qū)域染一種顏色，有公共邊的區(qū)域不同色，ABCD現(xiàn)有紅、黃、藍三種不同顏色可以選擇，則不同的染色方法共有（）A．12種B．18種C．20D．22種B若相同，先染處，有種方法，在染處種方法，第三步染有種方法，共有種,若不同，先染處，有種方法，再染處種方法，第三步有種方法，第四步染種方法，共有種，根據(jù)分類計數(shù)原理可得共有種，故選.2.特殊元素和位置優(yōu)先例2某單位從6男4女共10名員工中，選出3男2女共5名員工，安排在周一到周五的5個夜晚值班，每名員工值一個夜班且不重復(fù)值班，其中女員工甲不能安排在星期一、星期二值班，男員工乙不能安排在星期二值班，其中男員工丙必須被選且必須安排在星期五值班，則這個單位安排夜晚值班的方案共有（）A.960種B.984種C.1080種D.1440種A【方法總結(jié)】：解答本題的關(guān)鍵是深刻充分理解題意，靈活運用排列數(shù)、組合數(shù)公式及分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理兩個基本原理。求解依據(jù)題設(shè)條件將問題分為四類，然后運用排列數(shù)、組合數(shù)公式及分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理兩個基本原理求出問題的答案，使得問題獲解。練習1．現(xiàn)安排甲乙丙丁戊5名學(xué)生分別擔任語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)學(xué)科的科代表，要求甲不當語文科代表，乙不當數(shù)學(xué)科代表，若丙當物理科代表則丁必須當化學(xué)科代表，則不同的選法共有多少種()A.53B.67C.85D.91B丙當物理課代表則丁必須當化學(xué)課代表，以丙進行分類第一類，當丙當物理課代表時，丁必須當化學(xué)課代表，再根據(jù)甲當數(shù)學(xué)課代表，乙戊可以當英語和語文中的任一課，有種，當甲不當數(shù)學(xué)課代表，甲只能當英語課代表，乙只能當語文課代表，戊當數(shù)學(xué)課代表，有種，共計種，第二類，當丙不當物理課代表時，分四類①丙為語文課代表時，乙只能從英語、物理和U學(xué)中選擇一課，剩下的甲丁戊任意排給剩下的三課，有種，②丙為數(shù)學(xué)課代表時，甲只能從英語、物理和化學(xué)課，剩下的乙丁戊任意排給剩下的三課，有種，③丙為英語課代表時，繼續(xù)分類，甲當數(shù)學(xué)課代表時，其他三位同學(xué)任意當有種，當甲不當數(shù)學(xué)課代表，甲只能從物理和化學(xué)課中選一課,乙只能從語文和甲選完后的剰下的一課中選一課，丁和戊做剰下的兩課，有,共計種④丙為化學(xué)課代表時，同③的選法一樣有種，根據(jù)分類計數(shù)原理得，不同的選法共有故選.【方法總結(jié)】本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，屬于難題.有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準確率.2．4名運動員參加接力賽，根據(jù)平時隊員訓(xùn)練的成績，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，則不同的出場順序有（）A.12種B.14種C.16種D.24種B由于4名運動員四棒全排共有種，其中甲跑第一棒的種數(shù)為；乙跑第四棒的種數(shù)為；其中甲排第一棒，同時乙跑第四棒的種數(shù)為。則所有不同出場的順序為。，應(yīng)選答案B。3．將數(shù)字“”重新排列后得到不同的偶數(shù)個數(shù)為（）A.72B.120C.192D.240D4．由組成的無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)共有（）A.個B.個C.個D.個B分兩類：一、若五位數(shù)的個位數(shù)是，則有種情形；二、若五位數(shù)的個位數(shù)是，由于不排首位，因此只有有種情形，中間的三個位置有種情形，依據(jù)分步計數(shù)原理可得種情形。由分類計數(shù)原理可得所有無重復(fù)五位偶數(shù)的個數(shù)為，應(yīng)選答案B。3.至少問題例3.小王有70元錢，現(xiàn)有面值分別為20元和30元的兩種IC電話卡．若他至少買一張，則不同的買法共有()A.7種B.8種C.6種D.9種A要完成的一件事是“至少買一張IC電話卡”，分三類完成：買1張IC卡，買2張IC卡，買3張IC卡．而每一類都能獨立完成“至少買一張IC電話卡”這件事．買1張IC卡有2種方法，即買一張20元面值的或買一張30元面值的；買2張IC卡有3種方法，即買兩張20元面值的或買兩張30元面值的或20元面值的和30元面值的各買一張，買3張IC卡有2種方法，即買兩張20元面值的和一張30元面值的或3張20元面值的，故共有2＋3＋2＝7(種)不同的買法．練習1．3個單位從4名大學(xué)畢業(yè)生中選聘工作人員，若每個單位至少選聘1人（4名大學(xué)畢業(yè)生不一定都能選聘上），則不同的選聘方法種數(shù)為（）A.60B.36C.24D.42A2．為防止部分學(xué)生考試時用搜題軟件作弊，命題組指派5名教師對數(shù)學(xué)卷的選擇題、填空題和解答題這3種題型進行改編，則每種題型至少指派一名教師的不同分派方法種數(shù)為（）A.種B.種C.種D.種A分派類型為311或221，所以不同分派方法種數(shù)為,選A.3．將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分配到三個不同的班，每個班至少一名，則不同分法的種數(shù)為（）A.18B.24C.36D.72C先不考慮甲、乙同班的情況，將4人分成三組有C42＝6(種)方法，再將三組同學(xué)分配到三個班級有A33＝6(種)分配方法，依據(jù)分步計數(shù)原理可得不同分配方法有種，應(yīng)選答案C。4.順序一定問題例4.元宵節(jié)燈展后，如圖懸掛有9盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，共有__________種不同取法．（用數(shù)字作答）1680【方法總結(jié)】：求解排列、組合問題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法.練習1．某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目和一個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A.72B.120C.144D.168B2．將數(shù)字1，2，3，4，5，6排成一列，記第個數(shù)為（），若，，，，則不同的排列方法種數(shù)為（）A.18B.30C.36D.48B分兩步：（1）先排時，有種；時，有種；時，有種；共有種；（2）再排共有種，故不同的排列方法為，故選B.3．甲、乙、丙等個人排成一排照相，且甲、乙不在丙的同側(cè)，則不同的排法共有（）．A.B.C.D.B先排甲、乙、丙，共有種排法，再將剩余人插進去，∴人排成一排，甲、乙不在丙同側(cè)的排法共有種．故選．【方法總結(jié)】：本題考查的是排列組合問題.解決排列組合問題要遵循兩個原則：①按照特殊元素(或特殊位置)的性質(zhì)進行分類；②按照事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以特殊元素(或特殊位置)為主體，即先滿足特殊元素(或特殊位置)，再考慮其他元素(或位置)．4．張、王兩家夫婦各帶1個小孩一起到動物園游玩，購票后排隊依次入園，為安全起見，首尾一定要排兩位大人，另外，兩個小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數(shù)共有()A.144B.124C.72D.36A5.相鄰問題例5.計劃在某畫廊展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,4幅油畫,5幅國畫排成一列,要求同一品種掛在一起,水彩畫不在兩端,那么不同的排列方式有（）種A.AB.AAC.AAD.AAD因為同一品種掛在一起,所以4幅油畫全排列：，5幅國畫全排列，水彩畫不在兩端,所以將油畫和國畫排在水彩畫兩邊.不同的排列方式有.故選D.【方法總結(jié)】：本題考查了元素的排列問題，可以選用捆綁法和插空法來求解問題，如(1)中兩個元素要排在一起，那么就選用捆綁法，然后將其作為一個整體進行全排列，(2)中三個元素不在一起而且存在前后關(guān)系，所以采用插空法，選擇后排入即可.練習1．5人排成一排，要求甲乙兩人之間至少有1人，則不同的排法有（）A.48B.72C.96D.110B5人排成一排，要求甲乙兩人之間至少有1人，2.現(xiàn)將除了甲乙以外的三人全排列中，然后甲乙兩人從三人的四個空中選兩個位置排入.則不同的排法有.故選B.3．有位男生，位女生和位老師站在一起照相，要求老師必須站中間，與老師相鄰的不能同時為男生或女生，則這樣的排法種數(shù)是（）A.B.C.D.D【方法總結(jié)】：求解排列、組合問題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法.4.字母排成一列，其中和相鄰且在的前面，共有排列方法種數(shù)為（）A.B.C.D.A把和看做是一個字母，和其他四個字母作一個排列，共有排法,故選A.6.不相鄰問題例6．某班上午有五節(jié)課，分別安排語文，數(shù)學(xué)，英語，物理，化學(xué)各一節(jié)課．要求語文與化學(xué)相鄰，數(shù)學(xué)與物理不相鄰，且數(shù)學(xué)課不排第一節(jié)，則不同排課法的種數(shù)是（）A.16B.24C.8D.12A根據(jù)題意，分3步進行分析：①要求語文與化學(xué)相鄰，將語文與化學(xué)看成一個整體，考慮其順序，有種況；②將這個整體與英語全排列，有種順序，排好后，有3個空位；③數(shù)學(xué)課不排第一節(jié)，有2個空位可選.在剩下的2個空位中任選1個，安排物理，有2種情況，則數(shù)學(xué)、物理的安排方法有種，則不同排課法的種數(shù)是種，故選A.練習1．現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中甲、乙、丙三從兩兩不相鄰的排法的種數(shù)為（）A.B.C.D.C先排剩下5人，再從產(chǎn)生的6個空格中選3個位置排甲、乙、丙三人，即，選C.甲、乙等人在南沙聚會后在天后宮沙灘排成一排拍照留念，甲和乙必須相鄰的排法有（）．A.種B.種C.種D.種B由題意利用捆綁法求解，甲、乙兩人必須相鄰的方法數(shù)為種．選．2．一個長椅上共有10個座位，現(xiàn)有4人去坐，其中恰有5個連續(xù)空位的坐法共有（）A.240種B.600種C.408種D.480種D若5個連續(xù)空位在兩端時，坐法共有;若5個連續(xù)空位不在兩端時，坐法共有;所以共有，選D.3．有兩排座位，前排個座位，后排個座位，現(xiàn)安排人就座，規(guī)定前排中間的個座位不能坐，并且這兩人不左右相鄰，那么不同的坐法的種數(shù)是（）A.B.C.D.D由題意知本題是一個分類計數(shù)問題，都在前排左面4個座位6種，都在前排右面4個座位6種，分列在中間3個的左右4×4×2=32種，在前排一共6+6+32=44種，甲乙都在后排共有種，甲乙分列在前后兩排種，一共有44+110+192=346種.故選D.四．高考真題試卷演練1【2017課標II，理6】安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有（）A．12種B．18種C．24種D．36種D【考點】排列與組合；分步乘法計數(shù)原理【名師點睛】(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步。具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)。2.【2016高考新課標2理數(shù)】如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（）（A）24（B）18（C）12（D）9B試題分析：由題意，小明從街道的E處出發(fā)到F處最短有條路，再從F處到G處最短共有條路，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為條，故選B.考點：計數(shù)原理、組合.【名師點睛】分類加法計數(shù)原理在使用時易忽視每類做法中每一種方法都能完成這件事情，類與類之間是獨立的．分步乘法計數(shù)原理在使用時易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事，步步之間是相關(guān)聯(lián)的．3.【2016年高考四川理數(shù)】用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為（A）24（B）48（C）60（D）72D考點：排列、組合【名師點睛】利用排列組合計數(shù)時，關(guān)鍵是正確進行分類和分步，分類時要注意不重不漏，分步時要注意整個事件的完成步驟．在本題中，個位是特殊位置，第一步應(yīng)先安排這個位置，第二步再安排其他四個位置．.4.【2016高考新課標3理數(shù)】定義“規(guī)范01數(shù)列”如下：共有項，其中項為0，項為1，且對任意，中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有（）（A）18個 （B）16個 （C）14個 （D）12個C試題分析：由題意，得必有，，則具體的排法列表如下：00001111101110110100111011010011010001110110100110考點：計數(shù)原理的應(yīng)用．【方法點撥】求解計數(shù)問題時，如果遇到情況較為復(fù)雜，即分類較多，標準也較多，同時所求計數(shù)的結(jié)果不太大時，往往利用表格法、樹枝法將其所有可能一一列舉出來，常常會達到岀奇制勝的效果．5.【2015高考四川，理6】用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有（）（A）144個（B）120個（C）96個（D）72個B據(jù)題意，萬位上只能排4、5.若