工程數(shù)學(xué)-線性代數(shù)第五版答案03

第三章 矩陣的初等變換與線性方程組1把下列矩陣化為行最簡形矩陣1021(1)203 304 1021解 203 (下一r(2)rr(3)r) 304 10 2

2 1 3 1~00 1 3(

(1)r

(2)) 002 1021~0013(

2 3r) 001 0 1021~0013(r3) 000 3 102~0013(r) 000 1 102~001 0(r(2)r

r) 000 1000~0010 000 023 (2)034 3 047

1 2 1 3023 解 034 3(下一r2(3)r

(2)r) 047 023

2 1 3 1~00 1 3(

rr

3r) 001 02010~001 3(

3 2 1 22) 000 0 0105~0013 1134 3(3) 3354 (3) 2232 0 3342 113解335解223

30(r3rr2rr3r)3 33

2

2 1 3 1 4 111 34 3~0 04 8 8~0 03 6 6(r(4)r(3)r(5))0 05 10100

2 3 4113~0 01~0 01

322(下一步r3rrrrr)0201 2 0201

1 2 3 2 4 21~0 0~0 00000

0 2312 20 0 00 0 02 (4)1 2(4)3223

1370248 3 07 4 32 解1 2解32

1370248 3 0(r2rr3rr2r)23

7 4

1 2 3 2 4 20 11 1 ~1 2024~088 9 12(

r8rr

7r) 077 8

2 1

1 4 10~1 0~0 0

11 20201 4(rrr(1)rr)00 0010 2

1 402

1 2 2 4 3~01~00 0

111 4(rr)000 0 0 2 300010~01~000000

2 10 0

23400010101 1232設(shè)100A010456求A 0010 010解 100是初等矩陣E(12)其逆矩陣就是其本 101010E(12(1))其逆矩陣是 101E(12(1)) 01 0 00 0101210A10045601 0 001789 451045212301 0122 78900 3試利用矩陣的初等變換求下列方陣的逆矩陣321(1)315 321100 3 21 100解 315010~0410 323001 0 02 3 203/201/2 3 00 7/229/2~00 11 2~00 11 20 02 0 0 011/20 1/2 100 7/62/33/2~010 2 0011/2 0 7 2 3 6 3 2故逆矩陣為11 20 1 10 2 2 32 0 (2) 0 2 2 (2) 1232 0 1 2 32 0 10000 2 2 101003200121032001210003200210095100 1 1 ~0 1~0 0 40 2

10030210210103200121000 12 0~0 1 0 0 1 11034 0 02 01 0 123200 1 0~0 1 2 100 0 0 0 1 1103 4 0 0 0 1216 ~0 101~0 100 0100 00

0 2

2 20 3 661010~000

000 1 12 4100 0 1 0 0103 6001 2 16101故逆矩陣為122

12 41 0 1 3 61610412 134(1)設(shè)A22 B2 2求X使AXB 31 解 因為412 13 100 10 2B)22 1 2 2010 153 3130 10 2所以 X153 12 0 2

1 23 34(2)設(shè)A 23 B23 34 解 考慮ATXTBT因為0 231 2(AT,)21 323

100 240107 1 343 00 24所以 XT(AT)1BT1 7 1 從而 XB121 4 7 4105設(shè)A0 11AX2XA求X 1 0 解 原方程化為(A2E)XA因為10 10(A2E,A)00 1 1 00 100 0 1~0100 001 1 0 1所以 X(AA1 0 1 6r的矩陣中,0r1?0r階子式?解 在秩是r的矩陣中可能存在等于0的r1階子可能存在等于0的r階子式1000例如 A0100R(A)3 00是等于0的2階子式00

00010003階子式0107ABAB的秩的關(guān)系怎樣?解 R(A)R(B)BA的非零子式A的秩不會小于B的秩84的方陣它的兩個行向量是(10100)(11000)解 用已知向量容易構(gòu)成一個有4個非零行的5階下三矩陣1 0111 00 00000

0000001000010000 此矩陣的秩為4其第2行和第3行是已知向量9求下列矩陣的秩并求一個最高階非零子式3 1 0 2(1)12; 1 34 3 1 0 2解 12(下一rr) 1 34 4 12~3 1 0 2(r

r) 1 34 12

2 1 3 1~0 46 5(rr) 0 46 5 ~0 46 5 1~0 46 5 0 0 0 011矩陣的秩2 3 14是一個最高階非零子式113 23(2)21 3 13 7 0 5 3 2132解 21 3 13(下一

rr

2rr

7r) 7 0 51 ~1 344

1 2

1 3 1 (下一步 3320 7 11 9 5 (下一步 3320213327150~0

3447 11 9

55矩陣的秩是2

3 22

7是一個最高階非零子式2 1(3)230(3)3251 0

3 7758 02 02 1解23解32

3 7758 0(rr2rr3r)1 0

2

1 4 2 4 3 40 1 2~036 3~024 2

750(r3rr2r)01 0 3 2 0

2 1 3 101~00~00

1 7016014(下一步r16rr16r)103 2 0103

2 4 3 2012~000~1000010

17000002 10~012~0000000 0

20017000 075矩陣的秩為3 58 0700是一個最高階非零子式32 010A、BmnA~B的充分必要條件是R(A)R(B)證明 根據(jù)定理3必要性是成立的充分性設(shè)R(A)R(B)則A與B的標(biāo)準形是相同的設(shè)A與B的標(biāo)準形為D則有A~DD~B由等價關(guān)系的傳遞性有A~B12A13k為何值可使 k (1)R(A)1(2)R(A)2(3)R(A)312 1 k 解 A130kk k2 3 0 0 (k (1)當(dāng)k1時R(A)1(2)當(dāng)k2且k1時R(A)2(3)當(dāng)k1且k2時R(A)312求解下列齊次線性方程組:xx2xx0(1)0 21xx2x01 2 3 4解 對系數(shù)矩陣A進行初等行變換有112100A211~01 3 1 221 2 0 x 4x1 34于是 x3xx24xx3 34xx4 4故方程組的解為x

43 3k4(k為任意常數(shù)) 341 41 x

xx0(2)x6234x0 511xxx01 2 3 4解 對系數(shù)矩陣A進行初等行變換有1 2 1120A3 613~001 0 510 15 0 x2xx于是 x 2 4x4 4故方程組的解為x 2 1 0

為任意常數(shù))2k k(kkx

20 1 24 4

0 12x3xx5x01x223740(3)3x36x40x122437401 2 3 4解 對系數(shù)矩陣A進行初等行變換有2 34 1

1 5 1000~27 0100~3 6 001012

47 0001x

于是 0004故方程組的解為x

000044x5x7x03x23x32x40(4)411213x6

0712xx3x041 2 3 4解 對系數(shù)矩陣A進行初等行變換有3 4 523 4 11

7 ~02 ~016

031711917

1317201772 1 3 00 0 00000x3x13x1 173 17

0 0 于是 x

19

20x 2 17

17 4xx4 4故方程組的解為x

3 1317 17 19 20

為任意常數(shù))1 k k (k1 3

117

2 170 x 1 00 4 13求解下列非齊次線性方程組:4x

x2(1)

101

2

83解 對增廣矩陣B進行初等行變換有 4 22 1 3 B 3210 ~ 01134 3 0 8 0 0 0 R(A)2R(B)3故方程組無解3yz4(2)x2y4z5(2)8y2z13y9z6解 對增廣矩陣B進行初等行變換有2 3 13 82

4 10 2~5 01~13 00 0

204 1 96 00 0 0 x2z 于是 yz2zzx 2 1z 1 即 yk z 1 2xyzw1(3)2y2zw22xyzw1解 對增廣矩陣B進行初等行變換有211 111/21/201/2B422 12~0 0 01 021110 0 00 0 x1y1z12 2 2于是 yy zzw0x 1 1 1y 2

2 2即 k 1

00(kk

為任意常數(shù))z

0

21 0 1 2w 0 0 w 0 0 2xyzw1(4)2yz3w4 x4yzw2解 對增廣矩陣B進行初等行變換有 2 11 10 B32 13 4~ 015/7 9/75/7 1 43 5 x1z1w7 7 于是 y5z9w5

00 0 0 0 7 7 7zzw1 1 6x 7 7 7即 yk5k95(kk

為任意常數(shù))z 1 2 7 2 7 70 1 w 1 0 00 1 14寫出一個以 2 2xc3c 40 1 2 00 為通解的齊次線性方程組解 根據(jù)已知可得

x 2 2c3

41 21

2 0 0 4與此等價地可以寫成x2cc1ccc 1 24 2或 x2xx x133x44x2 3 4或 x2xx0 02 3 4這就是一個滿足題目要求的齊次線性方程組15取何值時非齊次線性方程組xxx1x1231x2321 2 3有唯一解(2)無解(3)有無窮多個解?11 1解 B11 11 r1 1 2 ~ 01 0 0 要使方程組有唯一解R(A)3因此當(dāng)且時方程組有唯一解.要使方程組無解R(A)R(B)故(1)(2)0(1)(1)20因此2時方程組無解要使方程組有有無窮多個解R(A)R(B)3故(1)(2)0(1)(1)20因此當(dāng)方程組有無窮多個解.16非齊次線性方程組2xxx2x1x2x31x22321 2 3當(dāng)取何值時有解？并求出它的解2 1 12

12 1 解 B 12 1 ~0 11 2( 1 12 3 2 0 0 02) 要使方程組有解必須即當(dāng)1時2 1 12 101B 12 1 1~0110 1 12 方程組解為xx

1 xx11 3

xx 2 32 3 xx3 3x 1即 k10(k為任意常數(shù)) 0 3當(dāng)2時2 1 12 102B 12 12~012 1 12 4 方程組解為xx2

或xx22 3

2

23 3即 x 2k12(k為任意常數(shù)) 0 32)x

2x2x117設(shè)2x5

)x24x32 1

4x2

3

1問為何值時?并在有無窮多解時求解2 2 2 解 B 25 4 2 2 45 25 4 2 ~01 1 1 0 0 (1)(10)(1)(4 要使方程組有唯一解R(A)R(B)3即必須(1)(10)0所以當(dāng)且時方程組有唯一解.