安徽省合肥市2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理【含答案】

安徽省合肥市2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理一、選擇題：本題共l2小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）已知大前提：所有的奇函數(shù)在處的函數(shù)值為0；小前提：是奇函數(shù)；結(jié)論：．則該三段論式的推理A．是正確的 B．大前提錯誤 C．小前提錯誤 D．推理形式錯誤2．（5分）用反證法證明“若，則，，中至少有一個為0”的第一步假設(shè)應(yīng)為A．，，全為0 B．，，中至多有一個為0 C．，，不全為0 D．，，全不為03．（5分）已知函數(shù)從到的平均變化率為，則實數(shù)的值等于A．2 B．1 C． D．4．（5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點在射線上，且，則A． B． C． D．5．（5分）觀察下列圖形的規(guī)律，則第個圖中正三角形的個數(shù)為A． B． C． D．6．（5分）已知函數(shù)的圖象在處的切線傾斜角為，則實數(shù)A． B． C．0 D．17．（5分）若，則正整數(shù)A．4 B．5 C．6 D．78．（5分）把10名同學(xué)的學(xué)號分別寫在10張卡片上，再把卡片分發(fā)給這10名同學(xué)，每人1張，則恰有3名同學(xué)卡片上的數(shù)字與自己學(xué)號不一致的分發(fā)方法數(shù)為A．120 B．240 C．360 D．4809．（5分）要安排6名消防員去4個小區(qū)進(jìn)行消防安全教育，每人去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1人，則不同的安排方法數(shù)為A．480 B．1080 C．1560 D．252010．（5分）已知，，則（a）的最小值為A． B． C． D．11．（5分）已知函數(shù)，則的導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是A． B． C． D．12．（5分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若存在使得，則稱是的一個“巧值點”．函數(shù)的巧值點的個數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)．14．（5分）將，，，四盆不同的花從左到右擺放成一排，但，不能相鄰，，相鄰，則共有種不同的擺放方法．15．（5分）函數(shù)的極值點為．16．（5分）觀察下列各式：，，，，歸納得第個等式為．若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17．（10分）已知復(fù)數(shù)滿足，，．（Ⅰ）求的共軛復(fù)數(shù)；（Ⅱ）若，求的取值范圍．18．（12分）請你根據(jù)向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)，推導(dǎo)出平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即：已知，，，，證明：．19．（12分）某晚會上有4個歌舞類節(jié)目和3個語言類節(jié)目，分別求滿足以下各條件的不同表演順序種數(shù)．（Ⅰ）前兩個節(jié)目中既有歌舞類節(jié)目也有語言類節(jié)目；（Ⅱ）3個語言類節(jié)目都不相鄰；（Ⅲ）3個語言類節(jié)目相鄰，且指定的某個歌舞類節(jié)目不排在最后．20．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）若在點，（1）處的切線方程為，求實數(shù)，的值；（Ⅱ）若，在，內(nèi)存在極小值，且為的導(dǎo)函數(shù)），求實數(shù)的取值范圍．21．（12分）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點和．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，求的解析式，并求在，上的最值．22．（12分）已知函數(shù)的最小值為0．（Ⅰ）求；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，證明：有兩個極值點，，且．

2020-2021學(xué)年安徽省合肥六中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）答案與試題解析一、選擇題：本題共l2小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）已知大前提：所有的奇函數(shù)在處的函數(shù)值為0；小前提：是奇函數(shù)；結(jié)論：．則該三段論式的推理A．是正確的 B．大前提錯誤 C．小前提錯誤 D．推理形式錯誤【考點】演繹推理【分析】當(dāng)時，函數(shù)是奇函數(shù)，則，故大前提是錯誤的．解：當(dāng)時，函數(shù)是奇函數(shù)，則，故推理的大前提：“函數(shù)是奇函數(shù)，則”是錯誤的，導(dǎo)致結(jié)論錯．故選：．【點評】本題考查演繹推理，演繹推理的基本方法，考查三段論，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）用反證法證明“若，則，，中至少有一個為0”的第一步假設(shè)應(yīng)為A．，，全為0 B．，，中至多有一個為0 C．，，不全為0 D．，，全不為0【考點】反證法【分析】反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，可據(jù)此進(jìn)行解答解：用反證法證明命題“若，則，，中至少有一個為0”時，假設(shè)正確的是：假設(shè)，，全不為0．故選：．【點評】本題考查反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設(shè)結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．3．（5分）已知函數(shù)從到的平均變化率為，則實數(shù)的值等于A．2 B．1 C． D．【考點】變化的快慢與變化率【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得（2）、（1）的值，由平均變化率公式可得，解可得的值，即可得答案．解：根據(jù)題意，函數(shù)，則（2），（1），若函數(shù)從到的平均變化率為，即，解可得：；故選：．【點評】本題考查變化率的計算，注意變化率的計算公式，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點在射線上，且，則A． B． C． D．【考點】復(fù)數(shù)的?！痉治觥吭O(shè)，，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點在射線上，且，可得：，，，解得，．解：設(shè)，，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點在射線上，且，，，，解得，．則，故選：．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義、模的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）觀察下列圖形的規(guī)律，則第個圖中正三角形的個數(shù)為A． B． C． D．【考點】歸納推理【分析】先觀察給出的三角形圖案，將各圖的三角形的個數(shù)列出來，探討規(guī)律，將其轉(zhuǎn)化為特殊的數(shù)列，再用通項公式求解．解：由觀察知，第一個圖中正三角形的個數(shù)為1，第二個圖中正三角形的個數(shù)為5，第三個圖中正三角形的個數(shù)為9，第個圖中正三角形的個數(shù)構(gòu)成首項為1，公差為4的等差數(shù)列，第個圖中正三角形的個數(shù)為．故選：．【點評】本題主要考查歸納推理，歸納其規(guī)律，體現(xiàn)了特殊到一般的思想方法，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）已知函數(shù)的圖象在處的切線傾斜角為，則實數(shù)A． B． C．0 D．1【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程【分析】依題意，可求得的圖象在處的切線的斜率為，從而可得答案．解：函數(shù)的圖象在處的切線的斜率，故選：．【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)曲線上某點的斜率，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）若，則正整數(shù)A．4 B．5 C．6 D．7【考點】排列及排列數(shù)公式【分析】根據(jù)排列數(shù)、組合數(shù)的公式，列方程求解即可．解：因為，所以，整理得，解得或，所以正整數(shù)．故選：．【點評】本題考查了排列數(shù)、組合數(shù)公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．8．（5分）把10名同學(xué)的學(xué)號分別寫在10張卡片上，再把卡片分發(fā)給這10名同學(xué)，每人1張，則恰有3名同學(xué)卡片上的數(shù)字與自己學(xué)號不一致的分發(fā)方法數(shù)為A．120 B．240 C．360 D．480【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題【分析】分兩步，第一步，先選出3名同學(xué)卡片上的數(shù)字與自己學(xué)號不一致的方法，第二步求出名同學(xué)卡片上的數(shù)字與自己學(xué)號不一致的方法，根據(jù)分步計數(shù)原理可得．解：恰有3名同學(xué)卡片上的數(shù)字與自己學(xué)號不一致，則其它7人與自己的學(xué)號一致，先選出3人，有種，3名同學(xué)卡片上的數(shù)字與自己學(xué)號不一致的方法2種，根據(jù)分步計數(shù)原理可得，共有種．故選：．【點評】本題考查了分步計數(shù)原理，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（5分）要安排6名消防員去4個小區(qū)進(jìn)行消防安全教育，每人去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1人，則不同的安排方法數(shù)為A．480 B．1080 C．1560 D．2520【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題【分析】6名消防員可以分為，1，1，，，2，1，兩種情況，再分配到4個小區(qū)，即可求出．解：6名消防員可以分為，1，1，，，2，1，兩種情況，再分配到4個小區(qū)，共有，故選：．【點評】本題考查了分組分配問題，考查了排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10．（5分）已知，，則（a）的最小值為A． B． C． D．【考點】定積分、微積分基本定理【分析】根據(jù)定積分的幾何意義，求出，找出被積函數(shù)的原函數(shù)，求出，再利用二次函數(shù)求最值即可．解：表示以原點為圓心，以為半徑的圓的面積的，，，（a），（a）的最小值為．故選：．【點評】本題考查了定積分的基本運算和幾何意義，以及二次函數(shù)求最值問題，屬于基礎(chǔ)題．11．（5分）已知函數(shù)，則的導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是A． B． C． D．【考點】函數(shù)的圖象與圖象的變換【分析】求導(dǎo)得到，利用的零點及時，可得出答案．解：，顯然有兩個解，或，故排除選項，當(dāng)時，，故排除選項．故選：．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)運算，考查函數(shù)圖象的識別，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若存在使得，則稱是的一個“巧值點”．函數(shù)的巧值點的個數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．3【考點】函數(shù)與方程的綜合運用【分析】根據(jù)題意，求出的導(dǎo)數(shù)，可得，即，設(shè)，，求出的導(dǎo)數(shù)，分析的單調(diào)性，由函數(shù)零點判定定理分析的零點，即可得的零點個數(shù)，分析可得答案．解：根據(jù)題意，，則其導(dǎo)數(shù)，若，即，設(shè)，函數(shù)的零點就是方程的根，也就是函數(shù)的巧值點，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，必有在上恒成立，故在上是增函數(shù)，又由（1），（2），則有（1）（2），在區(qū)間上存在零點，又由在上是增函數(shù)，則存在唯一的零點，故函數(shù)的巧值點的個數(shù)為1；故選：．【點評】本題考查函數(shù)零點的判斷，涉及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)1．【考點】復(fù)數(shù)的運算【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、純虛數(shù)的定義即可得出．解：復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，，，解得．故1．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、純虛數(shù)的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）將，，，四盆不同的花從左到右擺放成一排，但，不能相鄰，，相鄰，則共有8種不同的擺放方法．【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題【分析】把捆綁在一起看作一個復(fù)合元素插入到，之間，再排除在之間，即可求出．解：先把捆綁在一起看作一個復(fù)合元素插入到，之間，共有種，其中滿足相鄰，也相鄰，即在之間，有種故有種，故8．【點評】本題考查排列、組合及簡單計數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是本題中所用到的綁定與插空，不同的計數(shù)問題中所采用的技巧，將這些技巧與具體的背景結(jié)合起來，熟練掌握這些技巧．15．（5分）函數(shù)的極值點為3．【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的極值點即可．解：，，令，解得：，故的極值點是，故3．【點評】本題考查了求函數(shù)的極值點問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．16．（5分）觀察下列各式：，，，，歸納得第個等式為．若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【考點】歸納推理【分析】先得到，再利用分參得到，最后利用基本不等式求出最值即可．解：由題意得，，恒成立，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，的最小值為8，，即的取值范圍為．【點評】本題考查了歸納推理，考查了恒成立，分參利用基本不等式求最值問題，屬于中檔題．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17．（10分）已知復(fù)數(shù)滿足，，．（Ⅰ）求的共軛復(fù)數(shù)；（Ⅱ）若，求的取值范圍．【考點】復(fù)數(shù)的運算；復(fù)數(shù)的?！痉治觥坑?，利用復(fù)數(shù)的運算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出．（Ⅱ），．若，則，化簡即可得出的取值范圍．解：，，，，的共軛復(fù)數(shù)．（Ⅱ），．若，則，化為，解得：，的取值范圍為．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、模的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．（12分）請你根據(jù)向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)，推導(dǎo)出平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即：已知，，，，證明：．【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算【分析】設(shè)出坐標(biāo)軸上的單位向量，利用平面向量數(shù)量積的運算法則化簡求解即可，證明：設(shè)軸上的單位向量為：，軸上的單位向量為，所以，，，，，．所以．【點評】本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式的證明，是中檔題．19．（12分）某晚會上有4個歌舞類節(jié)目和3個語言類節(jié)目，分別求滿足以下各條件的不同表演順序種數(shù)．（Ⅰ）前兩個節(jié)目中既有歌舞類節(jié)目也有語言類節(jié)目；（Ⅱ）3個語言類節(jié)目都不相鄰；（Ⅲ）3個語言類節(jié)目相鄰，且指定的某個歌舞類節(jié)目不排在最后．【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題．【分析】（Ⅰ）特殊位置優(yōu)先安排的原則，根據(jù)分步計數(shù)原理即可求出；（Ⅱ）利用插空法，即可求出；（Ⅲ）利用捆綁法和插空法即可求出．解：（Ⅰ）先從歌舞類節(jié)目和語言類節(jié)目各選1個，排在前兩個節(jié)目，其它的任意排，故C41C31A22A55＝2880種；（Ⅱ）將3個語言類節(jié)目插入到4個歌舞類節(jié)目所形成的空中，有A44A53＝1440種；（Ⅲ）將3個語言類節(jié)目相鄰捆綁在一起看作一個復(fù)合元素，再和除指定的某個歌舞類節(jié)目的3個歌舞類節(jié)目全排，最后將指定的某個歌舞類節(jié)目插入到所形成的空（不包含最后一個空）中，故有A33A44A41＝576種．【點評】本題考查排列、組合的應(yīng)用，要掌握常見問題的處理方法，如相鄰問題用捆綁法，屬于基礎(chǔ)題．20．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）若在點，（1）處的切線方程為，求實數(shù)，的值；（Ⅱ）若，在，內(nèi)存在極小值，且為的導(dǎo)函數(shù)），求實數(shù)的取值范圍．【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于，的方程組，解出即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極小值點，得到故，的不等式，求出的取值范圍即可．解：（Ⅰ）（1），，由題意得：，解得：；（Ⅱ），，，即，，，有2個不同的實數(shù)解，即或且，在上，，遞增，在上，，遞減，在，上，，遞增，是的極小值點，，解得：，，，實數(shù)的取值范圍是，．【點評】本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性，極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是中檔題．21．（12分）