《正方形的性質(zhì)與判定》第2課時示范課教學(xué)課件【數(shù)學(xué)九年級上冊北師大】

正方形的性質(zhì)與判定第2課時北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊

觀察下列實物中的正方形，說一說什么是正方形？一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.復(fù)習(xí)回顧正方形具有哪些性質(zhì)呢？

正方形

觀察下列實物中的正方形，說一說什么是正方形？復(fù)習(xí)回顧正方形具有哪些性質(zhì)呢？正方形的四個角都是直角，四條邊相等.正方形的對角線相等并且互相垂直平分.怎樣判定一個四邊形是正方形呢？

你是如何判斷一個四邊形是矩形、菱形？平行四邊形矩形菱形四邊形三個角是直角四條邊相等定義四個判定定理定義對角線相等定義對角線垂直想一想

如圖，將一張長方形紙片對折兩次，然后剪下一個角打開，只要剪口線與折痕成45°角，展開后的圖形就是正方形.操作你知道這樣做的道理嗎？合作探究活動1

準備一張矩形的紙片，按照下圖折疊，然后展開，折疊部分得到一個正方形，可量一量驗證.滿足怎樣條件的矩形是正方形？合作探究活動1

準備一張矩形的紙片，按照下圖折疊，然后展開，折疊部分得到一個正方形，可量一量驗證.【猜想1】當矩形的___________時，會變成一個正方形.一組鄰邊相等【猜想2】當矩形的________________時，會變成一個正方形.對角線互相垂直你能證明這兩個猜想嗎？猜想1：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.已知：四邊形ABCD是矩形，AB=BC.求證：四邊形ABCD是正方形.證明證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°，四邊形ABCD是平行四邊形.又∵AB=BC，∴四邊形ABCD是正方形.猜想2：對角線互相垂直的矩形是正方形.已知：四邊形ABCD是矩形，對角線AC與BD相交于點O，AC⊥BD.求證：四邊形ABCD是正方形.證明證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OC=OB=OD，∠BAD=90°.又∵AC⊥BD，∴△AOB≌△AOD(SAS).∴AB=AD.∴四邊形ABCD是正方形(正方形的定義).歸納定理1：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.∵四邊形ABCD是矩形，AB=BC，∴四邊形ABCD是正方形.符號語言：定理2：對角線互相垂直的矩形是正方形.∵四邊形ABCD是矩形，AC⊥BD，∴四邊形ABCD是正方形.符號語言：合作探究活動2

把可以活動的菱形框架的一個角變?yōu)橹苯?，觀察這時菱形框架的形狀，量量看是不是正方形.滿足怎樣條件的菱形是正方形？活動2

把可以活動的菱形框架的一個角變?yōu)橹苯?，觀察這時菱形框架的形狀，量量看是不是正方形.合作探究【猜想3】當菱形的_____________時，會變成一個正方形.有一個角是直角【猜想4】當菱形的________________時，會變成一個正方形.對角線相等你能證明這兩個猜想嗎？猜想3：有一個角是直角的菱形是正方形.已知：四邊形ABCD是菱形，∠A=90°.求證：四邊形ABCD是正方形.證明證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，四邊形ABCD是平行四邊形.又∵

∠A=90°，∴四邊形ABCD是正方形.猜想4：對角線相等的菱形是正方形.已知：四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD相交于點O，AC=BD.求證：四邊形ABCD是正方形.證明證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD.又∵AC=BD，∴OA=OC=OB=OD，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°.∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠BAD=90°.∴四邊形ABCD是正方形(正方形的定義).歸納定理3：有一個角是直角的菱形是正方形.∵四邊形ABCD是菱形，∠A=90°，∴四邊形ABCD是正方形.符號語言：定理4：對角線相等的菱形是正方形.∵四邊形ABCD是菱形，AC=BD，∴四邊形ABCD是正方形.符號語言：典型例題例2已知：如圖，在矩形ABCD

中，BE平分∠ABC，CE

平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求證：四邊形BECF

是正方形.在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠DCB=90°.

分析：由BF∥CE，CF∥BE，可證四邊形BECF是平行四邊形.又由BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，可得∠EBC=∠ECB=45°，所以EB=EC.從而四邊形BECF是菱形.在△BEC中，∠EBC=45°，∠ECB=45°，則∠BEC=90°，所以四邊形BECF是正方形.證明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四邊形BECF

是平行四邊形.∵四邊形ABCD

是矩形，∴∠ABC=90°，∠DCB=90°.又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC=∠ABC=45°，∠ECB=∠DCB=45°.典型例題例2已知：如圖，在矩形ABCD

中，BE平分∠ABC，CE

平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求證：四邊形BECF

是正方形.∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC.∴□

BECF

是菱形(菱形的定義).在△EBC

中，∵∠EBC=45°，∠ECB=45°，∴∠BEC=90°.∴菱形BECF

是正方形(有一個角是直角的菱形是正方形).你還有別的證法嗎？做一做

如圖，任意畫一個四邊形，以四邊的中點為頂點可以組成一個平行四邊形.

思考：任意畫一個正方形，以四邊的中點為頂點可以組成一個怎樣的圖形呢？平行四邊形猜想：正方形你能嘗試證明嗎？證明：連接AC，BD，∵A1，B1

分別是AB

和BC邊中點，∴A1B1∥AC且A1B1

=

AC.同理可證C1D1∥AC且

C1D1

=

AC.A1D1∥BD且A1D1

=BD，B1C1∥BD且B1C1

=BD.∴四邊形A1B1C1D1

為平行四邊形.證明ADCBA1B1C1D1已知：如圖，點A1，B1，C1，D1

分別是正方形ABCD

各邊的中點.求證：四邊形A1B1C1D1

為正方形.證明ADCBA1B1C1D1已知：如圖，點A1，B1，C1，D1

分別是正方形ABCD

各邊的中點.求證：四邊形A1B1C1D1

為正方形.又∵四邊形ABCD

是正方形，∴AC=BD(正方形的對角線相等)

AC⊥BD(正方形的對角線互相垂直)，∴A1B1

=A1D1

=B1C1

=C1D1，∠1=90°.∴四邊形A1B1C1D1是菱形，∠2=90°.∴四邊形A1B1C1D1為正方形.12以正方形的四邊中點為頂點可以組成一個正方形.

菱形的中點四邊形會是什么形狀？猜想：矩形猜想：菱形請嘗試證明這兩個猜想？議一議

矩形的中點四邊形會是什么形狀？證明已知：如圖，點E，F(xiàn)，G，H

分別是菱形ABCD

各邊的中點.求證：四邊形EFGH

為矩形.證明：連接AC，BD.∵E，F(xiàn)分別是AB

和BC邊中點，∴EF∥AC，同理可證HG∥AC，EH∥BD，F(xiàn)G∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG.∴四邊形EFGH，PFQO為平行四邊形.又∵四邊形ABCD

是菱形，∴AC⊥BD(菱形的對角線互相垂直).∴∠1=90°.

∴四邊形PFQO為矩形.∴∠2=90°.∴四邊形EFGH是矩形(矩形的定義).以菱形的四邊中點為頂點可以組成一個矩形.證明已知：如圖，點E，F(xiàn)，G，H

分別是矩形ABCD

各邊的中

點.求證：四邊形EFGH

為菱形.以矩形的四邊中點為頂點可以組成一個菱形.證明：連接AC，BD.∵E，F(xiàn)分別是AB

和BC邊中點，∴EF∥AC且EF=AC.同理可證HG∥AC且HG=AC，EH∥BD且EH=BD，F(xiàn)G∥BD且FG=BD.∴四邊形EFGH為平行四邊形.又∵四邊形ABCD

是矩形，∴AC=BD(矩形的對角線相等)，∴EF=EH.∴四邊形EFGH是菱形(菱形的定義).

決定中點四邊形形狀的關(guān)鍵因素是什么？議一議對角線不垂直，不相等平行四邊形對角線不垂直，不相等平行四邊形對角線相等菱形對角線垂直矩形對角線相等且垂直正方形

決定中點四邊形的形狀的主要因素是:原四邊形的對角線的長度和位置關(guān)系.證明:在正方形ABCD

中,BE

＝DF,易證△CEB≌△AEB≌△AFD≌△CFD,即CE

＝AE

＝AF

＝FC,∴四邊形AECF是菱形．搶答隨堂練習(xí)1.已知：如圖，E，F(xiàn)

是正方形ABCD

的對角線BD

上的兩點，且BE=DF.求證：四邊形AECF

是菱形.證明:在正方形ABCD

中，BE

＝DF，易證△CEB≌△AEB≌△AFD≌△CFD.∴CE

＝AE

＝AF

＝FC．∴四邊形AECF是菱形．搶答隨堂練習(xí)解：四邊形EFGH

是正方形.∵在正方形ABCD

中，AE=BF=CG=DH，易證△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE.∴EH

＝HG＝GF＝FE，且∠AHE＝∠DGH

．∵∠DGH

＋∠DHG＝90°.∴∠EHG＝180°－(∠AHE＋∠DHG)＝90°.∴四邊形EFGH

是正方形.2.如圖，在正方形ABCD

中，E，F(xiàn)，G，H

分別在它的四條邊上，且AE=BF=CG=DH.四邊形EFGH是什么特殊四邊形？你是如