直線投影相關(guān)知識(shí)簡(jiǎn)介

第三章投影法和點(diǎn)、直線、平面的投影3.3直線的投影預(yù)備知識(shí)：點(diǎn)的三面投影及其投影規(guī)律兩點(diǎn)間的相對(duì)位置關(guān)系及重影點(diǎn)aaabbb●●●●●●

兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。⒈直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性一、直線的投影特性AB●●●●ab直線垂直于投影面投影重合為一點(diǎn)積聚性，α=90°直線平行于投影面投影反映線段實(shí)

ab=ABα=0°直線傾斜于投影面投影比空間線段短

ab=ABcosα●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●夾角：直線與它的水平投影、正面投影、側(cè)面投影的夾角，分別稱為該直線對(duì)投影面H、V、W的傾角α、β、γ

直線平行于投影面，傾角為0°

直線垂直于投影面，傾角為90°

直線傾斜于投影面，傾角大于0°,小于

90°投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線(平行于Ｖ面)側(cè)平線(平行于Ｗ面)水平線(平行于Ｈ面)正垂線(垂直于Ｖ面)側(cè)垂線(垂直于Ｗ面)鉛垂線(垂直于Ｈ面)一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面2.直線對(duì)三個(gè)投影面的投影特性2.1、投影面平行線只平行某一投影面而同時(shí)傾斜另外兩個(gè)投影面的直線水平線正平線側(cè)平線、正平線平行于正面，傾斜于水平面和側(cè)面的直線①V面投影反映實(shí)長(zhǎng)，a’b’=AB②ab∥OX,a’’b’’∥OZ

投影特性：正平線實(shí)長(zhǎng)αγ③反映傾角α、γ角的真實(shí)大小、水平線平行于水平面，傾斜于正面和側(cè)面的直線①H面投影反映實(shí)長(zhǎng)，ab=AB②a’b’∥OX,a’’b’’∥OY

投影特性：③反映傾角β、γ角的真實(shí)大小水平線實(shí)長(zhǎng)γβ、側(cè)平線平行于側(cè)面，傾斜于水平面和正面的直線①W面投影反映實(shí)長(zhǎng)，a’’b’’=AB②a’b’∥OZ,ab∥OY

投影特性：③反映傾角β、α角的真實(shí)大小側(cè)平線實(shí)長(zhǎng)βα、小結(jié)①直線在其平行的那個(gè)投影面上的投影，反映實(shí)長(zhǎng)，并反映直線與另兩投影面傾角的實(shí)際大小。②另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸，且比線段的實(shí)長(zhǎng)短平行線的投影特性：分析析：：利利用用正正平平線線的的投投影影特特性性作作圖圖例1：已已知知：：點(diǎn)點(diǎn)A（30，30，20），，要求求：：試試作作正正平平線線AB，使使α=30°，AB=20mmOYWYHZX作圖圖：：先做做出出點(diǎn)點(diǎn)A的三三投投影影aa’’a’利用用α=30°過a’’作與與X軸成成30°的直直線線利用用AB=20mm過a’’作一一半半徑徑為為20mm的圓圓，，該該圓圓與與直直線線的的交交點(diǎn)點(diǎn)即即為為b’’30°b’bb’’四解解利用用ab∥∥OX、a’’’’b’’’’∥∥OZ，確確定定b、b’’’’2.2、投投影影面面垂垂直直線線鉛垂線正垂線側(cè)垂線垂直直于于一一個(gè)個(gè)投投影影面面，，平平行行于于另另外外兩兩個(gè)個(gè)投投影影面面的的直直線線②a’’b’’⊥OX；a’’’’b’’’’⊥⊥OY①水平平投投影影積積聚聚為為一一點(diǎn)點(diǎn)b(a)（積聚聚性性）投影影特特性性:、鉛鉛垂垂線線垂直直于于水水平平面面，，平平行行于于正正面面和和側(cè)側(cè)面面的的直直線線③a’’b’’=a’’’’b’’’’=AB，即即其其余余兩兩投投影影反反映映實(shí)實(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)b’’a’’b’’’’a’’’’b(a)、正正垂垂線線②ab⊥OX；a’’’’b’’’’⊥⊥OZ①正面面投投影影積積聚聚為為一一點(diǎn)點(diǎn)(a’’)b’’投影影特特性性:③ab=a’’’’b’’’’=AB，即即其其余余兩兩投投影影反反映映實(shí)實(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)垂直直于于正正面面，，平平行行于于水水平平面面和和側(cè)側(cè)面面的的直直線線aba’’’’b’’’’oXZ(a’’)b’’YwYH、側(cè)側(cè)垂垂線線垂直直于于側(cè)側(cè)面面，，平平行行于于水水平平面面和和正正面面的的直直線線②ab⊥OY；a’’b’’⊥⊥OZ①側(cè)面面投投影影積積聚聚為為一一點(diǎn)點(diǎn)a’’’’(b’’’’)投影影特特性性:③ab=a’’b’’=AB，即即其其余余兩兩投投影影反反映映實(shí)實(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)abb’’a’’a’’’’(b’’’’)oYwXZYH、小小結(jié)結(jié)①直線線在在與與其其垂垂直直的的投投影影面面上上的的投投影影積積聚聚成成一一點(diǎn)點(diǎn)（（積積聚聚性性））②直線線在在其其他他兩兩個(gè)個(gè)投投影影面面上上的的投投影影分分別別垂垂直直于于相相應(yīng)應(yīng)的的投投影影軸軸，，且且反反映映該該線線段段的的實(shí)實(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)垂直直線線的的投投影影特特性性：：abb’’a’’a’’’’(b’’’’)oaba’’’’b’’’’o(a’’)b’’2.3、一一般般位位置置直直線線投影影特特性性：：三投投影影都都傾傾斜斜于于投投影影軸軸；；投影影長(zhǎng)長(zhǎng)度度小小于于直直線線的的真真長(zhǎng)長(zhǎng)ab=ABcosα，a’’b’’=ABcosβ，a””b””=ABcosγ；投影影與與投投影影軸軸的的夾夾角角不不反反映映直直線線對(duì)對(duì)投投影影面面的的傾傾角角。。二、直線與點(diǎn)點(diǎn)的相對(duì)位置置點(diǎn)屬于直線（（C點(diǎn)）點(diǎn)不屬于直線線（D點(diǎn)）★直線上點(diǎn)的投投影特性從屬性：直線上的一點(diǎn)點(diǎn)，其投影在在直線的同名名投影上，且且符合點(diǎn)的投投影規(guī)律?！糇鲌D問題◆判斷問題AC:CB=ac:cb=ac:cbABCVHbccbaa定比定理定比性：點(diǎn)分割線段之之比=點(diǎn)的投影分線線段的投影之之比點(diǎn)C不在直線AB上例2：判斷點(diǎn)C是否在線段AB上。abcabc①c②abcab●點(diǎn)C在直線AB上從屬性注意：對(duì)于一般位置直線線，只根據(jù)任意意兩對(duì)同名投投影，就可作作出判斷。例3：判斷點(diǎn)K是否在線段AB上。ab●k因k不在ab上，故點(diǎn)K不在AB上。應(yīng)用定比定理理abkabk●●另一判斷法?注意：對(duì)于特殊位置直線線，只根據(jù)任意意兩對(duì)同名投投影，不能直直接作出判斷斷?？臻g兩直線三、兩直線的的相對(duì)位置共面異面平行兩直線相交兩直線交叉兩直線垂直⒈平行兩直線投影特性平行性：空間兩直線線平行，則其其各同名投影影必相互平行行，反之亦然然。abcdcabd注意：對(duì)于一般位置直線線，只要兩直線線的任意兩對(duì)對(duì)同名投影互互相平行，空空間兩直線就就平行。AB//CD①acddca②對(duì)于特殊位置置的兩直線，，只有兩個(gè)同同名投影互相相平行，空間間直線不一定定平行。AB與CD不平行。求出側(cè)面投影影如何判斷？注意：cdabbbHVABCDKabcdkabckdabcdbacdkk投影特性若空間兩直線線相交，則其同名投影影必相交，且且交點(diǎn)的投影影必符合點(diǎn)的的投影特性。反之亦然交點(diǎn)是兩直線線的共有點(diǎn)2.相交兩直線注意：對(duì)于一般位置直線線，只要兩直線線的任意兩對(duì)對(duì)同名投影符符合相交條件件，空間兩直直線就相交。。對(duì)于特殊位置的兩兩直線，只根據(jù)兩對(duì)對(duì)同名投影還還不一定能直直接判斷它們們是否相交dbaabcdc1(2)3(4)⒊交叉兩直線●●12●●3

4●●情況2情況1dcabcdab投影特性①同名投影可能能相交，但“交點(diǎn)”不符符合點(diǎn)的投影影特性②“交點(diǎn)”是兩直線上的的一對(duì)重影點(diǎn)的投影影,可幫助判斷兩兩直線的空間間位置。例4：試作一直線線GH與已知直線AB、CD相交，同時(shí)與與EF平行（G在AB上，H在CD上）abfdeefccda(b)分析：AB有積聚性1、直接確定gg2、利用GH∥EF,過g作ef的平行線交cd于hh3、利用H在CD上，有h求hh4、利用GH∥EF,過h作ef的平行線，交交點(diǎn)為gg垂直兩直線的的投影通常不不能反映其夾夾角的實(shí)形，，但在一些特特殊條件下，，也能反映其其真實(shí)直角，，這種投影特特性稱為直角角投影定理。。四、直角投影影定理（垂直直兩直線）直角投影定理理的逆定理仍仍成立設(shè)直角角邊BC//H面因BC⊥AB,同時(shí)BC⊥Bb故BC⊥ABba平面直線在H面上的投影互互相垂直即∠∠abc為直角故bc⊥ab故bc⊥ABba平面又BC∥bcABCabcHacbabc.證明：定理一：空間間兩直線垂直直（相交或交交叉），如果果其中一條直直線是某一投投影面的平行行線時(shí)，則這這兩直線在該該投影面上的的投影相互垂垂直。定理二：如果果兩直線的某某一投影垂直直，其中有一一直線是該投投影面的平行行線，那么該該空間的兩直直線垂直dabcabc●●d例5：過C點(diǎn)作直線與AB垂直相交。投影c’d’反映CD的真長(zhǎng)嗎？.例6：過兩直線AB、CD之間的最短距距離。c(d)abb’a’c’d’分析