等比數(shù)列教學(xué)內(nèi)容分析報(bào)告

..等比數(shù)列內(nèi)容分析組長：賈富杰小組成員：王嬌,魏紅艷,吳菲菲,馬永勝,陳扶祿結(jié)構(gòu)分析1.單科結(jié)構(gòu)分析知識(shí)結(jié)構(gòu)：〔1等比數(shù)列的定義；〔2等比數(shù)列通項(xiàng)公式；〔3前n項(xiàng)和公式；〔4等比中項(xiàng)的概念及意義；〔5等比數(shù)列的基本性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)：掌握等比數(shù)列的定義；理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及推導(dǎo)。教學(xué)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式解決相關(guān)問題,在具體問題中抽象出等比數(shù)列模型及掌握重要的數(shù)學(xué)思想方法。關(guān)鍵點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的基本掌握。教學(xué)安排：回顧舊知、導(dǎo)入新課通過感性材料的引入,比如：給我一張紙,我能夠?qū)⑺鄢晌鍖訕悄敲锤摺布僭O(shè)我的力氣足夠大,這可能嗎？你如果能將一張報(bào)紙對(duì)折38次,我就能順著它在今晚爬上月球,將一張紙對(duì)折會(huì)有那么大的高度嗎？通過上述興趣材料的引入,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,從而讓學(xué)生帶著疑問進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)。2、講授新課,構(gòu)建新知給出一組數(shù)字,讓學(xué)生觀察這組數(shù)字的共同特點(diǎn),從而導(dǎo)出等比數(shù)列的概念；由等比數(shù)列的概念給出數(shù)組判斷其是否為等比數(shù)列；推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式〔遞推法、連乘法等。3、例題講解、梳理知識(shí)通過相關(guān)應(yīng)用題目使所學(xué)知識(shí)得到進(jìn)一步提升,或者通過概念型例題引發(fā)學(xué)生思考從而對(duì)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式熟練掌握例題：一個(gè)等比數(shù)列的第三項(xiàng)與第四項(xiàng)分別為12和18,求它的第一項(xiàng)與第二項(xiàng)。4、自我檢測、形成技能5、給出一些生活中的實(shí)際例子,使本節(jié)所學(xué)理論上升到實(shí)踐：。通過對(duì)上述現(xiàn)實(shí)問題的分析即可使本課與實(shí)際相聯(lián)系?！捕?shù)學(xué)思想方法分析函數(shù)思想。將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,通過對(duì)函數(shù)的分析計(jì)算,讓學(xué)生逐步解決等比數(shù)列的問題。掌握等比數(shù)列的實(shí)質(zhì)是運(yùn)用函數(shù)來解決數(shù)列問題,通過各種函數(shù)計(jì)算,解決問題。待定系數(shù)法和配方法。等比數(shù)列運(yùn)用函數(shù)來解決問題,函數(shù)這一部分用到許多數(shù)學(xué)方法,由已知條件求等比數(shù)列表達(dá)式的問題,很多都是用待定系數(shù)法來解的。通過已知條件,轉(zhuǎn)化條件,列出方程組,解方程組求得等比數(shù)列?！踩δ芊治鲋橇r(jià)值理解等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法,掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式并能運(yùn)用公式解決一些簡單問題。思想教育價(jià)值提高學(xué)生的建模意識(shí),體會(huì)公式探求過程中從特殊到一般的思維方法,滲透方程思想、分類討論思想,優(yōu)化思維品質(zhì)。應(yīng)用價(jià)值培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)放眼生活,用生活眼光看數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)?！菜谋尘胺治?.人類在古代隨著自然數(shù)、分?jǐn)?shù)的概念和四則運(yùn)算的產(chǎn)生,為了生產(chǎn)與生活的需要,就產(chǎn)生了數(shù)列的知識(shí).在世界數(shù)學(xué)史上,對(duì)級(jí)數(shù)<數(shù)列>的討論具有悠久的歷史,中國、巴比倫、古希臘、埃及和印度等,都曾經(jīng)研究過級(jí)數(shù),中國古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《孔子算經(jīng)》《張邱建算經(jīng)》等,對(duì)等差級(jí)數(shù)a+<a+b>+<a+2b>+<a+3b>+…＋〔a＋<n－1>b〕和等比級(jí)數(shù)a＋aq＋aq2＋aq3＋…＋aqn－1都列舉出計(jì)算的例子,說明中國古代對(duì)級(jí)數(shù)的研究曾作出過一定的貢獻(xiàn).古老的《易經(jīng)》一書中寫道："是故《易》有太極,是生兩儀；兩儀生四象,四象生八卦",實(shí)際上,這種分割,已經(jīng)寓有數(shù)學(xué)中等比數(shù)列的思想.著于東漢<25年～220年>初年的中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》均輸章中,第19題："今有竹九節(jié),下三節(jié)容四升,上四節(jié)容三升.問中間兩節(jié)欲均容,各多少？"解得各節(jié)的容量是1,1,1,1,1,,,,源于古代的一些實(shí)際問題．古埃及國王拉阿烏斯有位能干的文書阿默斯．他用象形文字寫了一部《算書》,記錄了公元前20XX——前1700年間數(shù)學(xué)研究的一些成果．其中有這樣一題,題中畫了一個(gè)階梯,其各級(jí)注數(shù)為7,49,343,2401,16807．并在數(shù)旁依次畫了人、貓、鼠、大麥和量器．原書上并無任何說明,遂成為數(shù)學(xué)史上的一個(gè)難解之謎．2000多年中無人能解釋．直到中世紀(jì),意大利斐波那契在1202年發(fā)表了《算盤全書》,書中這樣一題：今有七老婦人同往羅馬,每人有七騾,每騾負(fù)七袋,每袋盛有七個(gè)面包,每個(gè)面包有七小刀隨之,每小刀配有七鞘,問列舉之物全數(shù)共有幾何？顯然這是一個(gè)等比數(shù)列的求和問題．由此也基本解開了阿默斯之謎．原來阿默斯問題的意思是：今有七人,每人有七貓,每貓食七鼠,每鼠食七只大麥穗,每穗可長成大麥七量器,由此可得之?dāng)?shù)列如何？當(dāng)然這僅僅是推測．我國古代數(shù)學(xué)家也早就研究過等比數(shù)列的問題．《孫子算經(jīng)》中有一個(gè)有趣的題目"出門望九堤"：今有出門重九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雛,維有九毛,毛有九色,問各幾何？國際象棋起源于印度,據(jù)說國王舍罕為了獎(jiǎng)賞發(fā)明者西薩.班.達(dá)依爾,讓他提出一個(gè)要求,于是這位聰明的發(fā)明者說："尊敬的陛下,請?jiān)谄灞P的第1格里放上1顆麥粒,第2格里放上2顆麥粒,在第3格里放上4顆麥粒,以此類推,每一格里的麥粒是前一格里放的2倍,直至64格,請陛下把這些麥粒賞給您的仆人吧"。國王覺得這事不難,就欣然同意了。請問：國王能辦到嗎？大約公元前320年,歐幾里得的《幾何原本》第五卷詳細(xì)探討了關(guān)于比例的理論,并且把它們推廣到各種量,此外還證明了它可以應(yīng)運(yùn)到可通約的量,也可應(yīng)運(yùn)到不可通約的量。希思認(rèn)為,希臘沒有什么更好的發(fā)現(xiàn)比這個(gè)理論更能令人夸耀了。一般都公認(rèn),該卷中大部分是歐多克索斯和泰阿泰德的工作,但是把它們編排的合乎邏輯次序,應(yīng)該歸功于歐幾里得。書中關(guān)于比值和比例的基本概念是這樣定義的：各個(gè)量在被乘時(shí)仍能保持各量間的相應(yīng)比數(shù)稱為彼此間有一比值?！捕x4所謂成等比的諸量,如第一量和第二量之比等于第三量和第四量之比,是指在以等倍數(shù)乘第一量與第三量,并以任何等倍數(shù)乘第二量和第四量時(shí),前者的等倍數(shù)必相同地大于,或相同地等于,或相同地小于后者相應(yīng)的倍數(shù)?！捕x5成等比的諸量稱為比例量?！捕x6第六卷把第五卷已經(jīng)建立起來的關(guān)于比例的一般理論應(yīng)運(yùn)到平面圖形上去。第七,八,九卷與算術(shù)即關(guān)于數(shù)的理論有關(guān)。單位的定義是,用它把每個(gè)存在的事物稱為1,。奇數(shù)和偶數(shù),素?cái)?shù)和合數(shù),平方數(shù)和立方數(shù)。完全數(shù)等都有了定義,例如一個(gè)完全數(shù)就是"等于它的各部分之和的數(shù)",即等于它的所有因子〔包括1之和。第七卷中的命題1指出,"若在兩個(gè)等數(shù)中,每當(dāng)從大數(shù)中盡可能地減去小數(shù),再從小數(shù)中盡可能地減所得余數(shù),又從前一余數(shù)中盡可能地減去下一余數(shù),如此下去,并且任何余數(shù)都不是前一余數(shù)的約數(shù),直至達(dá)到1為止,則此二位給定數(shù)互為素?cái)?shù)"。這個(gè)命題是用歸謬法來證明的,從它可以得出求不是互素的兩個(gè)或三哥數(shù)的最大公約數(shù)的方法。"第九卷〔命題35提出一個(gè)巧妙的方法來求幾何級(jí)數(shù)的和：如果有任意多個(gè)數(shù)成連比例,并且第二個(gè)和最后一個(gè)數(shù)都可以減去第一個(gè)數(shù),則第二個(gè)數(shù)的增量與第一個(gè)數(shù)之比,將等于最后一個(gè)數(shù)的增量與最后一個(gè)數(shù)前面的所有數(shù)之和的比。例如,若級(jí)數(shù)且即現(xiàn)在,如果有任意多個(gè)數(shù)成比例,則由于任前一項(xiàng)和后一項(xiàng)之比等于所有前項(xiàng)的和與所有后項(xiàng)的和之比,故將所有前項(xiàng)與所有后項(xiàng)相加,既得：從這個(gè)關(guān)系即可確定2.等比數(shù)列與其他知識(shí)的聯(lián)系等比數(shù)列與極限3.等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用1產(chǎn)值模型2產(chǎn)值模型3分期付款模型4存儲(chǔ)模型〔五要素分析1.感性材料：通過引入"一尺之錘,日取其半,萬世不竭",導(dǎo)出等比數(shù)列。2.概念和命題概念：<1>數(shù)學(xué)概念名稱：等比數(shù)列〔2數(shù)學(xué)概念定義：等比數(shù)列是說如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比值等于同一個(gè)常數(shù)。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q表示<q≠0>,等比數(shù)列a1≠0。注：q=1時(shí),an為常數(shù)列。<3>數(shù)學(xué)概念例子an=2n是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列。命題：1.若{an}是等比數(shù)列,公比為q1,{bn}也是等比數(shù)列,公比是q2,則{a2n},{a3n}…是等比數(shù)列,公比為q1^2,q1^3…{can},c是常數(shù),{an*bn},{an/bn}是等比數(shù)列,公比為q1,q1q2,q1/q2。2.若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,則am*an=ap*aq。3.若"G是a、b的等比中項(xiàng)"則"G^2=ab〔G≠03.例題a.設(shè)ak,al,am,an是等比數(shù)列中的第k、l、m、n項(xiàng),若k+l=m+n,求證：ak*al=am*an證明：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公比為q,則：ak=a1·q^<k-1>,al=a1·q^<l-1>,am=a1·q^<m-1>,an=a1·q^<n-1>所以：ak*al=a^2*q^<k+l-2>,am*an=a^2*q<m+n-2>,故：ak*al=am*an例題分析：這個(gè)例題是等比數(shù)列的一個(gè)重要性質(zhì),它在解題中常常會(huì)用到。它說明等比數(shù)列中距離兩端<首末兩項(xiàng)>距離等遠(yuǎn)的兩項(xiàng)的乘積等于首末兩項(xiàng)的乘積,即：a<1+k>·a<n-k>=a1·an對(duì)于等差數(shù)列,同樣有：在等差數(shù)列中,距離兩端等這的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和。即：a<1+k>+a<n-k>=a1+anb.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a2,12a3,a1成等差數(shù)列,則a4＋a5a3＋a4的值為<>A.5－12B.5＋12C.1－52D.5－12或5＋12[答案]B[解析]設(shè){an}的公比為q,則q>0.

∵a2,12a3,a1成等差數(shù)列,

∴a3＝a1＋a2,∴a1q2＝a1＋a1q∵a1≠0,∴1＋q＝q2,又∵q>0,∴q＝5＋12,∴a4＋a5a3＋a4＝q＝5＋12例題分析：本題結(jié)合了等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)4.習(xí)題a.等比數(shù)列{an},前n項(xiàng)和為Sn,Sn=48,S2n=60,S3n=?解：設(shè)等比數(shù)列的公比是q,顯然q不等于1..

則Sn=a1*<1-q^n>/<1-q>=48

S2n=a1*<1-q^<2n>>/<1-q>=60

把上面兩式相比得到q^n=1/4

所以s3n=a1*<1-q^<3n>>/<1-q>

S3n/Sn=<1-q^<3n>>/<1-q^n>=1+q^n+q^<2n>=1+1/4+1/16=21/16

所以S3n=21/16*Sn=<21/16>*48=63.b.已知等比數(shù)列{an}的公比q＝－12.<1>若a3＝14,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和；<2>證明：對(duì)任意k∈N＋,ak,ak＋2,ak＋1成等差數(shù)列解:<1>由a3＝a1q2＝14及q＝－12,得a1＝1,所以數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝<2>證明：對(duì)任意k∈N＋,2ak＋2－<ak＋ak＋1>＝2a1qk＋1－<a1qk－1＋a1qk>＝a1qk－1<2q2－q－1>,由q＝－12得2q2－q－1＝0,故2ak＋2－<ak＋ak＋1>＝0.所以,對(duì)任意k∈N＋,ak,ak＋2,ak＋1成等差數(shù)列<六>學(xué)習(xí)結(jié)果、形式類型與任務(wù)分析1.學(xué)習(xí)結(jié)果類型分析a.數(shù)學(xué)事實(shí)：數(shù)學(xué)符號(hào)有,及q,,數(shù)學(xué)名稱有等比數(shù)列,等比中項(xiàng)公比及首項(xiàng)。b.數(shù)學(xué)概念：等比數(shù)列及公比的定義。c.數(shù)學(xué)原理：數(shù)學(xué)歸納法d.數(shù)學(xué)問題解決：運(yùn)用等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式會(huì)求公比q,前n項(xiàng)和與數(shù)列中具體的某一項(xiàng)。e.數(shù)學(xué)思想方法分析：歸納法、疊乘法、迭代法與類比法。f．?dāng)?shù)學(xué)技能：運(yùn)算、推導(dǎo)與數(shù)學(xué)交流。g.數(shù)學(xué)認(rèn)知策略：通過聯(lián)系等差數(shù)列的推導(dǎo),