高中數(shù)學(xué)高考 2020-2021學(xué)年下學(xué)期高三5月月考卷 文科數(shù)學(xué)（B卷）-教師版

此卷只裝訂不密封此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考證號(hào)考場(chǎng)號(hào)座位號(hào)文科數(shù)學(xué)（B）注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由可得，可得，所以集合，，所以，故選C．2．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，故選D．3．命題“若，則且”的否定是（）A．若，則且 B．若，則且C．若，則或 D．若，則或【答案】D【解析】因?yàn)椤叭魀則q”的否定是“若p則非q”，所以命題“若，則且”的否定是“若，則或”，故選D．4．某學(xué)校決定從該校的2000名高一學(xué)生中采用系統(tǒng)抽樣（等距）的方法抽取50名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)分析，現(xiàn)將2000名學(xué)生從1至2000編號(hào)，已知樣本中第一個(gè)編號(hào)為7，則抽取的第26個(gè)學(xué)生的編號(hào)為（）A．997 B．1007 C．1047 D．1087【答案】B【解析】按照等距系統(tǒng)抽樣的定義，2000名學(xué)生分50組，即40人一組，第1組1~40，第2組41~80，…，第50組1961~2000；若第一個(gè)編號(hào)為7，則后面每組的編號(hào)都比前一組多40，可以求得第26個(gè)學(xué)生的編號(hào)為，故選B．5．已知函數(shù)在上為減函數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由函數(shù)在上為減函數(shù)，可得函數(shù)在上大于零，且為減函數(shù)，，故有，解得，故選A．6．已知雙曲線(xiàn)右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，而，所以是等邊三角形，到直線(xiàn)的距離為，又，漸近線(xiàn)方程取，即，所以，化簡(jiǎn)得，故選B．7．直線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)直線(xiàn)上一點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，整理可得，，即直線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程為，故選A．8．在數(shù)列中，且，則它的前項(xiàng)和（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，因此，，故選A．9．已知AD，BE分別為△ABC的邊BC，AC上的中線(xiàn)，設(shè)，，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，所以，①同理得，即．②①×2＋②得，即，所以，故選B．10．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．的一條對(duì)稱(chēng)軸為 B．在上是單調(diào)遞減函數(shù)C．的對(duì)稱(chēng)中心為 D．的最大值為【答案】B【解析】對(duì)于A，，不是的對(duì)稱(chēng)軸，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，，令，則其在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知：在上單調(diào)遞減，B正確；對(duì)于C，，不是的對(duì)稱(chēng)中心，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，當(dāng)時(shí)，，D錯(cuò)誤，故選B．11．如圖，菱形的邊長(zhǎng)為，，將其沿著對(duì)角線(xiàn)折疊至直二面角，連接，得到四面體，則此四面體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?、都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，且為的中點(diǎn)，則，，所以，二面角的平面角為，且，設(shè)、分別為、的外心，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線(xiàn)，設(shè)，易知，同理可得，，，，平面，平面，，同理可得，所以，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，由正弦定理可得，，因此，四面體的外接球的表面積為，故選D．12．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，令，解得或，所以在和上單調(diào)遞增，函數(shù)圖象如下所示：當(dāng)時(shí)，令，得或；又時(shí)，；時(shí)，，，所以使得，要使，即或或，即或或，由函數(shù)圖象易知，，與都有兩個(gè)交點(diǎn)，故或或各有兩個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，故選D．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知直線(xiàn)過(guò)第一象限的點(diǎn)和，直線(xiàn)的傾斜角為，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】【解析】由題設(shè)知，可得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故答案為．14．宋元時(shí)期是我國(guó)古代數(shù)學(xué)非常輝煌的時(shí)期，涌現(xiàn)了一大批卓有成就的數(shù)學(xué)家，其中秦九韶?李冶?楊輝和朱世杰成就最為突出，被譽(yù)為“宋元數(shù)學(xué)四大家”．現(xiàn)從秦九韶的《數(shù)書(shū)九章》?李冶的《測(cè)圓海鏡》《益古演段》?楊輝的《詳解九章算法》?朱世杰的《算學(xué)啟蒙》《四元玉鑒》這六部著作中任選2本研讀，則必選《數(shù)書(shū)九章》的概率是___________．【答案】【解析】由題意知：必選《數(shù)書(shū)九章》的選法有種，而所有可能的選法有種，∴必選《數(shù)書(shū)九章》的概率為，故答案為．15．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在極大值，則的取值范圍是___________．【答案】【解析】依題意得，由，得或．或時(shí)，；時(shí)，，所以0是的極大值點(diǎn)，2是的極小值點(diǎn)，因函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在極大值，所以，即，故答案為．16．在平面直角坐標(biāo)系中，若圓上存在兩點(diǎn)、滿(mǎn)足：，則實(shí)數(shù)的最大值是________．【答案】【解析】由題得，圓C的圓心為，在直線(xiàn)上，當(dāng)圓心距離x軸的距離越遠(yuǎn)，越小，如圖所示：當(dāng)時(shí)，圓心C在x軸上方，若、為圓的切線(xiàn)且，此時(shí)a取得最大值，此時(shí)，有，即，解可得，故答案為．三、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（12分）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．（1）求A；（2）若，求的面積的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知得，，，由余弦定理得，，．（2）由余弦定理得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，∴面積最大值為．18．（12分）如圖，四棱錐的底面為正方形，所有棱長(zhǎng)都是1，分別是棱的中點(diǎn)．（1）求過(guò)三點(diǎn)的平面截棱錐所得截面的面積；（2）設(shè)過(guò)三點(diǎn)的平面為，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）設(shè)過(guò)三點(diǎn)的平面為，由已知得平面與平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則平面與平面有且只有一條過(guò)點(diǎn)的交線(xiàn)，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，連接，得，，所以，所以是平而與平而的唯一一條交線(xiàn)，設(shè)平面與交于點(diǎn)，所以過(guò)三點(diǎn)的平面截棱錐所得截面為，因?yàn)闉檎叫?，所有棱長(zhǎng)都是1，所以，設(shè)交于點(diǎn)，則，且，所以．（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由（1）得，又因?yàn)椋?，即點(diǎn)到平面的距離為．19．（12分）為進(jìn)一步提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，學(xué)校舉行了數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)競(jìng)賽．為了解學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的喜愛(ài)程度是否與性別有關(guān)，現(xiàn)對(duì)高中部200名學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到如下2×2列聯(lián)表：喜歡數(shù)學(xué)競(jìng)賽不喜歡數(shù)學(xué)競(jìng)賽合計(jì)男生70女生30合計(jì)已知在這200名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到喜歡數(shù)學(xué)競(jìng)賽的概率為．（1）將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為喜歡數(shù)學(xué)競(jìng)賽與性別有關(guān)？（2）從上述不喜歡數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)生中男生抽取3人，女生抽取2人，再在這5人中抽取3人，調(diào)查其喜歡的活動(dòng)類(lèi)型，求抽取的3人中至少有一名女生的概率．參考公式及數(shù)據(jù)：．【答案】（1）填表見(jiàn)解析，沒(méi)有90%的把握認(rèn)為；（2）．【解析】（1）在這200名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到喜歡數(shù)學(xué)競(jìng)賽的概率為，喜歡數(shù)學(xué)競(jìng)賽的人數(shù)為（人），不歡數(shù)學(xué)競(jìng)賽的人數(shù)為80人，喜歡數(shù)學(xué)競(jìng)賽不喜歡數(shù)學(xué)競(jìng)賽合計(jì)男生7050120女生503080合計(jì)12080200，沒(méi)有90%的把握認(rèn)為喜歡數(shù)學(xué)競(jìng)賽與性別有關(guān)．（2）記3名男生為，，，2名女生為，，則5人中抽取3人的所有可能情況為，，，，，，，，，，共10種結(jié)果，其中3人中至少有一名女生的9種，所以所求概率．20．（12分）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與上、下頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，以橢圓的短軸為直徑的圓與直線(xiàn)相切．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且不重合于軸的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓相交于、兩點(diǎn)，探究在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）存在，．【解析】（1）由題意，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與上、下頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，以橢圓的短軸為直徑的圓與直線(xiàn)相切，可得，解得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）①當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，聯(lián)立方程組，整理得，由，且，，假設(shè)軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，則，要使得為定值，則的值與無(wú)關(guān)，所以，解得，此時(shí)為定值，定點(diǎn)；②當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，，，，則，，可得，綜上所述，在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值．21．（12分）已知函數(shù)．（1）求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；（2）若，求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由題意知定義域?yàn)?，，得，，所以在處的切線(xiàn)方程為．（2）令，則，，，所以在上為增函數(shù)，又因?yàn)椋贂r(shí)，，，，，使得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則，與題意不符；②時(shí)，，，，，使得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，則，與題意不符；③時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，綜上所述，當(dāng)時(shí)，．請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．22．（10分）【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)（為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線(xiàn)的普通方程和曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；（2）在直角坐標(biāo)系xOy中，傾斜角為的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，分別與，交于A，B兩點(diǎn)，求．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）曲線(xiàn)（為參數(shù)，），轉(zhuǎn)換為普通方程為．曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，根據(jù)，整理得，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為．（2）傾斜角為