2020年湖南省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題1

2020年湖南省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:姓名：班級：考號：一、單選題TOC\o"1-5"\h\zA．0B．1C．2D．3.圓C:x2+y2=1的面積是（）A.:B.?C.nD.2n24.盒子里裝有大小相同的2個(gè)紅球和1個(gè)白球，從中隨機(jī)取出1個(gè)球，取到白球的概率是（）A.—B.—C.—D.1323.要得到函數(shù)y=1+sinx的圖象，只需將函數(shù)y=sinx的圖象（）A.向上平移1個(gè)單位長度B.向下平移1個(gè)單位長度C.向右平移1個(gè)單位長度D.向左平移1個(gè)單位長度.已知數(shù)歹U｛叫滿足^1=1,4m=2an，則a4=（）TOC\o"1-5"\h\zA.4B.8C.16D.32fx+2,x<0.已知函數(shù)f（xX，，若火0）=a,則f（a）=（）[\:'x,x>0A.4B.2C.<2D.0.函數(shù)f（x）=2sinxcosx的最小正周期是（）A.:B.兀C.2兀D.4兀2.用12cm長的鐵絲折成一個(gè)面積最大的矩形，則這個(gè)矩形的面積是（A．3cm2A．3cm2B．6cm2C．9cm2D．12cm2.已知定義在［-3,3］上的函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示.下述四個(gè)結(jié)論:①函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)椋?2,2］②函數(shù)y=f(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為［-1,1］③函數(shù)y=f(X)僅有兩個(gè)零點(diǎn)④存在實(shí)數(shù)a滿足f(a)+f(-a)=0其中所有正確結(jié)論的編號是()A.①②B.②③C.③④D.②④二、填空題.已知集合A=｛xIx=1｝，B=｛xIx2=a｝，若A7B，則a=.12．某班視力近視的學(xué)生有15人，視力正常的學(xué)生有30人.為了解該班學(xué)生近視形成的原因，擬采用分層抽樣的方法抽取部分學(xué)生，調(diào)查相關(guān)信息，則抽取的學(xué)生中視力近視與視力正常的人數(shù)之比為.已知直線11：y=x,12:y=kx.若11±12，貝Uk=..已知等差數(shù)列｛aj滿足a1=1,a2=2，U｛a〃｝的前5項(xiàng)和邑=..已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3,4),則cosa=.三、解答題16．2020年春季,受疫情的影響,學(xué)校推遲了開學(xué)時(shí)間.上級部門倡導(dǎo)“停課不停學(xué)”,鼓勵學(xué)生在家學(xué)習(xí),復(fù)課后,某校為了解學(xué)生在家學(xué)習(xí)的周均時(shí)長(單位:小時(shí)),隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生,根據(jù)他們學(xué)習(xí)的周均時(shí)長,得到如圖所示的頻率分布直方圖.

0.0400.0100.0050.0250.0400.0100.0050.0250.020(1)求該校學(xué)生學(xué)習(xí)的周均時(shí)長的眾數(shù)的估計(jì)值;(2)估計(jì)該校學(xué)生學(xué)習(xí)的周均時(shí)長不少于30小時(shí)的概率..如圖所示，△ABC中，AB=AC=2,BC=2<3.(1)求內(nèi)角B的大??；(2)設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(x+B)，求f(x)的最大值，并指出此時(shí)x的值..如圖所示，三棱錐P-ABC中，PA，平面ABC,AB±AC,且E,F分別為BC,PC的中點(diǎn).(1)求證:EF//平面PAB;(2)已知AB=AC=4,PA=6,求三棱錐F-AEC的體積..已知函數(shù)f(x)=ax,g(x)=a-x，其中a>0，且a豐1.(1)判斷f(x)的奇偶性，并說明理由；(2)若不等式f(x)>g(x)對xeR都成立，求a的取值范圍；(3)設(shè)f(1)=2，直線y=t1與y=f(x)的圖象交于A,B兩點(diǎn)，直線y=12與了二g(x)的圖象交于C，D兩點(diǎn)，得到四邊形ABCD.證明:存在實(shí)數(shù)tjt2，使四邊形ABCD為正方形.參考答案1．D【分析】分析幾何體的結(jié)構(gòu)，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】由圖形可知，該幾何體有兩個(gè)面平行且全等，側(cè)棱平行且相等，故該幾何體為棱柱.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的識別，屬于基礎(chǔ)題.2．B【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求得%的值.【詳解】已知向量a=(2,1),b=(—11),則Z+弓=(1,2)=(九2)，因此，%=1.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)的值,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3．C【分析】根據(jù)圓的方程即可知圓的半徑,由圓的面積公式即可求其面積.【詳解】由圓的方程知：圓C的半徑為1,所以面積S=兀r2二兀，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,由圓的方程求面積,屬于簡單題.4．A【分析】直接由古典概型的概率公式求解即可【詳解】解：由題意可知盒子里裝有大小相同的紅球和白球共3個(gè),其中1個(gè)白球,所以從中隨機(jī)取出i個(gè)球，取到白球的概率是3,故選：A【點(diǎn)睛】此題考查古典概型的概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題5．A【分析】由函數(shù)圖象平移原則即可知如何平移y=sin%的圖象得到y(tǒng)=1+sin%的圖象.【詳解】根據(jù)“左加右減，上加下減”的原則，將函數(shù)尸sin%的圖象向上平移1個(gè)單位可得y=1+sin%的圖象，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了由平移前后的函數(shù)解析式描述圖象變換過程，屬于簡單題.6．B【分析】由已知可得通項(xiàng)公式a『1，即可求a4的值.【詳解】由題意a角=2an可知，數(shù)歹U{an}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，故可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為a=2?-i,n：.a=23=8,4故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列，由定義法求等比數(shù)列通項(xiàng)公式，進(jìn)而求項(xiàng)，屬于簡單題.7．C【分析】先由f(0)=a，可得a=2，從而可求出f(a)的值【詳解】解：因?yàn)閒(0)=a，代入分段函數(shù)中可得0+2=a，得a=2,所以f(a)=f(2)=<2,故選：C【點(diǎn)睛】此題考查分段函數(shù)求值問題，屬于基礎(chǔ)題8．B【分析】利用二倍角的正弦公式化簡函數(shù)fG)的解析式，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得結(jié)果.【詳解】?.?/(x)=2sinxcosx=sin2x，所以，函數(shù)fG)的最小正周期為T=生=兀.2故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)周期的求解，同時(shí)也考查了二倍角正弦公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9．C【分析】由已知可得x+y=6,而矩形的面積S=xv，應(yīng)用基本不等式即可求矩形的最大面積.【詳解】設(shè)矩形的長、寬分別為羽y的，則有2(x+y)=12，即x+y=6,??,矩形的面積S=沖,.??S=孫＜(x+y)2=9cm2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3時(shí)等號成立，4故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，由和定求積的最大值，屬于簡單題.10．D【分析】由圖像直接得其最小值和最大值，單調(diào)區(qū)間，由圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可得其零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，當(dāng)a=1時(shí)，可得f(a)+f(-a)=0【詳解】解：由圖像可知函數(shù)的最大值大于2,最小值小于-2，所以①錯(cuò)誤；由圖像可知函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為［-1,1］，所以②正確；由圖像可知其圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3,所以函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，所以③錯(cuò)誤；當(dāng)a=1時(shí)，有f(a)+f(-a)=f(1)+f(-1)=-2+2=0，所以④正確，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)圖像的應(yīng)用,考查函數(shù)的零點(diǎn),單調(diào)性,考查數(shù)形結(jié)合的思想,屬于基礎(chǔ)題1【分析】由AcB，得到1是方程x2=a是方程的根，代入即可求解.【詳解】由題意，集合A={xIx=1},B={xIx2=a}，因?yàn)锳cB，所以1￡B，即1是方程x2=a是方程的根，解得a=1，當(dāng)a=1，可得集合b={-1,1},此時(shí)滿足AcB，所以a=1.故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)集合間的關(guān)系求解參數(shù)問題，其中解答中熟記集合件的包含關(guān)系，結(jié)合元素與集合的關(guān)系，列出方程求解是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.一2【分析】利用分層抽樣的定義直接求解即可【詳解】解：因?yàn)槟嘲嘁暳暤膶W(xué)生有15人，視力正常的學(xué)生有30人，所以用分層抽樣的方法抽取部分學(xué)生中，視力近視與視力正常的人數(shù)之比為15=1,故答案為：1【點(diǎn)睛】

此題考查分層抽樣的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題13．-1【分析】由兩直線垂直有斜率之積為-1,即可求k值.【詳解】由11±12，知：此題考查分層抽樣的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題13．-1【分析】由兩直線垂直有斜率之積為-1,即可求k值.【詳解】由11±12，知：k=-1,故答案為：-1.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)直線垂直求斜率,屬于簡單題.14．15【分析】「n(a+a)由題意可得等差數(shù)列通項(xiàng)公式a=n，結(jié)合S==一nn2可得前n項(xiàng)和公式，進(jìn)而求S5即可.【詳解】由等差數(shù)列U{an}滿足a1=1,a2=2,知：公差d=1,???{an}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，故通項(xiàng)公式為a=a+(n-1)d=n1???由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式S=nn(a+a)n(n+1)。5x(5+1)y即可得S=一=15,52故答案為：15.【點(diǎn)睛】本題考查了求等差數(shù)列前n項(xiàng)和，屬于簡單題.3155【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義直接求解即可【詳解】解：因?yàn)榻莂的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3,4),

x33所以cosa=7二:=7r332+425故答案：【點(diǎn)睛】此題考查任意角的三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題16．（1）25小時(shí)；（2）0.3.【分析】（1）根據(jù)直方圖，頻率最大的區(qū)間中點(diǎn)橫坐標(biāo)為眾數(shù)即可求眾數(shù)；（2）由學(xué)習(xí)的周均時(shí)長不少于30小時(shí)的區(qū)間有［30,40）、［40,50），它們的頻率之和，即為該校學(xué)生學(xué)習(xí)的周均時(shí)長不少于30小時(shí)的概率.【詳解】（1）根據(jù)直方圖知：頻率最大的區(qū)間中點(diǎn)橫坐標(biāo)即為眾數(shù)，20+30.???由頻率最大區(qū)間為［20,30），則眾數(shù)為=25；（2）由圖知：不少于30小時(shí)的區(qū)間有［30,40）、［40,50），???該校學(xué)生學(xué)習(xí)的周均時(shí)長不少于30小時(shí)的概率P=0.03x10=0.3.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)直方圖求眾數(shù)、概率，應(yīng)用了眾數(shù)的概念、頻率法求概率，屬于簡單題.冗兀17.（1）B=-,（2）f%）的最大值為2,此時(shí)x=-+2k兀,keZ63【分析】（1）利用余弦定理求解即可；（2）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)直接求其最大值【詳解】解：（1）因?yàn)椤鰽BC中，AB=AC=2,BC=2J3.所以cosB=AB2+BC2—AC所以cosB=AB2+BC2—AC2

2AB-BC2x2x2,/32在因?yàn)锽e（0,兀），所以B=-,6TOC\o"1-5"\h\z,兀(2)由(1)可知f(x)=2sin(x+—),6兀兀兀所以當(dāng)x+-=-+2k兀,kgZ時(shí)，f(x)取最大值2,即x=-+2k兀,kgZ623【點(diǎn)睛】此題考查余弦定理的應(yīng)用,考查正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題18．(1)證明見解析；(2)4.【分析】(1)連接EF有中位線EF//PB，結(jié)合EF,PB與面PAB的關(guān)系，由線面平行的判定即可證EF//面PAB；(2)過F作FG//PA交AC于G易知FG是三棱錐F-AEC的高，結(jié)°S合已知有SA=^ABC即可求三棱錐F-AEC的體積.AEC2【詳解】(1)連接EF，在△PBC中EF為中位線，故EF//PB,???EFa面PAB,PBU面PAB?,.EF//面PAB；(2)過F作FG//PA交AC于G，如下圖示:?,?/G,平面A5C,即/G是三棱錐RA石。的高，又尸為尸。的中點(diǎn)，PA：.由PA=6,則FG=---=3,乙S4x4XAB=AC=4,5為5C的中點(diǎn)且A5LAC,知：￡=^4^=——=4,aaec24???三棱錐產(chǎn)-A石。的體積V=；?/G?S.=4.3aec【點(diǎn)睛】本題考查了應(yīng)用線面平行的判定證明線面平行，應(yīng)用三棱錐體積公式求體積，屬于簡單題.19.(1)偶函數(shù)，理由見解析；(2)a>l；(3)證明見解析【分析】(1)利用函數(shù)的奇偶性做出判斷；(2)可求出〃的范圍(3)由/(1)=2,求出〃=2,由已知A5=BC得到2x=2%—2-%,求得"=1得證.012【詳解】〃%)是偶函數(shù)???/(%)=^U,f(-x)=a-JQX=/(x),「?/(%)是偶函數(shù),//(x)=J,g(x)=/(x)>g(x)=qU2當(dāng)。〉1時(shí)|x戶一同n|x戶OnxwA滿足題意，當(dāng)O<〃<1時(shí)因2—