2021-2022學(xué)年山東省聊城市聊城高二年級下冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年山東省聊城市聊城第一中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)在處可導(dǎo)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】變形，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義，計(jì)算出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵谔幙蓪?dǎo),所以，由導(dǎo)數(shù)的定義可得：.故選：A2．已知的展開式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中的第3項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二項(xiàng)式定理求得的展開通項(xiàng)公式，從而得到關(guān)于的方程，解之即可求得展開式中的第3項(xiàng).【詳解】因?yàn)榈恼归_通項(xiàng)為，所以的展開式的第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，因?yàn)榈恼归_式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，由性質(zhì)得，故，所以展開式中的第3項(xiàng)為.故選：D.3．已知函數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先對求導(dǎo)，再利用特殊角的三角函數(shù)值即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：B.4．因?yàn)橐咔榉揽氐男枰?，某校高二年?名男教師和3名女教師參與社區(qū)防控新冠肺炎疫情的志愿服務(wù)．根據(jù)崗位需求應(yīng)派3人巡視商戶，且至少一名男教師；另外4人去不同的4個(gè)小區(qū)測量出入人員體溫，則這7名教師不同的安排方法有（

）種．A．34 B．816 C．216 D．210【答案】B【分析】先采用間接法求解巡視商戶的3人中至少一名男教師的安排方法種數(shù)，然后再求解另外4人去不同的4個(gè)小區(qū)測量出入人員體溫的安排方法種數(shù)，綜合即可得出結(jié)果．【詳解】從7人中任選3人，不同的選法有種，而不選男教師的選法有種，則巡視商戶的3人中至少一名男教師安排方法有種，另外4人去不同的4個(gè)小區(qū)測量出入人員體溫的安排方法有種．則這7名教師不同的安排方法有種．故選：B．5．甲、乙兩人向同一目標(biāo)各射擊一次，已知甲命中目標(biāo)的概率為0.5，乙命中目標(biāo)的概率為0.6，已知目標(biāo)至少被命中一次，則甲命中目標(biāo)的概率為（

）A．0.6 B．0.625 C．0.5 D．0.3【答案】B【分析】先由題意求得目標(biāo)至少被命中1次的概率，目標(biāo)至少被命中1次且甲命中目標(biāo)的概率，再由條件概率公式即可求得結(jié)果．【詳解】記事件為“甲命中目標(biāo)”，事件為“目標(biāo)至少被命中1次”，則，，．故選：B.6．已知在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，推出在區(qū)間上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求解函數(shù)的最值，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)則在區(qū)間上恒成立即在區(qū)間上恒成立設(shè)，函數(shù)在上是減函數(shù)，則所以．故選：D．7．在的展開式中，的系數(shù)為（

）A．120 B．84 C．210 D．126【答案】C【分析】先通過求出各項(xiàng)二項(xiàng)式中的系數(shù)，再利用組合數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)榈恼归_通項(xiàng)為，所以的展開式中沒有這一項(xiàng)，的展開式中沒有這一項(xiàng)，的展開式中的系數(shù)為，的展開式中的系數(shù)為，……的展開式中的系數(shù)為，所以所求的系數(shù)為.故選：C.8．定義在上的函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，且成立，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由條件可得，考慮構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式和導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系由條件證明函數(shù)在上的單調(diào)遞減，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小即可.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，，所以可化為，即，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞減，因?yàn)椋运?，即，所以，故選：B.二、多選題9．隨機(jī)變量的分布列為：012Pa其中，下列說法正確的是（

）A． B． C．隨b的增大而減小 D．有最大值【答案】ABD【分析】利用分布列的性質(zhì)及期望與方差的公式，列出表達(dá)式，逐項(xiàng)判定，即可得出答案．【詳解】根據(jù)分布列的性質(zhì)得，即，故A正確；根據(jù)期望公式得，故B正確；根據(jù)方差公式得，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，隨b的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨b的增大而減小，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，取得最大值，故D正確，故選：ABD．10．已知展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為1024，則下列說法正確的是（

）A．展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256 B．展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大C．展開式中存在含的項(xiàng) D．展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為45【答案】BD【分析】由結(jié)合展開式的各項(xiàng)系數(shù)和得出，再由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)及二項(xiàng)式定理的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】∵展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024，∴令，得，∵a＞0，∴a＝1則二項(xiàng)式為，其展開式的通項(xiàng)為：展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為×1024＝512，故A錯(cuò)誤；由展開式的通項(xiàng)可知，項(xiàng)的系數(shù)與其二項(xiàng)式系數(shù)相同，且展開式有11項(xiàng)，故展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大，故B正確；令，可得不是自然數(shù)，則展開式中不存在含的項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；令，解得，所以展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，故D正確，故選：BD．11．某學(xué)校共有5個(gè)學(xué)生餐廳，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)每人隨機(jī)地選擇一家餐廳就餐（選擇到每個(gè)餐廳概率相同），則下列結(jié)論正確的是（

）A．四人去了四個(gè)不同餐廳就餐的概率為B．四人去了同一餐廳就餐的概率為C．四人中恰有2人去了第一餐廳就餐的概率為D．四人中去第一餐廳就餐的人數(shù)的期望為【答案】ACD【分析】對于ABC，利用排列組合的意義及古典概型概率的求法，求出對應(yīng)事件的概率，從而得以判斷；對于D，根據(jù)題意得到第一餐廳就餐的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，從而利用二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望的求法求得的期望，由此判斷即可.【詳解】依題意得，四位同學(xué)隨機(jī)選擇一家餐廳就餐有選擇方法，對于A，四人去了四個(gè)不同餐廳就餐的概率為，故A正確；對于B，四人去了同一餐廳就餐的概率為，故B錯(cuò)誤；對于C，四人中恰有2人去了第一餐廳就餐的概率為，故C正確；對于D，每個(gè)同學(xué)選擇去第一餐廳的概率為，所以去第一餐廳就餐的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，所以，故D正確.故選：ACD.12．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，則下列選項(xiàng)正確的有（

）A． B．在上單調(diào)遞減C． D．若，則【答案】AD【分析】根據(jù)參變分離構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的性質(zhì)，即可判斷A；求導(dǎo)得，結(jié)合即可判斷B；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解的范圍，即可判斷C，根據(jù)與的大小關(guān)系結(jié)合的單調(diào)性即可判斷D．【詳解】對于A，由等價(jià)于，令，令，得，令，得，所以在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取極大值，當(dāng)；當(dāng)時(shí)，，，則，故A正確．對于B，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，因?yàn)?，則，所以在單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對于C，由A可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，令，，，，在上單調(diào)遞增，，，則，又，，又在上單調(diào)遞增，，，，綜上，故C錯(cuò)誤；對于D，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，，，，，，故D正確，故選：AD．三、填空題13．全國中學(xué)生學(xué)科競賽包含數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、信息5個(gè)學(xué)科，4名同學(xué)欲報(bào)名參賽，每人必選且只能選擇1個(gè)學(xué)科參加競賽，則不同的報(bào)名方法種數(shù)是_______________．【答案】625【分析】利用分步乘法有理求不同的報(bào)名方法種數(shù)即可.【詳解】由已知第一位同學(xué)的報(bào)名方法有5種，第二名同學(xué)的報(bào)名方法有5種，第三名同學(xué)的報(bào)名方法有5種，第四名同學(xué)的報(bào)名方法有5種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得4名同學(xué)的不同的報(bào)名方法種數(shù)是種，即625種，故答案為：625.14．同時(shí)拋鄭兩枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，若兩枚硬幣都正面向上，就說這次試驗(yàn)成功，則4次試驗(yàn)中至少有2次成功的概率是______________．【答案】【分析】由題意可知4次試驗(yàn)中成功次數(shù)～，由此即可得出答案．【詳解】同時(shí)拋鄭兩枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，若兩枚硬幣都正面向上，就說這次試驗(yàn)成功，這次試驗(yàn)成功的概率為，在4次試驗(yàn)中成功次數(shù)～，4次試驗(yàn)中至少有2次成功的概率是．故答案為：．15．若，則______________．【答案】14【分析】由二項(xiàng)式定理可求，利用組合數(shù)性質(zhì)化簡，結(jié)合二項(xiàng)式定理求值.【詳解】因?yàn)?，化簡可得，又，所以?dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，所以，故答案為：14.16．若函數(shù)在區(qū)間D上有定義，且均可作為一個(gè)三角形的三邊長，則稱在區(qū)間D上為“M函數(shù)”．已知函數(shù)在區(qū)間為“M函數(shù)”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_________________．【答案】【分析】先由題意得到且，再利用導(dǎo)數(shù)求得在的最值，從而求得k的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意可知在區(qū)間D上為“M函數(shù)”，則有且，因?yàn)樵趨^(qū)間為“M函數(shù)”，所以且，因?yàn)椋?，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，又，，則，即，所以，所以，解得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故答案為：.四、解答題17．為支援武漢抗擊疫情，某醫(yī)院準(zhǔn)備從6名醫(yī)生和3名護(hù)士中選出5人組成一個(gè)醫(yī)療小組遠(yuǎn)赴武漢，請解答下列問題：（用數(shù)字作答）(1)如果這個(gè)醫(yī)療小組中醫(yī)生和護(hù)士都不能少于2人，共有多少種不同的建組方案？(2)醫(yī)生甲要擔(dān)任醫(yī)療小組組長，所以必選，而且醫(yī)療小組必須醫(yī)生和護(hù)士都有，共有多少種不同的建組方案？【答案】(1)種；(2)種【分析】(1)根據(jù)題設(shè)可知可能的情況有醫(yī)生3人護(hù)士2人和醫(yī)生2人護(hù)士3人，再根據(jù)組合問題的求解方法求解即可；(2)先求出除去醫(yī)生甲后且不考慮必須醫(yī)生護(hù)士都有的建組方案的種數(shù)，再減去只有醫(yī)生、護(hù)士的情況種數(shù)，即可的到答案.【詳解】(1)如果這個(gè)醫(yī)療小組中醫(yī)生和護(hù)士都不能少于2人，可能的情況有醫(yī)生3人護(hù)士2人和醫(yī)生2人護(hù)士3人，所以共種不同的建組方案.答：共有種不同的建組方案．(2)由已知，除去醫(yī)生甲后且不考慮必須醫(yī)生護(hù)士都有的建組方案共種，其中只有醫(yī)生的情況數(shù)有，不可能存在只有護(hù)士的情況．故共有種不同的建組方案.答：共有種不同的建組方案.【點(diǎn)睛】本題主要考查組合的實(shí)際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.解組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，分類標(biāo)準(zhǔn)明確，不重不漏，在事件的正面較多的情況下，可以考慮用排除法求解.18．已知的展開式中，第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)之比為．(1)求的值；(2)將展開式中所有項(xiàng)重新排列，求有理項(xiàng)不相鄰的概率．【答案】(1)7；(2)﹒【分析】(1)求二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，根據(jù)第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)之比為列出關(guān)于m的方程，解方程即可求得m；(2)根據(jù)通項(xiàng)求出有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，根據(jù)插空法即可求概率.【詳解】（1）展開式的通項(xiàng)為，∴展開式中第4項(xiàng)的系數(shù)為，倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)為，，即．（2）展開式共有8項(xiàng)，由(1)可得當(dāng)為整數(shù)，即時(shí)為有理項(xiàng)，共4項(xiàng)，∴由插空法可得有理項(xiàng)不相鄰的概率為．19．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，極大值是，極小值是(2)最大值為，最小值為．【分析】（1）對求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)一步確定極值即可；（2）根據(jù)極值和端點(diǎn)值即可確定最值.【詳解】（1）．令，得或；令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．所以的極大值是，的極小值是．（2）因?yàn)椋桑?）知，在區(qū)間上，有極小值，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為．20．將10株某種果樹的幼苗分種在5個(gè)坑內(nèi)，每坑種2株，每株幼苗成活的概率為0.5若一個(gè)坑內(nèi)至少有1株幼苗成活，則這個(gè)坑不需要補(bǔ)種，若一個(gè)坑內(nèi)的幼苗都沒成活，則這個(gè)坑需要補(bǔ)種，每補(bǔ)種1個(gè)坑需20元，用X表示補(bǔ)種費(fèi)用．(1)求一個(gè)坑不需要補(bǔ)種的概率；(2)求5個(gè)坑中恰有2個(gè)坑需要補(bǔ)種的概率；(3)求X的數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)(3)25元【分析】（1）利用間接法及獨(dú)立事件概率的乘法公式即可得解；（2）利用重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的概率公式即可得解；（3）根據(jù)題意得需要補(bǔ)種的坑數(shù)服從二項(xiàng)分布，從而利用二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望的公式求得，再由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)求得，由此得解.【詳解】（1）依題意，一個(gè)坑不需要補(bǔ)種就是2株幼苗中至少有1株成活，所以其概率.（2）由（1）得每坑要補(bǔ)種的概率，所以5個(gè)坑中恰有2個(gè)坑需要補(bǔ)種的概率.（3）設(shè)5個(gè)坑中需要補(bǔ)種的坑數(shù)為，則服從二項(xiàng)分布，即，所以而，故（元），所以X的數(shù)學(xué)期望為元.21．為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，山東電視臺舉行國寶知識大賽，先進(jìn)行預(yù)賽，規(guī)則如下：①有易、中、難三類題，共進(jìn)行四輪比賽，每輪選手自行選擇一類題，隨機(jī)抽出該類題中的一個(gè)回答；②答對得分，答錯(cuò)不得分；③四輪答題中，每類題最多選擇兩次．四輪答題得分總和不低于10分進(jìn)入決賽．選手甲答對各題是相互獨(dú)立的，答對每類題的概率及得分如下表：容易題中等題難題答對概率0.70.50.3答對得分345(1)若甲前兩輪都選擇了中等題，并只答對了一個(gè)，你認(rèn)為他后兩輪應(yīng)該怎樣選擇答題，并說明理由；(2)甲四輪答題中，選擇了一個(gè)容易題、兩個(gè)中等題、一個(gè)難題，若容易題答對，記甲預(yù)賽四輪得分總和為X，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)后兩輪應(yīng)該選擇容易題進(jìn)行答題，理由見解析(2)【分析】（1）先分析得甲后兩輪還有三種方案，利用獨(dú)立事件的概率的乘法公式將每種方案進(jìn)決賽的概率求出，比較之即可得解；（2）根據(jù)題意得到X的可能取值，結(jié)合獨(dú)立事件的概率的乘法公式將X的每一個(gè)取值的概率求出，從而得到X的的分布列，從而求得X的數(shù)學(xué)期望．【詳解】（1）依題意，甲前兩輪都選擇了中等題，只答對了一個(gè)，則甲得分為分，要進(jìn)入決賽，還需要得分，所以甲后兩輪的選擇有三種方案：方案一：都選擇容易題，則總得分不低于10分的概率為；方案二：都選擇難題，則總得分不低于10分的概率為；方案三：選擇一個(gè)容易題、一個(gè)難題，則總得分不低于10分的概率為：；因?yàn)?，所以甲后兩輪?yīng)該選擇容易題進(jìn)行答題.（2）依題意，X的可能取值為3、7、8、11、12、16，則，，，所以X的分布列為：X378111216P所以.22．2022年2月4日，第二十四屆冬季奧林匹克運(yùn)動會開幕式在北京國家體育場舉行，拉開了冬奧會的帷幕．冬奧會發(fā)布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的廣泛喜愛，達(dá)到一墩難求的地步．當(dāng)?shù)啬陈糜斡闷飞痰戢@批經(jīng)銷此次奧運(yùn)會紀(jì)念品，其中某個(gè)掛件紀(jì)念品每件的成本為5元，并且每件紀(jì)念品需向稅務(wù)部門上交元的稅收，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)定為元時(shí)，一年的銷售量為萬件，(1)求該商店一年的利潤(萬元)與每件紀(jì)念品的售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式；(2)求出的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意，利用利潤與銷售量、售價(jià)、成本的關(guān)系寫出函數(shù)關(guān)系式，注意定義域；（2）對求導(dǎo)，令得或，討論與區(qū)間的位置情況判斷的符號，進(jìn)而確定的單調(diào)性，即可