第9章-光學系統(tǒng)的像差課件

第九章光學系統(tǒng)的像差軸上點像差彗差像散和像面彎曲畸變正弦差位置色差倍率色差應用光學第九章軸上點像差應用1五、單個折射球面的球差正負和物體位置的關系二、球差的性質(zhì)及表達式

一、球差的定義及其計算

三、光學系統(tǒng)的球差分布公式

四、單個折射球面的球差分布系數(shù)，不暈點9.1軸上點像差五、單個折射球面的球差正負和物體位置的關系二、球差的性質(zhì)2一、球差的定義及其計算

1、軸向像差：由軸上點發(fā)出的同心光束，經(jīng)光學系統(tǒng)各個折射面折射后，不同孔徑角的交線交于不同點，相對于理想像點的位置有不同的偏離，這就是球面像差。實際像點與理想像點的沿軸距離9.1軸上點像差一、球差的定義及其計算1、軸向像差：由軸上點發(fā)出的32、垂軸像差：由于球差的存在，在高斯像面上的像點已不是一個點，而是一個圓形的彌散斑。二、球差的性質(zhì)及表達式

9.1軸上點像差2、垂軸像差：由于球差的存在，在高斯像面上的像點已不4一般以（1，0.85，0.707，0.5，0.3，0）為典型光線作圖，孔徑邊緣上的光為邊光，位于某一個孔徑帶的光為帶光，當用一個屏上所得到的像為不同大小的彌散斑，有一個最小彌散斑的位置，但無論如何在屏上任何位置都不能成為一個幾何點。相對孔徑例邊光帶光9.1軸上點像差一般以（1，0.85，0.707，0.5，0.5球差是入射高度h(u)的函數(shù)球差具有對稱性球差與視場無關單正透鏡產(chǎn)生負球差，單負透鏡產(chǎn)生正球差

從圖中可以看出球差的性質(zhì)如下：“消球差”：使，注意由于是不同的，因此不能使所有的孔徑（帶）球差為零，一般只能使一個孔徑（帶）球差為零，當邊緣孔徑的球差不為零時，光學系統(tǒng)有負值球差存在稱為“校正不足”，有正球差存在稱為“校正過頭”。

9.1軸上點像差球差是入射高度h(u)的函數(shù)從圖中可以看出球差的性質(zhì)如下：“6球差表達式（級數(shù)展開的方法）

初級像差二級像差三級像差高級像差球差表達式也可以采用相對孔徑展開

9.1軸上點像差球差表達式（級數(shù)展開的方法）初級像差二級像差三級像差高級像7三、光學系統(tǒng)的球差分布公式

1、原理分析含義：包含了前面幾個面的球差貢獻及該折射面本身所產(chǎn)生的球差9.1軸上點像差其中：為轉(zhuǎn)面倍率三、光學系統(tǒng)的1、原理分析含義：包含了前面幾個面的球差82、球差分布公式克萊伯公式：單個折射球面的球差表示式為：整個系統(tǒng)的球差表示式為：或：9.1軸上點像差2、球差分布公式克萊伯公式：單個折射球面的球差表示式為：整個9四、單個折射球面的球差分布系數(shù)，不暈點經(jīng)過推導，可得到單個折射球面的球差分布系數(shù)令上式為零：可以得到一下三個無球差點第一：L=0,此時L’必為零，故物點、像點和頂點重合。第二：sinI-sinI’=0,這個條件只能在I’=I=0時才能滿足，相當于光線與球面法線重合，物點像點和球面中心重合，此時L=L’=r；第三：sinI’-sinU=0，則I’=U;PA校對法9.1軸上點像差四、單個折射球面的球差分布系數(shù)，不暈點經(jīng)過推導，可得到單個折10此時，有得由得結(jié)論：1）由L’和L的關系可知，它們都在球心的同側(cè)，或是實物成虛像，或是虛物成實像。9.1軸上點像差2）由L’和L的關系可知，可得：則表明：這一對共軛點無論U多大，比值始終保持常數(shù)，故不產(chǎn)生球差，這一對共軛點稱為不暈點或者叫齊明點此時，有得由得結(jié)論：1）由L’和L的關系可知，它們都在球心的11五、單個折射球面的球差正負和物體位置的關系上面對單個折射球面給出了三對無球差共軛點的位置，這樣就可以把由負無窮到正無窮的整個空間分為四個以無球差點為界的區(qū)間9.1軸上點像差五、單個折射球面的球差正負和物體位置的關系上面對單個折射121）當r>0時，PA>0和n’>n時，可知：第一個因子LsinU，因為PA>0,根據(jù)PAcos(U-I)/2可知，無論物點位于哪個區(qū)間，LsinU恒為正值。第二個因子i,與符號sinI同號，其符號隨物體的區(qū)間而異，在第二個區(qū)間(0<L<r)為負，其他區(qū)間為正。（根據(jù)符號規(guī)則判定）第三個因子sinI-sinI’。當sinI>sinI’,光線起會聚作用，反之sinI<sinI’,光線起發(fā)散作用9.1軸上點像差1）當r>0時，PA>0和n’>n時，可知：9.1軸上點像差13因為n’>n,則恒為正，故sinI-sinI’的符號與i相同，即物點位于第二區(qū)間時sinI-sinI’恒為負，其他區(qū)間為正值。第四個因子sinI’-sinU可表示為9.1軸上點像差因為n’>n,則恒為正，故sinI-sinI’142）當r>0時，n’<n時，只有因子sinI-sinI’=sinI((n’-n)/n’)改變了符號，此時會聚面變成了發(fā)散面。其結(jié)果也可見于上表。3）當r<0，四個區(qū)間的各個因子的討論如前述方法現(xiàn)將結(jié)果列于表9.59.1軸上點像差2）當r>0時，n’<n時，只有因子sinI-sinI’=s154）根據(jù)表9.4及9.5可以得到如下結(jié)論：a、正常區(qū)除由不暈點到球心這一區(qū)間（r>0,r<L<(n’+n)r/n）或（r<0,(n’+n)r/n<L<r

）外，球差符號恒與sinI-sinI’符號相反，即折射面對光束起會聚作用(sinI-sinI’>0)產(chǎn)生負球差，起發(fā)散作用時(sinI-sinI’<0)產(chǎn)生正球差。b、反常區(qū)由球心到不暈點的這個區(qū)間內(nèi)，會聚時產(chǎn)生正球差，發(fā)散時產(chǎn)生負球差，故這一區(qū)間稱為反常區(qū)。c、在區(qū)間0<L<r，會聚面對光束起發(fā)散作用，產(chǎn)生正球差，發(fā)散面對光束起會聚作用，產(chǎn)生負球差，這個由頂點到球心的區(qū)域稱為半反常區(qū)。9.1軸上點像差4）根據(jù)表9.4及9.5可以得到如下結(jié)論：9.1軸上點像差169.1軸上點像差9.1軸上點像差17舉例討論：n=1,n’=1.5時，r=10的半反常區(qū)和反常區(qū)間。已知會聚折射球面的一對齊明點相距30mm，球面兩邊介質(zhì)的折射率分別為n=1.5和n’=1，求此折射球面的曲率半徑及齊明點的位置和放大率。作業(yè)題一：9.1軸上點像差舉例討論：n=1,n’=1.5時，r=10的半反常區(qū)和已知會18一、彗差及其計算軸外點寬光束的像差之一寬光束：物點發(fā)出的入瞳內(nèi)與主光線對稱的垂直距離最遠的那對光線。細光束：當入瞳越來越小，以至于接近于零的時候，此時光線對的性質(zhì)與主光線的性質(zhì)完全一致。光線對：與主光線對稱的一對光線稱為光線對。9.2彗差一、彗差及其計算軸外點寬光束的像差之一寬光束：物點發(fā)出的入瞳19細光束：T——T0，在主光線上，不在輔軸上S——S0，在主光線與輔軸的交點上。子午彗差的示意圖如下寬光束：上下光線交點T，不在主光線上，不在輔軸上前后光線交點S，不在主光線上，但在輔軸上。9.2彗差細光束：T——T0，在主光線上，不在輔軸上子午彗差的示意圖如20子午彗差的表達式其中：上下光線在高斯面上交點高度的平均值主光線在高斯像面上的交點高度。B'z9.2彗差子午彗差的表達式其中：上下光線在高斯21子午彗差：子午光束經(jīng)折射面折射后上下光線的交點在垂直于光軸方向和主光線的偏離為子午彗差。KT’子午場曲：在沿著光軸方向和高斯面之間的偏離XT’為子午場曲。從能量傳輸?shù)慕嵌葋砜紤]。主光線和像平面交點附近光能量集中，故B’點最亮，而上下光線是邊緣光線，它們的交點BT’離開了B’，能量擴散，故相對較暗，形成了彗星狀的彌散斑。彗差的危害：使物面上的軸外點成像為彗星狀的彌散斑，破壞了軸外視場成像的清晰度。9.2彗差注意：彗差與孔徑和視場都有關。子午彗差：子午光束經(jīng)折射面折射后上下光線的交點在垂從能量傳輸22二、光學系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式對彗差的影響1、彗差與光闌位置有關。1）當上下光線的交點在主光線的下方，彗差為負。2）當入瞳中心移到與球心重合，則主光線與輔軸重合，則彗差為零。3）繼續(xù)移動入瞳位置，則上下光線交點在主光線的上方，彗差為正。2、彗差與透鏡的形狀有關。1）正彎月型透鏡，產(chǎn)生正彗差2）如將其反向放置，產(chǎn)生負彗差。故兩透鏡產(chǎn)生相反符號的彗差時可以相互抵消。9.2彗差二、光學系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式對彗差的影響1、彗差與光闌位置有關。9.23三、弧矢彗差9.2彗差弧矢彗差：前后光線的在子午面內(nèi)交點Bs’沿垂直于光軸方向主光線的距離稱為弧矢彗差，用Ks’表示弧矢場曲：Bs’在沿著光軸方向和高斯面之間的偏離XT’為弧矢場曲。三、弧矢彗差9.2彗差弧矢彗差：前后光線24二、場曲（像面彎曲）

一、像散

三、寬光束的像散和場曲

9.3像散和像面彎曲二、場曲（像面彎曲）一、像散三、寬光束的像散和場曲9.25一、像散-一般指細光束

入瞳光學系統(tǒng)光屏9.3像散和像面彎曲一、像散-一般指細光束入瞳光學系統(tǒng)光屏9.3像散和像面彎曲261、像散：兩條短線之間沿著光束軸（主光線）的方向的距離Bt’Bs’是光學系統(tǒng)的像散。短線Bt’稱為軸外物點B的子午像，短線Bs’為軸外物點B的弧矢像，像散值

A’9.3像散和像面彎曲1、像散：兩條短線之間沿著光束軸（主光線）的方向的距離Bt’27式中，x為主光線在最后一面上投射點的矢高；Uz’是光學系統(tǒng)像空間主光線和光軸的夾角。像散值的正負：當子午像點Bt’比弧矢像點Bs’更遠離高斯像面，即Lt’<Ls’，像散為負值，反之為正值。像散值的校正：是使某一視場（一般是0.707視場）像散為零。9.3像散和像面彎曲式中，x為主光線在最后一面上投射點像散值的正負：當子午像點B282、像散的觀察，“十”字圖案的像散像

3、像散的產(chǎn)生原因：是由于通過光學系統(tǒng)后的光束對應的波面為非球面波，它在兩個主截面中的曲率不同，所以聚焦為子午像點和弧矢像點。對于細光束，存在像散差，不存在彗差。

9.3像散和像面彎曲2、像散的觀察，“十”字圖案的像散像3、像散的產(chǎn)生原因：929二、場曲（像面彎曲）

1、場曲的概念

不同視場的細光束有不同的像散值，一個平面通過有像散的光學系統(tǒng)必然形成兩個像面，因軸上點沒有像散，所以兩個像面必定同時相切于理想像面與光軸的交點上。子午像面：由子午像點構(gòu)成的像面稱為子午像面。弧矢像面：由弧矢像點構(gòu)成的像面稱為弧矢像面。子午場曲：由某一視場的子午像點相對于高斯面的距離XT’。弧矢場曲：由某一視場的弧矢像點相對于高斯面的距離Xs’。對稱于光軸的旋轉(zhuǎn)曲面9.3像散和像面彎曲二、場曲（像面彎曲）1、場曲的概念不同視場的細光束有30子午面主光線弧矢面B弧矢面子午面z入瞳RT9.3像散和像面彎曲子午面主光線弧矢面B弧矢面子午面z入瞳RT9.3像散和像面彎31計算公式

像散和場曲的關系為

像散為零的時候，場曲是否存在？

若某視場像散為零，則細光束交點T0與S0重合，但它們與高斯像面不重合，仍存在場曲。故像散和場曲的關系為：有像散一定有場曲，但像散為0時場曲不為零。

9.3像散和像面彎曲計算公式像散和場曲的關系為像散為零的時候，場曲是否存在？32匹茲萬像面

如下圖，設球面物體Q與折射球面R同心。由分析可知，垂軸平面上的物體不可能成像在理想的垂軸像平面上，這種偏離現(xiàn)象隨視場的增大而逐漸加大，使得垂直于光軸的平面物體經(jīng)球面成像后變得彎曲。這種彎曲并沒有考慮像散的影響，相當于像散為0時的情況，我們把這種沒有像散時的像面彎曲稱為匹茲萬場曲，用P′BAB1CA'B'B'1B'09.3像散和像面彎曲匹茲萬像面如下圖，設球面物體Q與折射球面R同心。由分析可知339.3像散和像面彎曲9.3像散和像面彎曲34前提條件：1、球面物，折射面同心；2、有一無限小光闌，使物面上各點都以無限細光束成像，不存在球差和彗差。原因？故成像平面應以CA’為半徑的一個球面。對平面AB，根據(jù)其成像特性分析可知，曲面比上述曲面更彎曲，但是能產(chǎn)生清晰像，故這個曲面稱為匹茲萬曲面。單個折射球面匹茲萬像面彎曲表示式

9.3像散和像面彎曲前提條件：1、球面物，折射面同心；故成像平面應以CA’為半徑35光學系統(tǒng)存在場曲時的成像情況

聚焦中心聚焦邊緣9.3像散和像面彎曲光學系統(tǒng)存在場曲時的成像情況聚焦中心聚焦邊緣9.3像散和像36光學系統(tǒng)存在場曲時的成像情況

只校正了像散既校正了像散，又校正了場曲9.3像散和像面彎曲光學系統(tǒng)存在場曲時的成像情況只校正了像散既校正了像散，又校37三、寬光束的像散和場曲

Xt’:寬光束上下光線經(jīng)過光學系統(tǒng)折射后的交點Bt’到高斯像面的距離稱之為寬光束子午場曲。Xs’:寬光束前后光線經(jīng)過光學系統(tǒng)折射后的交點Bs’到高斯像面的距離稱之為寬光束弧矢場曲。寬光束的像散9.3像散和像面彎曲三、寬光束的像散和場曲Xt’:寬光束上下光線經(jīng)過光學系38一、光學系統(tǒng)的畸變

畸變：由于像差的存在，使成像發(fā)生變形的缺陷稱為畸變，但不影響像的清晰度。理想光學系統(tǒng)中，物像共軛面上的垂軸放大率為常數(shù)，所以像與物總是相似的。但在實際光學系統(tǒng)中，只有在近軸區(qū)域才有這樣的性質(zhì)。一般情況下，一對共軛面上的放大率并不是常數(shù)，隨視場的增大而變化，即軸上物點與視場邊緣具有不同的放大率，物和像因此不再完全相似，這種像對物的變形像差我們稱為畸變產(chǎn)生畸變的原因：主光線的球差隨視場角的改變而不同，因而在一對共軛的物像平面上，放大率隨視場變化，不再是常數(shù)。畸變的表達式

9.4畸變一、光學系統(tǒng)的畸變畸變：由于像差的存在，使成像發(fā)生變形的缺39Yz’表示實際像高,y’是理想像高在下圖中，B點是平面物體的任一軸外點，過B點所作的輔助光軸與像面交于B0′，B0′點即為B點的理想像點。B點以細光束成像時交于輔軸上的B′點，B′B0′為B點的匹茲萬場曲。當B點以主光線成像時，交輔軸于B1′點，B1′B′為B點的球差，這是因為由B點發(fā)出的主光線相對于輔軸有一定孔徑角，將產(chǎn)生球差。所以，主光線最終經(jīng)B1′點交像面于BZ′點，偏離了理想像點B0′，產(chǎn)生畸變。再看看位于光軸上的A點，主光線與光軸重合，主光線的像點與理想像點在像面的中心點A′重合，因此軸上點不存在畸變。

9.4畸變Yz’表示實際像高,y’是理想像高在下圖中，B點是平面物體的40BA入瞳CB'y'zA'B'0y'主光線畸變由以上分析可以看出，畸變的形成既有場曲的因素也有球差的因素。B1’9.4畸變BA入瞳CB'y'zA'B'0y'主光線畸變由以上分析可以41(a)枕形(b)桶形正畸變：枕形畸變，其主光線和高斯像面交點的高度隨視場的增大而大于理想像高，即為正畸變負畸變：桶形畸變，其主光線和高斯像面交點的高度隨視場的增大而小于理想像高，即為負畸變注意：畸變是垂軸（橫向）像差的一種枕形和桶形畸變的示意圖9.4畸變(a)枕形(b)桶形正畸變：枕形畸變，其主光線和高斯像面交點42相對畸變?yōu)閷嶋H橫向放大率二、對稱式光學系統(tǒng)的畸變對稱式光學系統(tǒng)，其放大率為β=-1，對其實際的放大率總可以證到其實際放大率為-1，故有其畸變消失。9.4畸變相對畸變?yōu)閷嶋H橫向放大率二、對稱式光學系統(tǒng)的畸變對稱式光學系43三、光學系統(tǒng)光闌對畸變的作用1、當光闌與透鏡重合時，不管物體處于何處或倍率為何值，均無畸變產(chǎn)生。這是由于主光線通過節(jié)點，沿著理想成像的光線方向射出。（入瞳中心和薄球面的節(jié)點重合）2、當光闌放置在透鏡之前主光線有負球差，故主光線和高斯像面的交點低于理想像點，即實際像點低于理想像高y’，所以產(chǎn)生桶形畸變。（負畸變）3、當光闌放置在透鏡之后主光線有負球差，實際像點高于理想像高y’，所以產(chǎn)生枕形畸變。（正畸變）9.4畸變?nèi)?、光學系統(tǒng)光闌對畸變的作用1、當光闌與透鏡重合時，不管物體449.4畸變9.4畸變45一、正弦差彗差的量度，小視場成像的寬光束的不對稱性1、余弦定律：光學系統(tǒng)對無限接近的兩點成完善像的條件，稱為余弦定律滿足余弦定律時，光線的孔徑角不受限制，即兩鄰近點均可以以任意寬光束成完善像9.5正弦差一、正弦差彗差的量度，小視場成像的寬光束的不對稱性1、余弦定462、正弦條件：設軸上物點A到A’能以任意寬光束完善成像，則垂軸方向的近軸軸外點B到B’也能以任意寬光束完善成像需滿足的條件稱為正弦條件。根據(jù)余弦定律可以推出也可寫為：當物距為無窮遠時，經(jīng)公式變換，可將正弦條件寫為：9.5正弦差正弦條件的偏離2、正弦條件：設軸上物點A到A’能以任意寬光束完善成像，473、赫歇爾條件：當光學系統(tǒng)成完善像時，在沿軸方向的鄰近點（沿軸微線段）成完善像應滿足的條件，根據(jù)余弦條件，并且利用沿軸光線u’=u=0，可得比較正弦條件和赫歇爾條件：赫歇爾條件是光軸上一對鄰近點成完善像的充分必要條件。通過比較可知，正弦條件和赫歇爾條件不能同時滿足，因此如果滿足正弦條件，就不能滿足赫歇爾條件,故如果垂軸方向上的鄰近點能成完善像，則沿軸方向上的鄰近點不能成完善像，反之也成立，故不存在對一個空間成完善像的光學系統(tǒng)。9.5正弦差3、赫歇爾條件：當光學系統(tǒng)成完善像時，在沿軸方向的鄰近點（沿484、弧矢不變量與正弦條件的關系：只要物體垂直于光軸，用任意大的光束成像，均有在小視場情況下，可忽略像散，場曲，畸變但有球差和弧矢彗差，則如果無彗差同時又無球差，則得9.5正弦差4、弧矢不變量與正弦條件的關系：只要物體垂直于光軸，用任意大495、在不暈點處的正弦條件：由于在不暈點處：對于齊明點，始終滿足：9.5正弦差故：表明該對共軛點滿足的正弦條件5、在不暈點處的正弦條件：由于在不暈點處：對于齊明點，始終滿506、等暈條件：1）等暈成像：軸上點和其鄰近點具有相同的成像缺陷，稱為等暈成像，欲達到這樣的要求，光學系統(tǒng)必須滿足等暈條件。2）等暈條件：軸上點和軸外點具有相同的球差值，且軸外光束不失對稱性，即不存在彗差，這就是等暈條件的系統(tǒng)。9.5正弦差6、等暈條件：2）等暈條件：軸上點和軸外點具有相同的球差值，51描述等暈條件的偏離，稱為正弦差或相對弧矢彗差等暈成像示意圖9.5正弦差描述等暈條件的偏離，稱為正弦差或相對弧矢彗差等暈成像示意圖952由弧矢不變量可以得到弧矢彗差示意圖9.5正弦差由弧矢不變量可以得到弧矢彗差示意圖9.5正弦差53A’Q’可以由相似三角形求得則可以得到利用垂軸放大率，可得9.5正弦差A’Q’可以由相似三角形求得則可以得到利用垂軸放大率54當物體位于無限遠時候，sinu和u相消，則有為把系統(tǒng)的球差聯(lián)系起來，可以將上面的式子寫為正弦差注意，當SC’為零的時候，δL’不一定為零，這正好說明了等暈條件9.5正弦差當物體位于無限遠時候，sinu和u相消，則有為把系統(tǒng)的球差聯(lián)55當SC’=0時候，可以得到等暈條件為當物體在有限遠時當物體在無限遠時利用等暈條件和正弦差的形式可改寫為SC’=0即可得到等暈條件需計算第一近軸光（理想像點位置），第二近軸光（確定l’z）及軸上點A發(fā)出的實際光線。9.5正弦差當SC’=0時候，可以得到等暈條件為當物體在有限遠時當56二、正弦差的性質(zhì)：1）只與孔徑有關，與視場無關。2）正弦差與孔徑光闌的位置有關。注意，當SC’=0，δL’=0，等暈條件變成了正弦條件，故等暈條件是正弦條件的推廣，正弦條件是等暈條件的特殊情形。9.5正弦差二、正弦差的性質(zhì)：注意，當SC’=0，δL’=0，等暈條件變57大多數(shù)情況下，物體都以復色光（例如白光）成像，白光包含了各種不同波長的單色光，光學材料對不同波長的譜線有不同的折射率。第三章給出的透鏡計算表明，透鏡的焦距取決于兩表面的曲率半徑和材料的折射率，當半徑確定后，焦距隨折射率而變化。當白光經(jīng)過光學系統(tǒng)時，系統(tǒng)對不同波長有不同的焦距，各譜線將形成各自的像點，導致一個物點對應有許許多多不同波長的像點位置和放大率，這種成像的色差異我們統(tǒng)稱為色差。大多數(shù)情況下，物體都以復色光（例如白光）成像58色差是描述兩種波長成像點的差異，對任意兩個波長譜線都可以計算色差，但一般情況下，都是根據(jù)接收器光譜響應范圍的來選擇計算色差的光譜譜線。如果接收器用于可見光（例如以人眼或普通感光材料作為接收器），通常選擇可見光譜范圍的兩端譜線中的F光（紫光）和C光（紅光）來計算色差，用它們之間的像點差異來表示白光光學系統(tǒng)的色差。色差的幾何描述有兩種：描述兩種波長像點位置差異的稱位置色差或軸向色差，通常對軸上點計算；描述兩種波長像點高度（或放大率）差異的稱倍率色差或垂軸色差，通常對軸外點計算。9.6位置色差和倍率色差色差是描述兩種波長成像點的差異，對任意兩個波59一、位置色差（軸向色差）定義：當透鏡對一定物距l(xiāng)的物體成像的時候，由于各色光焦距不同，用可知，由高斯公式可以求出不同的像距l(xiāng)’的值，按色光的波長由短到長，它們的像點離透鏡由近到遠地排列在光軸上，這種現(xiàn)象叫做位置色差。二、色差值的確定：為確定色差值，首先應規(guī)定對那種色光來考慮色差，即所謂消色差譜線。一般以波長較長的譜線的像點位置色差，設λ1和λ2為消色差譜的波長，且λ1<λ2，則有像方截距之差。

9.6位置色差和倍率色差一、位置色差（軸向色差）二、色差值的確定：9.6位置色差和倍609.6位置色差和倍率色差9.6位置色差和倍率色差61與其他單色像差不同的是，理想光學系統(tǒng)或光學系統(tǒng)近軸區(qū)也存在著位置色差近軸像方截距之差對于目視光學系統(tǒng)其中和表示紅光的像方截距，和表示藍光的像方截距AA'l'DCl'A'l'FFCDA'9.6位置色差和倍率色差與其他單色像差不同的是，理想光學系統(tǒng)或光學系統(tǒng)近近軸像方截距62三、倍率色差（軸向色差）概念：即使光學系統(tǒng)校正了位置色差，使得兩種色光經(jīng)過光學系統(tǒng)之后交于軸上同一點，但就軸外點而言，由于垂軸倍率，且不同，則不同色光的垂軸放大率不相同，故在同一像面上的像高不同。光學系統(tǒng)對不同色光的放大率的差異稱為倍率色差，也稱為放大率色差或垂軸色差。9.6位置色差和倍率色差三、倍率色差（軸向色差）9.6位置色差和倍率色差63式中類似的，可以得到近軸光倍率色差由第二近軸光線求得像高現(xiàn)象及危害：倍率色差嚴重時，物體的象有彩色邊緣，即各種色光的軸外點不重合。倍率色差破壞了軸外點成像的清晰度，造成了白光像的模糊。對于目視光學系統(tǒng)，有9.6位置色差和倍率色差四、倍率色差的確定軸外點發(fā)出的兩種色光的主光線在消單色像差的高斯像面上交點的高度之差，且以波長較長的色光交點高度為基準，則有：式中類似的，可以得到近軸光倍率色差由第二近軸光線求得像高現(xiàn)象649.6位置色差和倍率色差倍率色差與：1）與視場有關，隨視場的增大而變的嚴重

2）與光闌位置有關，光闌在透鏡之前，產(chǎn)生負倍率色差，在透鏡之后，產(chǎn)生正倍率色差。

3）對于放大率等與-1的對稱式光學系統(tǒng)，前組（光闌錢的部分）和后組（光闌后的部分）分別產(chǎn)生數(shù)值相等，符號相反的倍率色差，此時倍率色差自動消除。9.6位置色差和倍率色差倍率色差與：1）與視場有關，隨視場的65球差：軸上點，與孔徑有關，與視場無關，與光闌位置無關，近軸細光束無，形狀為同心彌散圓，中心部分最密，越往外越稀疏。彗差：軸外點，與視場和孔徑都有關，與光闌位置有關，與透鏡形狀有管，寬光束有，細光束無。形狀由不同心圓組合，與二夾角為60度的直線相切，頂點最亮。帶著一個逐漸變暗的尾巴，形似彗星。像散和場曲：軸外點，寬光束和細光束均有。像散和場曲同時存在時，軸外點分布在一個橢圓區(qū)域內(nèi)，在焦線處為直線，如只有場曲，則為一個圓?；儯狠S外點，使象變形，但不影響象的清晰度。像差的總結(jié)球差：軸上點，與孔徑有關，與視場無關，與光闌位置無像差的總結(jié)66思考題：如圖所示，請問哪一行表示軸上點像差？哪一行表示軸外點像差？作業(yè)作業(yè)題二：一個光學系統(tǒng)，知其只包含初級和二級球差，更高級的球差可忽略不計。已知該系統(tǒng)的邊光球差，0.707帶光球差，要求表示出此系統(tǒng)的球差隨相對高度的展開式.思考題：如圖所示，請問哪一行表示軸上點像差？哪一行表示軸外點67第九章光學系統(tǒng)的像差軸上點像差彗差像散和像面彎曲畸變正弦差位置色差倍率色差應用光學第九章軸上點像差應用68五、單個折射球面的球差正負和物體位置的關系二、球差的性質(zhì)及表達式

一、球差的定義及其計算

三、光學系統(tǒng)的球差分布公式

四、單個折射球面的球差分布系數(shù)，不暈點9.1軸上點像差五、單個折射球面的球差正負和物體位置的關系二、球差的性質(zhì)69一、球差的定義及其計算

1、軸向像差：由軸上點發(fā)出的同心光束，經(jīng)光學系統(tǒng)各個折射面折射后，不同孔徑角的交線交于不同點，相對于理想像點的位置有不同的偏離，這就是球面像差。實際像點與理想像點的沿軸距離9.1軸上點像差一、球差的定義及其計算1、軸向像差：由軸上點發(fā)出的702、垂軸像差：由于球差的存在，在高斯像面上的像點已不是一個點，而是一個圓形的彌散斑。二、球差的性質(zhì)及表達式

9.1軸上點像差2、垂軸像差：由于球差的存在，在高斯像面上的像點已不71一般以（1，0.85，0.707，0.5，0.3，0）為典型光線作圖，孔徑邊緣上的光為邊光，位于某一個孔徑帶的光為帶光，當用一個屏上所得到的像為不同大小的彌散斑，有一個最小彌散斑的位置，但無論如何在屏上任何位置都不能成為一個幾何點。相對孔徑例邊光帶光9.1軸上點像差一般以（1，0.85，0.707，0.5，0.72球差是入射高度h(u)的函數(shù)球差具有對稱性球差與視場無關單正透鏡產(chǎn)生負球差，單負透鏡產(chǎn)生正球差

從圖中可以看出球差的性質(zhì)如下：“消球差”：使，注意由于是不同的，因此不能使所有的孔徑（帶）球差為零，一般只能使一個孔徑（帶）球差為零，當邊緣孔徑的球差不為零時，光學系統(tǒng)有負值球差存在稱為“校正不足”，有正球差存在稱為“校正過頭”。

9.1軸上點像差球差是入射高度h(u)的函數(shù)從圖中可以看出球差的性質(zhì)如下：“73球差表達式（級數(shù)展開的方法）

初級像差二級像差三級像差高級像差球差表達式也可以采用相對孔徑展開

9.1軸上點像差球差表達式（級數(shù)展開的方法）初級像差二級像差三級像差高級像74三、光學系統(tǒng)的球差分布公式

1、原理分析含義：包含了前面幾個面的球差貢獻及該折射面本身所產(chǎn)生的球差9.1軸上點像差其中：為轉(zhuǎn)面倍率三、光學系統(tǒng)的1、原理分析含義：包含了前面幾個面的球差752、球差分布公式克萊伯公式：單個折射球面的球差表示式為：整個系統(tǒng)的球差表示式為：或：9.1軸上點像差2、球差分布公式克萊伯公式：單個折射球面的球差表示式為：整個76四、單個折射球面的球差分布系數(shù)，不暈點經(jīng)過推導，可得到單個折射球面的球差分布系數(shù)令上式為零：可以得到一下三個無球差點第一：L=0,此時L’必為零，故物點、像點和頂點重合。第二：sinI-sinI’=0,這個條件只能在I’=I=0時才能滿足，相當于光線與球面法線重合，物點像點和球面中心重合，此時L=L’=r；第三：sinI’-sinU=0，則I’=U;PA校對法9.1軸上點像差四、單個折射球面的球差分布系數(shù)，不暈點經(jīng)過推導，可得到單個折77此時，有得由得結(jié)論：1）由L’和L的關系可知，它們都在球心的同側(cè)，或是實物成虛像，或是虛物成實像。9.1軸上點像差2）由L’和L的關系可知，可得：則表明：這一對共軛點無論U多大，比值始終保持常數(shù)，故不產(chǎn)生球差，這一對共軛點稱為不暈點或者叫齊明點此時，有得由得結(jié)論：1）由L’和L的關系可知，它們都在球心的78五、單個折射球面的球差正負和物體位置的關系上面對單個折射球面給出了三對無球差共軛點的位置，這樣就可以把由負無窮到正無窮的整個空間分為四個以無球差點為界的區(qū)間9.1軸上點像差五、單個折射球面的球差正負和物體位置的關系上面對單個折射791）當r>0時，PA>0和n’>n時，可知：第一個因子LsinU，因為PA>0,根據(jù)PAcos(U-I)/2可知，無論物點位于哪個區(qū)間，LsinU恒為正值。第二個因子i,與符號sinI同號，其符號隨物體的區(qū)間而異，在第二個區(qū)間(0<L<r)為負，其他區(qū)間為正。（根據(jù)符號規(guī)則判定）第三個因子sinI-sinI’。當sinI>sinI’,光線起會聚作用，反之sinI<sinI’,光線起發(fā)散作用9.1軸上點像差1）當r>0時，PA>0和n’>n時，可知：9.1軸上點像差80因為n’>n,則恒為正，故sinI-sinI’的符號與i相同，即物點位于第二區(qū)間時sinI-sinI’恒為負，其他區(qū)間為正值。第四個因子sinI’-sinU可表示為9.1軸上點像差因為n’>n,則恒為正，故sinI-sinI’812）當r>0時，n’<n時，只有因子sinI-sinI’=sinI((n’-n)/n’)改變了符號，此時會聚面變成了發(fā)散面。其結(jié)果也可見于上表。3）當r<0，四個區(qū)間的各個因子的討論如前述方法現(xiàn)將結(jié)果列于表9.59.1軸上點像差2）當r>0時，n’<n時，只有因子sinI-sinI’=s824）根據(jù)表9.4及9.5可以得到如下結(jié)論：a、正常區(qū)除由不暈點到球心這一區(qū)間（r>0,r<L<(n’+n)r/n）或（r<0,(n’+n)r/n<L<r

）外，球差符號恒與sinI-sinI’符號相反，即折射面對光束起會聚作用(sinI-sinI’>0)產(chǎn)生負球差，起發(fā)散作用時(sinI-sinI’<0)產(chǎn)生正球差。b、反常區(qū)由球心到不暈點的這個區(qū)間內(nèi)，會聚時產(chǎn)生正球差，發(fā)散時產(chǎn)生負球差，故這一區(qū)間稱為反常區(qū)。c、在區(qū)間0<L<r，會聚面對光束起發(fā)散作用，產(chǎn)生正球差，發(fā)散面對光束起會聚作用，產(chǎn)生負球差，這個由頂點到球心的區(qū)域稱為半反常區(qū)。9.1軸上點像差4）根據(jù)表9.4及9.5可以得到如下結(jié)論：9.1軸上點像差839.1軸上點像差9.1軸上點像差84舉例討論：n=1,n’=1.5時，r=10的半反常區(qū)和反常區(qū)間。已知會聚折射球面的一對齊明點相距30mm，球面兩邊介質(zhì)的折射率分別為n=1.5和n’=1，求此折射球面的曲率半徑及齊明點的位置和放大率。作業(yè)題一：9.1軸上點像差舉例討論：n=1,n’=1.5時，r=10的半反常區(qū)和已知會85一、彗差及其計算軸外點寬光束的像差之一寬光束：物點發(fā)出的入瞳內(nèi)與主光線對稱的垂直距離最遠的那對光線。細光束：當入瞳越來越小，以至于接近于零的時候，此時光線對的性質(zhì)與主光線的性質(zhì)完全一致。光線對：與主光線對稱的一對光線稱為光線對。9.2彗差一、彗差及其計算軸外點寬光束的像差之一寬光束：物點發(fā)出的入瞳86細光束：T——T0，在主光線上，不在輔軸上S——S0，在主光線與輔軸的交點上。子午彗差的示意圖如下寬光束：上下光線交點T，不在主光線上，不在輔軸上前后光線交點S，不在主光線上，但在輔軸上。9.2彗差細光束：T——T0，在主光線上，不在輔軸上子午彗差的示意圖如87子午彗差的表達式其中：上下光線在高斯面上交點高度的平均值主光線在高斯像面上的交點高度。B'z9.2彗差子午彗差的表達式其中：上下光線在高斯88子午彗差：子午光束經(jīng)折射面折射后上下光線的交點在垂直于光軸方向和主光線的偏離為子午彗差。KT’子午場曲：在沿著光軸方向和高斯面之間的偏離XT’為子午場曲。從能量傳輸?shù)慕嵌葋砜紤]。主光線和像平面交點附近光能量集中，故B’點最亮，而上下光線是邊緣光線，它們的交點BT’離開了B’，能量擴散，故相對較暗，形成了彗星狀的彌散斑。彗差的危害：使物面上的軸外點成像為彗星狀的彌散斑，破壞了軸外視場成像的清晰度。9.2彗差注意：彗差與孔徑和視場都有關。子午彗差：子午光束經(jīng)折射面折射后上下光線的交點在垂從能量傳輸89二、光學系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式對彗差的影響1、彗差與光闌位置有關。1）當上下光線的交點在主光線的下方，彗差為負。2）當入瞳中心移到與球心重合，則主光線與輔軸重合，則彗差為零。3）繼續(xù)移動入瞳位置，則上下光線交點在主光線的上方，彗差為正。2、彗差與透鏡的形狀有關。1）正彎月型透鏡，產(chǎn)生正彗差2）如將其反向放置，產(chǎn)生負彗差。故兩透鏡產(chǎn)生相反符號的彗差時可以相互抵消。9.2彗差二、光學系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式對彗差的影響1、彗差與光闌位置有關。9.90三、弧矢彗差9.2彗差弧矢彗差：前后光線的在子午面內(nèi)交點Bs’沿垂直于光軸方向主光線的距離稱為弧矢彗差，用Ks’表示弧矢場曲：Bs’在沿著光軸方向和高斯面之間的偏離XT’為弧矢場曲。三、弧矢彗差9.2彗差弧矢彗差：前后光線91二、場曲（像面彎曲）

一、像散

三、寬光束的像散和場曲

9.3像散和像面彎曲二、場曲（像面彎曲）一、像散三、寬光束的像散和場曲9.92一、像散-一般指細光束

入瞳光學系統(tǒng)光屏9.3像散和像面彎曲一、像散-一般指細光束入瞳光學系統(tǒng)光屏9.3像散和像面彎曲931、像散：兩條短線之間沿著光束軸（主光線）的方向的距離Bt’Bs’是光學系統(tǒng)的像散。短線Bt’稱為軸外物點B的子午像，短線Bs’為軸外物點B的弧矢像，像散值

A’9.3像散和像面彎曲1、像散：兩條短線之間沿著光束軸（主光線）的方向的距離Bt’94式中，x為主光線在最后一面上投射點的矢高；Uz’是光學系統(tǒng)像空間主光線和光軸的夾角。像散值的正負：當子午像點Bt’比弧矢像點Bs’更遠離高斯像面，即Lt’<Ls’，像散為負值，反之為正值。像散值的校正：是使某一視場（一般是0.707視場）像散為零。9.3像散和像面彎曲式中，x為主光線在最后一面上投射點像散值的正負：當子午像點B952、像散的觀察，“十”字圖案的像散像

3、像散的產(chǎn)生原因：是由于通過光學系統(tǒng)后的光束對應的波面為非球面波，它在兩個主截面中的曲率不同，所以聚焦為子午像點和弧矢像點。對于細光束，存在像散差，不存在彗差。

9.3像散和像面彎曲2、像散的觀察，“十”字圖案的像散像3、像散的產(chǎn)生原因：996二、場曲（像面彎曲）

1、場曲的概念

不同視場的細光束有不同的像散值，一個平面通過有像散的光學系統(tǒng)必然形成兩個像面，因軸上點沒有像散，所以兩個像面必定同時相切于理想像面與光軸的交點上。子午像面：由子午像點構(gòu)成的像面稱為子午像面?；∈赶衩妫河苫∈赶顸c構(gòu)成的像面稱為弧矢像面。子午場曲：由某一視場的子午像點相對于高斯面的距離XT’?；∈笀銮河赡骋灰晥龅幕∈赶顸c相對于高斯面的距離Xs’。對稱于光軸的旋轉(zhuǎn)曲面9.3像散和像面彎曲二、場曲（像面彎曲）1、場曲的概念不同視場的細光束有97子午面主光線弧矢面B弧矢面子午面z入瞳RT9.3像散和像面彎曲子午面主光線弧矢面B弧矢面子午面z入瞳RT9.3像散和像面彎98計算公式

像散和場曲的關系為

像散為零的時候，場曲是否存在？

若某視場像散為零，則細光束交點T0與S0重合，但它們與高斯像面不重合，仍存在場曲。故像散和場曲的關系為：有像散一定有場曲，但像散為0時場曲不為零。

9.3像散和像面彎曲計算公式像散和場曲的關系為像散為零的時候，場曲是否存在？99匹茲萬像面

如下圖，設球面物體Q與折射球面R同心。由分析可知，垂軸平面上的物體不可能成像在理想的垂軸像平面上，這種偏離現(xiàn)象隨視場的增大而逐漸加大，使得垂直于光軸的平面物體經(jīng)球面成像后變得彎曲。這種彎曲并沒有考慮像散的影響，相當于像散為0時的情況，我們把這種沒有像散時的像面彎曲稱為匹茲萬場曲，用P′BAB1CA'B'B'1B'09.3像散和像面彎曲匹茲萬像面如下圖，設球面物體Q與折射球面R同心。由分析可知1009.3像散和像面彎曲9.3像散和像面彎曲101前提條件：1、球面物，折射面同心；2、有一無限小光闌，使物面上各點都以無限細光束成像，不存在球差和彗差。原因？故成像平面應以CA’為半徑的一個球面。對平面AB，根據(jù)其成像特性分析可知，曲面比上述曲面更彎曲，但是能產(chǎn)生清晰像，故這個曲面稱為匹茲萬曲面。單個折射球面匹茲萬像面彎曲表示式

9.3像散和像面彎曲前提條件：1、球面物，折射面同心；故成像平面應以CA’為半徑102光學系統(tǒng)存在場曲時的成像情況

聚焦中心聚焦邊緣9.3像散和像面彎曲光學系統(tǒng)存在場曲時的成像情況聚焦中心聚焦邊緣9.3像散和像103光學系統(tǒng)存在場曲時的成像情況

只校正了像散既校正了像散，又校正了場曲9.3像散和像面彎曲光學系統(tǒng)存在場曲時的成像情況只校正了像散既校正了像散，又校104三、寬光束的像散和場曲

Xt’:寬光束上下光線經(jīng)過光學系統(tǒng)折射后的交點Bt’到高斯像面的距離稱之為寬光束子午場曲。Xs’:寬光束前后光線經(jīng)過光學系統(tǒng)折射后的交點Bs’到高斯像面的距離稱之為寬光束弧矢場曲。寬光束的像散9.3像散和像面彎曲三、寬光束的像散和場曲Xt’:寬光束上下光線經(jīng)過光學系105一、光學系統(tǒng)的畸變

畸變：由于像差的存在，使成像發(fā)生變形的缺陷稱為畸變，但不影響像的清晰度。理想光學系統(tǒng)中，物像共軛面上的垂軸放大率為常數(shù)，所以像與物總是相似的。但在實際光學系統(tǒng)中，只有在近軸區(qū)域才有這樣的性質(zhì)。一般情況下，一對共軛面上的放大率并不是常數(shù)，隨視場的增大而變化，即軸上物點與視場邊緣具有不同的放大率，物和像因此不再完全相似，這種像對物的變形像差我們稱為畸變產(chǎn)生畸變的原因：主光線的球差隨視場角的改變而不同，因而在一對共軛的物像平面上，放大率隨視場變化，不再是常數(shù)?；兊谋磉_式

9.4畸變一、光學系統(tǒng)的畸變畸變：由于像差的存在，使成像發(fā)生變形的缺106Yz’表示實際像高,y’是理想像高在下圖中，B點是平面物體的任一軸外點，過B點所作的輔助光軸與像面交于B0′，B0′點即為B點的理想像點。B點以細光束成像時交于輔軸上的B′點，B′B0′為B點的匹茲萬場曲。當B點以主光線成像時，交輔軸于B1′點，B1′B′為B點的球差，這是因為由B點發(fā)出的主光線相對于輔軸有一定孔徑角，將產(chǎn)生球差。所以，主光線最終經(jīng)B1′點交像面于BZ′點，偏離了理想像點B0′，產(chǎn)生畸變。再看看位于光軸上的A點，主光線與光軸重合，主光線的像點與理想像點在像面的中心點A′重合，因此軸上點不存在畸變。

9.4畸變Yz’表示實際像高,y’是理想像高在下圖中，B點是平面物體的107BA入瞳CB'y'zA'B'0y'主光線畸變由以上分析可以看出，畸變的形成既有場曲的因素也有球差的因素。B1’9.4畸變BA入瞳CB'y'zA'B'0y'主光線畸變由以上分析可以108(a)枕形(b)桶形正畸變：枕形畸變，其主光線和高斯像面交點的高度隨視場的增大而大于理想像高，即為正畸變負畸變：桶形畸變，其主光線和高斯像面交點的高度隨視場的增大而小于理想像高，即為負畸變注意：畸變是垂軸（橫向）像差的一種枕形和桶形畸變的示意圖9.4畸變(a)枕形(b)桶形正畸變：枕形畸變，其主光線和高斯像面交點109相對畸變?yōu)閷嶋H橫向放大率二、對稱式光學系統(tǒng)的畸變對稱式光學系統(tǒng)，其放大率為β=-1，對其實際的放大率總可以證到其實際放大率為-1，故有其畸變消失。9.4畸變相對畸變?yōu)閷嶋H橫向放大率二、對稱式光學系統(tǒng)的畸變對稱式光學系110三、光學系統(tǒng)光闌對畸變的作用1、當光闌與透鏡重合時，不管物體處于何處或倍率為何值，均無畸變產(chǎn)生。這是由于主光線通過節(jié)點，沿著理想成像的光線方向射出。（入瞳中心和薄球面的節(jié)點重合）2、當光闌放置在透鏡之前主光線有負球差，故主光線和高斯像面的交點低于理想像點，即實際像點低于理想像高y’，所以產(chǎn)生桶形畸變。（負畸變）3、當光闌放置在透鏡之后主光線有負球差，實際像點高于理想像高y’，所以產(chǎn)生枕形畸變。（正畸變）9.4畸變?nèi)?、光學系統(tǒng)光闌對畸變的作用1、當光闌與透鏡重合時，不管物體1119.4畸變9.4畸變112一、正弦差彗差的量度，小視場成像的寬光束的不對稱性1、余弦定律：光學系統(tǒng)對無限接近的兩點成完善像的條件，稱為余弦定律滿足余弦定律時，光線的孔徑角不受限制，即兩鄰近點均可以以任意寬光束成完善像9.5正弦差一、正弦差彗差的量度，小視場成像的寬光束的不對稱性1、余弦定1132、正弦條件：設軸上物點A到A’能以任意寬光束完善成像，則垂軸方向的近軸軸外點B到B’也能以任意寬光束完善成像需滿足的條件稱為正弦條件。根據(jù)余弦定律可以推出也可寫為：當物距為無窮遠時，經(jīng)公式變換，可將正弦條件寫為：9.5正弦差正弦條件的偏離2、正弦條件：設軸上物點A到A’能以任意寬光束完善成像，1143、赫歇爾條件：當光學系統(tǒng)成完善像時，在沿軸方向的鄰近點（沿軸微線段）成完善像應滿足的條件，根據(jù)余弦條件，并且利用沿軸光線u’=u=0，可得比較正弦條件和赫歇爾條件：赫歇爾條件是光軸上一對鄰近點成完善像的充分必要條件。通過比較可知，正弦條件和赫歇爾條件不能同時滿足，因此如果滿足正弦條件，就不能滿足赫歇爾條件,故如果垂軸方向上的鄰近點能成完善像，則沿軸方向上的鄰近點不能成完善像，反之也成立，故不存在對一個空間成完善像的光學系統(tǒng)。9.5正弦差3、赫歇爾條件：當光學系統(tǒng)成完善像時，在沿軸方向的鄰近點（沿1154、弧矢不變量與正弦條件的關系：只要物體垂直于光軸，用任意大的光束成像，均有在小視場情況下，可忽略像散，場曲，畸變但有球差和弧矢彗差，則如果無彗差同時又無球差，則得9.5正弦差4、弧矢不變量與正弦條件的關系：只要物體垂直于光軸，用任意大1165、在不暈點處的正弦條件：由于在不暈點處：對于齊明點，始終滿足：9.5正弦差故：表明該對共軛點滿足的正弦條件5、在不暈點處的正弦條件：由于在不暈點處：對于齊明點，始終滿1176、等暈條件：1）等暈成像：軸上點和其鄰近點具有相同的成像缺陷，稱為等暈成像，欲達到這樣的要求，光學系統(tǒng)必須滿足等暈條件。2）等暈條件：軸上點和軸外點具有相同的球差值，且軸外光束不失對稱性，即不存在彗差，這就是等暈條件的系統(tǒng)。9.5正弦差6、等暈條件：2）等暈條件：軸上點和軸外點具有相同的球差值，118描述等暈條件的偏離，稱為正弦差或相對弧矢彗差等暈成像示意圖9.5正弦差描述等暈條件的偏離，稱為正弦差或相對弧矢彗差等暈成像示意圖9119由弧矢不變量可以得到弧矢彗差示意圖9.5正弦差由弧矢不變量可以得到弧矢彗差示意圖9.5正弦差120A’Q’可以由相似三角形求得則可以得到利用垂軸放大率，可得9.5正弦差A’Q’可以由相似三角形求得則可以得到利用垂軸放大率121當物體位于無限遠時候，sinu和u相消，則有為把系統(tǒng)的球差聯(lián)系起來，可以將上面的式子寫為正弦差注意，當SC’為零的時候，δL’不一定為零，這正好說明了等暈條件9.5正弦差當物體位于無限遠時候，sinu和u相消，則有為把系統(tǒng)的球差聯(lián)122當SC’=0時候，可以得到等暈條件為當物體在有限遠時當物體在無限遠時利用等暈條件和正弦差的形式可改寫為SC’=0即可得到等暈條件需計算第一近軸光（理想像點位置），第二近軸光（確定l’z）及軸上點A發(fā)出的實際光線。9.5正弦差當SC’=0時候，可以得到等暈條件為當物體在有限遠時當123二、正弦差的性質(zhì)：1）只與孔徑有關，與視場無關。2）正弦差與孔徑光闌的位置有關。注意，當SC’=0，δL’=0，等暈條件變成了正弦條件，故等暈條件是正弦條件的推廣，正弦條件是等暈條件的特殊情形。9.5正弦差二、正弦差的性質(zhì)：注意，當SC’=0，δL’=0，等暈條件