橢圓及其性質(zhì)

精品題庫試題理數(shù)1.(2014大綱全國,6,5分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點為F1、F2,離心率為,過F2的直線l交C于A、B兩點.若△AF1B的周長為4,則C的方程為()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1[答案]1.A[解析]1.由題意及橢圓的定義知4a=4,則a=,又==,∴c=1,∴b2=2,∴C的方程為+=1,選A.2.(2014福建,9,5分)設(shè)P,Q分別為圓x2+(y-6)2=2和橢圓+y2=1上的點,則P,Q兩點間的最大距離是()A.5B.+C.7+D.6[答案]2.D[解析]2.設(shè)Q(cosθ,sinθ),圓心為M,由已知得M(0,6),則|MQ|====≤5,故|PQ|max=5+=6.3.(2014湖北,9,5分)已知F1,F2是橢圓和雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點,且∠F1PF2=,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為()A.B.C.3D.2[答案]3.A[解析]3.解法一:設(shè)橢圓方程為+=1(a1>b1>0),離心率為e1,雙曲線的方程為-=1(a2>0,b2>0),離心率為e2,它們的焦距為2c,不妨設(shè)P為兩曲線在第一象限的交點,F1,F2分別為左,右焦點,則易知解得在△F1PF2中,由余弦定理得(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)·(a1-a2)cos60°=4c2,整理得+3=4c2,所以+=4,即+=4.設(shè)a=,b=,∴+=a·b≤|a|·|b|=×=×=,故+的最大值是,故選A.解法二:不妨設(shè)P在第一象限,|PF1|=m,|PF2|=n.在△PF1F2中,由余弦定理得m2+n2-mn=4c2.設(shè)橢圓的長軸長為2a1,離心率為e1,雙曲線的實軸長為2a2,離心率為e2,它們的焦距為2c,則+===.∴===,易知-+1的最小值為.故=.故選A.4.(2014山東,10,5分)已知a>b>0,橢圓C1的方程為+=1,雙曲線C2的方程為-=1,C1與C2的離心率之積為,則C2的漸近線方程為()A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0[答案]4.A[解析]4.設(shè)橢圓C1和雙曲線C2的離心率分別為e1和e2,則e1=,e2=.因為e1·e2=,所以=,即=,∴=.故雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x,即x±y=0.5.(2014河北石家莊高中畢業(yè)班復(fù)習教學質(zhì)量檢測（二），9)已知兩定點和,動點在直線:上移動，橢圓以，為焦點且經(jīng)過點，則橢圓的離心率的最大值為(

)A.B.C.D.[答案]5.

B

[解析]5.

要使離心率最大，即使最小，即長軸最短.由數(shù)形結(jié)合知：當直線與橢圓C相切時長軸最短，就最小.聯(lián)立橢圓方程及直線方程得：，由可解得：（舍）或，此時，選B.

6.(2014重慶銅梁中學高三1月月考試題，9)如圖，、是橢圓與雙曲線的公共焦點，、分別是、在第二、四象限的公共點，若四邊形為矩形，則的離心率是（

）A.B.C.D.[答案]6.D[解析]6.

設(shè)，，因為點在橢圓上，所以，即，又四邊形為矩形，所以，即，解方程組得，，設(shè)雙曲線的實軸長為，焦距為，則，，所以雙曲線的離心率為.7.（2014江西紅色六校高三第二次聯(lián)考理數(shù)試題，9）三個頂點均在橢圓上的三角形稱為橢圓的內(nèi)接三角形，已知點是橢圓的一個短軸端點，如果以為直角頂點的橢圓內(nèi)接等腰直角三角形有且僅有三個，則橢圓的離心率取值范圍是（

）A．B．C．

D．[答案]7.

B[解析]7.

設(shè)橢圓C的方程為：，設(shè)直線、，由題意可得直線與直線與橢圓相交所得的弦長相等，聯(lián)立直線與橢圓C的方程得，所截得的弦長為，用代替k可得直線與橢圓C的方程得，所截得的弦長為，兩個弦長相等得，欲使以為直角頂點的橢圓內(nèi)接等腰直角三角形有且僅有三個，只需使方程有三個不同的正實根即可，令，則，又因為，所以只需使即可，整理得離心率的范圍，又因為橢圓的離心率小于1，所以.8.(2014河南豫東豫北十所名校高中畢業(yè)班階段性測試（四）數(shù)學（理）試題,6)已知，是橢圓兩個焦點，P在橢圓上，，且當時，的面積最大，則橢圓的標準方程為(

)

(A)

(B)

(C)

（D）[答案]8.

A[解析]8.

在中，由余弦定理可得：，反解得，又因為的面積為，因為當時面積最大，故的最大角為，所以可得a=2b，又因為c=3，所以可得，橢圓方程為.9.(2014湖南株洲高三教學質(zhì)量檢測（一），6)在同一坐標系中，離心率為的橢圓與離心率為的雙曲線有相同的焦點，橢圓與雙曲線的一個交點與兩焦點的連線互相垂直，則(

)

(A)2

（B）3

（C）

（D）[答案]9.

A[解析]9.

依題意，設(shè)焦距為，橢圓長軸長，雙曲線實軸長，令點在上去先的右支上，由橢圓的定義知，①由雙曲線的定義知，②又，，由①②得，，即，故.10.(2014吉林高中畢業(yè)班上學期期末復(fù)習檢測,9)已知曲線上任意一點到兩定點、的距離之和是4，且曲線的一條切線交、軸交于、兩點，則的面積的最小值為（

）A.

4

B.

C.

8

D.

2[答案]10.

D[解析]10.

依題意，曲線的方程為橢圓，其方程為，設(shè)切線方程為，聯(lián)立方程組，消去得，由，整理得，即切線方程為，令，則，令，則，，當且僅當取等號.故的面積的最小值為2.11.(2014河南鄭州高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量預(yù)測,11)已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A.

B.

C.

D.[答案]11.

A[解析]11.橢圓：與雙曲線有相同的焦點，，，解得，橢圓的離心率，又，故橢圓的離心率的取值范圍是.12.(2014遼寧,15,5分)已知橢圓C:+=1,點M與C的焦點不重合.若M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A,B,線段MN的中點在C上,則|AN|+|BN|=________.[答案]12.12[解析]12.由橢圓方程知橢圓C的左焦點為F1(-,0),右焦點為F2(,0).則M(m,n)關(guān)于F1的對稱點為A(-2-m,-n),關(guān)于F2的對稱點為B(2-m,-n),設(shè)MN中點為(x,y),所以N(2x-m,2y-n).所以|AN|+|BN|=+=2[+],故由橢圓定義可知|AN|+|BN|=2×6=12.13.(2014重慶,21,12分)如圖,設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,點D在橢圓上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面積為.(Ⅰ)求橢圓的標準方程;(Ⅱ)設(shè)圓心在y軸上的圓與橢圓在x軸的上方有兩個交點,且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點,求圓的半徑.[答案]13.查看解析[解析]13.(Ⅰ)設(shè)F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2.由=2得|DF1|==c.從而=|DF1||F1F2|=c2=,故c=1.從而|DF1|=,由DF1⊥F1F2得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=,因此|DF2|=.所以2a=|DF1|+|DF2|=2,故a=,b2=a2-c2=1.因此,所求橢圓的標準方程為+y2=1.(Ⅱ)如圖,設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是兩個交點,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圓C的切線,且F1P1⊥F2P2.由圓和橢圓的對稱性,易知x2=-x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|.由(Ⅰ)知F1(-1,0),F2(1,0),所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,y1).再由F1P1⊥F2P2得-(x1+1)2+=0.由橢圓方程得1-=(x1+1)2,即3+4x1=0,解得x1=-或x1=0.當x1=0時,P1,P2重合,此時題設(shè)要求的圓不存在.當x1=-時,過P1,P2分別與F1P1,F2P2垂直的直線的交點即為圓心C.由F1P1,F2P2是圓C的切線,且F1P1⊥F2P2,知CP1⊥CP2.又|CP1|=|CP2|,故圓C的半徑|CP1|=|P1P2|=|x1|=.14.(2014四川,20,13分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的焦距為4,其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形.(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;(Ⅱ)設(shè)F為橢圓C的左焦點,T為直線x=-3上任意一點,過F作TF的垂線交橢圓C于點P,Q.(i)證明:OT平分線段PQ(其中O為坐標原點);(ii)當最小時,求點T的坐標.[答案]14.查看解析[解析]14.(Ⅰ)由已知可得解得a2=6,b2=2,所以橢圓C的標準方程是+=1.(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)可得,F的坐標是(-2,0),設(shè)T點的坐標為(-3,m).則直線TF的斜率kTF==-m.當m≠0時,直線PQ的斜率kPQ=,直線PQ的方程是x=my-2.當m=0時,直線PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立,得消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判別式Δ=16m2+8(m2+3)>0.所以y1+y2=,y1y2=,x1+x2=m(y1+y2)-4=.所以PQ的中點M的坐標為.所以直線OM的斜率kOM=-,又直線OT的斜率kOT=-,所以點M在直線OT上,因此OT平分線段PQ.(ii)由(i)可得,|TF|=,|PQ|====.所以==≥=.當且僅當m2+1=,即m=±1時,等號成立,此時取得最小值.所以當最小時,T點的坐標是(-3,1)或(-3,-1).15.(2014廣東,20,14分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個焦點為(,0),離心率為.(1)求橢圓C的標準方程;(2)若動點P(x0,y0)為橢圓C外一點,且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點P的軌跡方程.[答案]15.查看解析[解析]15.(1)由題意知c=,e==,∴a=3,b2=a2-c2=4,故橢圓C的標準方程為+=1.(2)設(shè)兩切線為l1,l2,①當l1⊥x軸或l1∥x軸時,l2∥x軸或l2⊥x軸,可知P(±3,±2).②當l1與x軸不垂直且不平行時,x0≠±3,設(shè)l1的斜率為k,且k≠0,則l2的斜率為-,l1的方程為y-y0=k(x-x0),與+=1聯(lián)立,整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,∵直線l1與橢圓相切,∴Δ=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)·[(y0-kx0)2-4]=0,∴(-9)k2-2x0y0k+-4=0,∴k是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的一個根,同理,-是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的另一個根,∴k·=,整理得+=13,其中x0≠±3,∴點P的軌跡方程為x2+y2=13(x≠±3).檢驗P(±3,±2)滿足上式.綜上,點P的軌跡方程為x2+y2=13.16.(2014湖南,21,13分)如圖,O為坐標原點,橢圓C1:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,離心率為e1;雙曲線C2:-=1的左、右焦點分別為F3、F4,離心率為e2,已知e1e2=,且|F2F4|=-1.(Ⅰ)求C1,C2的方程;(Ⅱ)過F1作C1的不垂直于y軸的弦AB,M為AB的中點,當直線OM與C2交于P,Q兩點時,求四邊形APBQ面積的最小值.[答案]16.查看解析[解析]16.(Ⅰ)因為e1e2=,所以·=,即a4-b4=a4,因此a2=2b2,從而F2(b,0),F4(b,0),于是b-b=|F2F4|=-1,所以b=1,所以a2=2.故C1,C2的方程分別為+y2=1,-y2=1.(Ⅱ)因為AB不垂直于y軸,且過點F1(-1,0),故可設(shè)直線AB的方程為x=my-1.由得(m2+2)y2-2my-1=0,易知此方程的判別式大于0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1,y2是上述方程的兩個實根,所以y1+y2=,y1y2=.因此x1+x2=m(y1+y2)-2=,于是AB的中點M的坐標為.故直線PQ的斜率為-,則PQ的方程為y=-x,即mx+2y=0.由得(2-m2)x2=4,所以2-m2>0,且x2=,y2=,從而|PQ|=2=2.設(shè)點A到直線PQ的距離為d,則點B到直線PQ的距離也為d,所以2d=,因為點A,B在直線mx+2y=0的異側(cè),所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0,于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|,從而2d=.又因為|y1-y2|==,所以2d=.故四邊形APBQ的面積S=|PQ|·2d==2.而0<2-m2<2,故當m=0時,S取得最小值2.綜上所述,四邊形APBQ面積的最小值為2.17.(2014陜西,2017,13分)如圖,曲線C由上半橢圓C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分拋物線C2:y=-x2+1(y≤0)連接而成,C1與C2的公共點為A,B,其中C1的離心率為.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)過點B的直線l與C1,C2分別交于點P,Q(均異于點A,B),若AP⊥AQ,求直線l的方程.[答案]17.查看解析[解析]17.(Ⅰ)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半橢圓C1的左,右頂點.設(shè)C1的半焦距為c,由=及a2-c2=b2=1得a=2.∴a=2,b=1.(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知,上半橢圓C1的方程為+x2=1(y≥0).易知,直線l與x軸不重合也不垂直,設(shè)其方程為y=k(x-1)(k≠0),代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)設(shè)點P的坐標為(xP,yP),∵直線l過點B,∴x=1是方程(*)的一個根.由求根公式,得xP=,從而yP=,∴點P的坐標為.同理,由得點Q的坐標為(-k-1,-k2-2k).∴=(k,-4),=-k(1,k+2).∵AP⊥AQ,∴·=0,即[k-4(k+2)]=0,∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得k=-.經(jīng)檢驗,k=-符合題意,故直線l的方程為y=-(x-1).解法二:若設(shè)直線l的方程為x=my+1(m≠0),比照解法一給分.18.(2014江蘇,17,14分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,F1、F2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點,頂點B的坐標為(0,b),連結(jié)BF2并延長交橢圓于點A,過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C,連結(jié)F1C.(1)若點C的坐標為,且BF2=,求橢圓的方程;(2)若F1C⊥AB,求橢圓離心率e的值.[答案]18.查看解析[解析]18.設(shè)橢圓的焦距為2c,則F1(-c,0),F2(c,0).(1)因為B(0,b),所以BF2==a.又BF2=,故a=.因為點C在橢圓上,所以+=1,解得b2=1.故所求橢圓的方程為+y2=1.(2)因為B(0,b),F2(c,0)在直線AB上,所以直線AB的方程為+=1.解方程組得所以點A的坐標為.又AC垂直于x軸,由橢圓的對稱性,可得點C的坐標為.因為直線F1C的斜率為=,直線AB的斜率為-,且F1C⊥AB,所以·=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=.因此e=.19.(2014天津,18,13分)設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,右頂點為A,上頂點為B.已知|AB|=|F1F2|.(Ⅰ)求橢圓的離心率;(Ⅱ)設(shè)P為橢圓上異于其頂點的一點,以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點F1,經(jīng)過原點O的直線l與該圓相切.求直線l的斜率.[答案]19.查看解析[解析]19.(Ⅰ)設(shè)橢圓右焦點F2的坐標為(c,0).由|AB|=·|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,則=.所以橢圓的離心率e=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知a2=2c2,b2=c2.故橢圓方程為+=1.設(shè)P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有·=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c≠0,故有x0+y0+c=0.①又因為點P在橢圓上,故+=1.②由①和②可得3+4cx0=0.而點P不是橢圓的頂點,故x0=-c,代入①得y0=,即點P的坐標為.設(shè)圓的圓心為T(x1,y1),則x1==-c,y1==c,進而圓的半徑r==c.設(shè)直線l的斜率為k,依題意,直線l的方程為y=kx.由l與圓相切,可得=r,即=c,整理得k2-8k+1=0,解得k=4±.所以直線l的斜率為4+或4-.20.(2014北京,19,14分)已知橢圓C:x2+2y2=4.(Ⅰ)求橢圓C的離心率;(Ⅱ)設(shè)O為原點.若點A在橢圓C上,點B在直線y=2上,且OA⊥OB,試判斷直線AB與圓x2+y2=2的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.[答案]20.查看解析[解析]20.(Ⅰ)由題意知,橢圓C的標準方程為+=1.所以a2=4,b2=2,從而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=.故橢圓C的離心率e==.(Ⅱ)直線AB與圓x2+y2=2相切.證明如下:設(shè)點A,B的坐標分別為(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.因為OA⊥OB,所以·=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.當x0=t時,y0=-,代入橢圓C的方程,得t=±,故直線AB的方程為x=±.圓心O到直線AB的距離d=.此時直線AB與圓x2+y2=2相切.當x0≠t時,直線AB的方程為y-2=(x-t),即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.圓心O到直線AB的距離d=.又+2=4,t=-,故d===.此時直線AB與圓x2+y2=2相切.21.(2014課表全國Ⅰ，20，12分)已知點A(0,-2),橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率為,F是橢圓E的右焦點,直線AF的斜率為,O為坐標原點.(Ⅰ)求E的方程;(Ⅱ)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P,Q兩點.當△OPQ的面積最大時,求l的方程.[答案]21.查看解析[解析]21.(Ⅰ)設(shè)F(c,0),由條件知,=,得c=.又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程為+y2=1.(Ⅱ)當l⊥x軸時不合題意,故設(shè)l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).將y=kx-2代入+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.當Δ=16(4k2-3)>0,即k2>時,x1,2=.從而|PQ|=|x1-x2|=.又點O到直線PQ的距離d=,所以△OPQ的面積S△OPQ=d·|PQ|=.設(shè)=t,則t>0,S△OPQ==.因為t+≥4,當且僅當t=2,即k=±時等號成立,且滿足Δ>0,所以,當△OPQ的面積最大時,l的方程為y=x-2或y=-x-2.22.（2014重慶一中高三下學期第一次月考，21）（原創(chuàng)）如圖所示，橢圓：的左右焦點分別為，橢圓上的點到的距離之差的最大值為2，且其離心率是方程的根。(1)

求橢圓的方程；(2)

過左焦點的直線與橢圓相交于兩點，與圓相交于兩點，求的最小值，以及取得最小值時直線的方程。[答案]22.查看解析[解析]22.

(1)設(shè)是橢圓上任意一點，則，故。解方程得或。因，故，因此，從而。所以橢圓的方程為；(2)法一：焦準距，設(shè)，則，，故。易知，故。令，則。令，則，故在單調(diào)遞增，從而，得，當且僅當即時取等號。所以的最小值為，取得最小值直線的方程為。法二：當軸時易知，，有。當與軸不垂直時，設(shè)：，代入并整理得，故。圓心到的距離，故，令，則。令，且，則。因，故，因此，從而，可知。綜上知的最小值為，取得最小值直線的方程為。23.(2014天津薊縣第二中學高三第一次模擬考試，22)橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1．（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線與橢圓相交于兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點．求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．[答案]23.查看解析[解析]23.（1）由題意設(shè)橢圓的標準方程為，由已知得：，橢圓的標準方程為．

4分（2）設(shè)．聯(lián)立得，則

8分又．因為以為直徑的圓過橢圓的右頂點，，即．．．．解得：，且均滿足．當時，的方程，直線過點，與已知矛盾；當時，的方程為，直線過定點．所以，直線過定點，定點坐標為．

14分24.(2014天津薊縣邦均中學高三第一次模擬考試，21)已知橢圓的離心率為，橢圓的中心關(guān)于直線的對稱點落在直線上(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)是橢圓上關(guān)于軸對稱的任意兩點，連接交橢圓于另一點，求直線的斜率范圍并證明直線與軸相交頂點。[答案]24.查看解析[解析]24.解：(I)由題意知故……1分

又設(shè)橢圓中心關(guān)于直線的對稱點為，于是方程為……2分由得線段的中點為（2，-1），從而的橫坐標為4故橢圓的方程為=1……6分（II）由題意知直線存在斜率，設(shè)直線的方程為并整理得

①……

8分由，得又不合題意……10分設(shè)點，則由①知……11分直線方程為……12分令得，將代入整理得，再將，代入計算得直線軸相交于頂點（1，0），……14分25.(2014山西忻州一中、康杰中學、臨汾一中、長治二中四校高三第三次聯(lián)考，20)拋物線C1：的焦點與橢圓C2：的一個焦點相同.設(shè)橢圓的右頂點為A，C1,C2在第一象限的交點為B，O為坐標原點，且的面積為.(1)求橢圓C2的標準方程；（2）過A點作直線交C1于C,D兩點，連接OC,OD分別交C2于E,F兩點，記，的面積分別為,.問是否存在上述直線使得，若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由.[答案]25.查看解析[解析]25.

（1）∵∴焦點∴即……………1分又∵

∴

……………2分代入拋物線方程得.又B點在橢圓上得，∴橢圓C2的標準方程為.……………4分（2）設(shè)直線的方程為，由得設(shè)，所以……………6分又因為直線的斜率為，故直線的方程為，由得，同理所以則，……………10分所以，所以，故不存在直線使得

……………12分26.(2014山西太原高三模擬考試（一），20)已知中心在原點O，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2的橢圓的離心率為（I）若直線AB與以原點為圓心的圓相切，且OA⊥OB,求此圓的方程；[答案]26.查看解析[解析]26.27.(2014山東青島高三第一次模擬考試,21)設(shè),分別是橢圓：的左、右焦點，過作傾斜角為的直線交橢圓于,兩點,到直線的距離為,連接橢圓的四個頂點得到的菱形面積為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點，設(shè)是橢圓上的一點，過、兩點的直線交軸于點,若,求的取值范圍；（Ⅲ）作直線與橢圓交于不同的兩點,,其中點的坐標為,若點是線段垂直平分線上一點,且滿足,求實數(shù)的值.[答案]27.查看解析[解析]27.（Ⅰ）設(shè),的坐標分別為,其中，由題意得的方程為:，因到直線的距離為,所以有,解得，所以有……①由題意知:,即……②聯(lián)立①②解得:，所求橢圓的方程為.

（4分）（Ⅱ）由(Ⅰ)知橢圓的方程為，設(shè),，由于,所以有，又是橢圓上的一點,則，所以，解得：或.

（9分）（Ⅲ）由,設(shè)根據(jù)題意可知直線的斜率存在，可設(shè)直線斜率為,則直線的方程為，把它代入橢圓的方程,消去,整理得:，由韋達定理得,則,，所以線段的中點坐標為，(1)當時,則有,線段垂直平分線為軸，于是，由,解得:，（11分）(2)當時,則線段垂直平分線的方程為，因為點是線段垂直平分線的一點，令,得，于是，由,解得，代入,解得，綜上,滿足條件的實數(shù)的值為或.

（14分）28.(2014安徽合肥高三第二次質(zhì)量檢測，19)已知橢圓E：的右焦點為F（1，0)，設(shè)左頂點為，上頂點為，且，如圖所示．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若點與橢圓上的另一點C（非右頂點）關(guān)于直線l對稱，直線l上一點N（0，y0）滿足，求點的坐標．[答案]28.查看解析[解析]28.

（Ⅰ）由已知，，因為，所以，又，所以，解得，所以，，所以橢圓的標準方程為.

（4分）（Ⅱ）記，且，則線段的中點，易知，則，則，令得，因為，所以，即，所以，聯(lián)立方程組消去得，解得或（舍去），所以，即或.

（13分）29.(2014重慶楊家坪中學高三下學期第一次月考，21)已知點，分別為橢圓的左、右焦點，點為橢圓上任意一點，到焦點的距離的最大值為，且的最大面積為1.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）點的坐標為，過點且斜率為的直線與橢圓相交于，兩點．對于任意的，是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．[答案]29.查看解析[解析]29.（Ⅰ）依題意，，，因為，所以，，所以所求橢圓的標準方程為.（5分）（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，，，又，聯(lián)立方程組，消去得，（8分）所以，，因為，，所以.（12分）30.(2014湖北黃岡高三4月模擬考試，21)設(shè)是圓上的任意一點，過作垂直于軸的垂線段，為垂足，是線段上的點，且滿足，當點在圓上運動時，記點的軌跡是曲線.（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）過曲線的左焦點作斜率為的直線交曲線于、，點滿足，是否存在實數(shù)，使得點在曲線上，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.[答案]30.查看解析[解析]30.（Ⅰ）如圖，設(shè)，，則由可得，，即又，，即為曲線C的方程.

（6分）（Ⅱ）設(shè)由，（8分）設(shè)，，，即P點坐標為將點代入，得（負舍去）存在當時，點在曲線C上

.（13分）31.(2014河北唐山高三第一次模擬考試，20)為圓:上的動點，點.線段的垂直平分線與半徑相交于點，記點的軌跡為.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）當點在第一象限，且時，求點的坐標.[答案]31.查看解析[解析]31.（Ⅰ）圓的圓心為，半徑等于.由已知，于是，故曲線是以，為焦點，以為長軸長的橢圓，，，，曲線的方程為.（5分）（Ⅱ）由，，得.（8分）于是直線方程為.由，解得，，由于點在線段上，所以點坐標為.（12分）32.(2014貴州貴陽高三適應(yīng)性監(jiān)測考試,20)已知橢圓:的長軸、短軸、焦距分別為、、，且是與等差中項.（Ⅰ）求橢圓C1的方程；（Ⅱ）若曲線C2的方程為，過橢圓左頂點的直線與曲線相切，求直線被橢圓截得的線段長的最小值.[答案]32.查看解析[解析]32.解：(I)由題意得，，（），所以，解得，故橢圓的方程為.

（6分）(II)由(I)得橢圓的左頂點坐標為，設(shè)直線的方程為，由直線與曲線相切得，整理得又因為即解得，聯(lián)立消去整理得，直線被橢圓截得的線段一端點為，設(shè)另一端點為，解方程可得點的坐標為，所以，令，則，考查函數(shù)的性質(zhì)知在區(qū)間上是增函數(shù)，所以時，取最大值，從而.（12分）33.(2014山東實驗中學高三第一次模擬考試，20)已知橢圓為其右焦點，過垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2.(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于、兩點，以線段,為鄰邊作平行四邊形，其中頂點在橢圓上，為坐標原點，求的取值范圍.[答案]33.查看解析[解析]33.解：(Ⅰ)由題意，，解得，所以所求的橢圓方程為.(4分）(Ⅱ)當時，在橢圓上，所以，解得，所以，當時，則由消去化簡整理得，由①設(shè)，，，則，，（8分)由于點在橢圓上，所以，從而，化簡得，經(jīng)檢驗滿足①式.因為，則，所以，又，因為，故.綜上所述，的取值范圍是.

（13分）34.（2014廣東汕頭普通高考模擬考試試題，19）已知橢圓的方程為，如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別為.(Ⅰ)求橢圓的離心率；(Ⅱ)若橢圓與無公共點，求的取值范圍；(Ⅲ)若橢圓與相交于不同的兩點，分別為、,求面積的最大值.[答案]34.查看解析[解析]34.(Ⅰ)由已知可得,,,即橢圓的離心率為,(4分)(Ⅱ)由圖可知當橢圓在直線的左下方或在橢圓內(nèi)時,兩者便無公共點(5分)①當橢圓在直線的左下方時將:即代入方程整理得,由即<0解得∴由橢圓的幾何性質(zhì)可知當時,橢圓在直線的左下方,(7分)②當在橢圓內(nèi)時,當且僅當點在橢圓內(nèi)∴可得,又因為,∴綜上所述,當或時,橢圓與無公共點,(9分)(Ⅲ)由(Ⅱ)知當時,橢圓與相交于不同的兩個點﹑,又因為當時,橢圓的方程為,此時橢圓恰好過點,∴①當時,﹑在線段上,顯然的,此時,當且僅當﹑分別與﹑重合時等號成立,,②當時,點﹑分別在線段,上,易得,,∴，令,則，所以=

綜上可得面積的最大值為1.(14分)35.(2014廣東廣州高三調(diào)研測試，21)如圖，已知橢圓的方程為，雙曲線的兩條漸近線為.過橢圓的右焦點作直線，使，又與交于點，設(shè)與橢圓的兩個交點由上至下依次為，.(Ⅰ)若與的夾角為60°，且雙曲線的焦距為4，求橢圓的方程；(Ⅱ)求的最大值.[答案]35.查看解析[解析]35.解：(Ⅰ)因為雙曲線方程為，所以雙曲線的漸近線方程為.因為兩漸近線的夾角為且，所以.所以.所以.因為，所以，[]所以，.所以橢圓的方程為.（4分）(Ⅱ)因為，所以直線與的方程為，其中.因為直線的方程為，聯(lián)立直線與的方程解得點.設(shè)，則.（7分）因為點，設(shè)點，則有.解得，.因為點在橢圓上，所以.即.等式兩邊同除以得（10分）所以，.所以當，即時，取得最大值.故的最大值為.（14分）36.(2014北京東城高三第二學期教學檢測，19)橢圓：()的離心率為，其左焦點到點的距離為.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點.求證：直線過定點，并求出該定點的坐標.[答案]36.查看解析[解析]36.（Ⅰ）由題：；左焦點到點的距離為：.所以.所以所求橢圓C的方程為：.（5分）（Ⅱ）設(shè)，由得，，.以為直徑的圓過橢圓的右頂點，，，，，解得，且滿足.當時，，直線過定點與已知矛盾；當時，，直線過定點綜上可知，直線過定點，定點坐標為（14分）37.（2014山東濰坊高三3月模擬考試數(shù)學（理）試題，20）已知雙曲線C：的焦距為，其一條漸近線的傾斜角為，且．以雙曲線C的實軸為長軸，虛軸為短軸的橢圓記為E．

(I)求橢圓E的方程；

(Ⅱ)設(shè)點A是橢圓E的左頂點，P、Q為橢圓E上異于點A的兩動點，若直線AP、AQ的斜率之積為，問直線PQ是否恒過定點?若恒過定點，求出該點坐標；若不恒過定點，說明理由．[答案]37.查看解析[解析]37.38.（2014江西重點中學協(xié)作體高三第一次聯(lián)考數(shù)學（理）試題，20）已知橢圓的離心率為,橢圓C過點．（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點作圓的切線交橢圓于A，B兩點,記為坐標原點)的面積為,將表示為m的函數(shù)，并求的最大值.[答案]38.查看解析[解析]38.（2）由題意知，.易知切線的斜率存在,設(shè)切線的方程為由得設(shè)A、B兩點的坐標分別為，則………6分

,(當且僅當時取等號)所以當時，的最大值為1.

………13分39.（2014江西紅色六校高三第二次聯(lián)考理數(shù)試題，20）如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是離心率為的橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點，直線l：x=﹣將線段F1F2分成兩段，其長度之比為1：3．設(shè)A，B是C上的兩個動點，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點，線段AB的中點M在直線l上．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）求的取值范圍．[答案]39.查看解析[解析]39.

（Ⅰ）設(shè)F2（c，0），則=，所以c=1．因為離心率e=，所以a=，所以b=1所以橢圓C的方程為．----------------------4分（Ⅱ）當直線AB垂直于x軸時，直線AB方程為x=﹣，此時P（，0）、Q（，0），．------6分當直線AB不垂直于x軸時，設(shè)直線AB的斜率為k，M（﹣，m）（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．由得（x1+x2）+2（y1+y2）=0，則﹣1+4mk=0，∴k=．-----------------------------------8分此時，直線PQ斜率為k1=﹣4m，PQ的直線方程為，即y=﹣4mx﹣m．聯(lián)立消去y，整理得（32m2+1）x2+16m2x+2m2﹣2=0．所以，．

-------------------------10分于是=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+（4mx1+m）（4mx2+m）===．令t=1+32m2，由得1＜t＜29，則．又1＜t＜29，所以．綜上，的取值范圍為[﹣1，）．-------------------------------13分40.（2014吉林實驗中學高三年級第一次模擬，20）已知橢圓C：經(jīng)過點，離心率，直線的方程為.(1)求橢圓C的方程；(2)AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦（不經(jīng)過點P），設(shè)直線與l相交于點M，記PA,PB,PM的斜率分別為，問：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

[答案]40.查看解析[解析]40.（1）由點在橢圓上得，

①

②由①②得，故橢圓的方程為……..4分（2）假設(shè)存在常數(shù)，使得.由題意可設(shè)

③代入橢圓方程并整理得設(shè)，則有

④……………6分在方程③中，令得，，從而.又因為共線，則有，即有所以=⑤將④代入⑤得，又，所以故存在常數(shù)符合題意……………12分41.(2014廣西桂林中學高三2月月考，21)已知、、是橢圓上的三點，其中點的坐標為，過橢圓的中心，且．(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)過點且不垂直于軸的直線與橢圓交于、兩點，設(shè)為橢圓與軸負半軸的交點，且，求實數(shù)的取值范圍．[答案]41.查看解析[解析]41.(Ⅰ)(Ⅱ)由條件，，①當時，顯然.②時，設(shè)，聯(lián)立方程組消去得，由，可得，

（7分）設(shè)，，中點，則，，所以，由，所以，即，所以化簡得，所以，把代入解得，故的取值范圍是.

（12分）42.(2014重慶五區(qū)高三第一次學生調(diào)研抽測，21)已知橢圓：的左、右焦點分別為、，橢圓上的點滿足，且△的面積為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右頂點分別為、，過點的動直線與橢圓相交于、兩點，直線與直線的交點為，證明：點總在直線上.[答案]42.查看解析[解析]42.解：（Ⅰ）由題意知：，……………1分橢圓上的點滿足，且，.，.…………2分又………3分橢圓的方程為.………4分（Ⅱ）由題意知、，（1）當直線與軸垂直時，、，則的方程是：，的方程是：，直線與直線的交點為，∴點在直線上.……………………6分（2）當直線不與軸垂直時，設(shè)直線的方程為，、，由得∴，…………………7分，，共線，∴………………8分又，，需證明共線，需證明，只需證明

若，顯然成立，若，即證明

∵成立，……………11分∴共線，即點總在直線上.………12分[來源:Z*43.(2014吉林省長春市高中畢業(yè)班第二次調(diào)研測試，20)已知橢圓的右焦點為，點在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）點在圓上，且在第一象限，過作圓的切線交橢圓于,兩點，問：△的周長是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，說明理由．[答案]43.查看解析[解析]43.

（1）『解法1』：(Ⅰ)由題意，得，………2分解得………4分∴橢圓方程為.………5分『解法2』：右焦點為，左焦點為，點在橢圓上所以，所以橢圓方程為…………5分（2）『解法1』：由題意，設(shè)的方程為∵與圓相切∴，即…………6分由，得……………7分設(shè)，則，…………8分∴

…………10分又∴…………11分∴（定值）…………12分『解法2』：設(shè)，………………8分連接，由相切條件知：………………10分同理可求所以為定值.………………12分44.(2014湖北武漢高三2月調(diào)研測試，21)如圖，矩形ABCD中，|AB|＝，|BC|＝2．E，F(xiàn)，G，H分別是矩形四條邊的中點，分別以HF，EG所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，其中0＜λ＜1．（Ⅰ）求證：直線ER與GR′的交點M在橢圓Γ：；（Ⅱ）若點N是直線l：y＝x＋2上且不在坐標軸上的任意一點，F(xiàn)1、F2分別為橢圓Γ的左、右焦點，直線NF1和NF2與橢圓Γ的交點分別為P、Q和S、T．是否存在點N，使得直線OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT滿足kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝0？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．[答案]44.查看解析[解析]44.45.(2014湖北八市高三下學期3月聯(lián)考，21)己知⊙O：x2+y2=6，P為⊙O上動點，過P作PM⊥x軸于M，N為PM上一點，且．（I）求點N的軌跡C的方程；（II）若A(2，1)，B(3，0)，過B的直線與曲線C相交于D、E兩點，則kAD+kAE是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．[答案]45.查看解析[解析]45.

(Ⅰ)設(shè),,則,,由,得,………3分由于點在圓上,則有,即.點的軌跡的方程為.…………6分(Ⅱ)設(shè),,過點的直線的方程為,由消去得:,其中;…………8分

……………10分是定值.………………13分46.(2014天津七校高三聯(lián)考,18)設(shè)橢圓:過點，離心率為．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）求過點且斜率為的直線被所截線段的中點坐標．[答案]46.查看解析[解析]46.

（Ⅰ）將點代入的方程，得，，又，得，即，曲線的方程為.

（5分）過點且斜率為的直線方程為，

（Ⅱ）設(shè)直線與曲線的交點為，，由消去得，解得，，所以的中點坐標，，即所截得的中點坐標為.

（13分）47.(2014河南鄭州高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量預(yù)測,20)已知的兩頂點坐標，圓是的內(nèi)切圓，在邊，，上的切點分別為，，，（從圓外一點到圓的兩條切線段長相等），動點的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與曲線的另一交點為，當點在以線段為直徑的圓上時，求直線的方程.

[答案]47.查看解析[解析]47.

解析

（Ⅰ）由題知所以曲線是以為焦點，長軸長為的橢圓