大學(xué)物理課后習(xí)題答案上冊(cè)和下冊(cè)(1)2

大學(xué)物理習(xí)題及解答習(xí)題一1-1｜｜與有無不同?和有無不同?和有無不同?其不同在哪里?試舉例說明．解：（1）是位移的模，是位矢的模的增量，即，；（2）是速度的模，即.只是速度在徑向上的分量.∵有（式中叫做單位矢），則式中就是速度徑向上的分量，∴不同如題1-1圖所示.題1-1圖(3)表示加速度的模，即，是加速度在切向上的分量.∵有表軌道節(jié)線方向單位矢），所以式中就是加速度的切向分量.(的運(yùn)算較復(fù)雜，超出教材規(guī)定，故不予討論)1-2設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為=()，=()，在計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度時(shí)，有人先求出r＝，然后根據(jù)=，及＝而求得結(jié)果；又有人先計(jì)算速度和加速度的分量，再合成求得結(jié)果，即=及=你認(rèn)為兩種方法哪一種正確？為什么？?jī)烧卟顒e何在？解：后一種方法正確.因?yàn)樗俣扰c加速度都是矢量，在平面直角坐標(biāo)系中，有，故它們的模即為而前一種方法的錯(cuò)誤可能有兩點(diǎn)，其一是概念上的錯(cuò)誤，即誤把速度、加速度定義作其二，可能是將誤作速度與加速度的模。在1-1題中已說明不是速度的模，而只是速度在徑向上的分量，同樣，也不是加速度的模，它只是加速度在徑向分量中的一部分?；蛘吒爬ㄐ缘卣f，前一種方法只考慮了位矢在徑向（即量值）方面隨時(shí)間的變化率，而沒有考慮位矢及速度的方向隨間的變化率對(duì)速度、加速度的貢獻(xiàn)。1-3一質(zhì)點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為=3+5,=2+3-4.式中以s計(jì)，,以m計(jì)．(1)以時(shí)間為變量，寫出質(zhì)點(diǎn)位置矢量的表示式；(2)求出=1s時(shí)刻和＝2s時(shí)刻的位置矢量，計(jì)算這1秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移；(3)計(jì)算＝0s時(shí)刻到＝4s時(shí)刻內(nèi)的平均速度；(4)求出質(zhì)點(diǎn)速度矢量表示式，計(jì)算＝4s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度；(5)計(jì)算＝0s到＝4s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均加速度；(6)求出質(zhì)點(diǎn)加速度矢量的表示式，計(jì)算＝4s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速度(請(qǐng)把位置矢量、位移、平均速度、瞬時(shí)速度、平均加速度、瞬時(shí)加速度都表示成直角坐標(biāo)系中的矢量式)．解：（1）(2)將,代入上式即有(3)∵∴(4)則(5)∵(6)這說明該點(diǎn)只有方向的加速度，且為恒量。1-4在離水面高h(yuǎn)米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，船在離岸S處，如題1-4圖所示．當(dāng)人以(m·)的速率收繩時(shí)，試求船運(yùn)動(dòng)的速度和加速度的大?。畧D1-4解：設(shè)人到船之間繩的長(zhǎng)度為，此時(shí)繩與水面成角，由圖可知將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得題1-4圖根據(jù)速度的定義，并注意到,是隨減少的，∴即或?qū)⒃賹?duì)求導(dǎo)，即得船的加速度1-5質(zhì)點(diǎn)沿軸運(yùn)動(dòng)，其加速度和位置的關(guān)系為＝2+6，的單位為，的單位為m.質(zhì)點(diǎn)在＝0處，速度為10,試求質(zhì)點(diǎn)在任何坐標(biāo)處的速度值．解：∵分離變量：兩邊積分得由題知，時(shí)，,∴∴1-6已知一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其加速度為＝4+3，開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，＝5m，=0，求該質(zhì)點(diǎn)在＝10s時(shí)的速度和位置．解：∵分離變量，得積分，得由題知，,,∴故又因?yàn)榉蛛x變量，積分得由題知,,∴故所以時(shí)1-7一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為1m的圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為=2+3，式中以弧度計(jì)，以秒計(jì)，求：(1)＝2s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的切向和法向加速度；(2)當(dāng)加速度的方向和半徑成45°角時(shí)，其角位移是多少?解：(1)時(shí)，(2)當(dāng)加速度方向與半徑成角時(shí)，有即亦即則解得于是角位移為1-8質(zhì)點(diǎn)沿半徑為的圓周按＝的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，式中為質(zhì)點(diǎn)離圓周上某點(diǎn)的弧長(zhǎng),，都是常量，求：(1)時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加速度；(2)為何值時(shí)，加速度在數(shù)值上等于．解：（1）則加速度與半徑的夾角為(2)由題意應(yīng)有即∴當(dāng)時(shí)，1-9半徑為的輪子，以勻速沿水平線向前滾動(dòng)：(1)證明輪緣上任意點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為＝，＝，式中/是輪子滾動(dòng)的角速度，當(dāng)與水平線接觸的瞬間開始計(jì)時(shí)．此時(shí)所在的位置為原點(diǎn)，輪子前進(jìn)方向?yàn)檩S正方向；(2)求點(diǎn)速度和加速度的分量表示式．解：依題意作出下圖，由圖可知題1-9圖(1)(2)1-10以初速度＝20拋出一小球，拋出方向與水平面成幔60°的夾角，求：(1)球軌道最高點(diǎn)的曲率半徑；(2)落地處的曲率半徑．(提示：利用曲率半徑與法向加速度之間的關(guān)系)解：設(shè)小球所作拋物線軌道如題1-10圖所示．題1-10圖(1)在最高點(diǎn)，又∵∴(2)在落地點(diǎn)，,而∴1-11飛輪半徑為0.4m，自靜止啟動(dòng)，其角加速度為β=0.2rad·，求＝2s時(shí)邊緣上各點(diǎn)的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．解：當(dāng)時(shí)，則1-12如題1-12圖，物體以相對(duì)的速度＝沿斜面滑動(dòng)，為縱坐標(biāo)，開始時(shí)在斜面頂端高為處，物體以勻速向右運(yùn)動(dòng)，求物滑到地面時(shí)的速度．解：當(dāng)滑至斜面底時(shí)，，則,物運(yùn)動(dòng)過程中又受到的牽連運(yùn)動(dòng)影響，因此，對(duì)地的速度為題1-12圖1-13一船以速率＝30km·h-1沿直線向東行駛，另一小艇在其前方以速率＝40km·h-1沿直線向北行駛，問在船上看小艇的速度為何?在艇上看船的速度又為何?解：(1)大船看小艇，則有，依題意作速度矢量圖如題1-13圖(a)題1-13圖由圖可知方向北偏西(2)小船看大船，則有，依題意作出速度矢量圖如題1-13圖(b)，同上法，得方向南偏東1-14當(dāng)一輪船在雨中航行時(shí)，它的雨篷遮著篷的垂直投影后2m的甲板上，篷高4m但當(dāng)輪船停航時(shí)，甲板上干濕兩部分的分界線卻在篷前3m，如雨滴的速度大小為8m·s-1，求輪船的速率．解：依題意作出矢量圖如題1-14所示．題1-14圖∵∴由圖中比例關(guān)系可知習(xí)題二2-1一細(xì)繩跨過一定滑輪，繩的一邊懸有一質(zhì)量為的物體，另一邊穿在質(zhì)量為的圓柱體的豎直細(xì)孔中，圓柱可沿繩子滑動(dòng)．今看到繩子從圓柱細(xì)孔中加速上升，柱體相對(duì)于繩子以勻加速度下滑，求，相對(duì)于地面的加速度、繩的張力及柱體與繩子間的摩擦力(繩輕且不可伸長(zhǎng)，滑輪的質(zhì)量及輪與軸間的摩擦不計(jì))．解：因繩不可伸長(zhǎng)，故滑輪兩邊繩子的加速度均為，其對(duì)于則為牽連加速度，又知對(duì)繩子的相對(duì)加速度為，故對(duì)地加速度，由圖(b)可知，為①又因繩的質(zhì)量不計(jì)，所以圓柱體受到的摩擦力在數(shù)值上等于繩的張力，由牛頓定律，有②③聯(lián)立①、②、③式，得討論(1)若，則表示柱體與繩之間無相對(duì)滑動(dòng)．(2)若，則，表示柱體與繩之間無任何作用力，此時(shí),均作自由落體運(yùn)動(dòng)．題2-1圖2-2一個(gè)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，在光滑的固定斜面（傾角為）上以初速度運(yùn)動(dòng)，的方向與斜面底邊的水平線平行，如圖所示，求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道．解:物體置于斜面上受到重力，斜面支持力.建立坐標(biāo)：取方向?yàn)檩S，平行斜面與軸垂直方向?yàn)檩S.如圖2-2.題2-2圖方向：①方向：②時(shí)由①、②式消去，得2-3質(zhì)量為16kg的質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，受一恒力作用，力的分量為＝6N，＝-7N，當(dāng)＝0時(shí)，0，＝-2m·s-1，＝0．求當(dāng)＝2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的(1)位矢；(2)速度．解：(1)于是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的速度(2)2-4質(zhì)點(diǎn)在流體中作直線運(yùn)動(dòng)，受與速度成正比的阻力(為常數(shù))作用，=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度為，證明(1)時(shí)刻的速度為＝；(2)由0到的時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的距離為＝()［1-］；(3)停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)過的距離為；(4)證明當(dāng)時(shí)速度減至的，式中m為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量．答:(1)∵分離變量，得即∴(2)(3)質(zhì)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為零，即t→∞，故有(4)當(dāng)t=時(shí)，其速度為即速度減至的.2-5升降機(jī)內(nèi)有兩物體，質(zhì)量分別為，，且＝2．用細(xì)繩連接，跨過滑輪,繩子不可伸長(zhǎng)，滑輪質(zhì)量及一切摩擦都忽略不計(jì)，當(dāng)升降機(jī)以勻加速＝g上升時(shí)，求：(1)和相對(duì)升降機(jī)的加速度．(2)在地面上觀察，的加速度各為多少?解:分別以,為研究對(duì)象，其受力圖如圖(b)所示．(1)設(shè)相對(duì)滑輪(即升降機(jī))的加速度為，則對(duì)地加速度；因繩不可伸長(zhǎng)，故對(duì)滑輪的加速度亦為，又在水平方向上沒有受牽連運(yùn)動(dòng)的影響，所以在水平方向?qū)Φ丶铀俣纫酁?，由牛頓定律，有題2-5圖聯(lián)立，解得方向向下(2)對(duì)地加速度為方向向上在水面方向有相對(duì)加速度，豎直方向有牽連加速度，即∴，左偏上．2-6一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)以與地的仰角=30°的初速?gòu)牡孛鎾伋?，若忽略空氣阻力，求質(zhì)點(diǎn)落地時(shí)相對(duì)拋射時(shí)的動(dòng)量的增量．解:依題意作出示意圖如題2-6圖題2-6圖在忽略空氣阻力情況下，拋體落地瞬時(shí)的末速度大小與初速度大小相同，與軌道相切斜向下,而拋物線具有對(duì)軸對(duì)稱性，故末速度與軸夾角亦為，則動(dòng)量的增量為由矢量圖知，動(dòng)量增量大小為，方向豎直向下．2-7一質(zhì)量為的小球從某一高度處水平拋出，落在水平桌面上發(fā)生彈性碰撞．并在拋出1s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也與拋出時(shí)相等．求小球與桌面碰撞過程中，桌面給予小球的沖量的大小和方向．并回答在碰撞過程中，小球的動(dòng)量是否守恒?解:由題知，小球落地時(shí)間為．因小球?yàn)槠綊佭\(yùn)動(dòng)，故小球落地的瞬時(shí)向下的速度大小為，小球上跳速度的大小亦為．設(shè)向上為軸正向，則動(dòng)量的增量方向豎直向上，大小碰撞過程中動(dòng)量不守恒．這是因?yàn)樵谂鲎策^程中，小球受到地面給予的沖力作用．另外，碰撞前初動(dòng)量方向斜向下，碰后末動(dòng)量方向斜向上，這也說明動(dòng)量不守恒．2-8作用在質(zhì)量為10kg的物體上的力為N，式中的單位是s，(1)求4s后，這物體的動(dòng)量和速度的變化，以及力給予物體的沖量．(2)為了使這力的沖量為200N·s，該力應(yīng)在這物體上作用多久，試就一原來靜止的物體和一個(gè)具有初速度m·s-1的物體,回答這兩個(gè)問題．解:(1)若物體原來靜止，則,沿軸正向，若物體原來具有初速，則于是,同理，,這說明，只要力函數(shù)不變，作用時(shí)間相同，則不管物體有無初動(dòng)量，也不管初動(dòng)量有多大，那么物體獲得的動(dòng)量的增量(亦即沖量)就一定相同，這就是動(dòng)量定理．(2)同上理，兩種情況中的作用時(shí)間相同，即亦即解得，(舍去)2-9一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，其位置矢量為求質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量及＝0到時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所受的合力的沖量和質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的改變量．解:質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量為將和分別代入上式，得,,則動(dòng)量的增量亦即質(zhì)點(diǎn)所受外力的沖量為2-10一顆子彈由槍口射出時(shí)速率為，當(dāng)子彈在槍筒內(nèi)被加速時(shí)，它所受的合力為F=()N(為常數(shù))，其中以秒為單位：(1)假設(shè)子彈運(yùn)行到槍口處合力剛好為零，試計(jì)算子彈走完槍筒全長(zhǎng)所需時(shí)間；(2)求子彈所受的沖量．(3)求子彈的質(zhì)量．解:(1)由題意，子彈到槍口時(shí)，有,得(2)子彈所受的沖量將代入，得(3)由動(dòng)量定理可求得子彈的質(zhì)量2-11一炮彈質(zhì)量為，以速率飛行，其內(nèi)部炸藥使此炮彈分裂為兩塊，爆炸后由于炸藥使彈片增加的動(dòng)能為，且一塊的質(zhì)量為另一塊質(zhì)量的倍，如兩者仍沿原方向飛行，試證其速率分別為+,-證明:設(shè)一塊為，則另一塊為，及于是得①又設(shè)的速度為,的速度為，則有②③聯(lián)立①、③解得④將④代入②，并整理得于是有將其代入④式，有又，題述爆炸后，兩彈片仍沿原方向飛行，故只能取證畢．2-12設(shè)．(1)當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，求所作的功．(2)如果質(zhì)點(diǎn)到處時(shí)需0.6s，試求平均功率．(3)如果質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為1kg，試求動(dòng)能的變化．解:(1)由題知，為恒力，∴(2)(3)由動(dòng)能定理，2-13以鐵錘將一鐵釘擊入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板內(nèi)的深度成正比，在鐵錘擊第一次時(shí)，能將小釘擊入木板內(nèi)1cm，問擊第二次時(shí)能擊入多深，假定鐵錘兩次打擊鐵釘時(shí)的速度相同．解:以木板上界面為坐標(biāo)原點(diǎn)，向內(nèi)為坐標(biāo)正向，如題2-13圖，則鐵釘所受阻力為題2-13圖第一錘外力的功為①式中是鐵錘作用于釘上的力，是木板作用于釘上的力，在時(shí)，．設(shè)第二錘外力的功為，則同理，有②由題意，有③即所以，于是釘子第二次能進(jìn)入的深度為2-14設(shè)已知一質(zhì)點(diǎn)(質(zhì)量為)在其保守力場(chǎng)中位矢為點(diǎn)的勢(shì)能為,試求質(zhì)點(diǎn)所受保守力的大小和方向．解:方向與位矢的方向相反，即指向力心．2-15一根勁度系數(shù)為的輕彈簧的下端，掛一根勁度系數(shù)為的輕彈簧，的下端一重物，的質(zhì)量為，如題2-15圖．求這一系統(tǒng)靜止時(shí)兩彈簧的伸長(zhǎng)量之比和彈性勢(shì)能之比．解:彈簧及重物受力如題2-15圖所示平衡時(shí)，有題2-15圖又所以靜止時(shí)兩彈簧伸長(zhǎng)量之比為彈性勢(shì)能之比為2-16(1)試計(jì)算月球和地球?qū)ξ矬w的引力相抵消的一點(diǎn)，距月球表面的距離是多少?地球質(zhì)量5.98×1024kg，地球中心到月球中心的距離3.84×108m，月球質(zhì)量7.35×1022kg，月球半徑1.74×106m．(2)如果一個(gè)1kg的物體在距月球和地球均為無限遠(yuǎn)處的勢(shì)能為零，那么它在點(diǎn)的勢(shì)能為多少?解:(1)設(shè)在距月球中心為處，由萬有引力定律，有經(jīng)整理，得=則點(diǎn)處至月球表面的距離為(2)質(zhì)量為的物體在點(diǎn)的引力勢(shì)能為2-17由水平桌面、光滑鉛直桿、不可伸長(zhǎng)的輕繩、輕彈簧、理想滑輪以及質(zhì)量為和的滑塊組成如題2-17圖所示裝置，彈簧的勁度系數(shù)為，自然長(zhǎng)度等于水平距離，與桌面間的摩擦系數(shù)為，最初靜止于點(diǎn)，＝＝，繩已拉直，現(xiàn)令滑塊落下,求它下落到處時(shí)的速率．解:取點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，彈簧原長(zhǎng)為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，則由功能原理，有式中為彈簧在點(diǎn)時(shí)比原長(zhǎng)的伸長(zhǎng)量，則聯(lián)立上述兩式，得題2-17圖2-18如題2-18圖所示，一物體質(zhì)量為2kg，以初速度＝3m·s-1從斜面點(diǎn)處下滑，它與斜面的摩擦力為8N，到達(dá)點(diǎn)后壓縮彈簧20cm后停止，然后又被彈回，求彈簧的勁度系數(shù)和物體最后能回到的高度．解:取木塊壓縮彈簧至最短處的位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，彈簧原長(zhǎng)處為彈性勢(shì)能零點(diǎn)。則由功能原理，有式中，，再代入有關(guān)數(shù)據(jù)，解得題2-18圖再次運(yùn)用功能原理，求木塊彈回的高度代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得,則木塊彈回高度題2-19圖2-19質(zhì)量為的大木塊具有半徑為的四分之一弧形槽，如題2-19圖所示．質(zhì)量為的小立方體從曲面的頂端滑下，大木塊放在光滑水平面上，二者都作無摩擦的運(yùn)動(dòng)，而且都從靜止開始，求小木塊脫離大木塊時(shí)的速度．解:從上下滑的過程中，機(jī)械能守恒，以，，地球?yàn)橄到y(tǒng)，以最低點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則有又下滑過程，動(dòng)量守恒，以,為系統(tǒng)則在脫離瞬間，水平方向有聯(lián)立，以上兩式，得2-20一個(gè)小球與一質(zhì)量相等的靜止小球發(fā)生非對(duì)心彈性碰撞，試證碰后兩小球的運(yùn)動(dòng)方向互相垂直．證:兩小球碰撞過程中，機(jī)械能守恒，有即①題2-20圖(a)題2-20圖(b)又碰撞過程中，動(dòng)量守恒，即有亦即②由②可作出矢量三角形如圖(b)，又由①式可知三矢量之間滿足勾股定理，且以為斜邊，故知與是互相垂直的．2-21一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)位于()處，速度為,質(zhì)點(diǎn)受到一個(gè)沿負(fù)方向的力的作用，求相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的角動(dòng)量以及作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的力矩．解:由題知，質(zhì)點(diǎn)的位矢為作用在質(zhì)點(diǎn)上的力為所以，質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量為作用在質(zhì)點(diǎn)上的力的力矩為2-22哈雷彗星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道是一個(gè)橢圓．它離太陽最近距離為＝8.75×1010m時(shí)的速率是＝5.46×104m·s-1，它離太陽最遠(yuǎn)時(shí)的速率是＝9.08×102m·s-1這時(shí)它離太陽的距離多少?(太陽位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)。)解:哈雷彗星繞太陽運(yùn)動(dòng)時(shí)受到太陽的引力——即有心力的作用，所以角動(dòng)量守恒；又由于哈雷彗星在近日點(diǎn)及遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的速度都與軌道半徑垂直，故有∴2-23物體質(zhì)量為3kg，=0時(shí)位于,，如一恒力作用在物體上,求3秒后，(1)物體動(dòng)量的變化；(2)相對(duì)軸角動(dòng)量的變化．解:(1)(2)解(一)即,即,∴∴解(二)∵∴題2-24圖2-24平板中央開一小孔，質(zhì)量為的小球用細(xì)線系住，細(xì)線穿過小孔后掛一質(zhì)量為的重物．小球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)半徑為時(shí)重物達(dá)到平衡．今在的下方再掛一質(zhì)量為的物體，如題2-24圖．試問這時(shí)小球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度和半徑為多少?解:在只掛重物時(shí)，小球作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為，即①掛上后，則有②重力對(duì)圓心的力矩為零，故小球?qū)A心的角動(dòng)量守恒．即③聯(lián)立①、②、③得2-25飛輪的質(zhì)量＝60kg，半徑＝0.25m，繞其水平中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為900rev·min-1．現(xiàn)利用一制動(dòng)的閘桿，在閘桿的一端加一豎直方向的制動(dòng)力，可使飛輪減速．已知閘桿的尺寸如題2-25圖所示，閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)=0.4，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可按勻質(zhì)圓盤計(jì)算．試求：(1)設(shè)＝100N，問可使飛輪在多長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)停止轉(zhuǎn)動(dòng)?在這段時(shí)間里飛輪轉(zhuǎn)了幾轉(zhuǎn)?(2)如果在2s內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)速減少一半，需加多大的力?解:(1)先作閘桿和飛輪的受力分析圖(如圖(b))．圖中、是正壓力，、是摩擦力，和是桿在點(diǎn)轉(zhuǎn)軸處所受支承力，是輪的重力，是輪在軸處所受支承力．題2-25圖（a）題2-25圖(b)桿處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以對(duì)點(diǎn)的合力矩應(yīng)為零，設(shè)閘瓦厚度不計(jì)，則有對(duì)飛輪，按轉(zhuǎn)動(dòng)定律有，式中負(fù)號(hào)表示與角速度方向相反．∵∴又∵∴①以等代入上式，得由此可算出自施加制動(dòng)閘開始到飛輪停止轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為這段時(shí)間內(nèi)飛輪的角位移為可知在這段時(shí)間里，飛輪轉(zhuǎn)了轉(zhuǎn)．(2)，要求飛輪轉(zhuǎn)速在內(nèi)減少一半，可知用上面式(1)所示的關(guān)系，可求出所需的制動(dòng)力為2-26固定在一起的兩個(gè)同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)．設(shè)大小圓柱體的半徑分別為和，質(zhì)量分別為和．繞在兩柱體上的細(xì)繩分別與物體和相連，和則掛在圓柱體的兩側(cè)，如題2-26圖所示．設(shè)＝0.20m,＝0.10m，＝4kg，＝10kg，＝＝2kg，且開始時(shí)，離地均為＝2m．求：(1)柱體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度；(2)兩側(cè)細(xì)繩的張力．解:設(shè),和β分別為,和柱體的加速度及角加速度，方向如圖(如圖b)．題2-26(a)圖題2-26(b)圖,和柱體的運(yùn)動(dòng)方程如下：①②③式中而由上式求得(2)由①式由②式2-27計(jì)算題2-27圖所示系統(tǒng)中物體的加速度．設(shè)滑輪為質(zhì)量均勻分布的圓柱體，其質(zhì)量為，半徑為，在繩與輪緣的摩擦力作用下旋轉(zhuǎn)，忽略桌面與物體間的摩擦，設(shè)＝50kg，＝200kg,M＝15kg,＝0.1m解:分別以,滑輪為研究對(duì)象，受力圖如圖(b)所示．對(duì),運(yùn)用牛頓定律，有①②對(duì)滑輪運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有③又，④聯(lián)立以上4個(gè)方程，得題2-27(a)圖題2-27(b)圖題2-28圖2-28如題2-28圖所示，一勻質(zhì)細(xì)桿質(zhì)量為，長(zhǎng)為，可繞過一端的水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，桿于水平位置由靜止開始擺下．求：(1)初始時(shí)刻的角加速度；(2)桿轉(zhuǎn)過角時(shí)的角速度.解:(1)由轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有∴(2)由機(jī)械能守恒定律，有∴題2-29圖2-29如題2-29圖所示，質(zhì)量為，長(zhǎng)為的均勻直棒，可繞垂直于棒一端的水平軸無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，它原來靜止在平衡位置上．現(xiàn)有一質(zhì)量為的彈性小球飛來，正好在棒的下端與棒垂直地相撞．相撞后，使棒從平衡位置處擺動(dòng)到最大角度30°處．(1)設(shè)這碰撞為彈性碰撞，試計(jì)算小球初速的值；(2)相撞時(shí)小球受到多大的沖量?解:(1)設(shè)小球的初速度為，棒經(jīng)小球碰撞后得到的初角速度為，而小球的速度變?yōu)?，按題意，小球和棒作彈性碰撞，所以碰撞時(shí)遵從角動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，可列式：①②上兩式中，碰撞過程極為短暫，可認(rèn)為棒沒有顯著的角位移；碰撞后，棒從豎直位置上擺到最大角度，按機(jī)械能守恒定律可列式：③由③式得由①式④由②式⑤所以求得(2)相碰時(shí)小球受到的沖量為由①式求得負(fù)號(hào)說明所受沖量的方向與初速度方向相反．題2-30圖2-30一個(gè)質(zhì)量為M、半徑為并以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)著的飛輪(可看作勻質(zhì)圓盤)，在某一瞬時(shí)突然有一片質(zhì)量為的碎片從輪的邊緣上飛出，見題2-30圖．假定碎片脫離飛輪時(shí)的瞬時(shí)速度方向正好豎直向上．(1)問它能升高多少?(2)求余下部分的角速度、角動(dòng)量和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能．解:(1)碎片離盤瞬時(shí)的線速度即是它上升的初速度設(shè)碎片上升高度時(shí)的速度為，則有令，可求出上升最大高度為(2)圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，碎片拋出后圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，碎片脫離前，盤的角動(dòng)量為，碎片剛脫離后，碎片與破盤之間的內(nèi)力變?yōu)榱?，但?nèi)力不影響系統(tǒng)的總角動(dòng)量，碎片與破盤的總角動(dòng)量應(yīng)守恒，即式中為破盤的角速度．于是得(角速度不變)圓盤余下部分的角動(dòng)量為轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為題2-31圖2-31一質(zhì)量為、半徑為R的自行車輪，假定質(zhì)量均勻分布在輪緣上，可繞軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)．另一質(zhì)量為的子彈以速度射入輪緣(如題2-31圖所示方向)．(1)開始時(shí)輪是靜止的，在質(zhì)點(diǎn)打入后的角速度為何值?(2)用,和表示系統(tǒng)(包括輪和質(zhì)點(diǎn))最后動(dòng)能和初始動(dòng)能之比．解:(1)射入的過程對(duì)軸的角動(dòng)量守恒∴(2)2-32彈簧、定滑輪和物體的連接如題2-32圖所示，彈簧的勁度系數(shù)為2.0N·m-1；定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是0.5kg·m2，半徑為0.30m，問當(dāng)6.0kg質(zhì)量的物體落下0.40m時(shí)，它的速率為多大?假設(shè)開始時(shí)物體靜止而彈簧無伸長(zhǎng)．解:以重物、滑輪、彈簧、地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，重物下落的過程中，機(jī)械能守恒，以最低點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，彈簧原長(zhǎng)為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，則有又故有題2-32圖題2-33圖2-33空心圓環(huán)可繞豎直軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，如題2-33圖所示，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，環(huán)半徑為，初始角速度為．質(zhì)量為的小球，原來靜置于點(diǎn)，由于微小的干擾，小球向下滑動(dòng)．設(shè)圓環(huán)內(nèi)壁是光滑的，問小球滑到點(diǎn)與點(diǎn)時(shí)，小球相對(duì)于環(huán)的速率各為多少?解:(1)小球與圓環(huán)系統(tǒng)對(duì)豎直軸的角動(dòng)量守恒，當(dāng)小球滑至點(diǎn)時(shí)，有①該系統(tǒng)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，機(jī)械能守恒，設(shè)小球相對(duì)于圓環(huán)的速率為，以點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則有②聯(lián)立①、②兩式，得(2)當(dāng)小球滑至點(diǎn)時(shí)，∵∴故由機(jī)械能守恒，有∴請(qǐng)讀者求出上述兩種情況下，小球?qū)Φ厮俣龋?xí)題三3-1慣性系S′相對(duì)慣性系以速度運(yùn)動(dòng)．當(dāng)它們的坐標(biāo)原點(diǎn)與重合時(shí)，==0，發(fā)出一光波，此后兩慣性系的觀測(cè)者觀測(cè)該光波的波陣面形狀如何?用直角坐標(biāo)系寫出各自觀測(cè)的波陣面的方程．解:由于時(shí)間和空間都是均勻的，根據(jù)光速不變?cè)?，光訊?hào)為球面波．波陣面方程為：題3-1圖3-2設(shè)圖3-4中車廂上觀測(cè)者測(cè)得前后門距離為2．試用洛侖茲變換計(jì)算地面上的觀測(cè)者測(cè)到同一光信號(hào)到達(dá)前、后門的時(shí)間差．解:設(shè)光訊號(hào)到達(dá)前門為事件，在車廂系時(shí)空坐標(biāo)為，在車站系：光信號(hào)到達(dá)后門為事件，則在車廂系坐標(biāo)為，在車站系：于是或者3-3慣性系S′相對(duì)另一慣性系沿軸作勻速直線運(yùn)動(dòng)，取兩坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)刻作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)．在S系中測(cè)得兩事件的時(shí)空坐標(biāo)分別為=6×104m,=2×10-4s，以及=12×104m,=1×10-4s．已知在S′系中測(cè)得該兩事件同時(shí)發(fā)生．試問：(1)S′系相對(duì)S系的速度是多少?(2)系中測(cè)得的兩事件的空間間隔是多少?解:設(shè)相對(duì)的速度為，(1)由題意則故(2)由洛侖茲變換代入數(shù)值，3-4長(zhǎng)度=1m的米尺靜止于S′系中，與′軸的夾角=30°，S′系相對(duì)S系沿軸運(yùn)動(dòng)，在S系中觀測(cè)者測(cè)得米尺與軸夾角為45．試求：(1)S′系和S系的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度.(2)S系中測(cè)得的米尺長(zhǎng)度．解:(1)米尺相對(duì)靜止，它在軸上的投影分別為：，米尺相對(duì)沿方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)速度為，對(duì)系中的觀察者測(cè)得米尺在方向收縮，而方向的長(zhǎng)度不變，即故把及代入則得故(2)在系中測(cè)得米尺長(zhǎng)度為3-5一門寬為，今有一固有長(zhǎng)度(＞)的水平細(xì)桿，在門外貼近門的平面內(nèi)沿其長(zhǎng)度方向勻速運(yùn)動(dòng)．若站在門外的觀察者認(rèn)為此桿的兩端可同時(shí)被拉進(jìn)此門，則該桿相對(duì)于門的運(yùn)動(dòng)速率至少為多少?解:門外觀測(cè)者測(cè)得桿長(zhǎng)為運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)度，，當(dāng)時(shí)，可認(rèn)為能被拉進(jìn)門，則解得桿的運(yùn)動(dòng)速率至少為：題3-6圖3-6兩個(gè)慣性系中的觀察者和以0.6c(c表示真空中光速)的相對(duì)速度相互接近，如果測(cè)得兩者的初始距離是20m，則測(cè)得兩者經(jīng)過多少時(shí)間相遇?解:測(cè)得相遇時(shí)間為 測(cè)得的是固有時(shí)∴，，，或者，測(cè)得長(zhǎng)度收縮，3-7觀測(cè)者甲乙分別靜止于兩個(gè)慣性參考系和中，甲測(cè)得在同一地點(diǎn)發(fā)生的兩事件的時(shí)間間隔為4s，而乙測(cè)得這兩個(gè)事件的時(shí)間間隔為5s．求：(1)相對(duì)于的運(yùn)動(dòng)速度．(2)乙測(cè)得這兩個(gè)事件發(fā)生的地點(diǎn)間的距離．解:甲測(cè)得,乙測(cè)得，坐標(biāo)差為′(1)∴解出(2)∴負(fù)號(hào)表示．3-8一宇航員要到離地球?yàn)?光年的星球去旅行．如果宇航員希望把這路程縮短為3光年，則他所乘的火箭相對(duì)于地球的速度是多少?解:∴ 3-9論證以下結(jié)論：在某個(gè)慣性系中有兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生在不同地點(diǎn)，在有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的其他慣性系中，這兩個(gè)事件一定不同時(shí)．證:設(shè)在系事件在處同時(shí)發(fā)生，則，在系中測(cè)得，∴ 即不同時(shí)發(fā)生．3-10試證明：(1)如果兩個(gè)事件在某慣性系中是同一地點(diǎn)發(fā)生的，則對(duì)一切慣性系來說這兩個(gè)事件的時(shí)間間隔，只有在此慣性系中最短．(2)如果兩個(gè)事件在某慣性系中是同時(shí)發(fā)生的，則對(duì)一切慣性關(guān)系來說這兩個(gè)事件的空間間隔，只有在此慣性系中最短．解:(1)如果在系中，兩事件在同一地點(diǎn)發(fā)生，則，在系中，，僅當(dāng)時(shí)，等式成立，∴最短．(2)若在系中同時(shí)發(fā)生，即，則在系中，，僅當(dāng)時(shí)等式成立，∴系中最短．3-11根據(jù)天文觀測(cè)和推算，宇宙正在膨脹，太空中的天體都遠(yuǎn)離我們而去．假定地球上觀察到一顆脈沖星(發(fā)出周期無線電波的星)的脈沖周期為0.50s，且這顆星正沿觀察方向以速度0.8c離我們而去．問這顆星的固有周期為多少?解:以脈沖星為系，，固有周期.地球?yàn)橄?，則有運(yùn)動(dòng)時(shí)，這里不是地球上某點(diǎn)觀測(cè)到的周期，而是以地球?yàn)閰⒖枷档膬僧惖冂娮x數(shù)之差．還要考慮因飛行遠(yuǎn)離信號(hào)的傳遞時(shí)間，∴′則3-126000m的高空大氣層中產(chǎn)生了一個(gè)介子以速度=0.998c飛向地球．假定該介子在其自身靜止系中的壽命等于其平均壽命2×10-6s．試分別從下面兩個(gè)角度，即地球上的觀測(cè)者和介子靜止系中觀測(cè)者來判斷介子能否到達(dá)地球．解:介子在其自身靜止系中的壽命是固有(本征)時(shí)間，對(duì)地球觀測(cè)者，由于時(shí)間膨脹效應(yīng)，其壽命延長(zhǎng)了．衰變前經(jīng)歷的時(shí)間為這段時(shí)間飛行距離為因，故該介子能到達(dá)地球．或在介子靜止系中，介子是靜止的．地球則以速度接近介子，在時(shí)間內(nèi)，地球接近的距離為經(jīng)洛侖茲收縮后的值為：，故介子能到達(dá)地球．3-13設(shè)物體相對(duì)S′系沿軸正向以0.8c運(yùn)動(dòng)，如果S′系相對(duì)S系沿x軸正向的速度也是0.8c，問物體相對(duì)S系的速度是多少?解:根據(jù)速度合成定理，,∴3-14飛船以0.8c的速度相對(duì)地球向正東飛行，飛船以0.6c的速度相對(duì)地球向正西方向飛行．當(dāng)兩飛船即將相遇時(shí)飛船在自己的天窗處相隔2s發(fā)射兩顆信號(hào)彈．在飛船的觀測(cè)者測(cè)得兩顆信號(hào)彈相隔的時(shí)間間隔為多少?解:取為系，地球?yàn)橄担晕飨驏|為()軸正向，則對(duì)系的速度，系對(duì)系的速度為，則對(duì)系(船)的速度為發(fā)射彈是從的同一點(diǎn)發(fā)出，其時(shí)間間隔為固有時(shí)，題3-14圖∴中測(cè)得的時(shí)間間隔為：3-15(1)火箭和分別以0.8c和0.6c的速度相對(duì)地球向+和-方向飛行．試求由火箭測(cè)得的速度．(2)若火箭相對(duì)地球以0.8c的速度向+方向運(yùn)動(dòng)，火箭的速度不變，求相對(duì)的速度．解:(1)如圖，取地球?yàn)橄?，為系，則相對(duì)的速度，火箭相對(duì)的速度，則相對(duì)()的速度為：或者取為系，則，相對(duì)系的速度，于是相對(duì)的速度為：(2)如圖，取地球?yàn)橄担鸺秊橄?，系相?duì)系沿方向運(yùn)動(dòng)，速度，對(duì)系的速度為,,,由洛侖茲變換式相對(duì)的速度為：∴相對(duì)的速度大小為速度與軸的夾角為題3-15圖3-16靜止在S系中的觀測(cè)者測(cè)得一光子沿與軸成角的方向飛行．另一觀測(cè)者靜止于S′系，S′系的軸與軸一致，并以0.6c的速度沿方向運(yùn)動(dòng)．試問S′系中的觀測(cè)者觀測(cè)到的光子運(yùn)動(dòng)方向如何?解:系中光子運(yùn)動(dòng)速度的分量為由速度變換公式，光子在系中的速度分量為光子運(yùn)動(dòng)方向與軸的夾角滿足在第二象限為在系中，光子的運(yùn)動(dòng)速度為正是光速不變．3-17(1)如果將電子由靜止加速到速率為0.1c，須對(duì)它作多少功?(2)如果將電子由速率為0.8c加速到0.9c，又須對(duì)它作多少功?解:(1)對(duì)電子作的功，等于電子動(dòng)能的增量，得J=(2))3-18子靜止質(zhì)量是電子靜止質(zhì)量的207倍，靜止時(shí)的平均壽命=2×10-6s，若它在實(shí)驗(yàn)室參考系中的平均壽命=7×10-6s，試問其質(zhì)量是電子靜止質(zhì)量的多少倍?解:設(shè)子靜止質(zhì)量為，相對(duì)實(shí)驗(yàn)室參考系的速度為，相應(yīng)質(zhì)量為，電子靜止質(zhì)量為，因由質(zhì)速關(guān)系，在實(shí)驗(yàn)室參考系中質(zhì)量為：故3-19一物體的速度使其質(zhì)量增加了10%，試問此物體在運(yùn)動(dòng)方向上縮短了百分之幾?解:設(shè)靜止質(zhì)量為，運(yùn)動(dòng)質(zhì)量為，由題設(shè)由此二式得∴在運(yùn)動(dòng)方向上的長(zhǎng)度和靜長(zhǎng)分別為和，則相對(duì)收縮量為：3-20一電子在電場(chǎng)中從靜止開始加速，試問它應(yīng)通過多大的電勢(shì)差才能使其質(zhì)量增加0.4%?此時(shí)電子速度是多少?已知電子的靜止質(zhì)量為9.1×10-31kg．解:由質(zhì)能關(guān)系∴＝所需電勢(shì)差為伏特由質(zhì)速公式有：∴故電子速度為3-21一正負(fù)電子對(duì)撞機(jī)可以把電子加速到動(dòng)能＝2.8×109eV．這種電子速率比光速差多少?這樣的一個(gè)電子動(dòng)量是多大?(與電子靜止質(zhì)量相應(yīng)的能量為＝0.511×106eV)解:所以由上式，由動(dòng)量能量關(guān)系可得3-22氫原子的同位素氘(H)和氚(H)在高溫條件下發(fā)生聚變反應(yīng)，產(chǎn)生氦(He)原子核和一個(gè)中子(n)，并釋放出大量能量，其反應(yīng)方程為H+H→He+n已知氘核的靜止質(zhì)量為2.0135原子質(zhì)量單位(1原子質(zhì)量單位＝1.600×10-27kg)，氚核和氦核及中子的質(zhì)量分別為3.0155，4.0015，1.00865原子質(zhì)量單位．求上述聚變反應(yīng)釋放出來的能量．解:反應(yīng)前總質(zhì)量為反應(yīng)后總質(zhì)量為質(zhì)量虧損由質(zhì)能關(guān)系得3-23一靜止質(zhì)量為的粒子，裂變成兩個(gè)粒子，速度分別為0.6c和0.8c．求裂變過程的靜質(zhì)量虧損和釋放出的動(dòng)能．解:孤立系統(tǒng)在裂變過程中釋放出動(dòng)能，引起靜能減少，相應(yīng)的靜止質(zhì)量減少，即靜質(zhì)量虧損．設(shè)裂變產(chǎn)生兩個(gè)粒子的靜質(zhì)量分別為和，其相應(yīng)的速度,由于孤立系統(tǒng)中所發(fā)生的任何過程都同時(shí)遵守動(dòng)量守恒定律和能(質(zhì))量守恒定律，所以有注意和必沿相反方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)量守恒的矢量方程可以簡(jiǎn)化為一維標(biāo)量方程，再以c,c代入，將上二方程化為：，上二式聯(lián)立求解可得：,故靜質(zhì)量虧損由靜質(zhì)量虧損引起靜能減少，即轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，故放出的動(dòng)能為3-24有，兩個(gè)靜止質(zhì)量都是的粒子，分別以=,=-的速度相向運(yùn)動(dòng)，在發(fā)生完全非彈性碰撞后合并為一個(gè)粒子．求碰撞后粒子的速度和靜止質(zhì)量．解:在實(shí)驗(yàn)室參考系中，設(shè)碰撞前兩粒子的質(zhì)量分別和，碰撞后粒子的質(zhì)量為、速度為，于是，根據(jù)動(dòng)量守恒和質(zhì)量守恒定律可得：①②由于代入①式得，即為碰撞后靜止質(zhì)量．3-25試估計(jì)地球、太陽的史瓦西半徑．解:史瓦西半徑地球：則：太陽：則：3-26典型中子星的質(zhì)量與太陽質(zhì)量⊙＝2×1030kg同數(shù)量級(jí)，半徑約為10km．若進(jìn)一步坍縮為黑洞，其史瓦西半徑為多少?一個(gè)質(zhì)子那么大小的微黑洞(10-15cm)，質(zhì)量是什么數(shù)量級(jí)?解:(1)史瓦西半徑與太陽的相同，(2)由得3-27簡(jiǎn)述廣義相對(duì)論的基本原理和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證．解:廣義相對(duì)論的基本原理是等效原理和廣義相對(duì)性原理．等效原理又分為弱等效原理和強(qiáng)等效原理．弱等效原理是：在局部時(shí)空中，不可能通過力學(xué)實(shí)驗(yàn)區(qū)分引力和慣性力，引力和慣性力等效．強(qiáng)等效原理是：在局部時(shí)空中，任何物理實(shí)驗(yàn)都不能區(qū)分引力和慣性力，引力和慣性力等效．廣義相對(duì)性原理是：所有參考系都是平權(quán)的，物理定律的表述相同．廣義相對(duì)論的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證有：光線的引力偏轉(zhuǎn)，引力紅移，水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)，雷達(dá)回波延遲等．習(xí)題四4-1符合什么規(guī)律的運(yùn)動(dòng)才是諧振動(dòng)?分別分析下列運(yùn)動(dòng)是不是諧振動(dòng)：(1)拍皮球時(shí)球的運(yùn)動(dòng)；(2)如題4-1圖所示，一小球在一個(gè)半徑很大的光滑凹球面內(nèi)滾動(dòng)(設(shè)小球所經(jīng)過的弧線很短)．題4-1圖解：要使一個(gè)系統(tǒng)作諧振動(dòng)，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：一，描述系統(tǒng)的各種參量，如質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、擺長(zhǎng)……等等在運(yùn)動(dòng)中保持為常量；二，系統(tǒng)是在自己的穩(wěn)定平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)；三，在運(yùn)動(dòng)中系統(tǒng)只受到內(nèi)部的線性回復(fù)力的作用．或者說，若一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程能用描述時(shí)，其所作的運(yùn)動(dòng)就是諧振動(dòng)．(1)拍皮球時(shí)球的運(yùn)動(dòng)不是諧振動(dòng)．第一，球的運(yùn)動(dòng)軌道中并不存在一個(gè)穩(wěn)定的平衡位置；第二，球在運(yùn)動(dòng)中所受的三個(gè)力：重力，地面給予的彈力，擊球者給予的拍擊力，都不是線性回復(fù)力．(2)小球在題4-1圖所示的情況中所作的小弧度的運(yùn)動(dòng)，是諧振動(dòng)．顯然，小球在運(yùn)動(dòng)過程中，各種參量均為常量；該系統(tǒng)(指小球凹槽、地球系統(tǒng))的穩(wěn)定平衡位置即凹槽最低點(diǎn)，即系統(tǒng)勢(shì)能最小值位置點(diǎn)；而小球在運(yùn)動(dòng)中的回復(fù)力為，如題4-1圖(b)所示．題中所述，＜＜，故→0，所以回復(fù)力為.式中負(fù)號(hào)，表示回復(fù)力的方向始終與角位移的方向相反．即小球在點(diǎn)附近的往復(fù)運(yùn)動(dòng)中所受回復(fù)力為線性的．若以小球?yàn)閷?duì)象，則小球在以為圓心的豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律，在凹槽切線方向上有令，則有4-2勁度系數(shù)為和的兩根彈簧，與質(zhì)量為的小球按題4-2圖所示的兩種方式連接，試證明它們的振動(dòng)均為諧振動(dòng)，并分別求出它們的振動(dòng)周期．題4-2圖解：(1)圖(a)中為串聯(lián)彈簧，對(duì)于輕彈簧在任一時(shí)刻應(yīng)有，設(shè)串聯(lián)彈簧的等效倔強(qiáng)系數(shù)為等效位移為，則有又有所以串聯(lián)彈簧的等效倔強(qiáng)系數(shù)為即小球與串聯(lián)彈簧構(gòu)成了一個(gè)等效倔強(qiáng)系數(shù)為的彈簧振子系統(tǒng)，故小球作諧振動(dòng)．其振動(dòng)周期為(2)圖(b)中可等效為并聯(lián)彈簧，同上理，應(yīng)有，即，設(shè)并聯(lián)彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為，則有故同上理，其振動(dòng)周期為4-3如題4-3圖所示，物體的質(zhì)量為，放在光滑斜面上，斜面與水平面的夾角為，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為，滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，半徑為．先把物體托住，使彈簧維持原長(zhǎng)，然后由靜止釋放，試證明物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求振動(dòng)周期．題4-3圖解：分別以物體和滑輪為對(duì)象，其受力如題4-3圖(b)所示，以重物在斜面上靜平衡時(shí)位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿斜面向下為軸正向，則當(dāng)重物偏離原點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，有①②③式中，為靜平衡時(shí)彈簧之伸長(zhǎng)量，聯(lián)立以上三式，有令則有故知該系統(tǒng)是作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)周期為4-4質(zhì)量為的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按的規(guī)律作諧振動(dòng)，求：(1)振動(dòng)的周期、振幅和初位相及速度與加速度的最大值；(2)最大的回復(fù)力、振動(dòng)能量、平均動(dòng)能和平均勢(shì)能，在哪些位置上動(dòng)能與勢(shì)能相等?(3)與兩個(gè)時(shí)刻的位相差；解：(1)設(shè)諧振動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則知：又(2)當(dāng)時(shí)，有，即∴(3)4-5一個(gè)沿軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的彈簧振子，振幅為，周期為，其振動(dòng)方程用余弦函數(shù)表示．如果時(shí)質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)分別是：(1)；(2)過平衡位置向正向運(yùn)動(dòng)；(3)過處向負(fù)向運(yùn)動(dòng)；(4)過處向正向運(yùn)動(dòng)．試求出相應(yīng)的初位相，并寫出振動(dòng)方程．解：因?yàn)閷⒁陨铣踔禇l件代入上式，使兩式同時(shí)成立之值即為該條件下的初位相．故有4-6一質(zhì)量為的物體作諧振動(dòng)，振幅為，周期為，當(dāng)時(shí)位移為．求：(1)時(shí)，物體所在的位置及此時(shí)所受力的大小和方向；(2)由起始位置運(yùn)動(dòng)到處所需的最短時(shí)間；(3)在處物體的總能量．解：由題已知∴又，時(shí)，故振動(dòng)方程為(1)將代入得方向指向坐標(biāo)原點(diǎn)，即沿軸負(fù)向．(2)由題知，時(shí)，，時(shí)∴(3)由于諧振動(dòng)中能量守恒，故在任一位置處或任一時(shí)刻的系統(tǒng)的總能量均為4-7有一輕彈簧，下面懸掛質(zhì)量為的物體時(shí)，伸長(zhǎng)為．用這個(gè)彈簧和一個(gè)質(zhì)量為的小球構(gòu)成彈簧振子，將小球由平衡位置向下拉開后，給予向上的初速度，求振動(dòng)周期和振動(dòng)表達(dá)式．解：由題知而時(shí)，(設(shè)向上為正)又∴4-8圖為兩個(gè)諧振動(dòng)的曲線，試分別寫出其諧振動(dòng)方程．題4-8圖解：由題4-8圖(a)，∵時(shí)，即故由題4-8圖(b)∵時(shí)，時(shí)，又∴故4-9一輕彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為，其下端懸有一質(zhì)量為的盤子．現(xiàn)有一質(zhì)量為的物體從離盤底高度處自由下落到盤中并和盤子粘在一起，于是盤子開始振動(dòng)．(1)此時(shí)的振動(dòng)周期與空盤子作振動(dòng)時(shí)的周期有何不同?(2)此時(shí)的振動(dòng)振幅多大?(3)取平衡位置為原點(diǎn)，位移以向下為正，并以彈簧開始振動(dòng)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，求初位相并寫出物體與盤子的振動(dòng)方程．解：(1)空盤的振動(dòng)周期為，落下重物后振動(dòng)周期為，即增大．(2)按(3)所設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)及計(jì)時(shí)起點(diǎn)，時(shí)，則．碰撞時(shí)，以為一系統(tǒng)動(dòng)量守恒，即則有于是（3）(第三象限)，所以振動(dòng)方程為4-10有一單擺，擺長(zhǎng)，擺球質(zhì)量，當(dāng)擺球處在平衡位置時(shí)，若給小球一水平向右的沖量，取打擊時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，求振動(dòng)的初位相和角振幅，并寫出小球的振動(dòng)方程．解：由動(dòng)量定理，有∴按題設(shè)計(jì)時(shí)起點(diǎn)，并設(shè)向右為軸正向，則知時(shí)，＞0∴又∴故其角振幅小球的振動(dòng)方程為4-11有兩個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其合成振動(dòng)的振幅為，位相與第一振動(dòng)的位相差為，已知第一振動(dòng)的振幅為，求第二個(gè)振動(dòng)的振幅以及第一、第二兩振動(dòng)的位相差．題4-11圖解：由題意可做出旋轉(zhuǎn)矢量圖如下．由圖知∴設(shè)角，則即即，這說明，與間夾角為，即二振動(dòng)的位相差為.4-12試用最簡(jiǎn)單的方法求出下列兩組諧振動(dòng)合成后所得合振動(dòng)的振幅：(1)(2)解：(1)∵∴合振幅(2)∵∴合振幅4-13一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線上的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)方程為試分別用旋轉(zhuǎn)矢量法和振動(dòng)合成法求合振動(dòng)的振動(dòng)幅和初相，并寫出諧振方程。解：∵∴∴其振動(dòng)方程為(作圖法略)*4-14如題4-14圖所示，兩個(gè)相互垂直的諧振動(dòng)的合振動(dòng)圖形為一橢圓，已知方向的振動(dòng)方程為，求方向的振動(dòng)方程．題4-14圖解：因合振動(dòng)是一正橢圓，故知兩分振動(dòng)的位相差為或；又，軌道是按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，故知兩分振動(dòng)位相差為.所以方向的振動(dòng)方程為習(xí)題五5-1振動(dòng)和波動(dòng)有什么區(qū)別和聯(lián)系?平面簡(jiǎn)諧波動(dòng)方程和簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程有什么不同?又有什么聯(lián)系?振動(dòng)曲線和波形曲線有什么不同?解:(1)振動(dòng)是指一個(gè)孤立的系統(tǒng)(也可是介質(zhì)中的一個(gè)質(zhì)元)在某固定平衡位置附近所做的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)離開平衡位置的位移是時(shí)間的周期性函數(shù)，即可表示為；波動(dòng)是振動(dòng)在連續(xù)介質(zhì)中的傳播過程，此時(shí)介質(zhì)中所有質(zhì)元都在各自的平衡位置附近作振動(dòng)，因此介質(zhì)中任一質(zhì)元離開平衡位置的位移既是坐標(biāo)位置，又是時(shí)間的函數(shù)，即．(2)在諧振動(dòng)方程中只有一個(gè)獨(dú)立的變量時(shí)間，它描述的是介質(zhì)中一個(gè)質(zhì)元偏離平衡位置的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律；平面諧波方程中有兩個(gè)獨(dú)立變量，即坐標(biāo)位置和時(shí)間，它描述的是介質(zhì)中所有質(zhì)元偏離平衡位置的位移隨坐標(biāo)和時(shí)間變化的規(guī)律．當(dāng)諧波方程中的坐標(biāo)位置給定后，即可得到該點(diǎn)的振動(dòng)方程，而波源持續(xù)不斷地振動(dòng)又是產(chǎn)生波動(dòng)的必要條件之一．(3)振動(dòng)曲線描述的是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律，因此，其縱軸為，橫軸為；波動(dòng)曲線描述的是介質(zhì)中所有質(zhì)元的位移隨位置，隨時(shí)間變化的規(guī)律，其縱軸為，橫軸為．每一幅圖只能給出某一時(shí)刻質(zhì)元的位移隨坐標(biāo)位置變化的規(guī)律，即只能給出某一時(shí)刻的波形圖，不同時(shí)刻的波動(dòng)曲線就是不同時(shí)刻的波形圖．5-2波動(dòng)方程=cos［()+］中的表示什么?如果改寫為=cos()，又是什么意思?如果和均增加，但相應(yīng)的［()+］的值不變，由此能從波動(dòng)方程說明什么?解:波動(dòng)方程中的表示了介質(zhì)中坐標(biāo)位置為的質(zhì)元的振動(dòng)落后于原點(diǎn)的時(shí)間；則表示處質(zhì)元比原點(diǎn)落后的振動(dòng)位相；設(shè)時(shí)刻的波動(dòng)方程為則時(shí)刻的波動(dòng)方程為其表示在時(shí)刻，位置處的振動(dòng)狀態(tài)，經(jīng)過后傳播到處．所以在中，當(dāng)，均增加時(shí)，的值不會(huì)變化，而這正好說明了經(jīng)過時(shí)間，波形即向前傳播了的距離，說明描述的是一列行進(jìn)中的波，故謂之行波方程．5-3波在介質(zhì)中傳播時(shí)，為什么介質(zhì)元的動(dòng)能和勢(shì)能具有相同的位相，而彈簧振子的動(dòng)能和勢(shì)能卻沒有這樣的特點(diǎn)?解:我們?cè)谟懻摬▌?dòng)能量時(shí)，實(shí)際上討論的是介質(zhì)中某個(gè)小體積元內(nèi)所有質(zhì)元的能量．波動(dòng)動(dòng)能當(dāng)然是指質(zhì)元振動(dòng)動(dòng)能，其與振動(dòng)速度平方成正比，波動(dòng)勢(shì)能則是指介質(zhì)的形變勢(shì)能．形變勢(shì)能由介質(zhì)的相對(duì)形變量(即應(yīng)變量)決定．如果取波動(dòng)方程為，則相對(duì)形變量(即應(yīng)變量)為.波動(dòng)勢(shì)能則是與的平方成正比．由波動(dòng)曲線圖(題5-3圖)可知，在波峰，波谷處，波動(dòng)動(dòng)能有極小(此處振動(dòng)速度為零)，而在該處的應(yīng)變也為極小(該處)，所以在波峰，波谷處波動(dòng)勢(shì)能也為極??；在平衡位置處波動(dòng)動(dòng)能為極大(該處振動(dòng)速度的極大)，而在該處的應(yīng)變也是最大(該處是曲線的拐點(diǎn))，當(dāng)然波動(dòng)勢(shì)能也為最大．這就說明了在介質(zhì)中波動(dòng)動(dòng)能與波動(dòng)勢(shì)能是同步變化的，即具有相同的量值．題5-3圖對(duì)于一個(gè)孤立的諧振動(dòng)系統(tǒng)，是一個(gè)孤立的保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒，即振子的動(dòng)能與勢(shì)能之和保持為一個(gè)常數(shù)，而動(dòng)能與勢(shì)能在不斷地轉(zhuǎn)換，所以動(dòng)能和勢(shì)能不可能同步變化．5-4波動(dòng)方程中，坐標(biāo)軸原點(diǎn)是否一定要選在波源處?=0時(shí)刻是否一定是波源開始振動(dòng)的時(shí)刻?波動(dòng)方程寫成=cos()時(shí)，波源一定在坐標(biāo)原點(diǎn)處嗎?在什么前提下波動(dòng)方程才能寫成這種形式?解:由于坐標(biāo)原點(diǎn)和開始計(jì)時(shí)時(shí)刻的選全完取是一種主觀行為，所以在波動(dòng)方程中，坐標(biāo)原點(diǎn)不一定要選在波源處，同樣，的時(shí)刻也不一定是波源開始振動(dòng)的時(shí)刻；當(dāng)波動(dòng)方程寫成時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)也不一定是選在波源所在處的．因?yàn)樵诖颂帉?duì)于波源的含義已做了拓展，即在寫波動(dòng)方程時(shí)，我們可以把介質(zhì)中某一已知點(diǎn)的振動(dòng)視為波源，只要把振動(dòng)方程為已知的點(diǎn)選為坐標(biāo)原點(diǎn)，即可得題示的波動(dòng)方程．5-5在駐波的兩相鄰波節(jié)間的同一半波長(zhǎng)上，描述各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的什么物理量不同，什么物理量相同?解:取駐波方程為，則可知，在相鄰兩波節(jié)中的同一半波長(zhǎng)上，描述各質(zhì)點(diǎn)的振幅是不相同的，各質(zhì)點(diǎn)的振幅是隨位置按余弦規(guī)律變化的，即振幅變化規(guī)律可表示為．而在這同一半波長(zhǎng)上，各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位相則是相同的，即以相鄰兩波節(jié)的介質(zhì)為一段，同一段介質(zhì)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)都有相同的振動(dòng)位相，而相鄰兩段介質(zhì)內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)位相則相反．5-6波源向著觀察者運(yùn)動(dòng)和觀察者向波源運(yùn)動(dòng)都會(huì)產(chǎn)生頻率增高的多普勒效應(yīng)，這兩種情況有何區(qū)別?解:波源向著觀察者運(yùn)動(dòng)時(shí)，波面將被擠壓，波在介質(zhì)中的波長(zhǎng)，將被壓縮變短，(如題5-6圖所示)，因而觀察者在單位時(shí)間內(nèi)接收到的完整數(shù)目()會(huì)增多，所以接收頻率增高；而觀察者向著波源運(yùn)動(dòng)時(shí)，波面形狀不變，但觀察者測(cè)到的波速增大，即，因而單位時(shí)間內(nèi)通過觀察者完整波的數(shù)目也會(huì)增多，即接收頻率也將增高．簡(jiǎn)單地說，前者是通過壓縮波面(縮短波長(zhǎng))使頻率增高，后者則是觀察者的運(yùn)動(dòng)使得單位時(shí)間內(nèi)通過的波面數(shù)增加而升高頻率．題5-6圖多普勒效應(yīng)5-7一平面簡(jiǎn)諧波沿軸負(fù)向傳播，波長(zhǎng)=1.0m，原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)頻率為=2.0Hz，振幅＝0.1m，且在=0時(shí)恰好通過平衡位置向軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)，求此平面波的波動(dòng)方程．解:由題知時(shí)原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)為，故知原點(diǎn)的振動(dòng)初相為,取波動(dòng)方程為則有 5-8已知波源在原點(diǎn)的一列平面簡(jiǎn)諧波，波動(dòng)方程為=cos()，其中，，為正值恒量．求：(1)波的振幅、波速、頻率、周期與波長(zhǎng)；(2)寫出傳播方向上距離波源為處一點(diǎn)的振動(dòng)方程；(3)任一時(shí)刻，在波的傳播方向上相距為的兩點(diǎn)的位相差．解:(1)已知平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程()將上式與波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式比較，可知：波振幅為，頻率，波長(zhǎng)，波速，波動(dòng)周期．(2)將代入波動(dòng)方程即可得到該點(diǎn)的振動(dòng)方程 (3)因任一時(shí)刻同一波線上兩點(diǎn)之間的位相差為將，及代入上式，即得．5-9沿繩子傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程為=0.05cos(10)，式中,以米計(jì)，以秒計(jì)．求：(1)波的波速、頻率和波長(zhǎng)；(2)繩子上各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)時(shí)的最大速度和最大加速度；(3)求=0.2m處質(zhì)點(diǎn)在=1s時(shí)的位相，它是原點(diǎn)在哪一時(shí)刻的位相?這一位相所代表的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在=1.25s時(shí)刻到達(dá)哪一點(diǎn)?解:(1)將題給方程與標(biāo)準(zhǔn)式相比，得振幅，頻率，波長(zhǎng)，波速．(2)繩上各點(diǎn)的最大振速，最大加速度分別為(3)m處的振動(dòng)比原點(diǎn)落后的時(shí)間為故,時(shí)的位相就是原點(diǎn)()，在時(shí)的位相，即π．設(shè)這一位相所代表的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在s時(shí)刻到達(dá)點(diǎn)，則5-10如題5-10圖是沿軸傳播的平面余弦波在時(shí)刻的波形曲線．(1)若波沿軸正向傳播，該時(shí)刻，，，各點(diǎn)的振動(dòng)位相是多少?(2)若波沿軸負(fù)向傳播，上述各點(diǎn)的振動(dòng)位相又是多少?解:(1)波沿軸正向傳播，則在時(shí)刻，有題5-10圖對(duì)于點(diǎn)：∵，∴對(duì)于點(diǎn)：∵，∴對(duì)于點(diǎn)：∵，∴對(duì)于點(diǎn)：∵，∴(取負(fù)值：表示點(diǎn)位相，應(yīng)落后于點(diǎn)的位相)(2)波沿軸負(fù)向傳播，則在時(shí)刻，有對(duì)于點(diǎn)：∵，∴對(duì)于點(diǎn)：∵，∴對(duì)于點(diǎn)：∵，∴對(duì)于點(diǎn)：∵，∴(此處取正值表示點(diǎn)位相超前于點(diǎn)的位相)5-11一列平面余弦波沿軸正向傳播，波速為5m·s-1，波長(zhǎng)為2m，原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線如題5-11圖所示．(1)寫出波動(dòng)方程；(2)作出=0時(shí)的波形圖及距離波源0.5m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線．解:(1)由題5-11(a)圖知，m，且時(shí)，，∴，又，則題5-11圖(a)取，則波動(dòng)方程為 (2)時(shí)的波形如題5-11(b)圖題5-11圖(b)題5-11圖(c)將m代入波動(dòng)方程，得該點(diǎn)處的振動(dòng)方程為如題5-11(c)圖所示．5-12如題5-12圖所示，已知=0時(shí)和=0.5s時(shí)的波形曲線分別為圖中曲線(a)和(b)，波沿軸正向傳播，試根據(jù)圖中繪出的條件求：(1)波動(dòng)方程；(2)點(diǎn)的振動(dòng)方程．解:(1)由題5-12圖可知，，，又，時(shí)，，∴，而，，∴故波動(dòng)方程為(2)將代入上式，即得點(diǎn)振動(dòng)方程為題5-12圖5-13一列機(jī)械波沿軸正向傳播，=0時(shí)的波形如題5-13圖所示，已知波速為10m·s-1，波長(zhǎng)為2m，求：(1)波動(dòng)方程；(2)點(diǎn)的振動(dòng)方程及振動(dòng)曲線；(3)點(diǎn)的坐標(biāo)；(4)點(diǎn)回到平衡位置所需的最短時(shí)間．解:由題5-13圖可知，時(shí)，，∴，由題知，，則∴(1)波動(dòng)方程為題5-13圖(2)由圖知，時(shí)，，∴(點(diǎn)的位相應(yīng)落后于點(diǎn)，故取負(fù)值)∴點(diǎn)振動(dòng)方程為(3)∵∴解得(4)根據(jù)(2)的結(jié)果可作出旋轉(zhuǎn)矢量圖如題5-13圖(a)，則由點(diǎn)回到平衡位置應(yīng)經(jīng)歷的位相角題5-13圖(a)∴所屬最短時(shí)間為5-14如題5-14圖所示，有一平面簡(jiǎn)諧波在空間傳播，已知P點(diǎn)的振動(dòng)方程為=cos()．(1)分別就圖中給出的兩種坐標(biāo)寫出其波動(dòng)方程；(2)寫出距點(diǎn)距離為的點(diǎn)的振動(dòng)方程．解:(1)如題5-14圖(a)，則波動(dòng)方程為如圖(b)，則波動(dòng)方程為題5-14圖(2)如題5-14圖(a)，則點(diǎn)的振動(dòng)方程為如題5-14圖(b)，則點(diǎn)的振動(dòng)方程為5-15已知平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程為(SI)．(1)寫出=4.2s時(shí)各波峰位置的坐標(biāo)式，并求此時(shí)離原點(diǎn)最近一個(gè)波峰的位置，該波峰何時(shí)通過原點(diǎn)?(2)畫出=4.2s時(shí)的波形曲線．解:(1)波峰位置坐標(biāo)應(yīng)滿足解得(…)所以離原點(diǎn)最近的波峰位置為．∵故知,∴，這就是說該波峰在前通過原點(diǎn)，那么從計(jì)時(shí)時(shí)刻算起，則應(yīng)是，即該波峰是在時(shí)通過原點(diǎn)的．題5-15圖(2)∵，∴，又處，時(shí)，又，當(dāng)時(shí)，，則應(yīng)有解得，故時(shí)的波形圖如題5-15圖所示5-16題5-16圖中(a)表示=0時(shí)刻的波形圖，(b)表示原點(diǎn)(=0)處質(zhì)元的振動(dòng)曲線，試求此波的波動(dòng)方程，并畫出=2m處質(zhì)元的振動(dòng)曲線．解:由題5-16(b)圖所示振動(dòng)曲線可知,，且時(shí)，，故知,再結(jié)合題5-16(a)圖所示波動(dòng)曲線可知，該列波沿軸負(fù)向傳播，且，若取題5-16圖則波動(dòng)方程為5-17一平面余弦波，沿直徑為14cm的圓柱形管傳播，波的強(qiáng)度為18.0×10-3J·m-2·s-1，頻率為300Hz，波速為300m·s-1，求：(1)波的平均能量密度和最大能量密度?(2)兩個(gè)相鄰?fù)嗝嬷g有多少波的能量?解:(1)∵∴(2)5-18如題5-18圖所示，和為兩相干波源，振幅均為，相距，較位相超前，求：(1)外側(cè)各點(diǎn)的合振幅和強(qiáng)度；(2)外側(cè)各點(diǎn)的合振幅和強(qiáng)度解：（1）在外側(cè)，距離為的點(diǎn)，傳到該點(diǎn)引起的位相差為（2）在外側(cè).距離為的點(diǎn)，傳到該點(diǎn)引起的位相差.5-19如題5-19圖所示，設(shè)點(diǎn)發(fā)出的平面橫波沿方向傳播，它在點(diǎn)的振動(dòng)方程為;點(diǎn)發(fā)出的平面橫波沿方向傳播，它在點(diǎn)的振動(dòng)方程為，本題中以m計(jì)，以s計(jì)．設(shè)＝0.4m，＝0.5m，波速=0.2m·s-1，求：(1)兩波傳到P點(diǎn)時(shí)的位相差；(2)當(dāng)這兩列波的振動(dòng)方向相同時(shí)，處合振動(dòng)的振幅；*(3)當(dāng)這兩列波的振動(dòng)方向互相垂直時(shí)，處合振動(dòng)的振幅．解:(1)題5-19圖(2)點(diǎn)是相長(zhǎng)干涉，且振動(dòng)方向相同，所以(3)若兩振動(dòng)方向垂直，又兩分振動(dòng)位相差為，這時(shí)合振動(dòng)軌跡是通過Ⅱ，Ⅳ象限的直線，所以合振幅為5-20一平面簡(jiǎn)諧波沿軸正向傳播，如題5-20圖所示．已知振幅為，頻率為波速為．(1)若=0時(shí)，原點(diǎn)處質(zhì)元正好由平衡位置向位移正方向運(yùn)動(dòng)，寫出此波的波動(dòng)方程；(2)若從分界面反射的波的振幅與入射波振幅相等，試寫出反射波的波動(dòng)方程，并求軸上因入射波與反射波干涉而靜止的各點(diǎn)的位置．解:(1)∵時(shí)，，∴故波動(dòng)方程為m題5-20圖(2)入射波傳到反射面時(shí)的振動(dòng)位相為(即將代入)，再考慮到波由波疏入射而在波密界面上反射，存在半波損失，所以反射波在界面處的位相為若仍以點(diǎn)為原點(diǎn)，則反射波在點(diǎn)處的位相為，因只考慮以內(nèi)的位相角，∴反射波在點(diǎn)的位相為，故反射波的波動(dòng)方程為此時(shí)駐波方程為故波節(jié)位置為故(…)根據(jù)題意，只能取，即5-20一駐波方程為=0.02cos20cos750(SI)，求：(1)形成此駐波的兩列行波的振幅和波速；(2)相鄰兩波節(jié)間距離．解:(1)取駐波方程為故知，則，∴(2)∵所以相鄰兩波節(jié)間距離5-22在弦上傳播的橫波，它的波動(dòng)方程為=0.1cos(13+0.0079)(SI)試寫出一個(gè)波動(dòng)方程，使它表示的波能與這列已知的橫波疊加形成駐波，并在=0處為波節(jié)．解:為使合成駐波在處形成波節(jié)，則要反射波在處與入射波有的位相差，故反射波的波動(dòng)方程為5-23兩列波在一根很長(zhǎng)的細(xì)繩上傳播，它們的波動(dòng)方程分別為=0.06cos()(SI),=0.06cos()(SI)．(1)試證明繩子將作駐波式振動(dòng)，并求波節(jié)、波腹的位置；(2)波腹處的振幅多大?=1.2m處振幅多大?解:(1)它們的合成波為出現(xiàn)了變量的分離，符合駐波方程特征，故繩子在作駐波振動(dòng)．令，則，k=0,±1，±2…此即波腹的位置；令,則，…，此即波節(jié)的位置．(2)波腹處振幅最大，即為m；處的振幅由下式?jīng)Q定，即5-24汽車駛過車站時(shí)，車站上的觀測(cè)者測(cè)得汽笛聲頻率由1200Hz變到了1000Hz，設(shè)空氣中聲速為330m·s-1，求汽車的速率．解:設(shè)汽車的速度為，汽車在駛近車站時(shí)，車站收到的頻率為汽車駛離車站時(shí)，車站收到的頻率為聯(lián)立以上兩式，得5-25兩列火車分別以72km·h-1和54km·h-1的速度相向而行，第一列火車發(fā)出一個(gè)600Hz的汽笛聲，若聲速為340m·s-1，求第二列火車上的觀測(cè)者聽見該聲音的頻率在相遇前和相遇后分別是多少?解:設(shè)鳴笛火車的車速為，接收鳴笛的火車車速為，則兩者相遇前收到的頻率為兩車相遇之后收到的頻率為習(xí)題六6-1氣體在平衡態(tài)時(shí)有何特征?氣體的平衡態(tài)與力學(xué)中的平衡態(tài)有何不同?答：氣體在平衡態(tài)時(shí)，系統(tǒng)與外界在宏觀上無能量和物質(zhì)的交換；系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時(shí)間變化．力學(xué)平衡態(tài)與熱力學(xué)平衡態(tài)不同．當(dāng)系統(tǒng)處于熱平衡態(tài)時(shí)，組成系統(tǒng)的大量粒子仍在不停地、無規(guī)則地運(yùn)動(dòng)著，大量粒子運(yùn)動(dòng)的平均效果不變，這是一種動(dòng)態(tài)平衡．而個(gè)別粒子所受合外力可以不為零．而力學(xué)平衡態(tài)時(shí)，物體保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)，所受合外力為零．6-2氣體動(dòng)理論的研究對(duì)象是什么?理想氣體的宏觀模型和微觀模型各如何?答：氣體動(dòng)理論的研究對(duì)象是大量微觀粒子組成的系統(tǒng)．是從物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)和分子運(yùn)動(dòng)論出發(fā)，運(yùn)用力學(xué)規(guī)律，通過統(tǒng)計(jì)平均的辦法，求出熱運(yùn)動(dòng)的宏觀結(jié)果，再由實(shí)驗(yàn)確認(rèn)的方法．從宏觀看，在溫度不太低，壓強(qiáng)不大時(shí)，實(shí)際氣體都可近似地當(dāng)作理想氣體來處理，壓強(qiáng)越低，溫度越高，這種近似的準(zhǔn)確度越高．理想氣體的微觀模型是把分子看成彈性的自由運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)．6-3何謂微觀量?何謂宏觀量?它們之間有什么聯(lián)系?答：用來描述個(gè)別微觀粒子特征的物理量稱為微觀量．如微觀粒子(原子、分子等)的大小、質(zhì)量、速度、能量等．描述大量微觀粒子(分子或原子)的集體的物理量叫宏觀量，如實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)得到的氣體體積、壓強(qiáng)、溫度、熱容量等都是宏觀量．氣體宏觀量是微觀量統(tǒng)計(jì)平均的結(jié)果．6-4計(jì)算下列一組粒子平均速率和方均根速率?21468210.020.030.040.050.0解：平均速率方均根速率6-5速率分布函數(shù)的物理意義是什么?試說明下列各量的物理意義(為分子數(shù)密度，為系統(tǒng)總分子數(shù))．（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：：表示一定質(zhì)量的氣體，在溫度為的平衡態(tài)時(shí)，分布在速率附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.()：表示分布在速率附近，速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.()：表示分布在速率附近、速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)密度．()：表示分布在速率附近、速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)．()：表示分布在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比．()：表示分布在的速率區(qū)間內(nèi)所有分子，其與總分子數(shù)的比值是.()：表示分布在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù).6-6最概然