2021-2022學(xué)年黑龍江哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期月考數(shù)學(xué)（文）試題【含答案】

2021-2022學(xué)年黑龍江哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校高二下學(xué)期月考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知在等差數(shù)列中，，則（

）A．2 B．4 C．5 D．7【答案】C【分析】由等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)計(jì)算.【詳解】由等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)可得，所以.故選：C2．已知向量，若，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)公式即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，則，解得.故選：D.3．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：依題意；故選：B4．在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，則向量（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算可求出結(jié)果.【詳解】.故選：A5．曲線在點(diǎn)處的切線斜率是（

）A．9 B．6 C． D．【答案】A【分析】依題意求出，即可得到，從而得解；【詳解】解：∵，∴，∴，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線在點(diǎn)處的切線斜率是；故選：A6．為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助與性別之間的關(guān)系，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從該地區(qū)調(diào)查了位老年人，結(jié)果如下表，經(jīng)計(jì)算得到，且，則下列結(jié)論正確的是（）男女需要志愿者不需要志愿者A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，可以認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別無(wú)關(guān)B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，可以認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別無(wú)關(guān)C．有的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別無(wú)關(guān)D．有的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)【答案】D【分析】由獨(dú)立性檢驗(yàn)基本思想可直接得到結(jié)論.【詳解】由獨(dú)立性檢驗(yàn)基本思想可知：在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，可以認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)；AB錯(cuò)誤；即有的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)，C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.7．第24屆冬奧會(huì)奧運(yùn)村有智能餐廳，人工餐廳，運(yùn)動(dòng)員甲第一天隨機(jī)地選擇一餐廳用餐，如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為0.6；如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為0.5，運(yùn)動(dòng)員甲第二天去A餐廳用餐的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由全概率公式求解【詳解】由題意得運(yùn)動(dòng)員甲第二天去A餐廳用餐的概率為故選：C8．在平面四邊形中，，若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示建立函數(shù)關(guān)系求解作答.【詳解】因，則以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，過(guò)點(diǎn)C作于G，作于F，因，則，即，于是有，，則，而，則有，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為.故選：A二、多選題9．已知為非零平面向量，則下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．C．若，則 D．【答案】AB【分析】A．利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算判斷；B.利用平面向量共線定理判斷；C.利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律判斷；D.利用平面向量的共線定理判斷.【詳解】A.因?yàn)?，所以，則，故正確；B.若為非零平面向量，且，由共線向量定理知：，故正確；C.若，則，則，故錯(cuò)誤；D.與共線，與共線，故錯(cuò)誤；故選：AB10．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用正態(tài)分布的圖象和性質(zhì)求解.【詳解】解：由題得，所以選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；，所以選項(xiàng)C正確；由題得，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD11．下列有關(guān)回歸分析的結(jié)論中，正確的有（

）A．若回歸方程為，則變量與負(fù)相關(guān)B．運(yùn)用最小二乘法求得的經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心C．若決定系數(shù)的值越接近于0，表示回歸模型的擬合效果越好D．若散點(diǎn)圖中所有點(diǎn)都在直線上，則相關(guān)系數(shù)【答案】AB【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)得到變量與負(fù)相關(guān)；B選項(xiàng)，運(yùn)用最小二乘法求得的經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心；C選項(xiàng)，的值越接近于1，擬合效果越好；D選項(xiàng)，若散點(diǎn)圖中所有點(diǎn)都在直線，說(shuō)明此時(shí)相關(guān)系數(shù).【詳解】因?yàn)椋宰兞颗c負(fù)相關(guān)，A正確；運(yùn)用最小二乘法求得的經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心，B正確；若決定系數(shù)的值越接近于0，表示回歸模型的擬合效果越差，越接近于1，表示回歸模型的擬合效果越好，C錯(cuò)誤；若散點(diǎn)圖中所有點(diǎn)都在直線，結(jié)合可得：相關(guān)系數(shù)為1，D錯(cuò)誤；故選：AB12．的展開(kāi)式中，下列結(jié)論正確的是（

）A．展開(kāi)式共6項(xiàng)B．常數(shù)項(xiàng)為160C．所有項(xiàng)的系數(shù)之和為729D．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64【答案】BCD【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的特點(diǎn)判斷A；求出指定項(xiàng)判斷B；利用賦值法求出展開(kāi)式系數(shù)和判斷C；利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)判斷D作答.【詳解】展開(kāi)式的總項(xiàng)數(shù)是7，A不正確；展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令得，常數(shù)項(xiàng)為，B正確；取得展開(kāi)式的所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，C正確；由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得展開(kāi)式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，D正確.故選：BCD.三、填空題13．在等比數(shù)列中，若，，則__________．【答案】【分析】設(shè)公比為，根據(jù)題意求得，再求即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題可知，故.故答案為：.14．已知平面向量，滿足，且的夾角為，則_____．【答案】【分析】利用向量的運(yùn)算性質(zhì)求解.【詳解】故答案為：15．的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____．【答案】【分析】先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再令的次數(shù)等于2，求出，從而可求出的系數(shù)【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)，故答案為：16．某學(xué)校為貫徹“科學(xué)防疫”理念，實(shí)行“佩戴口罩，不鄰而坐”制度（每?jī)蓚€(gè)同學(xué)不能相鄰）．若該學(xué)校的教室一排有10個(gè)座位，安排4名同學(xué)就坐，則不同的安排方法共有______種．（用數(shù)字作答）【答案】840【分析】六個(gè)空位可產(chǎn)生七個(gè)空,采用插空法即可【詳解】因?yàn)榱鶄€(gè)空位可產(chǎn)生七個(gè)空，則這四個(gè)同學(xué)可用插空法就坐，因此共有種不同的安排方法．故答案為：840四、解答題17．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．(1)求角C的大小(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】(1)將已知關(guān)系式化邊為角，可得C的正切，進(jìn)而可求角C；(2)由三角形面積公式及角C可得，進(jìn)而由余弦定理整體得的值解決問(wèn)題.【詳解】（1）由正弦定理可得：,,

,

,,

.（2）由三角形面積可知：,，由余弦定理可知：,解得：，所以三角形的周長(zhǎng)為：.18．已知等差數(shù)列滿足：，．的前n項(xiàng)和為．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令（）,求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．【詳解】試題分析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知可得解得，則及可求；（2）由（1）可得，裂項(xiàng)求和即可試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以有，解得，所以?（2）由（1）知，，所以，所以，即數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式．裂項(xiàng)求和19．高二年級(jí)某班學(xué)生在數(shù)學(xué)校本課程選課過(guò)程中，已知第一小組與第二小組各有六位同學(xué).每位同學(xué)都只選了一個(gè)科目，第一小組選《數(shù)學(xué)運(yùn)算》的有1人，選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》的有5人，第二小組選《數(shù)學(xué)運(yùn)算》的有2人，選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》的有4人，現(xiàn)從第一、第二兩小組各任選2人分析選課情況.(1)求選出的4人均選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》的概率；(2)設(shè)為選出的4個(gè)人中選《數(shù)學(xué)運(yùn)算》的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，期望為【分析】（1）設(shè)“從第一小組選出的2人選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》”為事件，“從第二小組選出的2人選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》”為事件，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，即可求解；（2）先隨機(jī)變量可能的取值為0，1，2，3，求得相應(yīng)的概率，得出隨機(jī)變量的分布列，利用期望的公式，即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)“從第一小組選出的2人選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》”為事件，“從第二小組選出的2人選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》”為事件,由于事件、相互獨(dú)立，且，所以選出的4人均選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》的概率為.（2）解：由題意，隨機(jī)變量可能的取值為0，1，2，3，可得，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：0123P所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.20．如圖，四棱錐中，底面，，，，，，，．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）要證明線面垂直，根據(jù)判斷定理，需證明線線垂直，根據(jù)條件，即可證明，，即可證明；（2）以為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.【詳解】本題考查線面垂直的證明、空間向量法求二面角．（1）因?yàn)椋?，，，，所以由勾股定理得，．所以，由勾股定理的逆定理得．因?yàn)?，所以．因?yàn)榈酌?，所以．又，所以平面．?）以為原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由（1）得，，則，，，，，則，，．設(shè)平面的法向量為，則得令，得．易知平面的一個(gè)法向量為．所以．由圖易知二面角是銳二面角，故二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：（1）證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想．（2）利用空間向量計(jì)算二面角大小的常用方法：①找法向量：分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角余弦值的正負(fù)．②找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大?。?1．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F(，0)，且點(diǎn)M(－，)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)直線l過(guò)點(diǎn)F，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O作l的垂線，垂足為P，若，求λ的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）求得，的值即可確定橢圓方程；（2）分類討論直線的斜率存在和斜率不存在兩種情況即可確定為定值．【詳解】（1）由題意知：．根據(jù)橢圓的定義得：，即．，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程是．此時(shí)，所以．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，，由可得．顯然△，則，因?yàn)?，所以．所以，此時(shí)．綜上所述，為定值．22．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，若在上存在極值，求a的取值范圍.【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)【分析】（1）當(dāng)