第五章靜磁場(chǎng)

第五章恒定磁場(chǎng)第5章恒定磁場(chǎng)

?實(shí)驗(yàn)表明，導(dǎo)體中有恒定電流通過(guò)時(shí)，在導(dǎo)體內(nèi)部和它周圍的媒質(zhì)中，不僅有恒定電場(chǎng)，同時(shí)還有不隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)，簡(jiǎn)稱恒定磁場(chǎng)（StaticMagneticField）。

?

恒定磁場(chǎng)和靜電場(chǎng)是性質(zhì)完全不同的兩種場(chǎng)，但在分析方法上卻有許多共同之處。學(xué)習(xí)本章時(shí)，注意類比法的應(yīng)用。

?恒定磁場(chǎng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖。磁感應(yīng)強(qiáng)度（B）（畢奧—沙伐定律）H

的旋度B的散度基本方程磁位()（J=0）分界面上銜接條件磁矢位（A）邊值問(wèn)題數(shù)值法解析法分離變量法鏡像法有限元法有限差分法電感的計(jì)算磁場(chǎng)能量及力磁路及其計(jì)算圖5.0恒定磁場(chǎng)知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖基本實(shí)驗(yàn)定律(安培力定律）5.1磁感應(yīng)強(qiáng)度5.1.1安培力定律

1820年,法國(guó)物理學(xué)家安培從實(shí)驗(yàn)中總結(jié)出電流回路之間的相互作用力的規(guī)律,稱為安培力定律(Ampere’sforceLaw)。電流

的回路對(duì)電流I回路的作用力

F式中真空中的磁導(dǎo)率H/m5.1.2畢奧——沙伐定律?磁感應(yīng)強(qiáng)度

電流之間相互作用力通過(guò)磁場(chǎng)傳遞。電荷之間相互作用力通過(guò)電場(chǎng)傳遞。定義：磁感應(yīng)強(qiáng)度單位T（wb/m2）特斯拉。式中圖5.1.1兩載流回路間的相互作用力寫(xiě)成一般表達(dá)式，即畢奧——沙伐定律（Biot—SavartLaw)

2）由畢奧—沙伐定律可以導(dǎo)出恒定磁場(chǎng)的基本方程（B

的散度與旋度）。3）對(duì)于體分布或面分布的電流，Biot-SavartLaw

可寫(xiě)成

例5.1.1試求有限長(zhǎng)直載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解采用圓柱坐標(biāo)系，取電流Idz，則式中，當(dāng)時(shí)，圖5.1.2長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁場(chǎng)1）適用條件：無(wú)限大均勻媒質(zhì)，且電流分布在有限區(qū)域內(nèi)。解：元電流

Idl

在其軸線上P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為例5.1.2真空中有一載流為I，半徑為R的圓形回路，求其軸線上P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。圖5.1.4圓形載流回路軸線上的磁場(chǎng)分布根據(jù)圓環(huán)磁場(chǎng)對(duì)

P

點(diǎn)的對(duì)稱性，圖5.1.3圓形載流回路由于是無(wú)限大電流平面，所以選P點(diǎn)在

y軸上。根據(jù)對(duì)稱性,整個(gè)面電流所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

例5.1.3圖示一無(wú)限大導(dǎo)體平面上有恒定面電流,求其所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：在電流片上取寬度為

的一條無(wú)限長(zhǎng)線電流，它在空間引起的磁感應(yīng)強(qiáng)度為圖5.1.5無(wú)限大電流片及B

的分布5.2磁通連續(xù)性原理?安培環(huán)路定律5.2.1磁通連續(xù)性原理矢量恒等式所以

表明

B是無(wú)頭無(wú)尾的閉合線，恒定磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)。（在任意媒質(zhì)中均成立）兩邊取散度可從Biot-SavartLaw

直接導(dǎo)出恒定磁場(chǎng)

B

的散度。1.恒定磁場(chǎng)的散度則可以作為判斷一個(gè)矢量場(chǎng)能否成為恒定磁場(chǎng)的必要條件。圖5.2.1計(jì)算體電流的磁場(chǎng)2.磁通連續(xù)性原理

這說(shuō)明磁場(chǎng)通過(guò)任意閉合面的磁通量為零，稱之為磁通連續(xù)性原理，或稱磁場(chǎng)中的高斯定律(Gauss’sLawfortheMagneticfield)。

仿照靜電場(chǎng)的

E線，恒定磁場(chǎng)可以用

B

線描繪，B線的微分方程在直角坐標(biāo)系中散度定理圖5.2.2磁通連續(xù)性原理圖5.2.3B

的通量

若要計(jì)算B穿過(guò)一個(gè)非閉合面S

的磁通，則3.磁力線B

線的性質(zhì)：?

B

線是閉合的曲線;?

B

線不能相交(除B=0

外)；?閉合的

B

線與交鏈的電流成右手螺旋關(guān)系；?

B

強(qiáng)處，B線稠密，反之，稀疏。圖5.2.4一載流導(dǎo)線I

位于無(wú)限大鐵板上方的磁場(chǎng)分布（B

線）圖5.2.5長(zhǎng)直螺線管磁場(chǎng)的分布（B

線）圖5.2.6一載流導(dǎo)線I位于無(wú)限大鐵板內(nèi)的磁場(chǎng)分布（H

線）圖5.2.7兩根異向長(zhǎng)直流導(dǎo)線的磁場(chǎng)分布圖5.2.8兩根相同方向長(zhǎng)直流導(dǎo)線的磁場(chǎng)分布圖5.2.9兩對(duì)上下放置傳輸線的磁場(chǎng)分布圖5.2.10兩對(duì)平行放置傳輸線的磁場(chǎng)分布5.2.2磁通連續(xù)性原理1.安培環(huán)路定律（真空）以長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁場(chǎng)為例（1）安培環(huán)路與磁力線重合（2）安培環(huán)路與磁力線不重合（3）安培環(huán)路不交鏈電流（4）安培環(huán)路與若干根電流交鏈該結(jié)論適用于其它任何帶電體情況。強(qiáng)調(diào)：環(huán)路方向與電流方向成右手，電流取正，否則取負(fù)。圖5.2.11證明安培環(huán)路定律用圖例5.2.1

試求無(wú)限大截流導(dǎo)板產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度B解：分析場(chǎng)的分布，取安培環(huán)路（與電流交鏈，成右手螺旋）根據(jù)對(duì)稱性解：這是平行平面磁場(chǎng)，選用圓柱坐標(biāo)系，應(yīng)用安培環(huán)路定律,得

例5.2.2

試求載流無(wú)限長(zhǎng)同軸電纜產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。圖5.2.12同軸電纜截面取安培環(huán)路交鏈的部分電流為圖5.2.1無(wú)限大截流導(dǎo)板應(yīng)用安培環(huán)路定律，得

對(duì)于具有某些對(duì)稱性的磁場(chǎng)，可以方便地應(yīng)用安培環(huán)路定律得到

B

的解析表達(dá)式。

圖5.2.13同軸電纜的磁場(chǎng)分布2.媒質(zhì)的磁化（Magnetization）媒質(zhì)的磁化產(chǎn)生的物理現(xiàn)象和分析方法與靜電場(chǎng)媒質(zhì)的極化類同。2）媒質(zhì)的磁化無(wú)外磁場(chǎng)作用時(shí)，媒質(zhì)對(duì)外不顯磁性，圖5.2.14磁偶極子圖5.2.15磁偶極子受磁場(chǎng)力而轉(zhuǎn)動(dòng)用磁化強(qiáng)度（MagnetizationIntensity）M

表示磁化的程度，即A/m1）磁偶極子—分子電流，電流方向與方向成右手螺旋關(guān)系A(chǔ)m2磁偶極矩在外磁場(chǎng)作用下，磁偶極子發(fā)生旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)矩為T(mén)i=mi×B

，

旋轉(zhuǎn)方向使磁偶極矩方向與外磁場(chǎng)方向一致，對(duì)外呈現(xiàn)磁性，稱為磁化現(xiàn)象。圖5.2.16媒質(zhì)的磁化3）磁化電流4）磁偶極子與電偶極子對(duì)比體磁化電流模型電量產(chǎn)生的電場(chǎng)與磁場(chǎng)電偶極子磁偶極子面磁化電流

?

有磁介質(zhì)存在時(shí)，場(chǎng)中任一點(diǎn)的

B是自由電流和磁化電流共同作用在真空中產(chǎn)生的磁場(chǎng)。結(jié)論：

?

磁化電流具有與傳導(dǎo)電流相同的磁效應(yīng)例5.2.3判斷磁化電流的方向。5.一般形式的安培環(huán)路定律有磁介質(zhì)時(shí)將代入上式，得移項(xiàng)后定義磁場(chǎng)強(qiáng)度則有說(shuō)明:?

H的環(huán)量?jī)H與環(huán)路交鏈的自由電流有關(guān)。

?環(huán)路上任一點(diǎn)的H是由系統(tǒng)全部載流體產(chǎn)生的。

?電流的正、負(fù)僅取決于環(huán)路與電流的交鏈?zhǔn)欠駶M足右手螺旋關(guān)系，是為正，否為負(fù)。恒定磁場(chǎng)是有旋的圖5.2.19

H的分布與磁介質(zhì)有關(guān)圖5.2.18H與I

成右螺旋關(guān)系圖示中嗎？它們的環(huán)量相等嗎？4.B與H的構(gòu)成關(guān)系實(shí)驗(yàn)證明，在各向同性的線性磁介質(zhì)中式中——磁化率，無(wú)量綱量，代入中式中——相對(duì)磁導(dǎo)率，無(wú)量綱，，單位H/m。

構(gòu)成關(guān)系例5.2.4:一矩形截面的鐲環(huán)，如圖示，試求氣隙中的B和H。圖5.2.20鐲環(huán)磁場(chǎng)分布解：在鐲環(huán)中,，有限，故H=0。取安培環(huán)路（與I交鏈），由，得5.H的旋度積分式對(duì)任意曲面S都成立，則恒定磁場(chǎng)是有旋的

例5.2.4有一磁導(dǎo)率為

μ，半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)磁圓柱，其軸線處有無(wú)限長(zhǎng)的線電流I，圓柱外是空氣（μ0

），如圖所示。試求圓柱內(nèi)外的B，H

與

M

的分布。解：磁場(chǎng)為平行平面場(chǎng),且具有軸對(duì)稱性，應(yīng)用安培環(huán)路定律，得磁場(chǎng)強(qiáng)度磁化強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度

圖5.2.21磁場(chǎng)分布圖5.2.22長(zhǎng)直導(dǎo)磁圓柱的磁化電流導(dǎo)磁圓柱內(nèi)

=0處有磁化電流

Im

嗎？=

a處有面磁化電流

Km嗎？為什么？5.3恒定磁場(chǎng)的基本方程?分界面上的銜接條件5.3.1恒定磁場(chǎng)的基本方程媒質(zhì)的性能方程

例5.3.1試判斷能否表示為一個(gè)恒定磁場(chǎng)？F2不可能表示恒定磁場(chǎng)。恒定磁場(chǎng)的基本方程表示為（磁通連續(xù)原理）（安培環(huán)路定律）（無(wú)源）（有旋）恒定磁場(chǎng)是有旋無(wú)源場(chǎng),電流是激發(fā)磁場(chǎng)的渦旋源F1可以表示為恒定磁場(chǎng)。解：5.3.2分界面上的銜接條件1.B

的銜接條件在媒質(zhì)分界面上，包圍P點(diǎn)作一小扁圓柱，令，則根據(jù),可得B

的法向分量連續(xù)2.H

的銜接條件

H

的切向分量不連續(xù)H

的切向分量連續(xù)當(dāng)K=03.分界面上的折射定律當(dāng)兩種媒質(zhì)均勻、各向同性，且分界面無(wú)自由電流線密度K，則折射定律圖5.3.1分界面上

B

的銜接條件圖5.3.2分界面上

H

的銜接條件在媒質(zhì)分界面上，包圍P點(diǎn)作一矩形回路

。令,根據(jù)可得例.5.3.2分析鐵磁媒質(zhì)與空氣分界面上磁場(chǎng)的折射情況。解：

它表明只要鐵磁物質(zhì)側(cè)的B不與分界面平行，那么在空氣側(cè)的B可認(rèn)為近似與分界面垂直。圖5.3.3鐵磁媒質(zhì)與空氣分界面上磁場(chǎng)的折射即A/mT解：圖5.3.4含有K的分界面銜接條件

例5.3.3設(shè)x=0

平面是兩種媒質(zhì)的分界面。,分界面上有面電流A/m，且A/m，試求B1，B2與

H2

的分布。?若面電流,答案有否變化，如何變？ 5.4磁矢位及其邊值問(wèn)題5.4.1磁矢位

A

的引出由磁矢位A也可直接從BiotSavartLaw導(dǎo)出。5.4.2磁矢位

A的邊值問(wèn)題1.微分方程及其特解(泊松方程)(拉普拉斯方程)

當(dāng)J=0

時(shí)

A稱磁矢位(Magneticvectorpotential)，單位：wb/m（韋伯/米）。庫(kù)侖規(guī)范使得A唯一確定。A是否具有物理意義是一個(gè)仍在爭(zhēng)論的問(wèn)題。令無(wú)限遠(yuǎn)處A的量值為零（參考磁矢位），則各式的特解分別為可見(jiàn)，每個(gè)電流元產(chǎn)生的磁矢位

A

與此元電流Idl，KdS，JdV具有相同的方向。矢量合成后，得在直角坐標(biāo)系下，可以展開(kāi)為面電流與線電流引起的磁矢位為a）圍繞

P點(diǎn)作一矩形回路，則當(dāng)時(shí),即b）圍繞P點(diǎn)作一扁圓柱，則當(dāng)時(shí)，即

綜合兩個(gè)結(jié)論，有

表明在媒質(zhì)分界面上磁矢位

A是連續(xù)的。根據(jù)有對(duì)于平行平面場(chǎng)，則可寫(xiě)成2.分界面上的銜接條件圖5.4.7磁矢位

A

分界面上的銜接條件根據(jù)由于，

5.4.3磁矢位

A的應(yīng)用

1)矢量積分求A解：取圓柱坐標(biāo)

例5.4.1空氣中有一長(zhǎng)度為，截面積為

S

，位于

z軸上的短銅線，電流

I

沿

z軸方向，試求離銅線較遠(yuǎn)處（R>>）的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

·能否用安培環(huán)路定律來(lái)求解此問(wèn)題?圖5.4.1位于坐標(biāo)原點(diǎn)的短銅線例5.4.2應(yīng)用磁矢位

A，求空氣中一長(zhǎng)直載流細(xì)導(dǎo)線的磁場(chǎng)。解：例5.4.3應(yīng)用磁矢位分析兩線輸電線的磁場(chǎng)。解：這是一個(gè)平行平面磁場(chǎng)。由上例計(jì)算結(jié)果,兩導(dǎo)線在

P點(diǎn)的磁矢位圖5.4.3長(zhǎng)直載流細(xì)導(dǎo)線的磁場(chǎng)圖5.4.4圓截面雙線輸電線在工程數(shù)值中經(jīng)常用此公式此公式計(jì)算磁通，并由此得到其它等效參數(shù)。

3)在平行平面磁場(chǎng)中，，等

A線可表示磁感應(yīng)強(qiáng)度B

線。即平行平面磁場(chǎng)中的等

A線可以代表

B線?？梢宰C明：在軸對(duì)稱磁場(chǎng)中，代表

B

線。2)從磁矢位

A計(jì)算磁通（韋伯）在直角坐標(biāo)系中，B線方程為等

A線不是

A線，只涉及

A的大小，不涉及方向。因此，等A線僅反映B的大小分布。圖5.4.2A線,等

A線與

B線關(guān)系如前面例題，兩線輸電線的B線即等

A

線的方程為等

A

線（B

線）是一束包圍導(dǎo)線的偏心圓族。其圓心坐標(biāo)是圓的半徑是。

可見(jiàn)雙線輸電線的磁場(chǎng)的等

A

線(

B

線)的圖形與靜電場(chǎng)中兩根線電荷的等電位線的圖形是一致。圖5.4.5雙線輸電線的磁場(chǎng)圖5.4.6雙線輸電線的電場(chǎng)解：采用圓柱坐標(biāo)系，且

例5.4.4一半徑為a的帶電長(zhǎng)直圓柱體，其電流面密度,試求導(dǎo)體內(nèi)外的磁矢位

A

與磁感應(yīng)強(qiáng)度

B。（導(dǎo)體內(nèi)外媒質(zhì)的磁導(dǎo)率均為μ0）邊界條件（參考磁矢位）（處）

由式由式代入通解式通解為磁感應(yīng)強(qiáng)度圖5.4.8長(zhǎng)直帶電圓柱導(dǎo)體4)微分方程法求A例5.4.5圖示鐵磁體槽內(nèi)有一線電流I，鐵磁體的磁導(dǎo)率，槽和載流導(dǎo)線均為無(wú)限長(zhǎng)，忽略槽口邊緣效應(yīng)，試寫(xiě)出槽內(nèi)矢量位A應(yīng)滿足的微分方程及有關(guān)邊界條件。解：依圖示電流方向，磁矢位A=-kAz。Az為（x,y)的函數(shù)，除（0,b）點(diǎn)外，Az滿足的方程為在直角坐標(biāo)系由于，故鐵中的H=0,邊界條件有在處，，即或在處，，即或在處，由于槽很深，邊緣效應(yīng)忽略，故可認(rèn)為H線和x軸平行，鐵內(nèi)H=0,因而，或，圖5.4.10鐵磁體槽內(nèi)的線電流5.5磁位及其邊值問(wèn)題5.5.1磁位的引出恒定磁場(chǎng)無(wú)電流區(qū)域——標(biāo)量磁位，簡(jiǎn)稱磁位（MagneticPotential），單位：A（安培）。?

磁位僅適合于無(wú)自由電流區(qū)域，且無(wú)物理意義。磁位的特點(diǎn)：

?等磁位面（線）方程為常數(shù)，等磁位面（線）與磁場(chǎng)強(qiáng)度

H線垂直。?的多值性則在恒定磁場(chǎng)中，設(shè)B

點(diǎn)為參考磁位，由安培環(huán)路定律，得推論多值性圖5.5.5磁位與積分路徑的關(guān)系

為了克服多值性，規(guī)定積分路徑不得穿過(guò)從電流回路為周界的

S面（磁屏障面）。這樣，就成為單值函數(shù)，兩點(diǎn)之間的磁壓與積分路徑無(wú)關(guān)。圖5.5.1載流導(dǎo)線

I位于無(wú)限大鐵板上方的磁場(chǎng)分布圖5.5.2線電流

I與線電荷產(chǎn)生的通量線與場(chǎng)線,等磁位線與等電位線的類比圖5.5.4線電流

I位于兩鐵板之間的磁場(chǎng)圖5.5.3線電荷位于兩平行導(dǎo)體間的電場(chǎng)5.5.2磁位的邊值問(wèn)題在直角坐標(biāo)系中2.分界面上的銜接條件推導(dǎo)方法與靜電場(chǎng)類似，由推導(dǎo)得3.的應(yīng)用（適用于無(wú)自由電流區(qū)域）1.微分方程

磁位是否滿足泊松方程?

例5.5.1設(shè)在均勻磁場(chǎng)

H0中放置一半徑分別為和的長(zhǎng)直磁屏蔽管，已知

H0

的方向與管軸垂直，設(shè)磁屏蔽材料的磁導(dǎo)率為，管內(nèi)外媒質(zhì)均為空氣試求磁屏蔽管內(nèi)磁場(chǎng)分布及屏蔽系數(shù)。邊界條件為：解：這是平行平面磁場(chǎng)問(wèn)題。選用圓柱坐標(biāo)系，則圖5.5.6長(zhǎng)直屏蔽管置于均勻磁場(chǎng)中采用分離變量法，利用場(chǎng)的對(duì)稱性及邊界條件（3），得代入其它邊界條件，聯(lián)立求解得磁位

可見(jiàn)，屏蔽管內(nèi)磁場(chǎng)

H1

分布均勻，且與

H0

的方向一致。屏蔽系數(shù)磁場(chǎng)強(qiáng)度圖5.5.7長(zhǎng)直磁場(chǎng)屏蔽管內(nèi)外磁場(chǎng)的分布工程上常采用多層鐵殼磁屏蔽的方法，這主要是可以把進(jìn)入腔內(nèi)的殘余磁場(chǎng)一次又一次地予以屏蔽。磁屛蔽在工程上有廣泛的應(yīng)用。即導(dǎo)磁管的材料越大，K越小，外磁場(chǎng)被屏蔽的程度高。?磁屏蔽與靜電屏蔽有什么不同？它們對(duì)屏蔽的材料各有什么要求？屏蔽系數(shù)即導(dǎo)磁管壁越厚不變，變大，K

越小，屏蔽效能高。?圖5.5.8恒定磁場(chǎng)與恒定電流場(chǎng)的比擬5.5.3磁位、磁矢位

A與電位的比較位函數(shù)比較內(nèi)容引入位函數(shù)的依據(jù)位與場(chǎng)的關(guān)系微分方程位與源的關(guān)系電位磁位磁矢位（A）(有源或無(wú)源）(無(wú)源）(有源或無(wú)源）答：可以。下述兩個(gè)場(chǎng)能進(jìn)行磁電比擬嗎？5.6鏡像法（ImageMethodinStaticMagneticField）聯(lián)立求解，得由得由得

例5.6.1圖示一載流導(dǎo)體

I置于磁導(dǎo)率為的無(wú)限大導(dǎo)板上方

h

處，為求媒質(zhì)1與媒質(zhì)2中的

B

與

H的分布，試確定鏡像電流的大小與位置？解：根據(jù)唯一性定理，在無(wú)效區(qū)放置鏡像電流，用分界面銜接條件確定與。圖5.6.1兩種不同磁介質(zhì)的鏡像

與靜電場(chǎng)鏡像法類比，這里的原因何在？例5.6.2空氣與鐵磁媒質(zhì)的分界面如圖所示，線電流

I

位于空氣中，試求磁場(chǎng)分布。空氣中鐵磁中空氣中

B

線垂直于鐵磁平板，表明鐵磁平板表面是等磁位面。鏡像電流解：圖5.6.2線電流I位于無(wú)限大鐵板上方的鏡像鐵磁中磁感應(yīng)強(qiáng)度

B2=0嗎？例5.6.3若載流導(dǎo)體

I

置于鐵磁物質(zhì)中，此時(shí)磁場(chǎng)分布有什么特點(diǎn)呢？由圖可見(jiàn)，此時(shí)磁場(chǎng)分布有特點(diǎn)：?

對(duì)空氣側(cè)而言，鐵磁表面仍然是一個(gè)等磁位面。空氣中的

B

線與鐵磁表面相垂直（折射定理可以證明之）。?

空氣中的磁場(chǎng)為場(chǎng)域無(wú)鐵磁物質(zhì)情況下的二倍。

鏡像電流解：圖5.6.3線電流I

位于無(wú)限大鐵磁平板中的鏡像5.7電感5.7.1自感在線性各向同性媒質(zhì)中，L

僅與回路的幾何尺寸、媒質(zhì)參數(shù)有關(guān)，與回路的電流無(wú)關(guān)。自感計(jì)算的一般步驟：設(shè)回路的電流與該回路交鏈的磁鏈的比值稱為自感。即單位：H（亨利）

自感又分為內(nèi)自感Li

和外自感

L0

。——內(nèi)自感是導(dǎo)體內(nèi)部?jī)H與部分電流交鏈的磁鏈與回路電流比值?！庾愿惺菍?dǎo)體外部閉合的磁鏈與回路電流的比值。圖5.7.1內(nèi)磁鏈與外磁鏈解：總自感設(shè)安培環(huán)路包圍部分電流

，則有磁鏈中的匝數(shù)，可根據(jù)因此，有內(nèi)自感例5.7.1試求圖示長(zhǎng)為的同軸電纜的自感

L。圖5.7.3同軸電纜內(nèi)導(dǎo)體縱截面穿過(guò)寬度為,長(zhǎng)度為的矩形面積的磁通為圖5.7.2同軸電纜截面1)內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感

工程上視同軸電纜外導(dǎo)體為面分布的電流，故忽略此部分的內(nèi)自感。3）內(nèi)、外導(dǎo)體間的外自感

故總電感為2）外導(dǎo)體內(nèi)自感

例5.7.2設(shè)傳輸線的長(zhǎng)度為,試求圖示兩線傳輸線的自感。解：總自感設(shè)設(shè)總自感為內(nèi)自感解法一解法二圖5.7.4兩線傳輸線的自感計(jì)算5.7.2互感式中，M21

為互感，單位：H（亨利）

互感是研究一個(gè)回路電流在另一個(gè)回路所產(chǎn)生的磁效應(yīng)，它不僅與兩個(gè)回路的幾何尺寸和周圍媒質(zhì)有關(guān)，還和兩個(gè)回路之間的相對(duì)位置有關(guān)。在線性媒質(zhì)中，回路1的電流產(chǎn)生與回路2相交鏈的磁鏈與成正比。同理，回路2對(duì)回路1的互感可表示為可以證明計(jì)算互感的一般步驟：設(shè)圖5.7.5電流I1產(chǎn)生與回路2交鏈的磁鏈例5.7.3試求圖示兩對(duì)傳輸線的互感。解：根據(jù)互感定義，只需假設(shè)一對(duì)傳輸線的電流方向；另一對(duì)傳輸線的回路方向。導(dǎo)線

B

的作用由于這兩個(gè)部分磁通方向相同(H)導(dǎo)線

A的作用圖5.7.6兩對(duì)傳輸線的互感

若回路方向相反，互感會(huì)改變嗎？它反映了什么物理意義？2)鐵板放在兩線圈的下方,互感是增加了,還是減少了？為什么?如何計(jì)算？

圖5.7.7一塊無(wú)限大鐵板置于兩對(duì)線圈的下方3）鐵板插入兩線圈之間后，互感是增加還是減少？為什么？自感是否增加？圖5.7.8一塊無(wú)限大鐵板置于兩線圈之間

圖5.7.9無(wú)感線圈》5.7.3聶以曼公式應(yīng)用磁矢位

A

計(jì)算互感與自感的一般公式。1.求兩導(dǎo)線回路的互感將式（1）代入式（2）得則兩細(xì)導(dǎo)線回路間的互感若回路1、2分別由N1、N2

細(xì)線密繞，互感為設(shè)回路1通以電流I1，則空間任意點(diǎn)的磁矢位為穿過(guò)回路2的磁通為圖5.7.9兩個(gè)細(xì)導(dǎo)線電流回路2.用聶以曼公式計(jì)算回路的外自感外自感

設(shè)導(dǎo)體的半徑

R

遠(yuǎn)小于導(dǎo)線回路的曲率半徑，且認(rèn)為電流均勻分布，則內(nèi)自感總自感電流I在上產(chǎn)生的磁矢位為與交鏈的磁通為設(shè)回路中有電流

I

，總磁通=外磁通+內(nèi)磁通；計(jì)算外磁通時(shí)，可以認(rèn)為電流是集中在導(dǎo)線的軸線上，而磁通則是穿過(guò)外表面輪廓所限定的面積。圖5.7.11單回路的自感5.8磁場(chǎng)能量與力

磁場(chǎng)作為一種特殊的物質(zhì)，和電場(chǎng)一樣具有能量。有專家預(yù)測(cè)，21世紀(jì)將是以磁力（磁能）作為能源代表的時(shí)代。

高溫超導(dǎo)體磁場(chǎng)特性的發(fā)現(xiàn)與利用，使夢(mèng)想中之能源——受控?zé)峋圩?磁流體發(fā)電，太陽(yáng)能衛(wèi)星電站，逐步成為現(xiàn)實(shí)，利用磁能作為驅(qū)動(dòng)力的超導(dǎo)體磁懸浮列車和超導(dǎo)磁動(dòng)力船己向我們馳來(lái)。圖5.8.0超導(dǎo)體磁懸浮列車5.8.1恒定磁場(chǎng)中的能量?

媒質(zhì)為線性；?

磁場(chǎng)建立無(wú)限緩慢（不考慮渦流及輻射）；?

系統(tǒng)能量?jī)H與系統(tǒng)的最終狀態(tài)有關(guān)，與能量的建立過(guò)程無(wú)關(guān)。假設(shè)：磁場(chǎng)能量的推導(dǎo)過(guò)程推廣自有能互有能?

是回路k獨(dú)存在時(shí)的能量，稱為自有能量。自有能量始終大于零。5.8.2磁場(chǎng)能量的分布及磁能密度

磁場(chǎng)能量是在建立回路電流的過(guò)程中形成的，分布于磁場(chǎng)所在的整個(gè)空間中。?與兩回路的電流及互感系數(shù)有關(guān)，稱為互有能。當(dāng)兩個(gè)載流線圈產(chǎn)生的磁通是相互增加的，互有能為正；反之為負(fù)。?對(duì)于單一回路時(shí)，第一項(xiàng)為0上式表明磁能是以磁能密度的形式儲(chǔ)存在整個(gè)場(chǎng)域中。單位：J（焦耳）磁能密度單位：式中為導(dǎo)電媒質(zhì)體積元所占體積，為導(dǎo)電媒質(zhì)的總體積。由矢量恒等式得考慮到磁通可以用磁矢位

A表示，則磁能

Wm可表示為————利用的關(guān)系，例5.8.1長(zhǎng)度為,內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為

R1與

R2

的同軸電纜，通有電流

I

，試求電纜儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量與自感。解：由安培環(huán)路定律，得磁能為自感圖5.8.2同軸電纜截面5.8.3磁場(chǎng)力磁場(chǎng)能量的宏觀效應(yīng)就是載流導(dǎo)體或運(yùn)動(dòng)的電荷在磁場(chǎng)中要受到力的作用。仿照靜電場(chǎng)，磁場(chǎng)力的計(jì)算也有三種方法。1.安培力例5.8.2試求兩塊通有電流I的無(wú)限大平行導(dǎo)板間的相互作用力。B板產(chǎn)生的磁場(chǎng)解：由安培力定律，得A板產(chǎn)生的磁場(chǎng)兩板間的磁場(chǎng)A板受力圖5.8.3兩平行導(dǎo)板間的磁力2.虛位移法（Methodoffalsedisplacement)電源提供的能量=磁場(chǎng)能量的增量+磁場(chǎng)力所做的功?常電流系統(tǒng)?常磁鏈系統(tǒng)

表明外源提供的能量，一半用于增加磁場(chǎng)能量，另一半提供磁場(chǎng)力作功，即假設(shè)系統(tǒng)中

n個(gè)載流回路分別通有電流I1，I2，……In，仿照靜電場(chǎng)，當(dāng)回路僅有一個(gè)廣義坐標(biāo)發(fā)生位移，該系統(tǒng)中發(fā)生的功能過(guò)程是由于各回路磁鏈保持不變，故各回路沒(méi)有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，電源不提供（增加的）能量，即，所以，只有減少磁能來(lái)提供磁場(chǎng)力作功，故有由此得廣義力由此得廣義力?

兩種假設(shè)結(jié)果相同，即?在實(shí)際問(wèn)題中，若求相互作用力，只需求出互有磁能，并以相對(duì)位置為廣義坐標(biāo)，利用上式即可得到相應(yīng)的廣義力。

例5.8.3試求圖示載流平面線圈在均勻磁場(chǎng)中受到的轉(zhuǎn)距。設(shè)線圈中的電流I1，線圈的面積為

S，其法線方向與外磁場(chǎng)

B

的夾角為。解：系統(tǒng)的相互作用能為本例的結(jié)果完全適用于磁偶極子，也是電磁式儀表的工作原理。選為廣義坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)的廣義力是轉(zhuǎn)距，即式中m=IS

為載流回路的磁偶極矩；

表示廣義力（轉(zhuǎn)矩）企圖使廣義坐標(biāo)減小，使該回路包圍盡可能多的磁通。用矢量表示為圖5.8.4外磁場(chǎng)中的電流回路解：設(shè)作用力為F，在這個(gè)力的作用下，試棒沿x方向移動(dòng)dx，則磁場(chǎng)能量變化為

表示磁場(chǎng)對(duì)試棒的作用力為吸力，即

F是從磁導(dǎo)率大的媒質(zhì)指向磁導(dǎo)率小的方向（可與靜電場(chǎng)的情況類比）。圖5.8.5磁路對(duì)磁導(dǎo)率為試棒的作用力例5.8.4試求圖示磁場(chǎng)對(duì)磁導(dǎo)率為的試棒的作用力，試棒的截面積為。要加多大的外力才能將試棒從磁場(chǎng)中拉出？3、法拉弟觀點(diǎn)應(yīng)用法拉弟觀點(diǎn)，有時(shí)能簡(jiǎn)便算出磁場(chǎng)力和分析回路受力情況。例5.8.5試判斷置于鐵板上方載流導(dǎo)體及電磁鐵的受力情況。按照法拉弟觀點(diǎn)，沿磁感應(yīng)線作通量管，沿其軸向方向受到縱張力，同時(shí)在垂直方向受到側(cè)壓力。其量值都等于單位：N/m2圖5.8.6載流導(dǎo)體位于鐵板上方圖5.8.7電磁鐵5.9磁路5.9.1磁路的基本概念

利用鐵磁物質(zhì)制成一定形狀的回路（可包括氣隙），其周圍繞有線圈，使磁通主要集中在回路中，該回路稱為磁路。（a）變壓器（b）接觸器（c）繼電器（d）四極電機(jī)（e）永磁式電磁儀表圖5.9.1幾種常見(jiàn)的磁路磁勢(shì)Fm=Ni磁壓Um單位：A（安）或At（安匝）單位：A（安）2.磁路的基爾霍夫定律即磁路的基爾霍夫第二定律——安培環(huán)路定律如圖參考方向下，磁路的基爾霍夫第一定律——磁通連續(xù)性原理1.磁路的基本物理量Um

的方向與H方向一致Fm

的方向與方向符合右手螺旋定則設(shè)磁通參考方向（即H的參考方向）,若電流與H方向呈右手定則，F(xiàn)m取正，否則取負(fù)。

基本物理量：磁通、磁勢(shì)Fm、磁壓Um、磁感應(yīng)強(qiáng)度B、磁場(chǎng)強(qiáng)度H。(電路中的物理量:電流I、元件電壓U、電源Us

)圖5.9.2磁路定律例圖3.磁路的歐姆定律設(shè)一磁路段如圖和——磁阻，單位1/H（1/亨）

磁阻的大小取決于磁路幾何尺寸、媒質(zhì)性質(zhì)為常數(shù)時(shí)，稱為線性磁路，否則稱為非線性磁路。5.9.2線性磁路的計(jì)算（無(wú)分支、均勻分支、不均勻分支磁路）

例

5.9.1

已知磁路的，截面積若要求在磁路中產(chǎn)生磁通

，問(wèn)需要在線圈中通入多大的電流I，并求氣隙的磁壓Umo。解：思路：求磁阻磁勢(shì)電流磁壓圖5.9.3磁阻計(jì)算圖5.9.4磁壓計(jì)算側(cè)柱根據(jù)磁路對(duì)稱性由安培環(huán)路定律

解法二

磁路是對(duì)稱的，取其一半，則解法一

思路：求

例5.9.2有一對(duì)稱磁路，中間柱截面積為兩側(cè)柱截面積，

求側(cè)柱的磁通。中間柱磁阻磁勢(shì)側(cè)柱磁通wb側(cè)柱磁通

wb圖5.9.5磁通計(jì)算解：思路及步驟：

?根據(jù)尺寸求出各磁路段長(zhǎng)度及磁阻;?

設(shè)磁通方向如圖所示;?

?

?

?

?

（閉合環(huán)路）;

例5.9.3磁路結(jié)構(gòu)如圖所示，已知?dú)庀吨械拇磐椋€圈匝數(shù)為N，鐵心材料磁導(dǎo)率為，截面積為S，試求電流I。?

圖5.9.6磁路計(jì)算5.9.3鐵磁質(zhì)的磁特性1.兩種最基本的特性曲線

磁滯回線：鐵磁質(zhì)反復(fù)磁化時(shí)