大學物理第五章剛體的定軸轉動

本章題頭LwIw第五章rigidbodyrotationwithafixedaxislawofconservationofangularmomentumchapter5剛體的定軸轉動內(nèi)容提要本章內(nèi)容Contentschapter5剛體的定軸轉動rotationofrigid-bodywithafixedaxis剛體作定軸轉動時的功能關系relationofworkwithenergyinrotationofrigid-body角動量與角動量守恒angularmomentumandlawofconservationofangularmomentum剛體的角動量守恒lawofconservationofangularmomentumofrigid-body教學基本要求

一

理解描寫剛體定軸轉動的物理量，并掌握角量與線量的關系.

二

理解力矩和轉動慣量概念，掌握剛體繞定軸轉動的轉動定理.

三

理解角動量概念，掌握質點在平面內(nèi)運動以及剛體繞定軸轉動情況下的角動量守恒問題.

能運用以上規(guī)律分析和解決包括質點和剛體的簡單系統(tǒng)的力學問題.

四理解剛體定軸轉動的轉動動能概念，能在有剛體繞定軸轉動的問題中正確地應用機械能守恒定律第一節(jié)角動量與角動量守恒定律剛體定軸轉動的描述5-1ssssrotationofrigid-bodywithafixedaxis剛體及其平動rigidbodyanditstranslation剛體及其平動剛體及其平動形狀固定的質點系（含無數(shù)剛體質點、不形變、理想體。）rigidbody平動

剛體任意兩點的連線保持方向不變。各點的

相同，可當作質點處理。rrvatranslation剛體定軸轉動rigidbodyrotationwithafixedaxis剛體定軸轉動剛體定軸轉動剛體的定軸轉動

剛體每點繞同一軸線作圓周運動，且該轉軸空間位置及方向不變。OO定軸轉動參量剛體定軸轉動的運動方程qq()t,wdq轉動方向用矢量表示或時，它們與剛體的轉動方向采用右螺旋定則wdq1.角位置q描述剛體定軸轉動的物理量描述剛體（上某點）的位置2.角位移qr描述剛體轉過的大小和方向rt0rqdq,dq,剛體轉軸轉動平面（包含p并與轉軸垂直）(t)參考方向Xpp剛體中任一點pOOrqqqrqrpp(t+△t)w3.角速度wtdqwdw0靜止w常量勻角速w變角速描述剛體轉動的快慢和方向，常量是轉動狀態(tài)量。剛體定軸轉動的運動方程qq()t,wdq轉動方向用矢量表示或時，它們與剛體的轉動方向采用右螺旋定則wdq1.角位置q描述剛體定軸轉動的物理量描述剛體（上某點）的位置2.角位移qr描述剛體轉過的大小和方向rt0rqdq,dq,剛體轉軸轉動平面（包含p并與轉軸垂直）(t)參考方向Xpp剛體中任一點pOOrqqqrqrpp(t+△t)w3.角速度wtdqwdw0靜止w常量勻角速w變角速描述剛體轉動的快慢和方向，常量是轉動狀態(tài)量。續(xù)參量描述剛體轉動狀態(tài)改變4.角加速度b的快慢和改變的方向tddwbtddq22常量b勻角加速b0勻角速變角加速b()tb常量因剛體上任意兩點的距離不變，故剛體上各點的相同。wb,OO定軸轉動的只有wdq,同和反兩個方向，故OOwdq,,b也可用標量wdq,,b中的正和負表方向代替矢量。線量與角量的關系例bw定軸轉動剛體在某時刻t

的瞬時角速度為，瞬時角加速度為，已知求剛體中一質點P至轉軸的距離為r質點P

的大小rPPrOOw

瞬時線速度v瞬時切向加速度atna瞬時法向加速度()batdtdvdtdrwrvdstdqdrtdwrnavr2(wr)2rrw2這是定軸轉動中線量與角量的基本關系qdqddsds解法提要dsqdr公式對比質點直線運動或剛體平動剛體的定軸轉動速度角速度加速度角加速度位移角位移vrx1t2x()tx()r1t2()t()qqqwddtwddtqabddtvddt勻速直線運動ssvt勻角速定軸轉動qwt勻變速直線運動勻變角速定軸轉動s021+vt2atqw0+t21b2t2vv022asw2w022bqvv0+atww0+bt隨堂練習隨堂練習已知一質點作圓周運動半徑

R

=0.1m其運動學方程為

θ=2+4t3

(SI)

求t

=2s時，質點的切向加速度法向加速度τana解法提要關鍵是設法求線速率v((t若由,τavdtdnaR2v關鍵是設法求角速率((tw若由RaτwR2nadtdw,本題很易求wdtdqwdtd((+3t2412tt=248(rad·s-1)2bdtdwdtd(12t(224tt=248(rad·s-2)aRτdtdwbR4.8(m·s-2)nawR2230.4(m·s-2)第二節(jié)角動量角動量守恒定律角動量轉動慣量角動量守恒定律5-2ssssangularmomentumandlawofconservationofangularmomentum第二節(jié)一、角動量angularmomentumrqOmv速度位矢質量角夾rv大量天文觀測表明rqmvsin常量大?。篖rqmvsin方向：rmv()rvLq定義：rpLrmv運動質點mO對

點的角動量為角動量與角動量守恒定律角動量與角動量守恒定律Angularmomentumandlawofconservationofangularmomentum問題的提出二、質點的角動量定理及其守恒定律theoremofparticalangularmomentumanditsconservation地球上的單擺OmqvrLmvr大小會變L變太陽系中的行星OrvmqsinqLmvr大小未必會變。靠什么判斷？L變變變Lvrmsin大小Lmvrq質點對的角動量mO問題的提出質點角動量定理導致角動量隨時間變化的根本原因是什么？LddtL思路：分析與什么有關+()由Lvrm則ddtLddtrvmddtrvmrddt(vm)0vmv(兩平行矢量的叉乘積為零)mdvdtmaF得ddtLrF角動量的時間變化率質點對參考點的mO位置矢量ddtLr所受的合外力F等于叉乘質點的角動量定理微分形式ddtLrF是力矩的矢量表達：rF而OrFmd即力矩rFM大小MFrsin方向垂直于rF所決定的平面，由右螺旋法則定指向。Fdqq得質點對給定參考點的mOddtLrFM角動量的時間變化率所受的合外力矩稱為質點的角動量定理

的微分形式

如果各分力與O點共面，力矩只含正、反兩種方向?？稍O順時針為正向，用代數(shù)法求合力矩。積分形式質點的角動量定理也可用積分形式表達ddtLM由,dLMdt0ttdLMdtL0LLL0稱為沖量矩角動量的增量這就是質點的角動量定理

的積分形式例如，單擺的角動量大小為L=

mvr,v為變量。

在t=0時從水平位置靜止釋放，初角動量大小為L0=mv0r=0；時刻t

下擺至鉛垂位置，

角動量大小為L⊥

=

mv⊥r。則此過程單擺所受的沖量矩大小等于

L-L0=mv⊥r=

mr2gr。歸納歸納質點的角動量定理ddtLrFM角動量的時間變化率所受的合外力矩0ttdLMdtL0LLL0沖量矩角動量的增量微分形式積分形式特例：當M0時，有LL00即LL0物理意義：當質點不受外力矩或合外力矩為零（如有心力作用）時，質點的角動量前后不改變。（后面再以定律的形式表述這一重要結論）質點角動量守恒質點的角動量守恒定律ddtLM根據(jù)質點的角動量定理

rFM()若MrF0則ddtL0即L常矢量當質點所受的合外力對某參考點的力矩OmM為零時，質點對該點的角動量的時間變化率為ddtLL零，即質點對該點的角動量守恒。質點的角動量守恒定律質點的角動量守恒定律稱為若質點所受的合外力的方向始終通過參考點，其角動量守恒。如行星繞太陽運動，以及微觀粒子中與此類似的運動模型，服從角動量守恒定律。開普勒第二定律應用質點的角動量守恒定律可以證明開普勒第二定律行星與太陽的連線在相同時間內(nèi)掃過相等的面積定律證明證：時刻m對O的角動量大小為tLrvmddtrrmsinqrmddtsmddtsh2mAddt即LAddt2m因行星受的合外力總指向是太陽，角動量守恒。hmsdOrdr+dtt()t)(r+drqAd21Addrh21sdhdt瞬間位矢掃過的微面積L則LAddt2m常量（稱為掠面速率）故，位矢在相同時間內(nèi)掃過的面積相等質點系角動量三、質點系的角動量定理theoremofangularmomentumofparticalsystem質點系的角動量質點系的角動量LSiLirSiimivi各質點對給定參考點的角動量的矢量和慣性系中某給定參考點m12m3mr13r2r3v2vv1O質點系角動量定理質點系的角動量定理LSiLiSirimivi將對時間求導ddtL(SiLiSiddtrimividdt+rimividdt(Si0+FiSivimivi+miiariri內(nèi)力矩在求矢量和時成對相消Om12mF1F1內(nèi)F2內(nèi)外F2外r12rd某給定參考點Si+iF內(nèi)外Fi外ririSiMi內(nèi)+SiMiSiMi外得ddtLSiMi外M質點系的角動量的時間變化率質點受外力矩的矢量和質點系的角動量定理稱為微分形式微、積分形式質點系的角動量定理LSiLiSirimivi將對時間求導ddtL(SiLiSiddtrimividdt+rimividdt(Si0+FiSivimivi+miiariri內(nèi)力矩在求矢量和時成對相消Om12mF1F1內(nèi)F2內(nèi)外F2外r12rd某給定參考點Si+iF內(nèi)外Fi外ririSiMi內(nèi)+SiMiSiMi外得ddtLSiMi外M質點系的角動量的時間變化率質點受外力矩的矢量和質點系的角動量定理稱為微分形式ddtLSiMi外M質點系的角動量的時間變化率質點受外力矩的矢量和質點系的角動量定理的微分形式質點系所受的0tdtMtdLLL0LL0質點系的沖量矩角動量增量質點系的角動量定理的積分形式

若各質點的速度或所受外力與參考點共面，則其角動量或力矩只含正反兩種方向，可設順時針為正向，用代數(shù)和代替矢量和。質點系角動量守恒質點系的角動量守恒定律0tdtMtdLLL0LL0ddtLSiMi外M由若,M0則LL0或L恒矢量當質點系所受的合外力矩為零時，其角動量守恒。隨堂小議結束選擇（1）（2）（3）（4）兩人同時到達；用力上爬者先到；握繩不動者先到；以上結果都不對。（請點擊你要選擇的項目）兩人質量相等O一人握繩不動一人用力上爬隨堂小議可能出現(xiàn)的情況是終點線終點線滑輪質量既忽略輪繩摩擦又忽略小議鏈接1（請點擊你要選擇的項目）兩人質量相等O一人握繩不動一人用力上爬隨堂小議可能出現(xiàn)的情況是終點線終點線滑輪質量既忽略輪繩摩擦又忽略結束選擇（1）（2）（3）（4）兩人同時到達；用力上爬者先到；握繩不動者先到；以上結果都不對。小議鏈接2（請點擊你要選擇的項目）兩人質量相等O一人握繩不動一人用力上爬隨堂小議可能出現(xiàn)的情況是終點線終點線滑輪質量既忽略輪繩摩擦又忽略結束選擇（1）（2）（3）（4）兩人同時到達；用力上爬者先到；握繩不動者先到；以上結果都不對。小議鏈接3（請點擊你要選擇的項目）兩人質量相等O一人握繩不動一人用力上爬隨堂小議可能出現(xiàn)的情況是終點線終點線滑輪質量既忽略輪繩摩擦又忽略結束選擇（1）（2）（3）（4）兩人同時到達；用力上爬者先到；握繩不動者先到；以上結果都不對。小議鏈接4（請點擊你要選擇的項目）兩人質量相等O一人握繩不動一人用力上爬隨堂小議可能出現(xiàn)的情況是終點線終點線滑輪質量既忽略輪繩摩擦又忽略結束選擇（1）（2）（3）（4）兩人同時到達；用力上爬者先到；握繩不動者先到；以上結果都不對。小議分析Om12mv12vR同高從靜態(tài)開始往上爬忽略輪、繩質量及軸摩擦質點系m12m,若m12m系統(tǒng)受合外力矩為零，角動量守恒。系統(tǒng)的初態(tài)角動量系統(tǒng)的末態(tài)角動量m1v1R2m2vR0得2vv1不論體力強弱，兩人等速上升。若m12m系統(tǒng)受合外力矩不為零，角動量不守恒?？蓱觅|點系角動量定理進行具體分析討論。轉動慣量剛體的轉動慣量物理意義：轉動慣性的量度.質量離散分布剛體的轉動慣量轉動慣性的計算方法質量連續(xù)分布剛體的轉動慣量：質量元轉動慣量

對質量線分布的剛體：：質量線密度

對質量面分布的剛體：：質量面密度

對質量體分布的剛體：：質量體密度：質量元質量連續(xù)分布剛體的轉動慣量分立質點的算例轉動慣量的計算舉例可視為分立質點結構的剛體m12m轉軸Or1r2

若連接兩小球（視為質點）的輕細硬桿的質量可以忽略，則Irmiriri2∑m1r12+2mr22轉軸O2mm1601l2lIrmiriri2∑+2mm121l(sin60)2(sin60)2l0.75(m11l2+2m2l2)直棒算例質量連續(xù)分布的剛體勻直細桿對中垂軸的ILmOdmrdrI2rdmL2L22rmLdr3mL1r3L2L2211mL2勻直細桿對端垂軸的ILmOdmrdrI2rdmL2rmLdr0mL31r3L031mL22IOIC+mrmCO質心新軸質心軸r,L平行移軸定理對新軸的轉動慣量IO對質心軸的轉動慣量ICr新軸對心軸的平移量例如：rL2時代入可得I端31mL2圓盤算例勻質薄圓盤對心垂軸的I取半徑為微寬為的窄環(huán)帶的質量為質元rdrdm2dmmpR2pdrr2mRdr2rOrdrRmdmdm3I2rdm0R2r2mRdr2r2mRdr20Rr2mR24r40R21R2m球體算例勻質實心球對心軸的ImORrryyddmdm2rR2y2rRp343m可看成是許多半徑不同的共軸薄圓盤的轉動慣量的迭加Id距為、半徑為、微厚為Oyydr的薄圓盤的轉動慣量為dmrdVpr2ryd2rdmId21其中IId212rpr2ryd21prr4ydRR2y2()yd221prR158prR5225mR()常用結果LRmm勻質薄圓盤勻質細直棒轉軸通過中心垂直盤面22I=m

R123I=m

L1轉軸通過端點與棒垂直其它典型RRRR12RRLba勻質矩形薄板轉軸通過中心垂直板面I

=(a

+

b)22m12勻質細圓環(huán)轉軸通過中心垂直環(huán)面I

=

m

R

2勻質細圓環(huán)轉軸沿著環(huán)的直徑2I

=2m

R勻質厚圓筒轉軸沿幾何軸I

=(R1

+

R2

)22m2勻質圓柱體轉軸通過中心垂直于幾何軸mI

=

R

+

22m124L勻質薄球殼轉軸通過球心2I

=2m

R3第三節(jié)剛體定軸轉動定律剛體定軸轉動定律5-3ssssangularmomentumandlawofconservationofangularmomentum剛體轉動定律引言剛體的轉動定律剛體的轉動定律質點的運動定律或剛體平動F

=

m

a慣性質量合外力合加速度若剛體作定軸轉動，服從怎樣的運動定律主要概念使剛體產(chǎn)生轉動效果的合外力矩剛體的轉動定律剛體的轉動慣量合外力矩外力在轉動平面上對轉軸的力矩使剛體發(fā)生轉動M

=

r

×

F111力矩切向1FtFrM叉乘右螺旋1M2MM

=

r

×

F222M

=

r

F

sinj222大小2r2=2Ftd2=2F1M2M合外力矩=M+d22F大小M=d11F=r22Ftr11Ftr1=1FtM

=

r

F

sinj111大小1d1=1Fj1d1r1F1P1OF2r22FtP2j2d2切向一、外力矩與合外力矩方向轉動定律某質元rmirmifi受內(nèi)力受外力FiFi+f=rmirmiaii其法向n分量均通過轉軸，不產(chǎn)生轉動力矩。t其切向投影式為ijFisin+ifsinqit=rmirmiai=rmirmiribtnrmirmiFiOrifiijqi瞬時角速度w角加速度瞬時b等式兩邊乘以ri并對所有質元及其所受力矩求和=內(nèi)力矩成對抵消=0+riifsinqi∑iFijsin∑ri合外力矩Mbrrmirmii∑2()得Mbrrmirmii∑2()=二、剛體的轉動定律轉動定律例題一三、轉動定律應用選例bIM合外力矩應由各分力矩進行合成。合外力矩與合角加速度方向一致。bM在定軸轉動中，可先設一個正軸向（或繞向），若分力矩與此向相同則為正，反之為復。MMb與時刻對應，何時何時b則何時，M00b則何時M恒定恒定。例

勻直細桿一端為軸水平靜止釋放OLm,qmgMmgL21qcos,m2I31LbMI23Lgqcos2pq,q0,bMmgL21,23LgM0,b0轉動定律例題二例已知求T1T2a（以后各例同）Rm1m2m輪軸無摩擦輕繩不伸長輪繩不打滑解法提要T2T1G1G2T2T1aabT1–m1

g=

m1am2

g–

T2=

m2a(

T2

–

T1)

R=Ib

a=RbI=mR22轉動平動線-角聯(lián)立解得a=m1m1+m2+

gm2m21gT1=m1(g+a)T2=m2(g–a)m1gm2g如果考慮有轉動摩擦力矩

Mr

,則轉動式為(

T2

–

T1)

R

–

Mr=Ib再聯(lián)立求解。轉動定律例題三例Rm1m細繩纏繞輪緣Rm（A）（B）恒力F滑輪角加速度b細繩線加速度a求解法提要（A）bMIFR21mR22FmRabR2Fm（B）bIRT21mR2bam1gTm1m1Rbbm121mm1+()RgabRm121mm1+()g轉動定律例題四Rm1m2m例已知m=5kgm2=1kgm1=3kgR=0.1mT2T1T1T2G1G2baa解法提要對m1m2m分別應用和質點運動和剛體轉動定律m1

g–T1=

m1aT2–

m2

g=

m2a(

T1

–

T2)

R=Ib及

a=RbI=mR221得b

=(m1-m2)gR(m1+m2+m2)常量qdqt00dtw(m1-m2)gR(m1+m2+m2)0ttdtwtb故tdqdwqdwtd由,qt(m1-m2)gR(m1+m2+m2)222

(rad)gt求()tqq物體從靜止開始運動時，滑輪的轉動方程第四節(jié)剛體定軸轉動的功能關系剛體轉動中的功和能5-4ssssrelationofworkwithenergyinrotationofrigid-body第四節(jié)wOviviririrmirmi∑剛體中任一質元的速率rmirmiviviririw該質元的動能Erik21rmivi221rmiririw22對所有質元的動能求和EkErik21rmiriri2w2()∑轉動慣量

IEk21Iw2得剛體轉動動能公式一、轉動動能剛體定軸轉動的功能關系剛體定軸轉動的功能關系Relationofworkwithenergyinrotationofrigid-body力矩的功二、力矩的功和功率OqdjPrrdtF力

的元功FdAFrdcosFrd2pj()FrdrdsinjFrsinjqdMqddAMqd力對轉動剛體所作的功用力矩的功來計算若在某變力矩的作用下，剛體由轉到，q12qMM作的總功為dAAq12qMqd力矩的瞬時功率NAddtwMqddtM力矩的功算例求撥動圓盤轉一周，摩擦阻力矩的功的大小RrOrdmmd2p()解法提要總摩擦力矩是Mrr各微環(huán)帶摩擦元力矩的積分Mrd環(huán)帶面積dsdr環(huán)帶質量dmpr2dmdsd環(huán)帶受摩擦力gmmdmfdr環(huán)帶受摩擦力矩Mrdfdrr2mmgR2r2dr圓盤受總摩擦力矩MrMrd轉一周摩擦力矩的總功A0p2Mrdq0R2mmgR2r2drA0p2Mrdq0p2dq34pmmgR得例已知粗糙水平面mmmRO轉軸d平放一圓盤剛體的動能定理三、剛體轉動的動能定理回憶質點的動能定理mA21v21mv202剛體轉動的動能定理？由

力矩的元功dAqdM轉動定律bIMdAbIqdIwdtdqdIqdtdwdIwwd則AdAqdMq0qw0wIwwd2121202IwIw合外力矩的功轉動動能的增量剛體轉動的動能定理稱為動能定理例題一例R1mqO2m勻質圓盤盤緣另固連一質點水平靜止釋放通過盤心垂直盤面的水平軸求圓盤下擺時質點的03q2m角速度wat、切向、法向加速度na的大小解法提要對1m2m系統(tǒng)外力矩的功系統(tǒng)轉動動能增量w2I21m1其中I212R+m22RR2msing03得w2m2g()+m12m2R由轉動定律得bIMcosR2mg03I32mg()+m12m2R則atbR32mg+m12m2,Rnaw22m2g+m12m2動能定理例題二解法提要外力矩作的總功gmA02pL2qdcosq從水平擺至垂直由Aw212I0w212I得w2AI代入得wgmL2LmI231本題gL3利用vrw的關系還可算出此時桿上各點的線速度已知例水平位置靜止釋放求擺至垂直位置時桿的wGqw00wgmO？Lm,()勻直細桿一端為軸動能定理例題三解法提要Lgm392段，外力矩作正功aA2qdcos02paqa段，外力矩作負功b2Aqdcos02pqLgm132bb41A∑AiLgm合外力矩的功aGbG從水平擺至垂直由Aw212I0w212I得w2AI轉軸對質心軸的位移

L4rIIc+mr2Lm2487代入得w247gL已知例求擺至垂直位置時桿的wabL1434LbGaGqw00w14gm34gmO水平位置靜止釋放含平動的轉動問題四、含的功能原理質點平動剛體定軸轉動+rE機械A外力A非保守內(nèi)力矩力力矩(E動+)E勢(E動+)E勢00()E平動+E轉動()E+E00平動轉動系統(tǒng)（輪、繩、重物、地球）左例忽略摩擦A外力力矩0,A非保守內(nèi)力矩力0E平動E轉動E勢,,,E0平動E0轉動E勢0,,I++m1v212ghm121w200gm1h0可求a,v,b,w或()hh0此外RmI212,av22()hh0,vwRabR,00勢ghhv00vawbOm1m1mR剛體的角動量剛體的角動量定軸轉動剛體的角動量定軸轉動剛體的角動量是無數(shù)質點對公共轉軸的角動量的疊加

所有質點都以其垂軸距離為半徑作圓周運動任一質元（視為質點）的質量mri其角動量大小Limriviriw2mririvimriOriwviriw全部質元的總角動量L∑Liw∑2mriri()wI對質量連續(xù)分布的剛體L∑LiwwIm2r()dLwI定軸轉動剛體的角動量大小方向L與同繞向wLw或與沿軸同指向角動量剛體的角動量定理wbML1.剛體的角動量定理IItdd()dtdtddIw合外力矩角動量的時間變化率（微分形式）（積分形式）L112d2121dt2ttMLLLLIwIw沖量矩角動量的增量剛體的角動量定理剛體的角動量定理回憶質點的角動量定理（微分形式）（積分形式）0ttdLMdtL0LLL0ddtLrFM剛體系統(tǒng)的角動量定理2.剛體系統(tǒng)的角動量定理若一個系統(tǒng)包含多個共軸剛體或平動物體系統(tǒng)的總合外力矩∑MiLtdd∑i系統(tǒng)的總角動量的變化率1dt2ttM系統(tǒng)的總沖量矩系統(tǒng)的總角動量增量∑()1LLii2系統(tǒng)：輕繩mm1（忽略質量）總合外力矩對O的角動量mm1對O的角動量gm1RLmLm1Iw21mR2wm1vRmR2w∑Mi∑MiLtdd∑i由得gm1Rtdd同向(21mR2w+mR2w)21m(m1+)R2wtddwtddb而解得bgm121m(m1+)R例如wOvm1gm1mRR靜止釋放b求角加速度主要公式歸納剛體MLtdd（微分形式）（積分形式）剛體系統(tǒng)角動量定理∑MiLtdd∑i1dt2ttM∑()1LLii21dt2ttM1LL2剛體的歸納：IwL角動量關鍵式：IwLMLtdd是矢量式IwLMLtdd與質點平動對比mvpFtddp剛體的角動量守恒定律剛體的角動量守恒定律剛體的角動量守恒定律剛體的角動量定理由MLtdd剛體所受合外力矩M0若則Ltdd0即LIw常矢量

當剛體所受的合外力矩等于零時，MIw

剛體的角動量保持不變。剛體的角動量守恒定律