98用空間向量求角和距離microsoft word 文檔

9.8用空間向量求角和距離一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo)1?了解空間向量的概念；會建立坐標(biāo)系，并用坐標(biāo)來表示向量;2.理解空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算；會用向量工具求空間的角和距離二，建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)1.求角：直線和直線所成的角：求二直線上的向量的夾角或補(bǔ)角;直線和平面所成的角：找出射影，求線線角；求出平面的法向量〃，直線的方向向量。，設(shè)線面角為n?a.們則sind=1cos<n,a>1=1 I.InI?IaI二面角： --求平面角，或求分別在兩個面內(nèi)與棱垂直的兩個向量的夾角(或補(bǔ)角);求兩個法向量的夾角(或補(bǔ)角)?2.求距離(1)點M到面的距離d=IMNIcos0(如圖)就是斜線段MN在法向量n方向上的正投影.由n?NM=InI?INMI?cos0=mi?d得距離公式：d得距離公式：d_In?NMIJInI線面距離、面面距離都K是求一點到平面的距離；異面直線的距離「求出與二直線都垂直的法向量n和連接兩異面直線上兩點的向量NM，再代上面距離公式.三、雙基題目練練手 一

1.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點P(x,y,z),下列敘述中正確的個數(shù)是()點P關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)是P(x,—y,z)點P關(guān)于yOz平面對稱點的坐標(biāo)是P2(x,—y,—z)點P關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)是P3(x,—y,z)點P關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是P((—x,—y,—z)TOC\o"1-5"\h\zA.3B.2 C.1 D.02?直三棱柱ABC—ABC,ZBCA=90°,D、F分別是AB、AC的中點，iii ii iiiiBC=CA=CC,,則BD盧AFi所成角的余弦值是 ( )A?230 B.1 C?￡30D.五10 2 15 10已知向量a=(i,i,0),b=(—i,0,2),且ka+b與2a—b互相垂直，則k=已知A(3,2,i)、B(i,0,4)，則線段AB的中點坐標(biāo)和長度分別是 ,.?答案提示i.C；2.A；3.7；54.(2,i,5),dAB=12四、以典例題做一做中，AD=AAi=i,AB=2，點【例i】(2005江西)如圖，在長方體ABCD—ABCD,,E在棱AB上移動.(i)證明：D中，AD=AAi=i,AB=2，點當(dāng)E為AB的中點時，求點E到面ACD］的距離；兀AE等于何值時，二面角D—EC—D的大小為-.解：以D為坐標(biāo)原點，直線DA,DC,DDi分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x,則Ai(i,0,i),Di(0,0,i),E軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x,(i,0,0)C(0,2,0)因為DA】?DE=(1,0,1)?(1x,-1)=0,所以D?1DE.因為E為AB的中點，則E(i,i,0)：從而D]E*,小AC=(-1,2,0),AD]=(*1):—'設(shè)平面ACQ的法向量為％則乃不與y軸垂直，可設(shè)n=(a,1,c),^ijJ〃?AC=°，i_ —■■n?AD1=0,-

也即］t~也即］t~a+2=0,得ra=2，從而n=(2,1,2),-a+c=0???點E到平面ADC的距離: FTh=ID^.nl=2+1-2=1=InI= 3 =3CE=(頃-2,0),DC=(0,2,-1),DD1=(0,0,1),設(shè)平面DEC的法向量n=(a,1,c),n=(2-x,1,2).由rn?D1C=0,n?CE=0,n=(2-x,1,2).依題意H生=1n?DD「玉__〃2 =逝.4InI-1DD112 J(x—2)2+5 2....％=2+*3C不合，舍去)，x2=2-伊.兀???AE=2-43時，二面角D—EC—D的大小為-【例2】(2005全國)已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB〃DC,/DAB=90,PA1底面ABCD,且PA=AD=DC=1AB=1,M是PB的中點。2(I)(II)(III)證明：面(I)(II)(III)求AC與PB所成的角；求面AMC與面BMC所成二面角的大小.(I)證明：因為PALPD,PALAB,ADIAB，以A為坐標(biāo)原點AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點坐標(biāo)為A(0,0,0)B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,2)(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,

AP=(0,0,1),DC=(0,1,0),故AP-DC=0,所以AP1DC.又由題設(shè)知AD±DC,且AP與與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得DC±面PAD~ 、 一一乂DC在面PCD上，故面PAD±面PCD(II)解：因AC=(1,1,0),PB=(0,2,—1),故IAC1=柄,1PB1=\E,AC-PB=2,AC-PB 而二cos<AC,PB>= = .IACId^BH5由此得AC與PB所成的角為arccos出.5(III)解：設(shè)平面ACM的法向量為n=(x,y,1),由〃垂直于AC,AM=。中得：n=(-2,2,1)設(shè)平面BCM的法向量為m=(x,y,1)同上得1 1 1m=(—,—二J)??cos<m,n>=—2 2 3結(jié)合圖形可得二面角A結(jié)合圖形可得二面角A-MC-B為1兀一arccos-3解法2：在MC上取一點N(x,y,z),則存在*R,使NC=XMC,NC=(1-x,1-y,-z),MC=(1,0,-JJ^x=1一人,y=1,z=2人…TOC\o"1-5"\h\z要使AN1MC,只需AN?MC=0即x—1z=0,解得X=4.2 51 2 1 2可知當(dāng)X=一時,N點坐標(biāo)為!=,1,一),能使AN?MC=0.此時,AN=(一,1,一),5 5 5 512BN=(―,—1,一),有BN?MC=05 5 —> —由AN?MC=0,BN?MC=。書:AN1MC,BN1MC.所以/ANB為所求二面角的平面角.

有0 <30 4IAN有0 <30 4IANl=^^,lBN1=-^,AN-BN=-5.Acos(AN,BN)AN-BN_2IANI-1BNI32故所求的一面角為arccoqA 一,―, ―?―'3 ?,【例3】如圖，AFDE分別是①。。。1的直徑AD與兩圓所在的平面均垂直，AD=8,BC是。。的直徑，AB=AC=6,OE//AD（I） 求直線BD與EF所成的角；（II） 求異而直線BD和EF之間的距離.解：（I）以O(shè)為原點,BCAFOE所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），則O(0,0,0),A(0,_3,，0),B(3、2，0,0),D(0,_3,，8),E(0,0,8),F(0,3/,0)所以，BD=(-3&—3偵2,8),FE=(0,—3^2,8)cos<BDcos<BD,EF〉=BD■FEIBDIIFEI0*+64忑v100x囪—10設(shè)異面直線BDWEF所成角為a,則cosa=IcosvBD,EF〉I=———10直線BD與EF所成的角為arccos業(yè)arccos10（II）設(shè)向量n=（兀y,z）與BD、EF都垂直，則有-3巨x-3顯y+8z=00-3顯y+8z=0x=0,取y=8,得z=3偵'2,n=（0,8,3寸2）BD、EF之間的距離rIn?DEI 8x3\「a 24.71d= =? _= InI <82+(3、'2)2 41五/提煉總結(jié)以為師求線線角、線面角、二面角的方法：求點面距離，線面距離、面面距離及異面直線的距離的方法:同步練習(xí)9.8同步練習(xí)9.8用空間向量求角和距離【選擇題】1.設(shè)OABC是四面體，q是△ABC的重心，G1.設(shè)OABC是四面體，q是△ABC的重心，G是OGy上一點，且OG=3GG,,若OG()=xOA+JOB+zOC，則(x,y,z)為A(1,1,1)B(3,3,3)44444 4,111、,2 22C(—，—,)D(—,—,-)33333311在正方體A—C1中，E、F分別為DC與AB的中點2.的角為則AB^與截面AECF所成) 1211A.arctan、2B.arccos—2C.arcsin3D.都不對(【填空題】3.已知空間三點A3.已知空間三點A(1,1,1)、B(—16的大小是.4.二面角a—l—的平面角為120°,A、BEl,ACua,BDu6,AC±l,BD±l,若AB=AC=BD=l，則CD的長為0,4)、C(2—2,3),則A6與CA的夾角?答案提示：1.A; 2.A;3.120°;4.2【解答題】設(shè)A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7)，D(—5,—4,8),求D到平面ABC的距離.解：.「A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(—5,—4,8),「?AD=(-7,-7,7);設(shè)平面ABC設(shè)平面ABC的法向量n=(x,j,z)，則n?AB=0,n?AC=0，Ux,y,乙)-(2,-2,1)=0,[(x,y,z)-(4,0,6)=0,3x=--z,2y=-z.令z=—2,則n=(3,2,—2)由點到平面的距離公式:AD-n 13x(-7)+2x(-7)-2x71二迫二49J17d-InI- %32+22+(-2)2 S17..?點D到平面ABC的距離為49國7._ 17(2004浙江文)如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=3,AF=1,M是線段EF的中點.求證AM〃平面BDE；求證AM±平面BDF；求二面角A-DF-B的大??；解：(I)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)ACBD=N，連接NE,則點N、E的坐標(biāo)分別是(言2,^2。、(0,0,1)，, —(偵2 42..NE-(— , ,1)，22又點A、M的坐標(biāo)分別是(t2,t'2,0)、(工&2，2?.?AM-(-衛(wèi),-急,1)2 2?.?NE--AM且NE與AM不共線，：.NE〃AM.又NEu平面BDE,am⑦平面BDE,?.?AM〃平面BDF.（H）AM=（-—D（巨0,0）,F（切，豆,1）,.?.DF=（0,而）,AM-DF=0,所以AM1DF=同理AM1BF,又DFcBF=F,AM1平面BDF.—>—>（III）；AF±AB,AB±AD,AFAAD=A,:.AB±平面ADF. ■ AB=（f2,0,0）為平面24尸的法向量.TOC\o"1-5"\h\z?.?NE-DB=（-^,-^,1）-（-、?.2,、?2,0）=0,2 2- 、.：2<2 丁2丁2 ，一NE1NF=（-=,-亍,1）-（=,=,1）=0得2 2 2 2,■■「NE1DB,NE1NF,NE為平面BDF的法向量.cos<AB,NE〉=；.AB與NE勺夾角是60。即所求二面角A-DF-B的大小是60。（2004全國?河北）如下圖，巳知四棱錐P—ABCD,PB±AD,側(cè)面PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°.（1） 求點P到平面ABCD的距離；（2） 求面APB與面CPB所成二面角的大小.CAPCAP解（1）：如下圖，作PO±平面ABCD,垂足為點。.連結(jié)OB、OA,OD,OB與AD交于點瓦連結(jié)PE.CA

CAyAD±PB,^AD±OB.VP4=PD,AOA=OD.于是OB平分AD,點E為AD的中點，APELAD.由此知ZPEB為面PAD與面ABCD所成二面角的平面角，APEB^120°,zPEO=60°.由已知可求律E=3,APO=PE?sin0°KxQ二，即點P到平面ABCD的距離為3.2 2 2(2)解法一：如下圖建立直角坐標(biāo)系，其中O為坐標(biāo)原點，x軸平行于DA.CxP(0，0，3.3B(0,——20),CxP(0，0，3.3B(0,——20),PB中點G的坐標(biāo)為(0,圣3,3)，連結(jié)AG.4 4又知A(1>

-320),C(—23、3,0).2由此得到GAPB=(0,qPB=(0,q,2—3),BC=(—2,0,0).2于是有GA-PB=0BC-PB=0,AGA±PB,BC±PB.GA,BC的夾角Q等于所求二面角的平面角.于是COsQ=GABC=—2-7,—— 7IGAIIBCI /I—A所求二面角的大小為n—arccos2-7.7解法二：如下圖，取PB的中點G,PC的中點尸，連結(jié)EG、AG、GF,1則AG±PB,FG//BC,FG=-BC.2

^AD±PB,POA:.BC±PB,FG±PB^AD±PB,POA^AD±面POB,：?AD±EG.又?.?PE=BE,.??EG』PB，且ZPEG=60°.在5G牝EG=PE5。料，在RtAGAE中，AE=1AD=1，于是tanZGAE=EG=里.2 AE2又ZAGF=n-ZGAE，...所求二面角的大小為n—arctan3.28.如圖，已知四邊形ABCD、EADM和MDCF都是邊長為a的正方形，點P、Q分別是ED和AC的中點求：（1）MFQ所成的角；（2） P點到平面EFB的距離；（3） 異面直線PM與FQ的距離解：建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，0，a）、F（0，a，a），a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、E（a，（1） 「?pm=（—a，0，a），F(xiàn)Q=（a，一a，一a），\o"CurrentDocument"2 2 2 2\o"CurrentDocument"a a a 3PM?FQ=（—3）X=+0+5X（—a）=—a2\o"CurrentDocument"2 2 2 4且Ipm1=旦a，|FQ|=2l6a.. — 2 2八-3a2 -?"、〈pmFQ〉=頃Fq=_4一二—亍.IPMIIFQIv2 <6 2 ax a_一2 2故得兩向量所成的角為亍0°（2） 設(shè)n=（x，y，z）是平面EFB的法向量，即n上平面EFB，?n±EF，n±BE.又EF=(—a,a,0),EB=