線性代數(shù)習題課

線性代數(shù)習題課

吉林大學

術洪亮第一講行列式前面我們已經(jīng)學習了關于行列式的概念和一些基本理論，其主要內(nèi)容可概括為：行列式概念性質(zhì)展開定理計算應用概念排列，逆序數(shù)，奇排列與偶排列行列式的定義性質(zhì)1．行列式與它的轉置行列式相等；2．互換行列式的兩行（列），行列式變號；3．某行（列）有公因子可以提到行列式符號外面；4．若行列式中某一行（列）的所有元素均為兩元素之和，則行列式可寫成兩個行列式的和；5．行列式某行（列）的K倍后加到另一行（列）上，行列式不變。展開定理計算就是運用行列式的定義、性質(zhì)、定理求行列式的值，常用的方法有定義法、性質(zhì)法、遞推法、數(shù)學歸納法、加邊法、公式法等。齊次線性方程組有非零解的充分必要條件應用克拉默法則下面我們通過例題演示來進一步鞏固所學內(nèi)容，并更好地掌握解題方法與技巧，本章常見題型有填空題、計算題、證明題。例1：問當i、j如何取值時，排列21i376j95為偶排列？解：令i=4，j=8，得排列為214376895

214376895

為奇排列與題矛盾。

應取i=8，j=4此時排列218376495為偶排列。J（214376895）=1+0+1+0+2+1+1+1=7例2：求排列的逆序數(shù)。解：解：行標按自然排列，列標排列的逆序數(shù)為

的項前帶正號。

行列式的項由不同行不同列的元素乘積構成，i、j為2、4的取值兩項，J（1324）=1J（1342）=2的項帶負號，

含有因子的項為-例3：寫出四階行列式中含有因子的項。例4：在n階行列式中，如果等于零的元素比

n2-n還多，試證明此行列式的值為零。元素比n2-n還多，這說明非零元素的個數(shù)比n2-（n2-n）=n還少。

由于行列式的每一項都是不同行不同列的n個元素的乘積，因此，每一項中至少含有一個零元素，即所有項都為零，所以，行列式的值為零。證：n階行列式中有n2個元素，等于零的例5：的充分必要條件？解：展開即有-1>0的充分必要條件是>1例6：已知四階行列式D的第2行元素分別為：

-1，0，2，4；第四行元素的余子式依次為：由行列式某行元素與另一行元素的代數(shù)余子式乘積之和為零，而A41=-2

A42=4A43=-A44=4解：(-1)(-2)+0×4+2×(-)+4×4=0=9例7：計算行列式解：例8：解：第2列、第3列直到第n列，依次乘以1倍后加到第1列上去，得：例9：第n-1行（-1）倍加到第n行上，第（n-2）

行（-1）倍加到第n-1行上，以此類推，直到第1行（-1）倍加到第2行上。按第一列展開有時直接采用性質(zhì)和展開定理計算

不方便可采用技巧便于計算。例10：（加邊法）第一行（-1）倍加到各行上去后加到第1列上去。第2列、第3列---第n列，以次乘例11：證明證：當n=1時，結論成立。當n=2時，結論成立。假設當n≤k時結論成立，證n=k+1時亦成立。按第一列展開按第一行展開所以當n=k+1時結論成立，由此證得：例12：求解方程組解：因為系數(shù)行列式所以，由克拉默法則知，方程組有唯一解方程組的解為：證：當i=j時則有，即反對稱行列式D的對角線元素都為零。例13：若n階行列式中元素滿足則稱D為n階反對稱行列式，試證奇數(shù)階反對稱行列式等于零。各行都提出一個（-1），則因為行列式與它的轉置行列式相等當n為奇數(shù)時，有，所以奇數(shù)階反對稱行列式的值為零。

例14：問λ、μ取何值時，齊次線性方程組有非零解。解：對于方程個數(shù)與變量個數(shù)相同的齊