利用不等式解應(yīng)用題

利用不等式解應(yīng)用題張寧中級教師2003年名師課堂輔導講座—高中部分學習內(nèi)容：

將實際問題數(shù)學化后，建立不等式或函數(shù)關(guān)系，再利用不等式知識解決。學習要求：對已經(jīng)學過的不等式知識與實際問題有機結(jié)合起來。學習指導：要點：不等式知識。難點：將實際問題數(shù)學化。關(guān)鍵：建立不等式或函數(shù)關(guān)系，再利用不等式知識解決。例1：如下圖，已知是阻值不同的兩個電阻，分別按圖（1）和圖（2）連接。設(shè)圖（1）中的總阻值為，圖（2）中的總阻值為，則的大小關(guān)系是（）(1)(2)例2：如圖，某市現(xiàn)有自市中心O通往正西和東北方向的兩條主要公路，為了解決該市交通擁擠問題，市政府決定修一條環(huán)城公路，分別在通往正西和東北方向的公路上選取A，B兩點，

使環(huán)城公路在A，B間為直線段，要求AB路段與市中心O的距離為10公里，且使A，B間的距離|AB|最小，請你確定A，B兩點的最佳位置（不要求作近似計算）。

解：設(shè)|OA|=a，|OB|=b，AOCB北南東西當a=b時，而a=b時，為等腰三角形答：A，B兩點距中心O最佳位置為

例3：某公司租地建倉庫，每月土地占用費與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運費與到車站的距離成正比，如果在距離車站10公里處建倉庫，這兩項費用和分別為2萬元和8萬元，那么，要使這兩項費用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站（）

A、5公里處B、4公里處

C、3公里處D、2公里處2、利用不等式的應(yīng)用問題解：設(shè)倉庫到車站的距離為x當x=10時，=2，=8

當且僅當，即x=5時，因此應(yīng)選A例4：某商場預計全年分批購入每臺價值為2000元的電視機共3600臺，每批都購入x臺（x是自然數(shù)），且每批均需付運費400元，貯存購入的電視機全年所付保費與每批購入電視機的總價值（不含運費）成正比，若每批購入400臺，則全年需用去運輸和保管總費用43600元。現(xiàn)在全年只有24000元資金可以用于支付這筆費用，請問：能否恰當安排每批進貨的數(shù)量使資金夠用？寫出你的結(jié)論，并說明理由。解：設(shè)每批購入x臺，須進貨次，每批進貨總價值2000x，全年保管費2000xk。依題意，當且僅當

即x=120臺，答：每批進貨的數(shù)量為120臺時會使資金夠用。甲、乙兩地相距離skm，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過ckm/h，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位），由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度vkm/h的平方成正比，且比例系數(shù)為b，固定部分為a元。（1）把全程運輸成本y元表示為速度vkm/h的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？例5：分析：每小時運輸成本可變部分:元，共行駛小時,固定部分：a元解:(1)(2)當且僅當即時取“=”號①若

當

時，取“=”號

②若

時，

（法一）利用單調(diào)性

（法二）

令

綜上，當

時，

當

時，

例6：某工廠有一面舊墻長14m，現(xiàn)準備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形且面積為126m2的廠房，工程條件是①建1m新墻的費用為元，②修1m舊墻的費用是元。③拆去1m舊墻所得的材料建1m新墻的費用是元。經(jīng)討論有兩種方案。方案一：利用舊墻的一段為矩形廠房的一面邊長。方案二：矩形廠房一面的一段為舊墻，其邊長為問如何利用舊墻，即為多少時，建墻費用最??？兩種方案哪種最好。解：方案一

方案二令任意

則故當

時，又35a〈35.5a故采用第一種方案好3、利用不等式

的應(yīng)用題

例7：國家為了加強對煙酒生產(chǎn)管理，實行征收附加稅政策，現(xiàn)知某種酒瓶70元，不征收附加稅時，每年大約產(chǎn)銷100萬瓶，若政府征收附加稅，每銷售100元征稅R元（叫做稅率R%），則每年產(chǎn)銷量將減少10R萬瓶，要使每年在此項經(jīng)營中所收附加稅不少于112萬元，R應(yīng)怎樣確定？分析：設(shè)產(chǎn)銷量為每年x萬瓶，則銷售收入為每年70x萬元，從中征收積金為70xR%萬元，并且x=100-10R，可建立不等式即

故稅率應(yīng)定在2%—8%之間。解：依題意：70（100-10R）R%

例8：一輛汽車總重量為w，時速為v（km/h），設(shè)它從剎車到停車行走的距離L與w，v 之間的關(guān)系式L=kv2w（k是常數(shù)），這輛汽車空車以每小時50km行駛時，從剎車到停車行進了10m，求該車載有等于自身重量的貨物行駛時，若要求司機在15m距離內(nèi)停車，并且允許司機從得到剎車指令到實施剎車時間為1s，汽車允許的最大時速是多少？（結(jié)果精確到1km/h）分析：通過精心理解，單位要統(tǒng)一，需正確建立不等式，再求不等式的解。

解：L=10，V=50時，

故汽車允許最大時速為29km/h例9：某地區(qū)上年度電價為0.8元/kWh，年用電量為akWh，本年度計劃將電價降到0.55元/kWh至0.75元/kWh之間，而用戶期望電價為0.4元/kWh，經(jīng)測算，下調(diào)電價后新增用電量與實際電價和用戶期望電價的差成反比（比例系數(shù)為k），該地區(qū)電力的成本價為0.3元/kWh（（1）寫出本年度電價下調(diào)后，電力部門的收益y與實際電價x的函數(shù)關(guān)系式（（2）設(shè)k=0.2a，當電價最低定為多少時，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長20%？（注：收益=實際用電量（實際電價-成本價））分析：精心理解，列出函數(shù)式后，需正確建立不等式，再求不等式的解則新用電量為解；（1）設(shè)下調(diào)電價x元/kWh（2）由題意知：

故當電價最低為0.6元/kWh時，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長20%例10：某公司急欲將一批不易存放的蔬菜從A地運到B地，現(xiàn)有汽車、火車、直升飛機三種運輸工具可供選擇，三種運輸工具的主要參考數(shù)據(jù)如下：運輸工具途中速度（千米/小時）途中費用（元/千米）裝卸時間（小時）裝卸費用（元）汽車50821000火車100442000直升飛機20016210004、利用a-b>0（<0）來比較大小若這批蔬菜在運輸過程（含裝卸時間）中的損耗為300元/小時，問采用哪種運輸工具比較好（即運輸過程中的費用與損耗之和最小）？

解：設(shè)A、B兩地相距為S千米（S>0）

運輸工具途中及裝卸費用運輸過程的損耗總支出汽車8S+1000火車4S+2000直升飛機16S+1000因F1=14S+1600，F(xiàn)2=7S+3200，F(xiàn)3=17.5S+1600又S>0，故F1<F3恒成立（1）當時，故火車較好（2）當時，故汽車較好（3）當時，故汽車、火車較好綜上，當時，用火車較好當時，用汽車較好當時，用火車、汽車較好例11：例11：某工廠有工人214人，現(xiàn)要生產(chǎn)1500件產(chǎn)品，每件產(chǎn)品由3個A型零件和1個B型零件配套組成，每個工人加工5個A型零件和加工3個B型零件所需時間相同，現(xiàn)將工人分成兩組，分別加工一種零件，同時開始，設(shè)加工A型零件的人有x人，在單位時間里加工A型零件5k件，加工完成A型零件所需時間為g（x），加工完B型零件所需時為h（x）(1)試比較g（x）與h（x）的大小，并寫出完成總?cè)蝿?wù)的時間f（x）的解析式；(2)應(yīng)怎樣分組，才能使任務(wù)完成得最快？分析：A型零件31500件，B型零件1500件，做A型零件x人，每人單位時間完成5k件；做B型零件（214-x）人