一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題總有它明確的研究對(duì)象

一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題總有它明確的研究對(duì)象.1.總體研究對(duì)象的全體稱為總體(母體)，總體中每個(gè)成員稱為個(gè)體.一、總體和樣本然而在統(tǒng)計(jì)研究中，人們關(guān)心總體僅僅是關(guān)心其每個(gè)個(gè)體的一項(xiàng)(或幾項(xiàng))數(shù)量指標(biāo)和該數(shù)量指標(biāo)在總體中的分布情況.這時(shí)，每個(gè)個(gè)體具有的數(shù)量指標(biāo)的全體就是總體.國(guó)產(chǎn)轎車每公里的耗油量所有國(guó)產(chǎn)轎車每公里耗油量的全體就是總體考察某大學(xué)一年級(jí)學(xué)生的年齡某大學(xué)一年級(jí)全體學(xué)生的年齡構(gòu)成問題的總體總體可以用一個(gè)隨機(jī)變量來表示設(shè)該大學(xué)一年級(jí)學(xué)生的年齡分布如下表年齡1819202122比例0.50.30.10.070.03若從該大學(xué)一年級(jí)學(xué)生中任意抽查一個(gè)學(xué)生的年齡，所得結(jié)果為一隨機(jī)變量，記作X.X的概率分布是：可見，X的概率分布反映了總體中各個(gè)值的分布情況.很自然地，我們就用隨機(jī)變量X來表示所考察的總體.也就是說，總體可以用一個(gè)隨機(jī)變量及其分布來描述.而概率分布正是刻劃這種集體性質(zhì)的適當(dāng)工具.因此在理論上可以把總體與概率分布等同起來.統(tǒng)計(jì)的任務(wù),是根據(jù)從總體中抽取的樣本，去推斷總體的性質(zhì).由于我們關(guān)心的是總體中的個(gè)體的某項(xiàng)指標(biāo)(如人的身高、體重，燈泡的壽命,汽車的耗油量…)，所謂總體的性質(zhì)，無非就是這些指標(biāo)值的集體的性質(zhì).又如:研究某批燈泡的壽命時(shí)，關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)就是壽命，那么，此總體就可以用隨機(jī)變量X表示，或用其分布函數(shù)F(x)表示.總體壽命X可用一概率分布來刻劃鑒于此，常用隨機(jī)變量的記號(hào)或用其分布函數(shù)表示總體.如說總體X或總體F(x).F(x)

類似地，在研究某地區(qū)中學(xué)生的營(yíng)養(yǎng)狀況時(shí)，若關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)是身高和體重，我們用X和Y分別表示身高和體重，那么此總體就可用二維隨機(jī)變量(X,Y)或其聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)來表示.統(tǒng)計(jì)中，總體這個(gè)概念的要旨是：總體就是一個(gè)概率分布.為推斷總體分布及各種特征，按一定規(guī)則從總體中抽取若干個(gè)體進(jìn)行觀察試驗(yàn)，以獲得有關(guān)總體的信息，這一抽取過程稱為“抽樣”，所抽取的部分個(gè)體稱為樣本.樣本中所包含的個(gè)體數(shù)目稱為樣本容量.2.樣本從國(guó)產(chǎn)轎車中抽5輛進(jìn)行耗油量試樣本容量為5但是，一旦取定一組樣本，得到的是n個(gè)具體的數(shù)(X1,X2,…,Xn)，稱為樣本的一次觀察值，簡(jiǎn)稱樣本值.樣本是隨機(jī)變量.抽到哪5輛是隨機(jī)的容量為n的樣本可以看作n維隨機(jī)變量.2.獨(dú)立性：

X1,X2,…,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.由于抽樣的目的是為了對(duì)總體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，為了使抽取的樣本能很好地反映總體的信息，必須考慮抽樣方法.最常用的一種抽樣方法叫作“簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”，它要求抽取的樣本滿足下面兩點(diǎn):1.

代表性：

X1,X2,…,Xn中每一個(gè)與所考察的總體有相同的分布.由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，它可以用與總體獨(dú)立同分布的n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn表示.簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見的情形，今后，當(dāng)說到“X1,X2,…,Xn是取自某總體的樣本”時(shí)，若不特別說明，就指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.若總體的分布函數(shù)為F(x)，則其簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x1)F(x2)…

F(xn)事實(shí)上我們抽樣后得到的資料都是具體的、確定的值.如我們從某班大學(xué)生中抽取10人測(cè)量身高，得到10個(gè)數(shù)，它們是樣本取到的值而不是樣本.我們只能觀察到隨機(jī)變量取的值而見不到隨機(jī)變量.3.總體、樣本、樣本值的關(guān)系總體（理論分布）？樣本樣本值統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資料--樣本值，去推斷總體的情況---總體分布F(x)的性質(zhì).總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本值的規(guī)律，因而可以由樣本值去推斷總體.樣本是聯(lián)系二者的橋梁由樣本值去推斷總體情況，需要對(duì)樣本值進(jìn)行“加工”，這就要構(gòu)造一些樣本的函數(shù)，它把樣本中所含的（某一方面）的信息集中起來.二、統(tǒng)計(jì)量和抽樣分布1.統(tǒng)計(jì)量這種不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量.

它是完全由樣本決定的量.幾個(gè)常見統(tǒng)計(jì)量樣本均值樣本方差它反映了總體均值的信息它反映了總體方差的信息樣本k階原點(diǎn)矩樣本k階中心矩

k=1,2,…它反映了總體k階矩的信息它反映了總體k階中心矩的信息

3.抽樣分布

統(tǒng)計(jì)量既然是依賴于樣本的，而后者又是隨機(jī)變量，故統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量，因而就有一定的分布，這個(gè)分布叫做統(tǒng)計(jì)量的“抽樣分布”

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抽樣分布就是通常的隨機(jī)變量函數(shù)的分布.只是強(qiáng)調(diào)這一分布是由一個(gè)統(tǒng)計(jì)量所產(chǎn)生的.研究統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)和評(píng)價(jià)一個(gè)統(tǒng)計(jì)推斷的優(yōu)良性，完全取決于其抽樣分布的性質(zhì).抽樣分布精確抽樣分布漸近分布（小樣本問題中使用）（大樣本問題中使用)

三.統(tǒng)計(jì)三大分布記為分布1、定義:設(shè)相互獨(dú)立,都服從正態(tài)分布N(0,1),則稱隨機(jī)變量：

所服從的分布為自由度為

n

的分布.分布是由正態(tài)分布派生出來的一種分布.分布的密度函數(shù)為來定義.其中伽瑪函數(shù)通過積分由分布的定義，不難得到：1.

設(shè)相互獨(dú)立,都服從正態(tài)分布則2.設(shè)且X1,X2相互獨(dú)立，則這個(gè)性質(zhì)叫分布的可加性.應(yīng)用中心極限定理可得，若，則當(dāng)n充分大時(shí)，若的分布近似正態(tài)分布N(0,1).則可以求得，

E(X)=n,D(X)=2n若T的密度函數(shù)為：記為T～t(n).

定義:設(shè)X～N(0,1),Y～,且X與Y相互獨(dú)立，則稱變量所服從的分布為自由度為n的t分布.2、t分布具有自由度為n的t分布的隨機(jī)變量T的數(shù)學(xué)期望和方差為:

E(T)=0;D(T)=n/(n-2),對(duì)n>2當(dāng)n充分大時(shí)，其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形.t分布的密度函數(shù)關(guān)于x=0對(duì)稱，且不難看到，當(dāng)n充分大時(shí)，t分布近似N

(0,1)分布.但對(duì)于較小的n，t分布與N(0,1)分布相差很大.由定義可見，3、F分布定義:設(shè)X與Y相互獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n1及n2的F分布，n1稱為第一自由度，n2稱為第二自由度，記作F~F(n1,n2).~F(n2,n1)即它的數(shù)學(xué)期望并不依賴于第一自由度n1.X的數(shù)學(xué)期望為:若n2>2若X~F(n1,n2)，X的概率密度為

統(tǒng)計(jì)三大分布的定義、基本性質(zhì)在后面的學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到，要牢記??！當(dāng)總體為正態(tài)分布時(shí)，教材上給出了幾個(gè)重要的抽樣分布定理.這里我們不加證明地?cái)⑹?除定理4外，其它幾個(gè)定理的證明都可以在教材上找到.四、幾個(gè)重要的抽樣分布定理

定理1(樣本均值的分布)設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體的樣本，則有n取不同值時(shí)樣本均值的分布

定理4(樣本方差的分布)設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有n取不同值時(shí)的分布設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有

定理5（與樣本均值和樣本方差有關(guān)的一個(gè)分布）

定理6(兩總體樣本均值差的分布)

分別是這兩個(gè)樣本的且X與Y獨(dú)立,X1,X2,…,是取自X的樣本,取自Y的樣本,分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差,均值,則有Y1,Y2,…,是樣本

定理7(兩總體樣本方差比的分布)

分別是這兩個(gè)樣本的且X與Y獨(dú)立,X1,X2,…,是取自X的樣本,取自Y的樣本,分別是這兩個(gè)樣