積分表及習(xí)題課

§4.4內(nèi)容回顧機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、有理函數(shù)的積分轉(zhuǎn)化為下列三種形式的積分⑴多項(xiàng)式的積分⑵⑶(容易)(容易)(容易)1機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束記再利用P209例9的遞推公式(已講但不需要記憶)至此,理論上有理函數(shù)的積分就算解決了,其原函數(shù)仍為初等函數(shù).2二、可化為有理函數(shù)的積分舉例設(shè)表示三角函數(shù)有理式,令萬能代換法t的有理函數(shù)的積分機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1.三角函數(shù)有理式的積分則代入原積分得,轉(zhuǎn)化為32.簡單無理函數(shù)的積分令令被積函數(shù)為簡單根式的有理式,可通過根式代換化為有理函數(shù)的積分.例如:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束令4３.指數(shù)函數(shù)有理式的積分令被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)有理式,可通過指數(shù)代換化為有理函數(shù)的積分.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注:特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定要注意綜合使用基本積分法,簡便計(jì)算.簡便,5思考與練習(xí)如何求下列積分更簡便?解:1.2.原式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束6積分計(jì)算比導(dǎo)數(shù)計(jì)算靈活復(fù)雜,為提高求積分已把常用積分公式匯集成表,以備查用.如P362附錄Ⅲ.積分表的結(jié)構(gòu):按被積函數(shù)類型排列積分表的使用:1)注意公式的條件2)注意簡單變形的技巧機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束的效率,§4.5積分表的使用第四章7例1.求解:應(yīng)使用P368公式105.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束但無直接公式可套8例2.求解:令則原式(P364公式37)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束用公式幾？用公式幾？9例3.

求解:

令則原式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束用公式幾？10(公式21)(公式19)習(xí)題課目錄上頁下頁返回結(jié)束初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù),因此不一定都能積出.如等.11習(xí)題課目錄上頁下頁返回結(jié)束作業(yè)P2213;8;19;24;25利用和不利用積分表分別計(jì)算.12第四章不定積分

微分法:積分法:互逆運(yùn)算但…本章可用四個(gè)字及四句話概括如下：四個(gè)字：難、四句話：依型分類很重要；（煩）繁、活、死。變湊緊跟末忘掉；眼光敏銳方法巧；遇難則往已知靠。原函數(shù)不是初等函數(shù),也稱積不出來(死的).13習(xí)題課一、求不定積分的基本方法機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、幾種特殊類型的積分不定積分的計(jì)算方法第四章14一、求不定積分的基本方法1.直接積分法通過簡單變形,利用基本積分公式和運(yùn)算法則求不定積分的方法.2.換元積分法第一類換元法第二類換元法(注意常見的換元積分類型)(代換:)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束153.分部積分法使用原則:1)

v易湊易得;2)比好求（至少難度不增）.一般經(jīng)驗(yàn):按“反、對、冪、指、弦”的順序,排前者取為u,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束后者與ｄx湊微分得v．16多次分部積分的快速計(jì)算法機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束可按下述快速計(jì)算方法:當(dāng)

u為n

次多項(xiàng)式時(shí),計(jì)算

其中是的原函數(shù)且易求,如則+…+17例1.求解:原式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束18例2.

求解:原式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束分析:＋519例3.

求解:原式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(P2224)===20例4.

求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束21例5.求解:取機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:此法特別適用于如下類型的積分:22解：令x=lnt

(t>1)，則例6原式2dt23例7.求解:設(shè)則因連續(xù),得記作得利用機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束24二、幾種特殊類型的積分1.一般積分方法有理函數(shù)分解多項(xiàng)式及部分分式之和三角函數(shù)有理式萬能代換簡單無理函數(shù)三角代換根式代換機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束指數(shù)函數(shù)有理式指數(shù)代換252.需要注意的問題(1)一般方法不一定是最簡便的方法,(2)初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù),要注意綜合使用各種基本積分法,簡便計(jì)算.因此不一定都能積出.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例如,26例8.

求解:

令則原式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(最后注意還原)27例9.求解:令比較同類項(xiàng)系數(shù),故∴原式說明:此技巧適用于形為的積分.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束28例10.求不定積分解:原式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束關(guān)鍵是部分分式的形式及系數(shù)的確定(P22239)(P21815)(P22238)29例11.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解:I=30

例12此題有多種解