第七講 矩陣的秩 線性方程組的解

課前復習1.初等行(列)變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．2.初等變換3.行階梯形矩陣，行最簡形矩陣，標準形矩陣4.若A可逆，則A與單位陣E等價1.單位矩陣初等矩陣.一次初等變換2.初等矩陣的結論:推論3.初等變換的應用:（3）求XA=B（1）求A-1（2）求AX=B第二節(jié)矩陣的秩一.矩陣秩的概念二.矩陣秩的求解一、矩陣秩的概念矩陣的秩如：矩陣取第1行、第3行和第1列、第4列交叉處的元素，二階子式是組成的的最高階子式是3階，共有4個3階子式.易見最低階為階，最高階為階.注:顯然,中不等于零的子式的最矩陣的秩是高階數(shù).矩陣的秩具有下列性質:(1)若矩陣中有某個階子式不為0,則(2)若中所有階子式全為0,則(3)若為矩陣,則(4)例1求矩陣解在中,又的3階子式只有一個且的秩.例2解問題：經過變換矩陣的秩變嗎？二、矩陣秩的求法初等變換求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例4解由階梯形矩陣有三個非零行可知則這個子式便是的一個最高階非零子式.故A中必有3階非零子式，計算A的前三行構成的子式例設為階非奇異矩陣,為矩陣.試證:與之積的秩等于的秩,即證因為非奇異,故可表示成若干初等矩陣之積,皆為初等矩陣.即是經次初等行變換后得出的.因而證畢.注:由矩陣的秩及滿秩矩陣的定義,顯然,若一個階矩陣是滿秩的,則因而非奇異;反之亦然.三、小結(2)初等變換法1.矩陣秩的概念2.求矩陣秩的方法(1)利用定義(把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩).(即尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù));定理等價矩陣的秩相等結論矩陣的秩最高階非零子式的階數(shù)行階梯形矩陣非零行的行數(shù)行最簡形矩陣非零行的行數(shù)標準形矩陣中單位矩陣的階數(shù)主要內容線性方程組解的存在性線性方程組的解法第三節(jié)線性方程組的解解向量線性方程組A稱為系數(shù)矩陣，B=（A,b）稱為增廣矩陣同解方程組為同解方程組為線性方程組的解有下列三種情況：無解有無窮解有惟一解

同解方程組為同解方程組為求解線性方程組的步驟：寫出增廣矩陣，對于齊次線性方程組寫出系數(shù)矩陣用初等行變換化增廣矩陣為階梯形矩陣根據(jù)增廣矩陣與系數(shù)矩陣秩的關系判斷是否有解如果有解，進一步化為行最簡形矩陣行最簡形矩陣首非零元素1對應的未知量為非自由未知量，其余未知量為自由未知量令自由未知量為c,從而得到方程組的通解（一般解）例1求解齊次線性方程組解即得與原方程組同解的方程組由此即得例２求解非齊次線性方程組解對增廣矩陣B進行初等變換，故方程組無解．例３求解非齊次方程組的通解解對增廣矩陣B進行初等變換故方程組有解，且有得方程組的通解為例５設有線性方程組解其通解為這時又分兩種情形：例6設有線性方程組問取何值時，此方程組（1）有唯一解;（2）無解;（3）有無限多個解？并在有無限多個解時求其通解.三、小結

求解線性方程組的步驟：寫出增廣矩陣，對于齊次線性方程組寫出系數(shù)矩陣用初等行變換化增廣矩陣為階梯形矩陣根據(jù)增廣矩陣與系數(shù)矩陣秩的關系判斷是否有解如果有解，進一步化為行最簡形矩陣行最簡形矩陣首非零元素1對應的未知量為非自由未知量，其余未知量為自由未知量令自由未知量為c,從而得到方程組的通解（一般解）作業(yè)習題三10.（1）14.（3