幾何直觀教學(xué)視角

建立幾何直觀的教學(xué)視角黃玉126.com2014.111編輯課件

“小學(xué)數(shù)學(xué)新課標(biāo)理念與實(shí)踐研究”系列活動(dòng)

專題一：數(shù)據(jù)分析觀念培養(yǎng)（龜湖）專題二：數(shù)學(xué)文化滲透（實(shí)?。ｎ}三：基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)解讀與實(shí)踐研究（三?。?/p>

專題四：幾何直觀能力培養(yǎng)（二?。ｎ}五：推理能力培養(yǎng)專題六：數(shù)學(xué)基本思想滲透專題七：良好學(xué)習(xí)習(xí)慣培養(yǎng)專題八：“綜合與實(shí)踐”難點(diǎn)透視專題九：課程資源有效利用專題十：學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)研究活動(dòng)背景——2編輯課件核心概念

幾何直觀在教學(xué)上更為深遠(yuǎn)的意義何在？應(yīng)該建立怎樣的幾何直觀教學(xué)視角？3編輯課件一、幾何直觀的含義二、幾何直觀的作用三、幾何直觀的表現(xiàn)形式四、幾何直觀的兩種層次五、相關(guān)術(shù)語(yǔ)的辨析六、深度解讀幾何直觀七、幾何直觀在教學(xué)中的運(yùn)用建立幾何直觀的教學(xué)視角4編輯課件一、幾何直觀的含義

幾何直觀主要指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用。（2011版課標(biāo)）5編輯課件一、幾何直觀的含義直觀：直接的觀察，通過(guò)對(duì)事物的直接接觸而獲得的感性認(rèn)識(shí)；幾何：在幾何直觀的語(yǔ)境下指圖形；幾何直觀：就是借助圖形而獲得的對(duì)數(shù)學(xué)研究對(duì)象的感性認(rèn)識(shí)。6編輯課件二、幾何直觀的作用

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，學(xué)習(xí)是人腦內(nèi)部復(fù)雜的信息加工與組織過(guò)程。在這個(gè)信息加工與組織過(guò)程中，思維的展開(kāi)更傾向于依據(jù)直觀形象的成分，而不是依據(jù)文字或符號(hào)敘述的定義定理。7編輯課件視角：由物體兩端射出的兩條光線在眼球內(nèi)交叉而成的角。物體越小或距離越遠(yuǎn)，視角越小。8編輯課件思維的展開(kāi)更傾向于依據(jù)直觀形象的成分9編輯課件思維的展開(kāi)更傾向于依據(jù)直觀形象的成分“約分”●●●□□高三角形的高看小說(shuō)10編輯課件有些時(shí)候，教學(xué)如果不深入到直觀層面，學(xué)習(xí)只能停留在死記硬背層面。1.451.541.4951.50411編輯課件三、幾何直觀的表現(xiàn)形式

1.實(shí)物直觀（即實(shí)物圖）2.替代物直觀（已經(jīng)具備一定的抽象性）3.圖形直觀12編輯課件實(shí)物直觀13編輯課件實(shí)物直觀14編輯課件替代物直觀——●小圓片、小三角形●點(diǎn)子圖●小棒（單根、一捆、一箱）●小方塊（單個(gè)、條、面、體）●計(jì)數(shù)器15編輯課件替代物直觀16編輯課件替代物直觀17編輯課件圖形直觀——●線段圖（直條圖、示意圖）●面積模型圖（乘法分配律、面積公式）●統(tǒng)計(jì)圖（三種）●圖形的變換（平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱）●函數(shù)圖（正反比例、看圖找關(guān)系）

18編輯課件四、幾何直觀的兩種層次1.直觀感知2.直觀洞察（首次接觸）

19編輯課件直觀洞察20編輯課件例2：觀察發(fā)現(xiàn)：平移、旋轉(zhuǎn)能夠由軸對(duì)稱來(lái)實(shí)現(xiàn)。進(jìn)而猜想：是不是所有的平移、旋轉(zhuǎn)都能由軸對(duì)稱來(lái)替代？直觀洞察21編輯課件一般地，兩次對(duì)折，當(dāng)對(duì)稱軸互相平行時(shí)，相當(dāng)于一次平移；當(dāng)對(duì)稱軸相交時(shí)，相當(dāng)于一次旋轉(zhuǎn)。22編輯課件

直觀洞察（抽象性）直觀感知（直觀性）23編輯課件五、相關(guān)術(shù)語(yǔ)的辨析

幾何直觀與數(shù)形結(jié)合幾何直觀與空間觀念

24編輯課件1.幾何直觀與數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合——主要指借助“形”的直觀來(lái)理解抽象的“數(shù)”。（分?jǐn)?shù)、行程問(wèn)題）“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微?！?華羅庚）25編輯課件“形少數(shù)時(shí)難入微”用數(shù)表示變化規(guī)律：1、3、5、7、9。用算式表示變化規(guī)律：1、1+3、1+3+5、1+3+5+7、1+3+5+7+9。26編輯課件“形少數(shù)時(shí)難入微”規(guī)律表示：25=1+2+3+4+5+4+3+2+127編輯課件“形少數(shù)時(shí)難入微”中心起點(diǎn)：1＝1紅線上點(diǎn)數(shù)：1+3＝4紅藍(lán)線上點(diǎn)數(shù)：1+3+5＝9紅藍(lán)黃線上點(diǎn)數(shù)：1+3+5+（）＝（）紅藍(lán)黃綠上線點(diǎn)數(shù)：

＝（）28編輯課件1.幾何直觀與數(shù)形結(jié)合聯(lián)系與區(qū)別——聯(lián)系1：作用相同，旨在直觀地理解數(shù)學(xué)；聯(lián)系2：應(yīng)用語(yǔ)境大致相同，很多語(yǔ)境下這兩個(gè)詞可以替換使用。區(qū)別1：數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想，幾何直觀更指向于課程意識(shí)。區(qū)別2：外延不同。29編輯課件找不到不是幾何直觀的數(shù)形結(jié)合，卻可以找到不是數(shù)形結(jié)合的幾何直觀。無(wú)須用到“量”的分析30編輯課件2.幾何直觀與空間觀念空間觀念——表現(xiàn)為對(duì)形體特征、位置關(guān)系、圖形變換的想象與描述。主要指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語(yǔ)言的描述畫出圖形等。31編輯課件2.幾何直觀與空間觀念聯(lián)系與區(qū)別——聯(lián)系1：二者有重疊的部分，如“根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體”等。聯(lián)系2：幾何直觀是建立空間觀念的有效手段。區(qū)別1：空間觀念即使脫離了具體情境也能想象出圖形的形狀與位置關(guān)系，而幾何直觀更強(qiáng)調(diào)借助圖形而進(jìn)行。區(qū)別2：空間觀念更多局限在“圖形與幾何”內(nèi)容領(lǐng)域，而發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力需要依托數(shù)學(xué)課程的每個(gè)領(lǐng)域。32編輯課件六、深度解讀幾何直觀1.

在各領(lǐng)域?qū)W習(xí)中，都要重視幾何直觀能力的培養(yǎng)。從更長(zhǎng)遠(yuǎn)看，幾何直觀的作用不局限于數(shù)學(xué)。2.對(duì)“圖形”的理解可以寬泛些，既可以是有形可視的，也可以是無(wú)形想象的。

33編輯課件六、深度解讀幾何直觀3.要看到圖形的直觀性，也要看到圖形的抽象性。4.幾何直觀是一種意識(shí)，也是一種能力，更是一種思維方式。5.直觀本身不是目的，而是手段。34編輯課件七、幾何直觀在教學(xué)中的運(yùn)用1.規(guī)劃幾何直觀能力培養(yǎng)的脈絡(luò)主線2.創(chuàng)新幾何直觀運(yùn)用的教學(xué)設(shè)計(jì)35編輯課件低年級(jí)：實(shí)物圖——示意圖——線段圖中年級(jí)：開(kāi)始有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生掌握畫示意圖和線段圖的要點(diǎn)和技巧。

1.規(guī)劃幾何直觀能力培養(yǎng)的脈絡(luò)主線36編輯課件2.創(chuàng)新幾何直觀運(yùn)用的教學(xué)設(shè)計(jì)（1）巧用幾何直觀理解概念——追問(wèn)本質(zhì)（2）巧用幾何直觀洞悉規(guī)則——追問(wèn)源頭（3）巧用幾何直觀明晰算理——追問(wèn)思想（4）巧用幾何直觀探尋思路——還原本真37編輯課件（1）巧用幾何直觀理解概念——追問(wèn)本質(zhì)動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)38編輯課件動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)（1）巧用幾何直觀理解概念——追問(wèn)本質(zhì)39編輯課件動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)（1）巧用幾何直觀理解概念——追問(wèn)本質(zhì)40編輯課件反面干擾（1）巧用幾何直觀理解概念——追問(wèn)本質(zhì)41編輯課件反面干擾

（1）巧用幾何直觀理解概念反面干擾（1）巧用幾何直觀理解概念——追問(wèn)本質(zhì)42編輯課件外延拓展小紅打一份材料用0.5小時(shí)小麗打相同的材料用1/3小時(shí)（1）巧用幾何直觀理解概念——追問(wèn)本質(zhì)43編輯課件（2）巧用幾何直觀洞悉規(guī)則——追問(wèn)源頭44編輯課件（2）巧用幾何直觀洞悉規(guī)則——追問(wèn)源頭能被2、3、5整除的數(shù)，為什么2、5的倍數(shù)看個(gè)位？為什么3的倍數(shù)要看各數(shù)位上的數(shù)字之和？45編輯課件36236（2）巧用幾何直觀洞悉規(guī)則——追問(wèn)源頭46編輯課件54（2）巧用幾何直觀洞悉規(guī)則——追問(wèn)源頭47編輯課件123比例的基本性質(zhì)？乘法分配律？（2）巧用幾何直觀洞悉規(guī)則——追問(wèn)源頭48編輯課件分?jǐn)?shù)除法，為什么除以一個(gè)數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)？（2）巧用幾何直觀明晰算理——追問(wèn)思想49編輯課件例1：小明2/3小時(shí)走2千米，每小時(shí)走幾千米？板：2÷2/3＝？師：怎么算呢？畫個(gè)圖試試吧。板：

2/3小時(shí)師：從圖中可直觀地看出什么？預(yù)設(shè)生：1/3小時(shí)走1千米。板：2÷2/3＝2÷2×3＝3師小結(jié)：一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)其實(shí)就是先除以它的分子，算出一份是多少，然后再乘它的分母求出“單位1”是多少。

1小時(shí)2千米50編輯課件師追問(wèn)：假如不能整除的怎么辦，如3÷7/8＝？怎么利用上節(jié)課的方法進(jìn)行算式“變形運(yùn)算”呢？說(shuō)明：學(xué)生在上節(jié)課“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握如“4/5÷3＝4/5×1/3”、“A÷B＝A×1/B（B≠0）”的計(jì)算方法。結(jié)合學(xué)生的回答板書：2÷2/3＝2÷2×3＝2×1/2×3＝2×3/23÷7/8＝3÷7×8＝3×1/7×8＝3×8/7幾何直觀數(shù)的變形運(yùn)算51編輯課件例2：課件動(dòng)態(tài)演示“做花”的情境：3/4張紙做了6朵花。師：你看懂了什么？生1：3/4張紙做了6朵花。生2：一張紙平均分成4份，其中的3份做6朵花，一張紙可以做幾朵花？出示題：3/4張紙做了6朵花，一張紙可以做多少朵花？（生列式）師：6÷3/4，怎么算？生：前面的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，是乘一個(gè)數(shù)的倒數(shù)。我想這個(gè)也是，我用“以此類推”的方法轉(zhuǎn)化為乘法，6×4/3。（很多學(xué)生點(diǎn)頭贊同）師：你們認(rèn)為這個(gè)方法是正確的？52編輯課件師：哦，那你們能不能想一些方法，證明這個(gè)結(jié)果是正確的？靜靜地想一會(huì)兒，把所有能想到的方法都記錄下來(lái)。教師特意準(zhǔn)備了劃成6格的練習(xí)紙，方便學(xué)生記錄不同的思路。學(xué)生自主嘗試，教師巡視搜集各種思路，整體投影呈現(xiàn)學(xué)生的方法：師：這些方法，哪些你也想到了，哪些你現(xiàn)在能看懂？哪些算法之間有相似之處？說(shuō)給同桌聽(tīng)。師：哪些算法大家看不懂，需要提出來(lái)討論的？（大部分學(xué)生表示第⑥種和第①種比較難理解。）師：有沒(méi)有同學(xué)可以看懂呢？生：……53編輯課件師：明白了，根據(jù)學(xué)過(guò)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過(guò)的算式來(lái)解決。那剩下的都能看懂嗎？哪些方法是相似的？生1：第①和第⑤種是相似的，一個(gè)分步，一個(gè)綜合。生2：我覺(jué)得①③⑤是一樣的，因?yàn)榈冖鄯N是直接把3/4化成小數(shù)，思考方法一樣，都是化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的來(lái)解決。生3：第②種是我的，我還沒(méi)寫完整，我想在旁邊寫一句話，如果把一張紙平均分成4份，3/4張紙做6朵，那么每1/4張紙可以做2朵，所以整張紙可以做8朵。54編輯課件師：太棒了！看來(lái)這些方法的確有相似的地方，第①種方法中的6÷3就是第④種方法中的6×1/3?，F(xiàn)在，我們可以證明，剛才嘗試計(jì)算時(shí)得出的結(jié)果“8”確實(shí)是正確的。那么，你能在這些方法中找到“6×4/3”嗎？生1：第④種方法中的“×1/3×4”其實(shí)就是“×4/3”。生2：第②種方法中，6平均分成3份，就是6×1/3×4，也能找到“6×4/3”。生3：那么，第①種也可以轉(zhuǎn)化為6×1/3×4，也能找到“6×4/3”。生4：第⑤種也是。生5：第⑥種，除數(shù)化成1后，被除數(shù)的部分就是6×4/3。師：看來(lái)，我們不僅驗(yàn)證了“8”這個(gè)結(jié)果是正確的，還證明了以此類推的計(jì)算方法“6×4/3”也是正確的。55編輯課件比較兩種教法——1.幾何直觀的作用理解算理——?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，引出算式2.“數(shù)的變形運(yùn)算”成分（化歸思想）僅在小結(jié)時(shí)出現(xiàn)——作為全課重點(diǎn)56編輯課件還原本真（4）巧用幾何直觀探尋思路57編輯課件（4）巧用幾何直觀探尋思路——還原本真例1：小明前三次數(shù)學(xué)考試的平均成績(jī)是９３分，第四次的成績(jī)比四次平均成績(jī)高３分，小明第四次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)是多少分？３÷３＝１（分）９３＋１＋３＝９７（分）58編輯課件例2：一個(gè)正方形的小果園，周長(zhǎng)是20米。如果每4平方米種一棵桃樹(shù)，這個(gè)果園一共可以種多少棵桃樹(shù)？（4）巧用幾何直觀探尋思路——還原本真20÷4＝5（米），5×5＝25（米2），25÷4＝6（棵）……1（米2）59編輯課件例3：在一個(gè)長(zhǎng)6分米、寬4分米、高5分米的長(zhǎng)方體中，最多能