高等數(shù)學(xué)D7習(xí)題課(2)二階微分方程的解法及應(yīng)用

二階微分方程的習(xí)題課(二)二、微分方程的應(yīng)用

解法及應(yīng)用一、兩類二階微分方程的解法

第七章整理課件一、兩類二階微分方程的解法

1.可降階微分方程的解法—降階法令令逐次積分求解整理課件2.二階線性微分方程的解法

常系數(shù)情形齊次非齊次代數(shù)法

歐拉方程練習(xí)題:P353題2

(2);3(6),(7);

4(2)；

整理課件解答提示P353題2

(2)

求以為通解的微分方程.提示:

由通解式可知特征方程的根為故特征方程為因此微分方程為P353題3

求下列微分方程的通解提示:(6)令則方程變?yōu)檎碚n件特征根:齊次方程通解:令非齊次方程特解為代入方程可得思考若(7)中非齊次項(xiàng)改為提示:原方程通解為特解設(shè)法有何變化?整理課件P354題4(2)

求解提示:

令則方程變?yōu)榉e分得利用再解并利用定常數(shù)思考若問(wèn)題改為求解則求解過(guò)程中得問(wèn)開(kāi)方時(shí)正負(fù)號(hào)如何確定?整理課件特征根:例1.求微分方程提示:故通解為滿足條件解滿足處連續(xù)且可微的解.設(shè)特解:代入方程定A,B,得得整理課件處的銜接條件可知,解滿足故所求解為其通解:定解問(wèn)題的解:整理課件例2.且滿足方程提示:

則問(wèn)題化為解初值問(wèn)題:最后求得整理課件思考:

設(shè)提示:

對(duì)積分換元,則有解初值問(wèn)題:答案:整理課件的解.例3.設(shè)函數(shù)內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)(1)試將x＝x(y)所滿足的微分方程變換為y＝y(tǒng)(x)所滿足的微分方程;(2)求變換后的微分方程滿足初始條件數(shù),且解:上式兩端對(duì)

x

求導(dǎo),得(1)

由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知(2003考研)整理課件代入原微分方程得①(2)

方程①的對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)①的特解為代入①得A＝0,從而得①的通解:整理課件由初始條件得故所求初值問(wèn)題的解為整理課件二、微分方程的應(yīng)用

1.建立數(shù)學(xué)模型—列微分方程問(wèn)題建立微分方程(共性)利用物理規(guī)律利用幾何關(guān)系確定定解條件(個(gè)性)初始條件邊界條件可能還有銜接條件2.解微分方程問(wèn)題3.分析解所包含的實(shí)際意義整理課件例4.解:欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星,為使其擺脫地球引力,初始速度應(yīng)不小于第二宇宙速度,試計(jì)算此速度.設(shè)人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為m,地球質(zhì)量為M,衛(wèi)星的質(zhì)心到地心的距離為h,由牛頓第二定律得:②(G

為引力系數(shù))則有初值問(wèn)題:又設(shè)衛(wèi)星的初速度③整理課件②③代入原方程②,得兩邊積分得利用初始條件③,得因此注意到整理課件為使因?yàn)楫?dāng)h=R(在地面上)時(shí),引力=重力,即④代入④即得這說(shuō)明第二宇宙速度為整理課件求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律例5.上的力F

所作的功與經(jīng)過(guò)的時(shí)間t

成正比(比例系數(shù)提示:兩邊對(duì)s

求導(dǎo)得:牛頓第二定律…為k),開(kāi)方如何定+–?已知一質(zhì)量為m

的質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng),作用在質(zhì)點(diǎn)整理課件例6.

一鏈條掛在一釘子上,啟動(dòng)時(shí)一端離釘子8m,另一端離釘子12m,力,求鏈條滑下來(lái)所需的時(shí)間.解:

建立坐標(biāo)系如圖.設(shè)在時(shí)刻

t,鏈條較長(zhǎng)一段下垂

xm,又設(shè)鏈條線密度為常數(shù)此時(shí)鏈條受力由牛頓第二定律,得如不計(jì)釘子對(duì)鏈條所產(chǎn)生的摩擦整理課件由初始條件得故定解問(wèn)題的解為解得(s)微分方程通解:當(dāng)x=20m時(shí),思考:若摩擦力為鏈條1m長(zhǎng)的質(zhì)量,定解問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型是什么?整理課件摩擦力為鏈條1m長(zhǎng)的質(zhì)量時(shí)的數(shù)學(xué)模型為不考慮摩擦力時(shí)的數(shù)學(xué)模型為此時(shí)鏈條滑下來(lái)所需時(shí)間為整理課件練習(xí)題從船上向海中沉放某種探測(cè)儀器,按探測(cè)要求,需確定儀器的下沉深度

y

與下沉速度v

之間的函數(shù)關(guān)系.

設(shè)儀器在重力作用下從海平面由靜止開(kāi)始下沉,在下沉過(guò)程中還受到阻力和浮力作用,設(shè)儀器質(zhì)量為

m,體積為B,海水比重為

,儀器所受阻力與下沉速度成正比,比例系數(shù)為k(k>0),試建立y與v

所滿足的微分方程,并求出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=y(v).(1995考研)提示:建立坐標(biāo)系如圖.質(zhì)量m體積B由牛頓第二定律重力浮力阻力注意:整理課件初始條件為用分離變量法解上述初值問(wèn)題得

作業(yè)

P3484,6;P3533(8);4(2),(4)；

7;*11(1)

得質(zhì)量m體積B第十一節(jié)整理課件備用題

有特而對(duì)應(yīng)齊次方程有解微分方程的通解.解:故所給二階非齊次方程為方程化為1.設(shè)二階非齊次方程一階線性非齊次方程整理課件故再積分得通解復(fù)習(xí):

一階線性微分方程通解公式:整理課件2.

設(shè)函數(shù)在

r>0內(nèi)滿足拉