第八章非線性最優(yōu)化模型

第八章非線性最優(yōu)化模型許多商業(yè)過程都以非線性方式運行。例如，一個債券的價格是利率的非線性函數，一個優(yōu)先購股權的價格是優(yōu)先股票價格的非線性函數。生產的邊際成本常常隨著生產數量的增加而減少，一個產品的需求數量常常是價格的非線性函數。這些和其他的許多非線性關系出現在各種商業(yè)應用中。非線性最優(yōu)化問題是在目標函數或約束條件中至少有一項是非線性的最優(yōu)化問題。我們考慮一個目標函數是決策變量的非線性函數的生產問題，以此來開始這一章非線性應用的研究。在第8..2節(jié)中，我們建立了一個關于設計有價證券的投資組合來跟蹤股票市場指數的非線性應用。在第8.3節(jié)中，我們引入了曾獲得諾貝爾獎的Markowitz模型，其用于管理風險和回報間的平衡，并由此擴展了投資組合模型的處理。第8.4節(jié)提供了在第4章中介紹的線性規(guī)劃混合模型的一個非線性應用。在第8.5節(jié)，我們介紹了一個用于預測新產品銷售或采納的著名且成功的模型。作為對非線性最優(yōu)化應用在實踐中更進一步的說明，實踐中的管理科學《為BombardierFlexjet安排航程和全體人員》，討論了Flexjet如何應用非線性最優(yōu)化來分配飛機和人員。在本章中介紹的計算機解是利用LINGO得到的。然而，Excel規(guī)劃求解也能用來求解這些問題。本章后的附錄描述了如何用LINGO和Excel規(guī)劃求解來求解非線性規(guī)劃。專欄8-1實踐中的管理科學為BombardierFlexjet安排航程和全體人員BombardierFlexjet是一家發(fā)展迅速的支線飛機行業(yè)的領導性公司。Flexjet以每年飛行50小時的限制銷售商務噴氣飛機的使用權。擁有部分所有權的公司被保證能在24小時以內低至4小時的提前使用飛機。這類使用飛機的公司每月需支付管理費和使用費。為所收取的管理費，Flexjet會為購買使用權的公司提供飛機棚設備、維修以及空勤人員。由于支線飛機行業(yè)上的靈活性，安排空勤人員和航程的問題甚至比商務航空行業(yè)還復雜。最初，Flexjet試圖用人工來安排飛行。然而，這項任務很快被證明是不可行的。事實上，不適當的手工安排致使Flexjet供養(yǎng)著多余的商務噴氣飛機和空勤人員。多余的商務噴氣飛機和空勤人員的成本估計為每飛行時數幾百美元。一個利用最優(yōu)化原理的排程系統(tǒng)變得非常必要了。為Flexjet開發(fā)的排程系統(tǒng)包括一個大型的非線性最優(yōu)化模型,該模型整合了Flexjet職工使用的圖形用戶界面（GUI）。模型包含了基于聯邦飛行管理局（FAA）規(guī)章、公司制度以及飛機性能特征的“硬性”約束條件，也包含了關于成本權衡的“軟性”約束條件。這個模型用來為航程分派飛機和空勤人員。最后的模型很大，不能用商用最優(yōu)化軟件模型來直接求解。擁有太多直接求解的變量的模型。常常使用分解法來求解。分解法采用只包含全部變量的一小部分的主要問題來求解。通過子問題確定的解是部分最優(yōu)解優(yōu)質的候選者。在Flexjet模型中，子問題是非線性整數規(guī)劃。非線性的中心是一個二維變量和一個連續(xù)變量的乘積，如果一段航程被使用，這個二維變量即為1，這個連續(xù)變量用于給飛行時間加上時間窗。子問題使用稱為動態(tài)規(guī)劃的技術來優(yōu)化。最優(yōu)化模型獲得了很大成功。模型最初為Flexjet節(jié)約了5400萬美元，而計劃的年節(jié)約為2700萬美元。節(jié)約成本的大部分來自于減少20%的人員和40%的飛機庫存。飛機使用率也增加了10%。資料來源：基于RichardHicksetal.,”BombardierFlexjetSignificantlyImprovesItsFractionalAircraftOwnershipOperationsInterfaces35,no.(January/February2005):49-608.1一個生產應用——對Par公司的再思考通過考慮第2章介紹的Par公司線性規(guī)劃的擴展，我們來介紹受約束和無約束的非線性最優(yōu)化問題。我們首先考慮價格和銷售數量間關系造成目標函數非線性的情形。接著求解得到無約束非線性規(guī)劃，并且我們觀察到無約束最優(yōu)解不能滿足生產約束條件。把生產約束條件添加到問題中去，我們給出了一個受約束非線性規(guī)劃的形式和解。在這一部分的最后，我們還討論了局部和整體的最優(yōu)化。8.1.1一個無約束問題讓我們考慮修改后的第2章中的Par公司問題。記得Par公司決定制造標準的和豪華的高爾夫包。在為Par公司問題構建線性規(guī)劃模型時，我們假定它可以銷售它所生產的所有標準包和豪華包。但是，依賴于高爾夫包的價格，這個假設可能不成立。價格和需求間常常存在一個相反的關系。隨著價格升高，需求數量卻下降。令Ps記作Par公司每種標準包的價格，PD記作每種豪華包的價格。假定標準包S的需求和豪華包D的需求由如下式給出：S=2250-15Ps(8-1)D=1500-5PD(8-2)標準包產生的收益是每個標準包價格Ps乘以售出的標準包數目S。如果生產一個標準包的成本是70美元，生產S個標準包的成本是70S。因此生產和銷售S個標準包的利潤（收益-成本）是

PsS-70S(8-3我們求解（8-1）式中的Ps,可以得到標準包的價格是如何用售出的標準包數目來表示的。它是Ps=150-S/15。用150-S/15代替（8-3）式中的Ps，標準包的利潤是

PsS-70S=(150-S/15)S-70S=80S-S/15(8-4)假定生產每種豪華高爾夫包的成本是150美元。用得到式（8-4）相同的邏輯，豪華包的利潤是PDD-150D=(300-D/5)D-150D=150D-D/5總利潤是標準包利潤和豪華包利潤之和。因此，總利潤可寫為總利潤=80S-S/15+150D-D/5注意兩個線性需求函數，式（8-1）和式（8-2），給出了一個非線性總利潤函數式（8-5）。這個函數是二次函數的一個例子，因為非線性項有一個2次冪。用LINGO（見附錄8A），我們發(fā)現最大化利潤函數的S和D的值是S=600和D=375。對應價格是標準包110美元和豪華包225美元。以及利潤是52125美元。如果所有的生產約束條件也都被滿足了，這些值就是Par公司的最優(yōu)解。8.1.2一個受約束問題

Par公司不能得到無約束問題最優(yōu)解得出的利潤，因為其違反和限制了可行域的約束條件。例如,切割和印染的約束是

7/10S+D≤630600個標準包和375個豪華包的生產數量要求7/10*600+1*375=795小時，這超出了630小時的限制165個小時。Par公司原來問題的可行域以及無約束最優(yōu)解點（600，375）如圖8—1所示。這個無約束最優(yōu)解（600，375）明顯超出了可行域。圖8—1Par公司的可行域和無約束最優(yōu)化問題的最優(yōu)解很明顯，Par公司必須解決的最大問題是最大化總利潤

80S-1/15S2+150D-1/5D2但是要基于第二章所給出的所有部門勞力小時約束條件的限制。Par公司受約束的非線性最大化問題的完整數學模型如下：

Max80S-1/15S2+150D-1/5D2s.t.7/10S+D≤630切割和印染

1/2S+5/6D≤600縫合

S+2/3D≤708成型

1/10S+1/4D≤135檢測與包裝

S，D≥0

除了非線性目標函數，這個最大化問題與第二章中的Par公司問題完全一樣。這個受約束非線性最大化問題的LINGO解如圖8—2所示。圖8—2非線性Par公司問題的LINGO解第一行顯示找到了一個局部最優(yōu)解。這個局部最優(yōu)也是一個整體最優(yōu)（見下以節(jié)）。目標函數的最優(yōu)值是49920.55美元。變量部分顯示最優(yōu)解是生產495.7166個標準包和308.1984個豪華包。在行部分，讀一行對應目標函數，第二行到第五行對應四個生產約束條件。在松弛或剩余列，第二行的0值意味著最優(yōu)解使用了切割印染部門的全部勞動力時間；但在第三行代第五行的非零值表明了其他部門可用的松弛時間。

495.7166個標準包和308.1984個豪華包的最優(yōu)解的圖形見圖8—3所示。圖8—3帶有目標函數等位線的Par公司可行域注意最優(yōu)解不再在可行域的頂端點上了，而在切割印染約束條件線上，

7/10S+D=630

但是也不是在切割印染約束條件和成型約束條件的交叉部分形成的端點上，或在有切割印染約束條件和檢測包裝約束條件的交叉部分形成的端點上。為了理解其中的原因，我們看圖8—3。

在圖8—3中我們看到三個利潤等位線。在同一等位向上的每個點都有相同的利潤。這些等位線分別代表了45000美元、49920.55美元和51500美元的利潤。在原來的第二章描述的Par公司問題中，目標函數是線性的，因此利潤等位線是直線。但是，對于有二次目標函數的Par公司問題，其利潤等位線是橢圓形的。

因為45000美元的利潤等位線的一部分切入了可行域，我們知道有無限個標準包豪華包組合能產生45000美元的利潤。無限數目的標準包豪華包組合也提供了51500美元的利潤.但是,51500美元利潤等位線上沒有點在可行域內。隨著等位線從無約束最優(yōu)解（600，375）向外移，與每個等位線相關聯的利潤也少了。代表49920.55美元利潤的等位線和可行域在一點上相交。這個解提供了最大的可能利潤。沒有利潤大于49920.55美元的等位線再與可行域相交了。因為等位線是非線性的，有最高利潤的等位線可以在任意點上接觸可行域邊界，而不是只在頂端上。在Par公司例子中，最優(yōu)解是在切割印染約束條件線上的兩個端點之間。非線性最優(yōu)化問題的最優(yōu)解也可能位于可行域內部。例如，如果在Par公司問題中約束條件的右側值全部增加一個足夠的量，使可行域擴大，這樣圖8—3中最優(yōu)無約束解點（600，375）將會在可行域的內部。許多線性規(guī)劃算法（如單純型法）指通過檢查端點，并選擇能給出最優(yōu)解的端點來優(yōu)化。而Par公司有約束非線性問題的解說明，這種方法在非線性情形下將不再適用，因為最優(yōu)解一般不是端點解。因此，非線性規(guī)劃算法比線性規(guī)劃算法更加復雜，其細節(jié)超出了本書的范圍。計算機軟件如LINGO和Excel規(guī)劃求解，可以用來求解非線性規(guī)劃問題，我們在本章附錄中將描述如何如使用這些軟件包。局部和整體最優(yōu)圖8—2中Par公司非線性問題的LINGO解的第一行顯示，“找到的局部最優(yōu)解”。如果沒有其他更好目標函數值的可行解可以在鄰域里找到，這個可行解就是局部最優(yōu)的`。例如，在受約束Par問題中，局部最優(yōu)對應局部最大值；如果沒有其他有更大目標函數值的可行解在臨近域找到，這個點就是局部最大值。相似地，對一個最小化問題，如果沒有其他有更小目標函數值的可行解在臨近域找到，這個點就是局部最小值。

非線性最優(yōu)化問題能有多個局部最優(yōu)解，這意味著我們需要找到最好的局部最優(yōu)解。如果沒有其他有更好目標函數值的可行點在可行域找到，這個可行域就是整體最優(yōu)的。在一個最大化問題的例子中，整體最優(yōu)對應整體最大化。如果在可行域內沒有其他點能有嚴格更大的目標函數值，這個點就是整體最大值。對一個最小化問題，如果在可行域內沒有其他可行點能有嚴格更小的目標函數值，這個點就是整體最小值。很明顯，整體最大值也是一個局部最大值，整體最小值也是一個局部最小值。

有多個局部最優(yōu)解的非線性問題是很難求解的。但在許多非線性應用中，一個唯一的局部最優(yōu)解也是也是整體最優(yōu)解。對這類問題，我們只需要找到一個局部最優(yōu)解?，F在我們將展示這種非線性問題的一些更普遍的類型。考慮函數f（X，Y）=-X2-Y2。這個函數的形狀如圖8-4所示。一個朝下碗形的函數稱作凹函數。這個特殊函數的最大值是0，點（0，0）提供最優(yōu)值0。點（0，0）是一個局部最大值；但它也是一個整體最大值，因為沒有點能有更大的函數值了。換句話說，在沒有一個X和Y的值能使目標函數值大于0。凹函數，像f（X，Y）=-X2-Y2這種的，有一個唯一的局部最大值，這也是一個整體最大值，這也是一個整體最大值。這種非線性問題是相對容易最大化的。圖8-4凹函數f（X，Y）=-X2-Y2Par公司非線性問題的目標函數是凹函數的另一個例子。一般來說，如果在二次方程中的所有二次項都有一個負系數，并且沒有交叉乘積項，如xy，那么函數是一個凹二次函數。因此，對于Par公司問題，我們肯定能在圖8-2中由LINGO確定的局部最大值就是整體最大值。現在讓我們考慮另一類有唯一局部最優(yōu)值，同時也是整體最優(yōu)質的函數?？紤]函數f（X，Y）=X2+Y2。這個函數的形狀如圖8-5所示。它是朝上碗形的，稱作凸函數。這個特殊函數的最小值是0，點（0，0）提供最小值0。點（0，0）是一個局部最小值和整體最小值，因為再沒有一個X和Y的值能使目標函數的值小于0。凸函數，像f（X，Y）=X2+Y2這種的，有唯一的局部最小值，是相對容易最小化的。圖8-5凸函數f（X，Y）=X2+Y2

對于一個凹函數，如果我們的計算機軟件找到一個局部最大值，我們能肯定它就是整體最大值。相似地，對一個凸函數，如果我們的計算機軟件找到一個局部最小值，我們能肯定它就是整體最小值。凹函數和凸函數很好處理，但是，一些非線性函數有多個局部最優(yōu)值。例如，圖8-6顯示的下面函數的圖像：f（X，Y）=3（1-X）2e-X2-(Y+1)2-10(X/5-X3-Y5)e-X2-Y2-e-X2-(Y+1)2/3

圖中的山和谷說明這個函數有多個局部最大值和局部最小值。這些概念將進一步在圖8-7中說明，它與圖8-6中的函數是相同的，只是從一個不同的角度來看。它表明有兩個局部最小值和三個局部最大值。局部最小值之一也是整體最小值，局部最大值之一也是整體最大值。

從技術立場看，有多個局部最優(yōu)值的函數給最優(yōu)化軟件提出了一個嚴峻的挑戰(zhàn)；大多數非線性最優(yōu)化軟件方法會碰到“卡殼”，并在一個局部最優(yōu)解上終止。不幸的是，許多應用可能是非線性的，并且找到一個不是整體最優(yōu)值的局部最優(yōu)值會有嚴重的損失。建立能找到整體最優(yōu)值的算法正是當前活躍的一個研究領域。然而在線性約束的條件集上最小化凸二次函數的問題是相對容易的，而且對這類問題也沒有風險會在不是整體最小值的局部最小值處碰到卡殼。相似地，在線性約束的條件集上最大化凹二次函數的問題也是相對容易求解的，不會在一個不是整體最大值的局部最大值上碰到卡殼。圖8-7有局部最大值和最小值的函數的另一觀察點8.1.4對偶價格我們以對對偶價格的簡要討論來結束這一節(jié)。在第三章中已介紹了對偶價格的概念。記得對偶價格是約束條件右側值每增加一單位最優(yōu)解值的改進。大部分非線性最優(yōu)化軟件（如LINGO）提供了對偶價格信息。非線性模型中對偶價格的解釋與線性規(guī)劃是完全相同的。然而，非線性問題中卻不經常報告可允許的增量和減量。這是因為典型的非線性問題中可允許的增量和減量為0。也就是說，如果你改變右側值，即使是一個很小的量，對偶價格都會改變。8.2建立一個指數化證券投資基金在5.4節(jié)中，我們研究了Hauck金融服務公司的投資組合和資產分配模型。建立了多個線性規(guī)劃來模擬不同客戶對風險的態(tài)度。在這一節(jié)中我們研究一個重要的相關應用。指數化證券投資基金是公有基金行業(yè)中一個相當流行的投資手段。確實，Vanguard500指數化基金是美國一個最大的公有基金，在2005年，其凈資產超過700億美元。指數化基金是被動的資產管理的一個例子。指數化基金的核心思想是構建一個股票、共有基金或其他有價證券的投資組合，盡可能接近像標準普爾500這樣的泛市場指數的績效。

表8-1顯示了Vanguard4個指數化基金的一年期回報，以及對應市場指數的回報。表中說明了多個有趣的問題。首先，Vanguard對大量類型的投資都有指數化基金。例如，頭兩個指數化基金是股票基金：標準普爾500指數化基金和MSCI廣泛市場基金。MSCIREIT基金是一個在房地產市場上的投資，短基債券（Lehmanl-5）基金是一個在公司債券市場上的投資。其次，注意到即使回報顯示基金間有相當大的變化，指數化基金在匹配對應市場指數的回報上依然表現良好。表1-84個Vanguard指數化基金的一年期回報Vanguard基金Vanguard基金回報市場指數市場指數回報500指數化基金4.77%標準普爾5004.91%總股票指數5.98%MSCI廣泛市場6.08%REIT指數11．90%MSCIREIT12.13%短期債券1.13%Lehmanl-5指數1.44%

為什么指數化基金這么流行呢？指數化基金流行的背后是對金融領域的大量研究，基本上來說，“你不能打敗市場”。事實上，大部分共有基金管理者的效績都不如領導性的市場指數，如標準普爾500。因此，許多投資者都滿足于這類投資，其能提供更接近于市場回報的回報。現在，讓我們重新看一下Hauck金融服務公司的例子。假定Hauck有大量客戶想要擁有共有基金投資組合，這些投資組合作為一個整體，在績效上能很接近于標準普爾500股票指數。為了能最大化模擬整個標準普爾500指數的績效，投資組合的每個共有基金應該被投資的比例是多少？表8-2在表5-4（見第五章）的基礎上添加了一行，給出了對每個計劃方案的標準普爾500的回報。還記得列顯示了每個共有基金在這年賺得的實際的回報比例。這5列重新說明了來年最有可能發(fā)生的情形。表8-2用于未來12個月計劃而選擇的5個方案的共有基金績效計劃方案共有基金第一年第二年第三年第四年第五年外國股票10.0613.1213.4745.42-21.93中期債券17.643.257.51-1.337.36大市值成長32.4118.7133.2841.46-23.26大市值價值32.3620.6112.937.06-5.37小市值成長33.4419.403.8558.68-9.02小市值價值24.5625.32-6.075.4317.31標準普爾500回報25.0020.008.0030.00-10.00第5.4節(jié)介紹的模型中，使用的變量代表了投資組合投資于每個共有基金的比例。PS——投資于外國股票共有基金的投資組合比例IB——投資于中期證券基金的投資組合比例 LG——投資于大市值成長基金的投資組合比例LV——投資于大市值價值基金的投資組合比例SG——投資于小市值成長基金的投資組合比例SV——投資于小市值價值基金的投資組合比例在第5.4節(jié)中介紹的投資組合模型在投資組合風險的約束下，通過選擇投資于每個共有基金的投資組合比例，來最大化利益。這里我們想要通過選擇投資組合投資于每個共有基金的比例，以盡可能地接近標準普爾500的回報。為了清晰地說明模型，我們引入變量R1、R2、R3、R4和R5，其分別代表了每種情形下投資組合的回報。例如，考慮變量R1。如果第1年代表的方案最終反映了未來12個月發(fā)生的情形，在方案1下投資組合回報是

10.06FS+17.64IB+32.41LG+32.36LV+33.44SG+24.56SV=R1同樣地，如果方案2～5反映了在未來12個月得到的回報，在方案2～5下投資組合的回報如下所示：方案2回報：

13.12FS+3.25IB+18.71LG+2O.61LV+19.4OSG+25.32SV=R2方案3回報：

13.47FS+7.51IB+33.28LG+12.93LV+3.85SG-6.70SV=R3方案4回報：

45.42FS-1.33IB+41.46LG+7.06LV+58.68SG+5.43SV=R4方案5回報：

-21.93FS+7.36IB-23.26LG-5.37LV-9.02SG+17.31SV=R5接下來，對每個方案我們計算方案回報和標準普爾500的回報間的差值?；诒?.2的最后一行，差值為

R1-25,R2-20,R3-8,R4-30,R5-(-10)(8-6)目標是投資組合的回報盡可能接近標準普爾500的回報。為了達到這個目標，我們可以盡量最小化式(8-6)給出的差值的和，如下：

min(R1-25)+(R2-20)+(R3-8)+(R4-30)+(R5-(-10))(8-7)不幸的是，如果我們使用表達式(8-7)，正和負的差值將彼此抵消，這樣一個令式(8-7)有最小值的投資組合實際上可能與目標指數有很大不同。同樣，因為我們想要盡可能地接近目標收益，所以為大差值，而不是為小差值，分配一個更高的邊際懲罰成本是有道理的。達到這個目標的函數是

min(R1-25)2+(R2-20)2+(R3-8)2+(R4-30)2+(R5-(-10))2當我們把每一項平方時，正的和負的差值就不會彼此抵消，差值的邊際懲罰成本隨著差值增大而增大。我們建立的完整數學模型包含11個變量和6個約束條件(不包括非負約束條件)。

min(R1-25)2+(R2-20)2+(R3-8)2+(R4-30)2+(R5-(-10))2ｓ.ｔ.10.06FS+17.64IB+32.41LG+32.36LV+33.44SG+24.56SV=R113.12FS+3.25IB+18.71LG+2O.61LV+19.4OSG+25.32SV=R213.47FS+7.51IB+33.28LG+12.93LV+3.85SG-6.70SV=R345.42FS-1.33IB+41.46LG+7.06LV+58.68SG+5.43SV=R4-21.93FS+7.36IB-23.26LG-5.37LV-9.02SG+17.31SV=R5FS+IB+LG+LV+SG+SV=1FS,IB,LG,LV,SG,SV≥0這個最小化問題是非線性的，因為目標函數中出現了二次項。例如，在項(R1-25)2中，變量R1增加到一個2次方，因此是非線性的，然而，因為每個平方項的系數是正的，并且沒有交叉乘積項，所以目標函數是凸函數。因此，我們保證局部最小值也是整體最小值。圖8-8給出了LINGO解。目標函數的最優(yōu)值是4.426893，即回報差值的平方和。投資組合要求約30%的基金投資于外國股票基金（FS=0.3033377），36%的基金投資于大市值價值基金（LV=0.3649815），23%的基金投資于小市值成長基金(SG=0.2265517)，并且11%的基金投資于小市值價值基金(SV=0.1051291)。LOCOLOPTIMALSOLUTIONFOUND.OBJECTIVEVALUE4.42689Totalsolveriterations:13VariablevaluereducedcostR125.020240.000000R218.559030.000000R38.9730280.000000R430.219270.000000R5-8.8358570.000000FS0.30333770.000000IB0.00000064.84669LG0.00000018.51276LV0.36498150.000000SG0.22655170.000000SV0.10512910.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICE14.426893-1.00000020.0000000.4047736E-0130.000000-2.88193740.0000001.94605650.0000000.438542760.0000002.32828770.00000042.33116圖8-8Hauck金融服務公司問題的LINGO解表8-3顯示了對每種方案投資組合回報(見圖8-8中的R1、R2、R3、R4、R5)與標準普爾5000回報的比較。注意投資組合的回報對標準普爾500回報的接近度?；跉v史數據，Hauck混合共有基金的投資組合確實很接近標準普爾500股票指數的回報。表8-3投資組合回報與標準普爾500回報方案投資組合回報標準普爾500回報1234525.0218.568.9730.22-8.842520830-10我們剛舉例說明了非線性規(guī)劃在金融領域的一個重要應用。在下一節(jié)，我們將說明在要求最低水平收益的約束條件下，如何用Markowitz模型構建一個投資組合，來最小化風險8.3Markowitz投資組合模型

HarryMarkowitz因他為投資組合最優(yōu)化做出的突出貢獻，而榮獲了1990年諾貝爾獎。Markowitz軍方差投資組合模型是非線性規(guī)劃deep一個經典應用。在這一節(jié)，我們介紹Markowitz軍方差投資組合模型。這個基本模型的大量變種已被全世界的貨幣管理公司采用。大部分投資組合最優(yōu)化模型必須在風險與回報之間做出一個關鍵權衡。為了得到更大的回報，投資者必須面對更大的風險。上一節(jié)中的指數化基金模型被動地管理權衡。在我們構建的指數化基金中的投資者一定滿足于標準普爾500的風險/回報特征。其他投資組合模型明顯量化了風險與回報之間的平衡。在大部分投資組合最優(yōu)化模型中，使用的回報是可能結果的期望收益（或平均數）?？紤]在上一節(jié)建立的Hauck金融服務公司的例子。5個方案代表了在一年期計劃水平上的可能結果。每種方案的回報分別由變量R1、R2、R3、R4和R5定義。在n個可能方案中，如果ps是方案S的概率，那么投資組合的期望收益是

測量風險的難度有點兒大。整部書都致力于這個話題。最常與Markowitz投資組合模型相關的風險測量是投資組合的方差。如果期望收益由等式（8-8）給出，那么投資組合方差是在Hauck金融服務公司例子中，5個計劃方案有一樣的概率。因此。投資組合方差是每種方案下對均值偏差的平方和的平均數。這個數目越大，方案收益在他們的平均值周圍分散得越廣。如果投資組合的方差等于零，那么每個方案的回報將相等。構建Markowitz模型的兩個基本方法是：（1）在投資組合期望收益的約束條件的限制下，最小化投資組合的方差；（2）在方差約束條件的限制下，最大化投資組合的期望收益。考慮第一個例子。假定Hauck的客戶想要對表8-2列出的6種共有基金構建一個投資組合，來最小化由投資組合方差測量的風險。但是，客戶也要求預期的投資組合收益至少為10%。用我們的符號表示，目標函數為期望投資組合收益的約束條件≥10。完整的Markowitz模型包含12個變量和8個約束條件（不包含非負約束條件）。s.t.10.06FS+17.64IB+32.41LG+32.36LV+33.44SG+24.56SV=R1（8-11）

13.12FS+3.25IB+18.71LG+2O.61LV+19.4OSG+25.32SV=R2（8-12）

13.47FS+7.51IB+33.28LG+12.93LV+3.85SG-6.70SV=R3（8-13）

45.42FS-1.33IB+41.46LG+7.06LV+58.68SG+5.43SV=R4（8-14）

-21.93FS+7.36IB-23.26LG-5.37LV-9.02SG+17.31SV=R5（8-15）

FS+IB+LG+LV+SG+SV=1(8-16)(8-17)≥10（8-18）

FS,IB,LG,LV,SG,SV≥0（8-19）Markowitz模型的目標是最小化投資組合額方差。注意式（8-11）到式（8-15）出現在第8.2節(jié)中介紹的指數化基金模型中。這些式子定義了每種方案的回報。等式（8-16），也出現在指數化基金模型中，要求所有的錢投資于共有基金；這個約束條件常稱做整體約束條件。等式（8-17）定義了是投資組合的期望收益。等式（8-18）要求投資組合收益至少為10%。最后，表達式（8-19）要求對每個Hauck共有基金都是非負投資。這個模型要求至少10%的收益，其LINGO解的一部分如圖8-9所示。投資組合方差的最小值是27.13615.這個解意味著客戶將得到10%的期望收益（RBAR=10.00000），并且能最小化他們的用投資組合方差測量的風險，這需要投資組合的約16%投資于外國股票基金（FS=0.1584074），53%于中期債券基金（IB=0.5254795），4%于大市值成長基金（LG=0.4206502E-01）,以及27%于小市值價值基金（SV=0.2740480）。Localoptimalsolutionfound.ObjectiveValue:27.13615Totalsolveriterations:19VariableValueReducedCostR125.020240.000000R218.559030.000000R38.9730280.000000R430.219270.000000R5-8.8358570.000000FS0.30333770.000000IB0.00000064.84669LG0.00000018.51276LV0.36498150.000000SG0.22655170.000000SV0.10512910.000000圖8-9要求至少10%收益的Hauck最小方差投資組合的LINGO解Markowitz投資組合模型為投資者提供了一個方便的方法來權衡風險和收益。在實踐中，這個模型對不同收益進行典型的迭代求解。圖8-10表示隨著要求的期望收益以1%的步長從8%增加到12%，對應每個要求的期望收益投資組合方差的最小值。在金融領域，這個圖稱我餓誒效率限界。效率限界上的每個點是對每個給給定收益的最小可能風險（由投資組合方差測量的）。通過查看效率限界的圖像，投資者能得到其最滿意的均方差平衡。注釋與評論1.投資組合中一種資產類型的總量的上限和下限能容易地被模仿。注意在圖8-9中給出的解，投資組合中超過50%的資金投資于中期債券基金。讓一種資產占投資組合如此大的比重，可能是不明智的。因此常常給投資于單個資產的投資組合百分比設定一個上限。同樣地，在投資組合中包含一種極端小量的資產，這可能也是不想被看到的。因此，可能有約束條件來要求資產的非零總量只少為投資組合比例的最小值。2.在Hauck的例子中，可用投資組合的100%投資于共有基金。然而，方厭惡風險的投資者常常喜歡把一部分錢投在像美國短期國庫券這樣的無風險資產上。因此，許多投資組合最優(yōu)化模型允許資產投資于無風險資產。3.在這一節(jié)，用投資組合的方差來測量風險。然而，方差這鞥如它定義的那樣，會計算高于和低于均值的偏差。大部分投資者樂意接受高于均值的收益，而想要避免低于均值的收益。因此，許多投資組合模型會提供靈活的風險測量。4.在實際中，經紀人和共有基金公司都會隨著新信息的使用人重新調整投資組合。然而，持續(xù)重新調整投資組合可能會導致很大的交易成本。案例問題1就要求同學們?yōu)榭紤]交易成本而修改Markowitz投資組合選擇問題。8.4另一混合問題

在第4章，我們說明了如何用線性規(guī)劃求解GrandStrand石油公司的混合問題。記得GrandStrand精煉廠為了最大化利潤，想要精煉3種石油成分得到常規(guī)的和優(yōu)質的汽油。在第4章介紹的GrandStrand模型中，我們假定3種石油成分都有獨立的存儲罐；因此，在生產汽油之前成分是不會混合在一起。但是，實際中常有這樣的情形，在混合地點存儲混合成分的設備數目少于存儲成分的數目。在這種情形下各成分必須公用存儲罐或存儲設備。同樣，當運輸這些成分時，它們常常需要公用一個管道或傳輸容器。公用一個存儲設備或管道的成分稱做混合成分。圖8-11說明了這個混合。考慮圖8-11。成分1和成分2混合在一個單獨的存儲罐，成分3有它自己的存儲罐。常規(guī)和優(yōu)質汽油混合成分和成分3混合而成。必須做出兩類決策。第一，多少比例的成分1和成分2應該用于混合稱混合物？第二，多少混合罐中成分1和成分2的混合物將與成分3混合來生產常規(guī)和優(yōu)質汽油？這些決策要求設定下面6個決策變量：圖8-11GrandStrand石油公司混合問題

混合物

常規(guī)汽油

成分3

優(yōu)質汽油y1y2成分1成分2xprxppx3rx3py1=混合罐中成分1的加侖數y2=混合罐中成分2的加侖數xpr=常規(guī)汽油中混合的成分1和成分2的加侖數xpp=優(yōu)質汽油中混合的成分1和成分2的加侖數x3r=常規(guī)汽油中成分3的加侖數x3p=優(yōu)質汽油中成分3的加侖數這些決策變量如圖8-11中箭頭線所示。GrandStrand石油公司混合問題的約束條件與第4章中原來GrandStrand混合問題的約束條件相似。首先，我們需要常規(guī)汽油和優(yōu)質汽油的生產總量的表達式。生產的與總加侖數因為生產的汽油是輸入成分的混合物，所以生產的每類汽油的加侖總數是混合成分和成分3的總和。

常規(guī)汽油=xpr+x3r

優(yōu)質汽油=xpp+x3p使用的總石油成分消耗的成分1和成分2的總加侖數是在生產常規(guī)和優(yōu)質汽油中使用的混合物的總數。消耗的成分3的總加侖數等于常規(guī)汽油中使用的成分3的總量加上優(yōu)質汽油中使用的總量。消耗的成分1和成分2：y1+y2=xpr+xpp

消耗的成分3：x3r+x3p關于成分1和成分2的等式被成為守恒等式；這個等式說明成分1和車鞥分2的消耗總量必須等于生產常規(guī)和優(yōu)質汽油使用的混合物的總量。成分可用量在當前的生產計劃期，3種成份可用的最大加侖數分別是5000，10000和10000。因此，限制3種成分可用量的3個約束條件是

成分1y1≤500

成分2y2≤10000

成分3x3r+x3p≤10000產品的具體要求常規(guī)和優(yōu)質汽油的產品要求與第4章中表4-14中的一樣。為了方便參考，在表8-4中重新寫出它們。要滿足表8-4中對混合的具體要求在混合問題中有點困難，因為進入常規(guī)和優(yōu)質汽油的成分1和成分2的總量依賴于這些成分在混合罐中的比例。例如，考慮成分1占生產的常規(guī)汽油總加侖數不能超過30%的約束條件。如果混合成分有xpr加侖與成分3混合來生產常規(guī)汽油，那么必須知道成分1在xpr中的比例?；旌瞎拗谐煞?和成分2的總加侖數是y1＋y2；因此，成分1在混合罐中的部分是結果

是用于混成常規(guī)汽油所使用的成分1的加侖數。常規(guī)汽油的總加侖數是xpr+x3r。因此成分1占生產的常規(guī)汽油總加侖數不超過30%的約束條件是這個表達式是非線性的，因為它包含乘以另一個變量的變量率。其他要求執(zhí)行表8-4中給出的產品具體要求的約束條件的邏輯是相同的。

表8-4GrandStrand混合問題的產品具體要求產品

規(guī)格產品

規(guī)格常規(guī)汽油最多30%成分1最少40%成分2最多20%成分3優(yōu)質汽油最少25%成分1最多45%成分2最少30%成分3

與第4.4節(jié)中一樣，目標是最大化總毛利。因此，我們通過對兩種汽油的總收益與三種石油成分的總成本間的差值最大化，來建立目標函數。記得每加侖常規(guī)汽油的價格是2.90美元，每加侖優(yōu)質汽油的價格是3.00美元。成分1、成分2和成分3的成本分別是2.50美元、2.60美元和2.84美元。最終，必須生產至少10000加侖常規(guī)汽油。

GrandStrand混合問題完整的非線性模型包含6個決策變量和11個約束條件（不包含非負約束條件），如下。MaxGrandStrand混合問題的最優(yōu)解顯示在圖8-12中。使用的每種成分的加侖數和在常規(guī)和優(yōu)質汽油中的比例顯示在表8-5中。例如，10000加侖常規(guī)汽油包含2857.143加侖的成分1。數目2857.143不會直接出現在圖8-12中的LINGO解進行計算。在LINGO解中，y1=5000、y2=9000和xpr=8000，這意味著在常規(guī)汽油中成分1的加侖數是表8-5GrandStrand混合解各成分的加侖數（比例）汽油成分1成分2成分3常規(guī)2857.143（28.57%）

5142.857（51.43%）2000（20%）

優(yōu)質2142.857（25%）3857.143（45%）

2571.429（30%）

在圖8-12中，5831.429的目標值對應5831.43美元的總毛利。在第4.4節(jié)中，我們知道原來GrandStrand混合問題的最優(yōu)解值是7100美元。為什么成分1和成分2混合模型的總毛利更小？注意有混合成分問題的任意可行解對無混合問題也是可行。但是，相反是不成立的。例如，圖8-12說明在常規(guī)和優(yōu)質汽油中成分1加侖數對成分2加侖數的比率是不變的。也就是Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue:5831.429Totalsolveriterations:26

VariableValueReducedCost---------------------------------------------------------------

XPR8000.0000.000000X3R2000.0000.000000XPP6000.0000.000000X3P2571.4290.000000Y15000.0000.000000Y29000.0000.000000

ROWSlackorSurplusDualPrice-------------------------------------------------------------------------------15831.4291.00000020.0000001.41200031000.0000.00000045428.5710.00000050.000000-3.0685716142.85710.000000因為這個比率是y1/y2，這一定是成分1對成分2的比率在混合混合物中的情形。表8-6說明了原來混合GrandStrand問題的解（這個表也出現在第4.4節(jié)中）。在常規(guī)汽油中成分1對成分2的比率是1250/6750=0.1825在優(yōu)質汽油中成分1對成分2的比率是3750/3250=1.1538這是一個很大的差異。通過被強迫使用混合模型中成分1對成分2的相同比率，我們損失了靈活性，并且必須在生產汽油時消耗更多的石油成分。

表8-6無混合的GrandStrand問題的解

各成分的加侖數（比例）汽油成分1成分2成分3總和常規(guī)1250(12.50%）6750(67.50%)2000(20%)10000優(yōu)質3750（25%）3250（21.67%）8000（53.33%）15000

對所有成分所需要的足夠存儲罐的缺乏，減少了可行解的數目，轉而又導致產生較低的利潤。事實上，這個模型的一個應用是在存儲罐缺乏的情況下，為管理層提供一個關于利潤損失的良好估計。然后管理層就能夠評估購買更多存儲罐的盈利性。

在產品引入后，預測該新產品的使用是一個非常重要的營銷問題。在這一節(jié)我們介紹由FrankBass建立的一個預測模型，這個模型已被證明對預測創(chuàng)新和新技術在市場上的使用特別有效。非線性規(guī)劃用于估計Bass預測模型的參數。這個模型有3個參數必須進行估計。

m=最終使用新產品的估計人數引入新產品的公司對這個參數的值明顯感興趣。

q=模仿系數這個參數測量了潛在使用者受到已使用產品的人的影響時使用的可能性。它測量了影響購買的口碑效應。

P=創(chuàng)新系數這個參數測量了在假定沒有受到他人已購買（使用）產品的影響時使用可能性。它是一個人由于她或他自己對創(chuàng)新的興趣而使用產品的可能性。

利用這些參數，現在讓我們建立預測模型。令Ct-1表示到時間t-1已使用產品的人數。因為m是最終使用產品的估計人數，m-Ct-1是在時刻t-1剩下的潛在使用者的數目。我們稱時間t-1到時間t間的時間間隔為時期t。在時期t，剩下的潛在使用者數m-Ct-1的一定比例將使用該產品。這個值依賴于使用新產品的可能性。不太嚴謹地說，使用新產品的可能性是由于模仿而使用的可能性加上由于創(chuàng)新而使用的可能性。由于模仿而使用的可能性是已使用產品的人數的函數。當前使用者的人數越多，他們口碑的影響力就越大。因為Ct-1/m是到時間t-1使用產品的估計人數的比例，由于模仿而使用的可能性通過模仿系數q乘以這個比例來計算。因此，由于模仿而使用的可能性是

q（Ct-1/m）由于創(chuàng)新而使用的可能性簡單的是創(chuàng)新系數p。因此，使用的可能性是

p+q（Ct-1/m）利用使用的可能性，我們能建立對將來在時期t使用產品的剩余潛在顧客數的一個預測。因此，Ft，在時期t新使用者人數的預測，是

Ft=（p+q(Ct-1/m)）(m-Ct-1)(8-20)在式（8-20）中給出的Bass預測模型根據統(tǒng)計原理，能精確地導出，而不是提供這樣一個強調模型直觀方面的推導。在用Bass模型建立時期t新產品使用的預測時，Ct-1的值將從過去的銷售數據中得知。但是我們也需要知道用于模型的參數值。現在讓我們看看如何用非線性規(guī)劃來估計參數值m、p、和q。

考慮圖8-13。這個圖顯示了電影《再生之旅》和《終結者3》在發(fā)行后前12周票房收益（單位為百萬美元）的圖像。嚴格來說，時期t的票房收益與時期t的使用者數是不一樣的。但是由于回頭客的數目通常是很少的，所以票房收益可以是電影觀眾數的一個倍數。Bass預測模型在這兒看起來是適合的。《終結者》《終結者》

圖8-13《再生之旅》和《終結者3》的周票房收益

這兩部電影有力的說明了不同的使用模式。注意《再生之旅》的收益一直增長，直到第4周達到峰值，然后開始下降。這部電影的大部分收益明顯是由于口碑影響。根據Bass模型，就是模仿因素強于創(chuàng)新因素，并且我們預期q<p。然而，對電影《終結者3》收益峰值在第一周，之后急劇下降。創(chuàng)新因素強于模仿因素，因此我們預期q<p?？梢越Y合一個非線性最優(yōu)化問題到預測模型等式（8-20）中來，